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2013-11-22数列典型试题一题目及答案


2013-11-22 数列典型试题(裂项相消)题目及答案
50. f ( x) 对任意 x ? R 都有

1 f ( x) ? f (1 ? x) ? . 2 1 1 n ?1 (Ⅰ)求 f ( ) 和 f ( ) ? f ( ) (n ? N ) 的值. 2 n n 1 2 n ?1 (Ⅱ)数列 ?a n ?满足: a n = f (0) + f

( ) ? f ( ) ? ?? ? f ( ) ? f (1) ,数列 ?a n ? n n n
是等差数列吗?请给予证明; (Ⅲ)令 bn ? 的大小.

4 4a n ? 1

2 2 2 , Tn ? b12 ? b2 ? b3 ? ?? ? bn , S n ? 32 ?

16 . 试比较 Tn 与 S n n

50.解: (Ⅰ)因为

1 1 1 1 1 1 1 f ( ) ? f (1 ? ) ? f ( ) ? f ( ) ? .所以 f ( ) ? . 2 2 2 2 2 2 4 1 1 1 1 1 n ?1 1 令 x ? ,得 f ( ) ? f (1 ? ) ? ,即 f ( ) ? f ( )? . n n n 2 n n 2 1 n ?1 (Ⅱ) a n ? f (0) ? f ( ) ? ? ? f ( ) ? f (1) n n n ?1 1 又 a n ? f (1) ? f ( ) ? ? ? f ( ) ? f (0) n n
两式相加

1 n ?1 n ?1 . 2a n ? [ f (0) ? f (1)] ? [ f ( ) ? f ( )] ? ? ? [ f (1) ? f (0)] ? n n 2 n ?1 所以 a n ? ,n? N , 4 n ?1?1 n ?1 1 又 a n ?1 ? a n ? ? ? .故数列 {a n } 是等差数列.分 4 4 4 4 4 ? (Ⅲ) bn ? 4a n ? 1 n 1 1 1 2 2 Tn ? b12 ? b2 ? ? ? bn ? 16(1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ) 2 3 n 1 1 1 ? 16[1 ? ? ??? ] 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1) 1 1 1 1 1 ? 16[1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 2 3 n ?1 n 1 16 ? 16(2 ? ) ? 32 ? ? Sn n n
所以 Tn ? S n
32.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a1

?

1 , an ? 2S n S n?1 ? 0(n ? 2) 2

(Ⅰ)判断 {

1 } 是否为等差数列?并证明你的结论; Sn

(Ⅱ)求 Sn 和 an
2

2 2 (Ⅲ)求证: S12 ? S 2 ? .... ? S n ?
0 0

1 1 ? . 2 4n

1 32.解证: (Ⅰ) S1 ? a1 ? 2

?
7 0 2

1 ?2 S1

当 n≥2 时, a n ? S n ? S n ?1即S n ? S n ?1 ? ?2S n S n ?1
0 9

1 1 ? ? ?2 S n S n ?1
(Ⅱ)由(Ⅰ)得

1 故 { } 是以 2 为首项,以 2 为公差的等差数列. Sn

1 1 ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n, S n ? Sn 2n

当 n≥2 时, a n ? ?2S n S n ?1 ? ?

1 2n(n ? 1)

?1 (n ? 1) ? 1 ?2 当 n=1 时, a1 ? ? a n ? ? 1 2 ?? (n ? 2) ? ? 2n(n ? 1)
(Ⅲ) S1 ? S 2 ? ... ? S n ?
2 2 2

1 1 1 1 ? ? ? ... ? 2 2 4 4? 2 4?3 4 ? n2

?

1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? 2 ? 2 ? ... ? 2 ) ? (1 ? ? ? ... ? ) 4 4 1? 2 2 ? 3 ( n ? 1) n 2 3 n

1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? 1 ? ? ? ? ... ? ? )? ? . 4 2 2 3 n ?1 n 2 4n 1 2 18.设正数数列{ a n }的前 n 项和 S n 满足 S n ? (a n ? 1) . 4 ?
(I)求数列{ a n }的通项公式; (II)设 bn ?
18.解: (Ⅰ)当 n

1 ,求数列{ bn }的前 n 项和 Tn . a n ? a n?1

? 1时, a1 ? S1 ?

