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活跃在近年高考试题中的导函数零点问题


2014年4月

备考指南




活跃在近年高考试题中的导函数零点问题
◎浙江省宁波北仑中学范东晖

导数及其应用是数学高考的重点,特别在理科数学 考试中常常是承担压轴的大题.导数具有丰富的数学内 涵和表现形式,它是解决函数的图像、性质以及方程、不 等式等问题的“利器”,而导

数的零点则是展示其工具性 的一个关键“点”,一旦此“点”得以突破,则有关问题“迎 刃而解”.本文试对导函数的零点在近两年高考中的应 用做一些分析、归纳,以供参考.

所I矩(戈)在(丢,1)内存在唯一零点.
(Ⅱ)略

(Ⅲ)假设戈。戥(戈)在(了1,1)内的唯一零点.考察

厶。(‰)矗。(1)瓤。(‰狐。({)的符号.
ElUOI(戈。:!,0l(1)=(算:“+Xn--1)(1肿1+1—1);鬈。n“+z。一1<鬈:+
x。-l=O,可知扳+。(石)的零点菇州在(菇。,1)内,故戈。屯。+。n≥

一、与零点唯一性有关的问题
问题1 (2012年高考陕西卷理科第21题)议幽

2),所以,数列戈:,‰…,‰…是递增数列.
评注:证明函数在某个区间上存在唯一的零点,此

娄《厶(戈)=冉6算+c(n∈N+,b、C∈R).

类1"-3题目标指向明确,需证两点:①零点存在性;②零点
唯一性.可利用零点存在定理证明存在性..-j-并,1用函数 的单调性证明唯一性.而要利用零点的唯一性求解有关 问题。则需找准和用好包含此零点的区间的两端点.

(I)设乃≥2,6=1,c=一1,i正,Y]fin(茗)在区间({,1)内
存在唯一的零点; (II)设n=2,若对任意x-、茗:∈[-1,1],有iA(x?)一 A(x:)I≤4,求6的取值范围;

二、判断零点的个数问题
问题2(2012年高考福建卷文科第22题)已知函数

(Ⅲ)在(I)的条件下,设菇,慰(菇)在(了1,1)内的零
点,判断数列%孙…,%,…的增减性.

分析:(I)当6=1,c一1时Z(髫)≈7‰一1.要诹(戈)在

“菇)=似si似一号(口ER),上ta[o,号]上的最大值为孚.
(I)求函数及戈)的解析式; (1I)判断函数八菇)在(o,1T)内的零点个数,并加以
证明. 分析:(I)略.

区间(吉,1)内存在唯一的零点,既要证存在性又要证唯
一性.

献(吉k(?)=(虿1一÷)×t<o,可础(菇)在(丢,?)
内存在零点.

(1IⅥ茁)在(o,盯)内有且只有两个零点.
证明如下.

由菇∈(了1,1)时,’。(菇)=船¨+1>o,可础(菇)在 (i1,1)上单调递增.
万方数据

由(I)矢-flf(髫)≈si眦一百3,从而材(o)=一寻<o, 爿詈)=孚>o.又及菇)在[o,詈]上的图像是连续不断
高中版十哼歆.7—■■—一

考试 研究

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的,所蝴x)在(o,詈)内至少存在一个零点.

值. 分析:(I)略.

又由(I)晰算)在[o,i'if]上单调递增,蝴戈)在
(0'号)内有且仅有一个零点. 当z∈[詈,耵]时,锄(戈)可‰)=sinx+xc。巍 由g(号)=1>o,g(盯)=一耵<o,Hg(戈)在[詈,竹]上的 图像是连续不断的,知存在m∈(詈,1r),使得“m)=0. 由g‰)=2c。麟叫si眦,知戈∈(詈,仃)时,g‰)<o,从 币瑭(戈)在(詈,订)内单调递减 当戈∈(詈,m)时,g(戈)>g(m)=o,且咿’(菇)>o,从而 以戈)在(号,m)内单调递增,故当戈∈[詈,m】时“并)≥

(1I扩’(戈)≈2+如+以

由题设知抓菇:为方程厂’(戈)=o的两个根,故a<l,戈;=
一2x1一a,戈;=一2x2-a.

因JH驭疋?)兰了1戈3?帆2-+似-=了1戈?(一氖-一n)帆;+似。 2了z件了僦-

=÷(一氖?刊+了2似-
=23(a-1)"号.
同理抓髫:)=(a-1)戈厂了a.

因此直线z的方程为产号(铲1 h一号.
设z与戈轴的交点为(孙o),得z庐灭昙万?

爿詈)=孚>o,故八戈)在[詈,m]上无零点.
当石∈[m,订]时,有g(菇)<g(m)=o,最盯’(省)<o,从而

胁了1[赤]3+[蠢]2+南
2赢知(阱17舶)?
由题设知点(‰o)在曲线y--f(戈)上,故八铂)=o,解得 昭o、仁三3或Ⅱ=三4.
?评注:理解极值点和导函数零点的关系.找到极值 点石。、戈:与参数Ⅱ之间的联系(这里运用整体代换比较简 便),利用直线方程的知识求解交点,根据交点在已知曲 线上建立含参数Ⅱ的方程,从而得到参数口的值. 以上关于近几年高考试题中导函数零点问题的具 体分类与典型剖析,不仅能使我们较好地把握导函数的 零点在各种问题中的体现方式,而且能让我们运用多种 数学思想来处理与导函数零点有关的问题,对解决和研 究其他数学问题也.有较好的启发和导向作用.

以戈)在(m,耵)内单调递减.叉以m)>o以1T)<0,联搿)在
[m,订]上的图像是连续不断的,从而八戈)在(m,盯)内有
且仅有一个零点.

综上所述以戈)在(o,1T)内有且只有两个零点.
评注:本题考查的知识点为导数的计算,利用函数
与方程的思想解决零点个数的问题.由于当茗∈(0,叮r)

时/’(戈)=si眦慨co舛的符号不确定,符号的判定需依据

三角函数的取值规律,找到分段讨论的分界点菇=号,分
成两段,利用零点存在定理求解.

三、利用零点性质解含参问题
问题3

(2012&高考全国大纲卷文科第21题)已知 参考文献: 1.傅建红.破解“导数零点不可求”的两种策略[J].中 学数学教学参考(上),2013(11). 2.苏同安.与导函数零点“对话”的三种策略[J].中学

函粼算).12矿+x2+ax.
(I)讨论八戈)的单调性; (1I)设及戈)有两个极值点‰孙若过两点(并-f(x-))、

(z:f(x:))的直线z与石轴的交点在曲线y钒石)上,求口的

数学杂志,2012(12).墨圈

■■_十。?鼗吁高中版
万方数据


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