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2011《金版新学案》高三一轮复习数学(北师大版)文科:第二章 立体几何初步 阶段质量检测(二)


阶段质量检测(二)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.正方体的表面积是 a2,它的顶点都在一个球面上,则这个球的表面积是( ) πa2 πa2 A. B. 3 2 C.2πa2 D.3πa2 【解析】 设球的半径为 R,则正方体的对角线长为 2R, 4 1 1 依题意知 R2= a

2,即 R2= a2, 3 6 8 1 2 πa2 2 ∴S 球=4πR =4π· a = .故选 B. 8 2 【答案】 B 2.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积等于

A.72 B.66 C.60 D.30 【解析】 根据题目所给的三视图可知该几何体为一直三棱柱, 且底面是一直角三角形, 两直角边分别为 3,4,斜边为 5,三棱柱高为 5,所以表面积为 S=3×4+3×5+4×5+5×5 =72,所以答案为 A. 【答案】 A 3.在下图中,G、H、M、N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线 GH、 MN 是异面直线的图形有( )

A.(1)(2) B.(1)(3) C.(2)(4) D.(3)(4) 【解析】 对于图(1),GH∥MN,对于图(2),GH 与 NM 异面,对于图(3),GH 与 MN 相交,对于图(4),GH 与 NM 异面,故选 C. 【答案】 C 4.圆台上底面半径为 5,下底面半径为 R,中截面把圆台分为上下两个圆台,它们的 侧面积之比为 1∶2,那么 R 等于( ) A.10 B.15 C . 20 D . 25

5.已知直线 m⊥平面 α,直线 n?平面 β,则下列命题正确的是( ) A.若 α∥β,则 m⊥n B.若 α⊥β,则 m∥n C.若 m⊥n,则 α∥β D.若 n∥α,则 α∥β 【解析】 易知 A 选项由 m⊥α,α∥β?m⊥β,n?β?m⊥n,故 A 选项命题正确. 【答案】 A 6.如图,已知四边形 ABCD 的直观图是直角梯形 A1B1C1D1,且 A1B1=B1C1=2A1D1 =2,则四边形 ABCD 的面积为( )

A.3 B.3 2 C.6 2 D.6 【解析】 如图,取∠GB1C1=135° ,过点 A1 作 A1E∥GB1, 易求得 B1E=2,A1E=2 2,故以 B1C1 和 B1A1 为坐标轴建立直角坐标系,由直观图原 则,B,C 与 B1,C1 重合,然后过点 E 作 B1A1 的平行线,且使得 AE=2A1E=4 2, 即得点 A,然后过 A 作 AD∥BC 且使得 AD=1, 即四边形 ABCD 上底和下底边长分别为 1,2,高为 4 2, 1 故其面积 S= (2+1)×4 2=6 2. 2

【答案】 C 3 7. 中心角为 π, 面积为 B 的扇形围成一个圆锥, 若圆锥的表面积为 A, A: 等于( 则 B 4 A.11∶8 B.3∶8 C.8∶3 D.13∶8 【解析】 设扇形半径为 R,则 1 1 3 B= lR= |α|·R2= πR2, 2 2 8

)

其中 l 为扇形弧长,也为圆锥底面周长, 设圆锥底面圆半径为 r, 3 2πr=|α|·R= πR, 4 3 9 r= R.S 圆=πr2= πR2, 8 64 3 9 故 A=B+S 圆= πR2+ πR2 8 64 33 = πR2. 64 33 3 ∴A:B= πR2: πR2=11:8. 64 8 故选 A. 【答案】 A 8.已知 m,n 为不同的直线,α,β 为不同的平面,下列四个命题中,正确的是( ) A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 m?α,n?α,且 m∥β,n∥β,则 α∥β C.若 α⊥β,m?α,则 m⊥β D.若 α⊥β,m⊥β,m?α,则 m∥α 【解析】 A 错,平行于同一平面的两直线可平行、相交和异面;B 错,必须平面内有 两条相交直线分别与平面平行,此时两平面才平行; C 错,两垂直平面内的任一直线与另一平面可平行、相交或垂直; D 对,由空间想象易知命题正确. 【答案】 D 9.

如图边长为 a 的等边三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 交于点 G,已知△A′DE 是 △ADE 绕 DE 旋转过程中的一个图形,则下列命题中正确的是( ) ①动点 A′在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上; ②BC∥平面 A′DE; ③三棱锥 A′-FED 的体积有最大值. A.① B.①② C.①②③ D.②③ 【解析】 ①中由已知可得面 A′FG⊥面 ABC, ∴点 A′在面 ABC 上的射影在线段 AF 上. ②BC∥DE,∴BC∥平面 A′DE. ③当面 A′DE⊥面 ABC 时,三棱锥 A′-FDE 的体积达到最大. 【答案】 C 10.