1 (a1 ? 1) 2 ,∴ a1 ? 1 . 4


∵ Sn ? ∴ S n ?1

1 (a n ? 1) 2 , 4 1 ? (a n?1 ? 1) 2 4

(n ? 2) .



①-②,得 a n ? S n ? S n ?1 ?

1 1 (a n ? 1) 2 ? (a n?1 ? 1) 2 , 4 4

整理得, (a n ? a n ?1 )( a n ? a n ?1 ? 2) ? 0 , ∵ an ? 0 ∴ a n ? a n ?1 ? 0 .

∴ a n ? a n ?1 ? 2 ? 0 ,即 an ? an ?1 ? 2(n ? 2) . 故数列 {a n } 是首项为 1 ,公差为 2 的等差数列. ∴ a n ? 2n ? 1 . (Ⅱ)∵ bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), a n ? a n ?1 (2n ? 1)( 2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1



Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn

1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 2 3 2 3 5 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 n . ? (1 ? )? 2 2n ? 1 2n ? 1 ?
2 26.等差数列 {an } 是递增数列,前 n 项和为 S n ,且 a1,a3,a9 成等比数列, S 5 ? a5 .

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若数列 {bn } 满足 bn ?
n2 ? n ?1 ,求数列 {bn } 的前 n 项的和. a n ? a n?1

26.(1)解:设数列 {an } 公差为 d(d>0)
2 ? a1a9 ,即 (a1 ? 2d ) ? a1 (a1 ? 8d ) ∵a1,a3,a9 成等比数列,∴ a3 2

整理得: d 2 ? a1d ∵ d ? 0 ,∴ a1 ? d
2 ∵ S 5 ? a5



5? 4 ② ? d ? (a1 ? 4d ) 2 2 3 3 由①②得: a1 ? , d ? 5 5 3 3 3 ∴ a n ? ? (n ? 1) ? ? n 5 5 5 n2 ? n ? 1 25 n 2 ? n ? 1 25 1 1 (2) bn ? ? ? ? (1 ? ? ) 3 3 9 n(n ? 1) 9 n n ?1 n ? (n ? 1) 5 5 25 1 1 1 1 1 ∴ b1 ? b2 ? b3 ? ?? ? bn ? [n ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ?? ? ( ? )] 9 2 2 3 n n ?1 25 1 25 n 2 ? 2n ? (n ? 1 ? )? ? 9 n ?1 9 n ?1

∴ 5a1 ?

34.已知点列 Pn (a n , bn ) 在直线 l:y = 2x + 1 上,P1 为直线 l 与 y 轴的交点,等差数列{an}

的公差为 1(n ? N )
*

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特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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(Ⅰ)求{an}、{bn}的通项公式; (Ⅱ) C ? n
1 (n ? 2) ,求和:C2 + C3 + … +Cn; n | P1 Pn |

(Ⅲ)若 d n ? 2d n?1 ? a n?1 (n ? 2) ,且 d1 = 1,求证数列 {d n ? n ? 2} 为等比数列:求{dn} 的通项公式
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34.解: (Ⅰ)? Pn (a n , bn ) 在直线 l : y ? 2 x ? 1上,? bn ? 2a n ? 1

∵P1 为直线 l 与 y 轴的交点,∴P1(0,1) ? a1 ? 0 , 又数列 {a n } 的公差为 1 ? a n ? n ? 1(n ? N )
*

? bn ? 2n ? 1(n ? N * )
(Ⅱ)? P 1 (0,1), p n ( a n , bn )
2 ?| P1 Pn |? a n ? (bn ? 1) 2 ? (n ? 1) 2 ? (2n ? 2) 2 ? 5 (n ? 1)

?Cn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) (n ? 2) n? | P1 Pn | n ? 1 n 5n(n ? 1) 5

?C 2 ? C3 ? ? ? C n ?

