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2015届高考数学(文科)二轮专题复习跟踪训练 专题三 第3讲


第3讲 考情解读 平面向量 1.平面向量基本定理和向量共线定理是向量运算和应用的基础,高考中常以小 题形式进行考查.2.平面向量的线性运算和数量积是高考的热点, 有时和三角函数相结合, 凸 显向量的工具性,考查处理问题的能力. 1.平面向量中的五个基本概念 (1)零向量模的大小为 0,方向是任意的,它与任意非零向量都共线,记为 0. a (2)长度等于 1 个单位长度的向量叫单位向量,a 的单位向量为 . |a| (3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量). (4)如果直线 l 的斜率为 k,则 a=(1,k)是直线 l 的一个方向向量. (5)向量的投影:|b|cos〈a,b〉叫做向量 b 在向量 a 方向上的投影. 2.平面向量的两个重要定理 (1)向量共线定理:向量 a(a≠0)与 b 共线当且仅当存在唯一一个实数 λ,使 b=λa. (2)平面向量基本定理:如果 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的 任一向量 a,有且只有 一对实数 λ1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e2,其中 e1,e2 是一组基底. 3.平面向量的两个充要条件 若两个非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 (1)a∥b?a=λb?x1y2-x2y1=0. (2)a⊥b?a· b=0?x1x2+y1y2=0. 4.平面向量的三个性质 (1)若 a=(x,y),则|a|= a· a= x2+y2. (2)若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 → |AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2. (3)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ 为 a 与 b 的夹角, x1x2+y1y2 a· b 则 cos θ= = 2 2 2 2. |a||b| x1+y1 x2+y2 1 热点一 平面向量的概念及线性运算 例1 (1)(2014· 福建)在下列向量组中,可以把向量 a=(3,2)表示出来的是( ) A.e1=(0,0),e2=(1,2) B.e1=(-1,2),e2=(5,-2) C.e1=(3,5),e2=(6,10) D.e1=(2,-3),e2=(-2,3) (2)如图所示,A,B,C 是圆 O 上的三点,线段 CO 的延长线与线段 BA 的延长线交于圆 O → → → 外的点 D,若OC=mOA+nOB,则 m+n 的取值范围是( A.(0,1) B.(1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-1,0) 思维启迪 (1)根据平面向量基本定理解题.(2)构造三点共线图形,得到平面向量的三点共 ) → → → 线结论,将此结论与OC=mOA+nOB对应. 答案 (1)B (2)D 解析 (1)由题意知,A 选项中 e1=0,C、D 选项中两向量均共线,都不符合基底条件,故 选 B(事实上,a=(3,2)=2e1+e2). → → → → → → → (2)依题意, 由点 D 是圆 O 外一点, 可设BD=λBA(λ>1), 则OD=OB+λBA=λOA+(1-λ)OB. → → 又 C,O,D 三点共线,令OD=-μOC(μ>1), λ → 1-λ → → 则OC=- OA- OB(λ>1,μ>1), μ μ 1-λ λ 所以 m=- ,n=- . μ μ λ 1-λ 1 故 m+n=- - =- ∈(-1,0).故选 D. μ μ μ 思维升华 对于平面向量的线性运算问题, 要注意其与数的运算法则的共性与不同, 两者不 能混淆.如向量的加法与减法要注意向量的起点和终点的确定,灵活利用三角形法

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