如图,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则 C1 在底面 ABC 上 的射影 H 必在( )

A 直线 AB 上 B 直线 BC 上 C 直线 AC 上 D△ABC 内部 【解析】 ∵BA⊥AC,BC1⊥AC,BA∩BC1=B, ∴AC⊥平面 ABC1. ∵AC?平面 ABC,∴平面 ABC⊥平面 ABC1,且交线是 AB. 故平面 ABC1 上一点 C1 在底面 ABC 的射影 H 必在交线 AB 上. 【答案】 A 11.用一些棱长是 1 cm 的小正方体码放成一个几何体,图 1 为其俯视图,图 2 为其主 视图,若这个几何体的体积为 7 cm3,则其左视图为( )

【解析】 由这个几何体的体积为 7 cm3 可知共有 7 个小正方体. 通过俯视图可以排除选项 A、 D,结合俯视图与主视图即可选出正确答案为 C(若左视图 为 D,则只需要 6 个小正方体即可). 【答案】 C 12.已知一个圆柱的主视图的周长为 12,则该圆柱的侧面积的最大值等于( ) 9 A. π B.6π 2 C.9π D.18π 【解析】 圆柱的主视图是一个矩形,若设圆柱的底面半径为 r,高为 h,则依题意有 4r+2h=12,且 0<r<3. 3 故其侧面积 S=2πrh=2πr(6-2r)=4πr(3-r)≤4π·?2?2=9π, ? ? 3 此时 r= ,所以圆柱的侧面积的最大值等于 9π. 2 【答案】 C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 13.已知 OA 为球 O 的半径,过 OA 的中点 M 且垂直于 OA 的平面截球面得到圆 M. 若圆 M 的面积为 3π,则球 O 的表面积等于________.

【答案】 16π 14.如图是某几何体的三视图,其中主视图是腰长为 2 的等腰三角形,俯视图是半径为 1 的半圆,则该几何体的体积是________.

【解析】 由已知可得几何体是底面半径为 1,母线长为 2 的圆锥的一半,即半圆锥, 1 1 3 易知其体积为 × ×π×12× 3= π. 2 3 6 3 【答案】 π. 6 15.已知 a、b 是两条异面直线,a⊥b,点 P?a 且 P?b.下列命题中: ①在上述已知条件下,平面 α 一定满足:P∈α,a∥α 且 b∥α; ②在上述已知条件下,存在平面 α,使 P?α,a?α 且 b⊥α; ③在上述已知条件下,直线 c 一定满足:P∈c,a∥c 且 b∥c; ④在上述已知条件下,存在直线 c,使 P?c,a⊥c 且 b⊥c. 正确的命题有________(把所有正确的序号都填上). 【解析】 构造正方体 ABCD-A1B1C1D, AB 所在的直线为 a, 1 所在的直线为 b, 设 CC 当点 P∈CD 时,不存在平面 α,使 P∈α,a∥α 且 b∥α,①错;同理可得③也错;而②④正 确. 【答案】 ②④ 16.如图为一几何体的展开图,其中 ABCD 是边长为 6 的正方形,SD=PD=6,CR= SC,AQ=AP,点 S,D,A,Q 及点 P,D,C,R 共线,沿图中虚线将它们折叠起来,使 P, Q,R,S 四点重合,则需要________个这样的几何体,可以拼成一个棱长为 6 的正方体.

【解析】 由题意知,将该展开图沿虚线折叠起来以后,得到一个四棱锥 P-ABCD(如 1 图),其中 PD⊥平面 ABCD,因此该四棱锥的体积 V= ×6×6×6=72,而棱长为 6 的正方 3 216 体的体积 V=6×6×6=216,故需要 =3 个这样的几何体,才能拼成一个棱长为 6 的正 72 方体. 【答案】 3 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.

图1 (10 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面为正方形,PC 与底面 ABCD 垂直(图 1),图 2 为该四棱锥的主视图和左视图,它们是腰长为 6 cm 的全等的等腰直角三角形( ).

图2 (1)根据图 2 所给的主视图、左视图画出相应的俯视图,并求出该俯视图的面积. BE CF (2)图 3 中,E 为棱 PB 上的点,F 为底面对角线 AC 上的点,且 = ,求证:EF∥ EP FA 平面 PDA.

图3 【解析】 (1)该四棱锥的俯视图为内含对角线,边长为 6 cm 的正方形,如图.其面积 为 36 cm2.