1

1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? )? (1 ? ) 2 2 3 n ?1 n n 5 5

(Ⅲ)? d n ? 2d n ?1 ? n

? d n ? n ? 2 ? 2(d n?1 ? n ? 1 ? 2)

?{d n ? n ? 2} 是以 2 为公比,4 为首项的等比数列,
? d n ? n ? 2 ? 2 n ?1 ,? d n ? 2 n ?1 ? n ? 2.
31.已知二次函数 y ? f ( x) 的图像经过坐标原点, 其导函数为 f ( x) ? 6 x ? 2 , 数列 {an } 的
'

前 n 项和为 S n ,点 (n, S n )(n ? N ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上。 (Ⅰ) 、求数列 {an } 的通项公式;

?

(Ⅱ) 、设 bn ?

3 m ? , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N 都 a n a n ?1 20

成立的最小正整数 m;
31.解: (Ⅰ)设这二次函数 f(x)=ax +bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于 f`(x)=6x-2,得
2

a=3 , b=-2, 所以 f(x)=3x2-2x.

又因为点 (n, S n )(n ? N ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上,所以 S n =3n2-2n. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)- ( 3 n ? 1) ? 2(n ? 1) =6n-5.
2

?

?

?

当 n=1 时,a1=S1=3×12-2=6×1-5,所以,an=6n-5 ( n ? N )

?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得知 bn ?

3 3 1 1 1 = = ( ? ), a n a n ?1 (6n ? 5)?6(n ? 1) ? 5? 2 6n ? 5 6n ? 1

故 Tn=

?b = 2
i ?1 i

n

1 1 1 1 1 ? 1 1 ? 1 ?(1 ? 7 ) ? ( 7 ? 13 ) ? ... ? ( 6n ? 5 ? 6n ? 1)? = 2 (1- 6n ? 1 ). ? ?

因此, 要使 (1-

1 2

1 m 1 m ? ) < ( n? N ) 成立的 m,必须且仅须满足 ≤ , 即 m≥10, 6n ? 1 20 2 20

所以满足要求的最小正整数 m 为 10.

1 36.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn( Sn ? 0 ) ,且 an ? 2Sn Sn ?1 ? 0 (n ≥ 2, n ? N* ), a1 ? . 2

(1)求证: ? (2)求 an;

?1? ? 是等差数列; ? Sn ?

2 2 (3)若 bn ? 2(1 ? n) an ( n ≥ 2) ,求证: b2 ? b32 ? ? ? bn ? 1.

36. (1) ∵ an ? 2Sn Sn?1 ? 0 , ∴ Sn Sn ?1 ? ?

an 1 1 , 又∵ Sn ? Sn ?1 ? an , ∴ ? ? 2 (n ≥ 2, n ? N* ) Sn Sn ?1 2

∴数列 ?

?1? 1 ? 2n. ? 是等差数列,且 Sn ? Sn ?

(2)当 n ≥ 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ?

1 1 1 ? ?? . 2n 2(n ? 1) 2n(n ? 1)
(n ? 1), (n ≥ 2).

?1 ? 1 ?2 当 n=1 时, a1 ? 不成立. ∴ an ? ? 2 1 ?? ? 2 n ( n ? 1) ?

(3) bn ? 2(1 ? n)an ?
1 2 1 1 2 3

1 1 1 1 1 2 ,∴ bn ? 2 ? ? ? (n ≥ 2) . n(n ? 1) n ? 1 n n n

∴左边 ? 1 ? ? ? ? ? ?

1 1 1 ? ? 1 ? ? 1 显然成立. n ?1 n n

13.正数数列 ? an ? 的前 n 项和 S n ,满足 2 S n ? an ? 1 ,试求: (I)数列 ? an ? 的通项公式;

(II)设 bn ?

1 1 ,数列的前 n 项的和为 Bn ,求证: Bn ? 。 an an ?1 2
4S n ? ? an ? 1 ? ?n ? 2 ? ? 4Sn?1 ? ? an?1 ? 1? ? n ? 2 ?
2 2

13. (I)由已知,得

作差,得 ? an ? an ?1 ?? an ? an ?1 ? 2 ? ? 0 。 又因为 ? an ? 正数数列,所以 an ? an ?1 ? 2 ,由 2 S1 ? a1 ? 1 ,得 a1 ? 1 ? an ? 2n ? 1 (II) bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), an a n ?1 ? 2n ? 1?? 2n ? 1? 2 2n ? 1 2n ? 1

所以 Bn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ? ? ? …… ? ? )= ? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2 ? 2n ? 1? 2

1 .数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,且满足 a1 ? 1 , 2Sn ? (n ? 1)an .

