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辽宁省沈阳二中2014-2015学年高一上学期12月月考数学试题


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沈阳二中 2014——2015 学年度上学期 12 月份小班化学习成果 阶段验收高一( 17
命题人: 数学组

届)数学试题
审校人: 数学组

说明:1.测试时间:120 分钟 总分:150 分 2.客观题涂在答题纸上,主

观题答在答题纸的相应位置上

第Ⅰ卷
一.选择题: (满分 60 分)

(60 分)
)

1.已知集合 A={x|0<log4x<1},B={x|x≤3},则 A∩B=( A.(0,1) B.(0,3] C.(1,3) D.(1,3]

2.若函数 y=f(x)的定义域为[-3,5], 则函数 g(x)=f(x+1)+f(x-2)的定义域是( A.[-2,3] B.[-1,3] C.[-1,4] ) D.[-3,5]

C )

3.以下关于几何体的三视图的论述中,正确的是( A.球的三视图总是三个全等的圆 B.正方体的三视图总是三个全等的正方形 C.水平放置的正四面体的三视图都是正三角形 D.水平放置的圆台的俯视图是一个圆

4. 设 函 数 y = f(x) 在 ( - ∞ , + ∞) 内 有 定 义 . 对 于 给 定 的 正 数 k , 定 义 函 数 fk(x) =
? ?f?x?,f?x?≤k, 1 - ? 取函数 f(x)=2 |x|.当 k= 时,函数 fk(x)的单调递增区间为( 2 ?k,f?x?>k, ?

)

A.(-∞,0)

B.(0,+∞)

C.(-∞,-1)

D.(1,+∞)

5.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 45°,腰和上底均为 1 的等腰梯 形,那么原平面图形的面积是( A.2+ 2 1+ 2 B. 2 ) 2+ 2 C. 2 D.1+ 2

6.如图,正方体 ABCD-A′B′C′D′的棱长为 4,动点 E,F 在棱 AB 上,且 EF=2,动 点 Q 在棱 D′C′上,则三棱锥 A′-EFQ 的体积( A.与点 E,F 位置有关 B.与点 Q 位置有关 C.与点 E,F,Q 位置都有关 D.与点 E,F,Q 位置均无关,是定值 7.若一直线上有相异三个点 A,B,C 到平面 α 的距离相等,那么直线 l 与平面 α 的位置关系 是( ) A.l∥α B.l⊥α C.l 与 α 相交且不垂直 D.l∥α 或 l?α )

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?a-2?x,x≥2, ? ? f?x1?-f?x2? 8. 已知函数 f(x)=??1?x 满足对任意的实数 x1≠x2,都有 <0 成立, x1-x2 - 1 , x <2 ? ??2? 则实数 a 的取值范围为( A.(-∞,2) ) C.(-∞,2] 13 ? D.? ? 8 ,2?

13? B.? ?-∞, 8 ?

1? 9. 已知 y=f(x)是偶函数,当 x>0 时,f(x)=(x-1)2,若当 x∈? ?-2,-2?时,n≤f(x)≤m 恒 成立,则 m-n 的最小值为( 1 A. 3 1 B. 2 3 C. 4 ) D.1

10. 已知点 A(1,3),B(-2,-1).若直线 l:y=k(x-2)+1 与线段 AB 相交,则 k 的取值范 围是( ) B.(-∞,-2] 1? D.? ?-2,2? 的值域为 R,则 m 的取值范围是( )

1 ? A.? ?2,+∞? 1 ? C.(-∞,-2]∪? ?2,+∞? 11.已知函数

A. 12. A.-1 B.0

B.

C. 的三个根分别是 C. D.

D. 则 的值为()

第Ⅱ卷
二.填空题:(满分 20 分)
x x

(90 分)

13. 若方程 4 ? ( m ? 3) ? 2 ? m ? 0 有两个不相同的实根,则 m 的取值范围是 14. 已知在三棱锥 A ? BCD 中, CA = BD = 2 2 , CD = 2 3 , AD = AB = BC = 2 , 则该棱锥的外接球半径 15. 已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为 3 2,则这个四棱锥的外接球的表面积为

16. 在直角坐标系中,A(4,0),B(0,4),从点 P(2,0)射出的光线经直线 AB 反射后,再射到 直线 OB 上,最后经直线 OB 反射后又回到 P 点,则光线所经过的路程是 三.解答题: (70 分) 17. 已知定义在 R 上的单调函数 f(x)满足:存在实数 x0,使得对于任意实数 x1,x2,总有

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f(x0x1+x0x2)=f(x0)+f(x1)+f(x2)恒成立. 求:(1)f(1)+f(0); (2)x0 的值.

18. 如图,把边长为 2 的正六边形 ABCDEF 沿对角线 BE 折起,使 AC= 6. (1)求证:平面 ABEF⊥平面 BCDE; (2)求五面体 ABCDEF 的体积.

19. 如图,矩形 AMND 所在的平面与直角梯形 MBCN 所在的 MN⊥MB. (1)求证:平面 AMB∥平面 DNC; (2)若 MC⊥CB,求证:BC⊥AC.

平面互相垂直,MB∥NC,

-x +2x,x>0, ? ? 20. 已知函数 f(x)=?0,x=0, ? ?x2+mx,x<0 (1)求实数 m 的值;

2

是奇函数.