(2)证明:连接 BF 并延长交 AD 于 G,连接 PG, BF CF 则在正方形 ABCD 中, = . FG FA CF BE BF BE 又 = ,∴ = , FA EP FG EP ∴在△BGP 中,EF∥PG. 又 EF?平面 PDA,PG?平面 PDA, ∴EF∥平面 PDA. 18.(12 分)如图,在四棱台 ABCD-A1B1C1D1 中,下底 ABCD 是边长为 2 的正方形, 上底 A1B1C1D1 是边长为 1 的正方形,侧棱 DD1⊥平面 ABCD,DD1=2.( ). (1)求证:B1B∥平面 D1AC; (2)求证:平面 D1AC⊥平面 B1BDD1.

【证明】 (1)设 AC∩BD=E,连结 D1E, ∵平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1. ∴B1D1∥BE,∵B1D1=BE= 2, ∴四边形 B1D1EB 是平行四边形, 所以 B1B∥D1E. 又因为 B1B?平面 D1AC, D1E?平面 D1AC, 所以 B1B∥平面 D1AC (2)侧棱 DD1⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD, ∴AC⊥DD1.

∵下底 ABCD 是正方形,AC⊥BD. ∵DD1 与 DB 是平面 B1BDD1 内的两条相交直线, ∴AC⊥平面 B1BDD1 ∵AC?平面 D1AC,∴平面 D1AC⊥平面 B1BDD1. 19.(12 分)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图(1)所示.墩的上半部分是正四 棱锥 P-EFGH,下半部分是长方体 ABCD-EFGH.图(2)、图(3)分别是该标识墩的主视图和 俯视图.

(1)请画出该安全标识墩的左视图; (2)求该安全标识墩的体积; (3)证明:直线 BD⊥平面 PEG. 【解析】 (1)左视图同主视图(略). (2)该安全标识墩的体积为 V=VP-EFGH 1 +VABCD-EFGH= ×402×60+402×20 3 =32 000+32 000=64 000(cm3).

(3)证明:如图,连结 EG、HF 及 BD,EG 与 HF 相交于 O 点,连结 PO, 由正四棱锥的性质可知,PO⊥平面 EFGH, ∴PO⊥HF.又∵EG⊥HF, ∴HF⊥平面 PEG. 又∵BD∥HF,∴BD⊥平面 PEG. 20.

(12 分)如图,平行四边形 ABCD 中,∠DAB=60°,AB=2,AD=4.将△CBD 沿 BD 折 起到△EBD 的位置,使平面 EBD⊥平面 ABD. (1)求证:AB⊥DE. (2)求三棱锥 E-ABD 的侧面积.

21.(12 分)如图,四边形 ABCD 为矩形,DA⊥平面 ABE, AE=EB=BC=2,BF⊥平面 ACE 于点 F,且点 F 在 CE 上.

(1)求证:AE⊥BE; (2)设点 M 在线段 AB 上,且满足 AM=2MB,试在线段 CE 上确定一点 N,使得 MN∥

平面 DAE. 【解析】 (1)证明:∵AD⊥平面 ABE,AD∥BC ∵BC⊥平面 ABE,∴AE⊥BC 又∵BF⊥平面 ACE,∴AE⊥BF 又 BC∩BF=B ∴AE⊥平面 BCE,又 BE?平面 BCE∴AE⊥BE. (2)在三角形 ABE 中过 M 点作 MG∥AE 交 BE 于 G 点,在三角形 BEC 中过 G 点作 GN∥BC 交 BC 于 N 点,连 MN, CN BG MB 1 1 则由 = = = 得 CN= CE. CE BE AB 3 3 ∵MG∥AE MG?平面 ADE,AE?平面 AED. ∴MG∥平面 ADE 由 NG∥BC,BC∥AD 得 GN∥平面 ADE ∴平面 MGN∥平面 ADE 又 MN?平面 MGN ∴MN∥平面 ADE ∴当 N 点为线段 CE 上靠近 C 点的一个三等分点时, MN∥平面 ADE. 22.(12 分)已知等腰梯形 PDCB 中,如图所示,PB=3,DC=1,PD=BC= 2,A 为 PB 边上一点,且 PA=1,将△PAD 沿 AD 折起,使平面 PAD⊥平面 ABCD,如图.

(1)证明:平面 PAD⊥平面 PCD; (2)试在棱 PB 上确定一点 M,使截面 AMC 把几何体分成的两部分 VPDCMA∶ VMACB=2∶1; (3)在 M 满足(2)的情况下,判断直线 AM 是否与平面 PCD 平行. 【解析】 (1)证明:依题意知,CD⊥AD, 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD,∴DC⊥平面 PAD. 又 DC ?平面 PCD,∴平面 PAD⊥平面 PCD.


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