(1)求{ a n }的通项公式; (2)求和 Tn =

1 1 1 ? ?? ? . 2a1 3a2 (n ? 1)an

1 .解: (1) ∵ ?

?2 S n ? (n ? 1)an n ,两式相减,得 an ? an ?1 (n ? 2) , n ?1 ?2 S n ?1 ? nan ?1



an a a a n n ?1 2 ? n ? n ?1 ?? ? 2 ? ? ?? ? ? n , a1 an ?1 an ?2 a1 n ? 1 n ? 2 1

∴ an ? n . (2) Tn ? =1 ?

1 1 1 ? ?? ? 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1)

1 1 1 1 1 ? ? ??? ? 2 2 3 n n ?1 1 n =1 ? = . n ?1 n ?1
5 .设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 Sn ? c ? 1 ? can ,其中 c 是不等于 ?1 和 0 的实常数.

(1)求证:

?an ? 为等比数列;

1 (2)设数列 ?an ? 的公比 q ? f ? c ? ,数列 ?bn ? 满足 b1 ? , bn ? f ? bn ?1 ?? n ? N , n ? 2 ? ,试 3

写出 ?

?1? ? 的通项公式,并求 b1b2 ? b2b3 ? ? ? bn ?1b n 的结果. ? bn ?

5 . (1)

an c ? ? c ? 0 ? ,所以是等比数列 an ?1 c ? 1 bn ?1 1 1 ? bn ? bnbn ?1 ? bn ?1 ? ? ? 1 ,所以 ?bn ? 是等差数列 1 ? bn ?1 bn bn ?1

(2) bn ?

bn ?

1 n?2

(3) Sn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ??? ? ? ? ? 3 4 4 5 n ?1 n ? 2 3 n ? 2

23、 (上海市奉贤区 2010 年 4 月高三质量调研理科) (本题满分 18 分,第(1)小题 4 分,第(2)
小题 6 分,第(3)小题 8 分)

已知数列 {an } 满足: a1 ? 6 , a n?1 ? (1)若 d n ?

n?2 an ? (n ? 1)( n ? 2) 。 n

an ,求数列 {d n } 的通项公式; n(n ? 1)
3

(2) 若 an ? kC (3)若 bn ? 23.解: (1) a n?1 ? 变为:

(其中 n?2 ,

m Cn 表示组合数) ,求数列 {an } 的前 n 项和 S n ;

1 ? 2 n?1 ,记数列 { } 的前 n 项和为 Tn ,求 lim Tn ; n ??? bn (n ? 2)
2

an

n?2 an ? (n ? 1)( n ? 2) n

an ?1 an ? ? 1 ?? d n ?1 ? d n ? 1 (2 分) (n ? 2)(n ? 1) n(n ? 1)

所以 {d n } 是等差数列, d1 ?

a1 ? 3 ,所以 dn ? 3 ? (n ? 1) ? n ? 2 1? 2
(1 分)

(2 分)

(2)由( 1)得 an ? n(n ? 1)(n ? 2)

an ? kC 3n ? 2 ? k ?

k ?6

n(n ? 1)(n ? 2) , 6
3

(1 分)

即: an ? n(n ? 1)(n ? 2) = 6C n ? 2 (1 分) 所以, Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an = 6(C 3 ? C 4 ? C 5 ? ? ? C n ? 2 ) (1 分)[来源:学+科+网] = 6Cn ? 3
4

3

3

3

3

(1 分)

?
(3) bn ?

n(n ? 1) n?1 ?2 n?2

n(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) (1 分) 4

(2 分)

1 n?2 1 1 ? ? ? bn n(n ? 1) ? 2 n?1 n ? 2 n (n ? 1) ? 2 n?1
利用裂项法得: Tn ?

(2 分)

1 1 1 1 1 1 ? ? ??? = ? b1 b2 b3 bn 2 (n ? 1) ? 2 n ?1
(2 分)

(2 分)

? lim Tn ?
n ???