(2)若函数 f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数 a 的取值范围. 21.已知直线 l 过点 M(2,1),且分别与 x 轴,y 轴的正半轴交于 A,B 两点,O 为原点. (1)当△AOB 面积最小时,求直线 l 的方程; (2)当|MA|· |MB|取得最小值时,求直线 l 的方程. 22.函数 f ( x) 定义在区间 (0, ??) 上,且对任意的 x ? R? , y ? R, 都有 f ( x ) ? yf ( x)
y

⑴求 f (1) 的值。⑵若 a ? b ? c ? 1, 且 b 2 ? ac ,求证: f (a ) f (c) ? ? f (b) ? ,
2

(可以利用

m?n ? mn (m ? 0, n ? 0, m ? n)) , 2

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⑶若

,求证: f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数。

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1. D 2. C 3. A 4.C 5.A 6.D 7.D

届)数学参考答案
8.B 9. D 10.D 11.C 12.B

13. 0< m <1 14. 3 15. 36π 16. 2 10 17.解:(1)因为对于任意实数 x1,x2,总有 f(x0x1+x0x2)=f(x0)+f(x1)+f(x2)恒成立,令 x1=1, x2=0,得 f(x0)=f(x0)+f(0)+f(1),所以 f(0)+f(1)=0. (2)令 x1=0,x2=0,得 f(0)=f(x0)+2f(0),即 f(x0)=-f(0).故 f(x0)=f(1).又因为 f(x) 是单调函数,所以 x0=1. 18. 解:设原正六边形中,AC∩BE=O,DF∩BE=O′,由正六边形的几何性质可知 OA =OC= 3,AC⊥BE,DF⊥BE. (1)证明:在五面体 ABCDE 中,OA2+OC2=6=AC2, ∴OA⊥OC, 又 OA⊥OB,∴OA⊥平面 BCDE. ∵OA?平面 ABEF, ∴平面 ABEF⊥平面 BCDE. (2)由 BE⊥OA,BE⊥OC 知 BE⊥平面 AOC,同理 BE⊥平面 FO′D,∴面 AOC∥平面 FO′D,故 AOC-FO′D 是侧棱长(高)为 2 的直三棱柱,且三棱锥 B-AOC 和 E-FO′D 为大小相同的三棱锥, ∴VABCDEF=2VB-AOC+VAOC-FO′D 1 1 1 =2× × ×( 3)2×1+ ×( 3)2×2=4. 3 2 2 19. 证明: (1)因为 MB∥NC, MB?平面 DNC, NC?平面 DNC, 所以 MB∥平面 DNC. 又因为四边形 AMND 为矩形,所以 MA∥DN. 又 MA?平面 DNC,DN?平面 DNC. 所以 MA∥平面 DNC. 又 MA∩MB=M,且 MA,MB?平面 AMB, 所以平面 AMB∥平面 DNC.

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(2)因为四边形 AMND 是矩形, 所以 AM⊥MN. 因为平面 AMND⊥平面 MBCN,且平面 AMND∩平面 MBCN=MN, 所以 AM⊥平面 MBCN. 因为 BC?平面 MBCN, 所以 AM⊥BC. 因为 MC⊥BC,MC∩AM=M, 所以 BC⊥平面 AMC. 因为 AC?平面 AMC, 所以 BC⊥AC. 20. 解:(1)设 x<0,则-x>0, 所以 f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x. 又 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x), 于是 x<0 时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以 m=2. (2)要使 f(x)在[-1,a-2]上单调递增,
?a-2>-1, ? 结合 f(x)的图像知? ?a-2≤1, ?

所以 1<a≤3,故实数 a 的取值范围是(1,3].

21. 解:(1)设直线 l 的方程为 y-1=k(x-2)(k<0), 1 ? A? ?2-k,0?,B(0,1-2k), 1? 1 △AOB 的面积 S= (1-2k)? ?2-k? 2 1?? 1 1 = ? 4+?-4k?+? ?-k??≥2(4+4)=4. 2? 1 1 当且仅当-4k=- ,即 k=- 时,等号成立. k 2 1 故直线 l 的方程为 y-1=- (x-2),即 x+2y-4=0. 2 (2)∵|MA|= ∴|MA|· |MB|= 1 +1,|MB|= 4+4k2, k2 1 +1· 4+4k2=2 k2 1 k2+ 2+2≥2×2=4, k

1 当且仅当 k2= 2,即 k=-1 时取等号, k 故直线方程为 x+y-3=0.

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0

22. 解:⑴令 x ? 1, y ? 0 ,则有 f (1 ) ? 0 ? f (1) ? 0 ⑵

a ? b ? c ? 1 ,设 p ? 0, q ? 0, p ? q, 使得 a ? b p , c ? b q , b 2 ? ac ? b p ? q
p?q 2 ) ?1 2


? p ? q ? 2,? pq ? (

? f (a) f (c) ? f (b p ) f (b q ) ? pqf 2 (b) ? f 2 (b)
⑶ 设 0 ? x1 ? x2 , 则 存 在 s, t , 使 x1 ? ( ) s , x2 ? ( )t , 且 s ? t 则

1 1 2 2 1 1 1 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (( ) s ) ? f (( )t ) ? ( s ? t ) f ( ) ? ( s ? t ) f (2 ?1 ) ? 0 2 2 2

? f ( x1 ) ? f ( x2 ),? f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数。


f ( x) ? log a x

f ( x y ) ? yf ( x) )


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