1 2

22. (上海市嘉定黄浦 2010 年 4 月高考模拟理科)(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 7 分,第 3 小题满分 6 分. 已 知 数 列 ?a n ? 满 足 a1 ? a , a 2 ? 2 , S n 是 数 列 的 前 n 项 和 , 且 S n ? ( n ? N *) . (1)求实数 a 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式;
[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

n(a n ? 3a1 ) 2

(3)对于数列 {bn },若存在常数 M,使 bn ? M ( n ? N * ) ,且 lim bn ? M ,则 M 叫
n??

做数列 {bn }的“上渐近值” . 设 tn ? 上渐近值.

S n ? 2 S n ?1 ? ? 2 ( n ? N *) , Tn 为数列 {t n } 的前 n 项和,求数列 {Tn } 的 S n ?1 S n ? 2

22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 7
分,第 3 小题满 分 6 分. 解 (1) Q a1 = a, a2 = 2, Sn =
\ S1 = n(an + 3a1 ) (n 2 N*) ,

a1 + 3a1 ,a1 = 2a1,即a1 = 0 . 2

????????? 2



\ a = 0.
分 (2)由(1)可知, Sn =
nan , 2Sn = nan (n 2 N*) .

?????????3

\ 2Sn- 1 = (n - 1)an- 1(n 砛2). 2( Sn - Sn- 1 ) = nan - (n - 1)an- 1 ,

2an = nan - (n - 1)an- 1 , (n - 2)an = (n - 1)an- 1 .

???? 5


\ an a = n- 1 (n 澄3, n n- 1 n- 2 N*) .

?????????? 6

分 因此, 分 又 a1 = 0 ,
\ 数列{an }的通项公式an = 2(n - 1)(n N*) .

an a a = n- 1 = L = 2 , an = 2(n - 1)(n n- 1 n- 2 1

2) .

????8

??????10

分 (3)由(2)有, Sn =
tn =

nan = n(n - 1)(n 2

N * ) .于是,

S n+ 2 S n+ 1 + - 2 S n+ 1 S n+ 2



(n + 2)(n + 1) (n + 1)n + - 2 (n + 1)n (n + 2)(n + 1)

2 2 = (n n n+ 2

N*) .

??????????????12


\ Tn = t1 + t2 + L + tn

2 2 2 2 2 2 2 2 =( - )+ ( - )+ ( - )+ L + ( ) 1 3 2 4 3 5 n n+ 2

= 3-

2 2 < 3(n n+ 1 n+ 2

N*) .

?????14 分

又 lim Tn = lim(3 n? n?

2 2 ) = 3, n+ 1 n+ 2

\ 数列{Tn }的上渐近值是 3.

??16 分

【山东省日照市 2012 届高三上学期期末理】 (21) (本小题满分 12 分)[来源:Z。xx。k.Com] 已知数列 ?a n ? 是各项均不为 0 的等差数列,公差为 d, S n 为其前 n 项和,且满足

2 an ? S 2 n ?1 , n ? N * 。数列 ?bn ? 满足 bn ?

1 , Tn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和。 an · an ?1

(I)求; a、d 和 Tn ;[来源:Z*xx*k.Com]
* (II)若对任意的 n ? N ,不等式 ?Tn ? n ? 8? ?1) 恒成立,求实数 ? 的取值范围。
n
2 【答案】 (20)解: (I)在 an ? S 2 n ?1 中,令 n ? 1, n ? 2,

2 2 ? ?a1 ? S1 , ? ?a1 ? a1 , 得? 解得 a1 ? 1, d ? 2, 即 ? 2 2 ? ( a ? d ) ? 3 a ? 3 d , ? a ? S , 1 ? 1 3 ? 2

????????3 分

? a n ? 2 n ? 1. ? bn ? ?Tn ? 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), an an ?1 (2n ? 1)( 2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 n (1 ? ? ? ? ? ? ? )? .?????? 6分 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

(II) (1)当 n 为偶数时,要使不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1) n 恒成立,即需不 等式

(n ? 8)( 2n ? 1) 8 ? 2n ? ? 17 恒成立。 n n 8 ? 2n ? ? 8 ,等号在 n=2 时取得。 n ?此时 ? 需满足 ? <25. ??????????????8 分

??

(2)当 n 为奇数时,要使不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1) n 恒成立,即需不等式

(n ? 8)( 2n ? 1) 8 ? 2n ? ? 15 恒成立. n n 8 8 ? 2n ? 是随 n 的增大而增大,? n ? 1时2n ? 取得最小值-6. n n ?此时 ? 需满足 ? <-21. ???????????????????10 分

??

综合(1) (2)可得 ? <-21

? ? 的取值范围是 ?? | ? ? ?21? .

??????????????12 分

【 山 东 省 青 州 市 2012 届 高 三 2 月 月 考 理 】 20 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 数 列 {a n }有a1 ? a, a 2 ? p (常数 p>0) ,对任意的正整数 n, S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n , 并有

n(a n ? a1 ) 2 (I)试判断数列 {a n } 是否是等差数列,若是,求其通项公式,若不是,说明理由; S n 满足S n ?
(II)令 Pn ?

S n ? 2 S n ?1 ? , Tn 是数列{Pn } 的前 n 项和,求证: Tn ? 2n ? 3 S n ?1 S n ? 2

【答案】20.解:(I) S1 ? a1 ?

na a1 ? a1 ? 0,即a ? 0 ? S n ? n , 则当n ? 1 时 2 2

nan ? (n ? 1)a n?1 2 n ?1 n ?1 n ? 2 4 3 2 ? an ? an ?1 ? ? ?? ? ? ? ? a2 ? (n ? 1) p n?2 n?2 n?3 3 2 1 又当n ? 1时, a1 ? (1 ? 1) p ? 0满足 …………………….6 分 a n ? S n ? S n ?1 ?
?{an }是一个以0为首项, p为公差的等差数列
(II)? S n ?

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) p ? 2 2 S S n?2 n 1 1 ? Pn ? n ? 2 ? n ?1 ? ? ? 2 ? 2( ? ) S n ?1 S n ? 2 n n?2 n n?2 于是数列 {Pn }有Tn ? 2n ? p1 ? p 2 ? ? ? p n ? 2n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ) 3 2 4 3 5 4 6 n ?1 n ?1 n n ? 2 1 1 1 1 1 ? 2(1 ? ? ? ) ? 3 ? 2( ? )?3 2 n ?1 n ? 2 n ?1 n ? 2 ? 2(1 ?

∴原不等式成立. ………………………….12 分[ 【山东省莱芜市 2012 届高三上学期期末检测 理】 (本小题满分 12 分) 已知数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? (1)证明:数列 ?

1 , S n ? n 2 an ? n(n ? 1), n ? 1,2,?? 2

?n ?1 ? S n ? 是等差数列,并求 S n ; ? n ?

(2)设 bn ?

Sn ,求证: b1 ? b2 ???? bn ? 5 .[来源:Zxxk.Com] 2 n ? 3n 12
3

【答案】证明: (I)由 S n ? n an ? n( n ? 1) 知, 当

2

n?2

时 ??????????1 分



S n ? n 2 ( S n ? S n?1 ) ? n(n ? 1) ,
即 (n ? 1) S n ? n S n?1 ? n(n ? 1) , ∴ 立。 又
2 2

n ?1 n Sn ? S n?1 ? 1 n n ?1





n?2



??????????3 分

1?1 ?n ?1 ? S1 ? 1,? ? S n ? 是首项为 1,公差为 1 的等差数列。 1 ? n ?

n ?1 S n ? 1 ? (n ? 1) ?1 n
????????5 分



n2 Sn ? n ?1
????????6 分

bn ?

Sn 1 1 1 1 ? ? ( ? ) n ? 3n (n ? 1)( n ? 3) 2 n ? 1 n ? 3
3

???????? 8 分

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ? ? ? ? ?? ? ? ? ) 2 2 4 3 5 n n ? 2 n ?1 n ? 3 1 5 1 1 5 = ( ? ???? 12 分 ? )? 2 6 n ? 2 n ? 3 12
∴ b1 ? b2 ? ?? ? bn ? 1.(2009 年广东卷文)(本小题满分 14 分) 已知点(1, )是函数 f ( x) ? a (a ? 0, 且 a ? 1)的图象上一点,等比数列 {a n } 的前 n 项
x

1 3

和为 f (n) ? c ,数列 {bn } (bn ? 0) 的首项为 c ,且前 n 项和 S n 满足 S n - S n?1 = S n + S n?1 ( n ? 2 ). (1)求数列 {a n } 和 {bn } 的通项公式; (2)若数列{

1 1000 } 前 n 项和为 Tn ,问 Tn > 的最小正整数 n 是多少? bnbn?1 2009
x

.

1 ?1? 【解析】 (1) Q f ?1? ? a ? ,? f ? x ? ? ? ? 3 ?3?

1 2 f ? 2? ? c? ?? f ?1? ? c ? a1 ? f ?1? ? c ? ? c , a2 ? ? ?? , ? ? ? ? 3 9 2 a3 ? ? ? f ? 3? ? c ? ??? ? f ? 2? ? c ? ? ? ? 27 . 4 2 a2 2 1 又数列 ? an ? 成等比数列, a1 ? ? 81 ? ? ? ? c ,所以 c ? 1 ; a3 ? 2 3 3 27
2?1? a 1 又公比 q ? 2 ? ,所以 an ? ? ? ? 3?3? a1 3
Q S n ? S n ?1 ?
n ?1

?1? ? ?2 ? ? ?3?

n

n ? N*



?

S n ? S n ?1

??

S n ? S n ?1 ? S n ? S n ?1

?

? n ? 2?

又 bn ? 0 , S n ? 0 , ? S n ? S n ?1 ? 1 ; 数列

? S ? 构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列,
n
2 2

Sn ? 1 ? ? n ? 1? ?1 ? n , Sn ? n2

当 n ? 2 , bn ? S n ? S n ?1 ? n ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 ;

? bn ? 2n ? 1 ( n ? N * );
(2) Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?K ? ? ? ?L ? (2n ? 1) ? ? 2n ? 1? b1b2 b2b3 b3b4 bnbn ?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7

1? 1? 1 1 ? 1 ?1 ?1 1 ? 1 ? 1 ?1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? K ? ? ? ? 2? 3? 2 n? 2 n 1? ? 2 1 ? 3 ?5 ? 2 5 ? 7 ? 2

1? 1 ? n ; ? ?1 ? ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1
由 Tn ?

n 1000 1000 1000 得n ? ,满足 Tn ? 的最小正整数为 112. ? 2n ? 1 2009 9 2009

1. (2013 年高考大纲卷(文) )等差数列 ? an ? 中, a7 ? 4, a19 ? 2a9 ,

(I)求 ? an ? 的通项公式; (II)设 bn ?

1 , 求数列?bn ?的前n项和Sn . nan

【答案】(Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d,则 an ? a1 ? (n ? 1)d

因为 ?

a1 ? 6d ? 4 ? a7 ? 4 ? 1 ,所以 ? . 解得, a1 ? 1, d ? . 2 ?a1 ? 18d ? 2(a1 ? 8d ) ?a19 ? 2a9

所以 {an } 的通项公式为 an ? (Ⅱ)

n ?1 . 2
, 所 以

bn ?

1 2 2 2 ? ? ? nan n(n ? 1) n n ? 1

Sn ? (

2 1

2 ? ) ? 2

2 ?( n ? 2

n 2 .? ) ? n 3

? n

(

2

? 1

2

)

?

1

2. ( 2013 年 高 考 广 东 卷 ( 文 ) ) 设 各 项 均 为 正 数 的 数 列 ?an ? 的 前
2 4Sn ? an n? N? , 且 a2 , a5 , a14 构成等比数列. ?1 ? 4n ? 1,

n 项 和 为 Sn , 满 足

(1) 证明: a2 ?

4a1 ? 5 ;

(2) 求数列 ?an ? 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 1 ? ?? ? ? . a1a2 a2 a3 an an ?1 2
2 2

【答案】(1)当 n ? 1 时, 4a1 ? a2 ? 5, a2 ? 4a1 ? 5 ,? an ? 0 ? a2 ?

4a1 ? 5

2 2 (2)当 n ? 2 时, 4 S n ?1 ? an ? 4 ? n ? 1? ? 1, 4an ? 4Sn ? 4Sn ?1 ? an ?1 ? an ? 4

2

2 2 an ?1 ? an ? 4an ? 4 ? ? an ? 2 ? ,? an ? 0 ? an ?1 ? an ? 2 2

?当 n ? 2 时, ?an ? 是公差 d ? 2 的等差数列.
2 ? a2 ? a14 , ? a2 ? 8 ? ? a2 ? ? a2 ? 24 ? ,解得 a2 ? 3 , ? a2 , a5 , a14 构成等比数列,? a5
2

由(1)可知, 4a1 ? a2 ? 5=4,? a1 ? 1
2

? a2 ? a1 ? 3 ? 1 ? 2 ?

?an ? 是首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 的等差数列.

?数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1.
(3)

1 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ? ? ? ??? a1a2 a2 a3 an an ?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 ? 2n ? 1?? 2n ? 1?

? ?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ?? ? ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?? 3 ? ? 3 5 ? ? 5 7 ? ? 2 n ? 1 2 n ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? ?1 ? ? . 2 ? 2n ? 1 ? ? 2
2

3. (2013 年高考江西卷(文) )正项数列{an}满足 an ? (2n ? 1)an ? 2n ? 0 .

(1)求数列{an}的通项公式 an; (2)令 bn ?

1 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. ( n ? 1) an
2

(1)由a n ? (2n ? 1)a n ? 2n ? 0得(a n -2n)(an +1)=0 【答案】解:
由于{an}是正项数列,则 a n ? 2n . (2)由(1)知 a n ? 2n ,故 bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) (n ? 1)an (n ? 1)(2n) 2 n (n ? 1)

1 1 1 1 1 1 1 1 n ?Tn ? (1 ? ? ? ? ... ? ? ) ? (1 ? )? 2 2 2 3 n n ?1 2 n ? 1 2n ? 2
4. (2013年高考课标Ⅰ卷(文) )已知等差数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足 S3

? 0 , S5 ? ?5 .

(Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {

1 } 的前 n 项和. a2 n ?1a2 n ?1

【答案】(1)设{a n }的公差为 d,则 S n = na1 ?

n(n ? 1) d. 2

?3a1 ? 3d ? 0, 解得a1 ? 1, d ? ?1. ? 由已知可得 ?5a1 ? 10d ? ?5,
故 ?an ?的通项公式为an =2-n.
(2)由(I)知

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), a2 n ?1a2 n ?1 (3 ? 2n)(1 ? 2n) 2 2n ? 3 2n ? 1

从而数列 ?

?

? 1 1 1 1 1 1 1 1 n . ? )? ?的前n项和为 ( - + - +? + 2 -1 1 1 3 2n ? 3 2n ? 1 1 ? 2 n ? a2 n ?1a2 n ?1 ?
年 高 考 江 西 卷 ( 理 )) 正 项 数 列 {an} 的 前 项 和 {an} 满

5 . ( 2013

2 足: sn ? (n 2 ? n ? 1) sn ? (n 2 ? n) ? 0

(1)求数列{an}的通项公式 an; (2)令 bn ?

n ?1 5 ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn .证明:对于任意的 n ? N * ,都有 Tn ? 2 2 64 (n ? 2) a
2 2 2

【答案】(1)解:由 S n ? ( n ? n ? 1) S n ? (n ? n) ? 0 ,得 ? ? S n ? ( n ? n) ? ? ( S n ? 1) ? 0 .
2

由于 ?an ? 是正项数列,所以 S n ? 0, S n ? n 2 ? n . 于是 a1 ? S1 ? 2, n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? n 2 ? n ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 2n . 综上,数列 ?an ? 的通项 an ? 2n . (2)证明:由于 an ? 2n, bn ?

n ?1 . 2 (n ? 2) 2 an

则 bn ?

n ?1 1 ?1 1 ? . ? ? 2? 2 4n (n ? 2) 16 ? n (n ? 2) 2 ? ?
2

Tn ?

1 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?…? ? ? 2? ? 2 2 16 ? 3 2 4 3 5 ( n ? 1) ( n ? 1) n ( n ? 2) 2 ? ?

?

1 ? 1 1 1 ? 1 1 5 1? 2 ? ? ? (1 ? 2 ) ? . ? 2 2? 16 ? 2 (n ? 1) (n ? 2) ? 16 2 64


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