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吉林省长春市2016届高三质量监测理科数学试卷(四)含答案


长春市普通高中 2016 届高三质量监测(四) 数学理科

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目 .... 要求的,请将正确选项涂在答题卡上) 1. 已知集合 A ? {y | y ? x ? x } , B ? {?3, ?1, 2, 4} ,

则 A ? B 中元素的个数为 D. 4 5 2. 已知复数 z 满足 z ? ,则 z ? z ? 1 ? 2i A. 2 B. 5 C. 3 D. 5 C. 3 3. 设 a,b ? R ,则“ log 2 a ? log 2 b ”是“ 2
a ?b

A. 1

B. 2

? 1 ”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ? b ? a) ? ?2 ,则 | 2a ? b |? 4.已知 | a |=| b |? 2 , a(

2 4 A. B. 2 3 C. D. 8 5. 执行如图所示的程序框图,若输出 k 的值为 8 ,则判断框内可填入的条件是
开始

s ? 0, k ? 0

s ?s?

1 k

k ?k?2
是 否 输出 k 结束 A. s ≤

3 4

B. s ≤

5 6

C. s ≤

11 12

D. s ≤

25 24

6. 祖暅原理: “幂势既同,则积不容异”.“幂”是截面积, “势”是几何体的高,意思是两个同高的几何体, 如在等高处截面的面积恒相等,则体积相等.已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同” ,则该 不规则几何体的体积为

A. 4 ?

?
2

B. 8 ?

4? 3

C. 8 ? ?

D. 8 ? 2?

第 1 页 共 10 页 2016 四模理科

? ? 0, 0 ?? ? 7. 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0 ,

?
2

) 的部分图象如图所示,则 f (

2? )? 9

A.

3

B. 1

C.

2

D. 2

?x ? y ? 2 ≥ 0 8. 已知实数 x,y 满足 ? ? x ? 2 y ? 2 ≥ 0 , z ? kx+y(k ? R) 仅在 (4, 6) 处取得最大值,则 k 的取值范围是 ?4 x ? y ? 10 ≤ 0 ?
A. k ? 1 B. k ? ?1 C. k ? ?

1 2

D. k ? ?4

9. 如图,从高为 h 的气球 ( A) 上测量待建规划铁桥 ( BC ) 的长,如果测得桥头 ( B ) 的俯角是 ? ,桥头 (C ) 的 俯角是 ? ,则桥 BC 的长为

A.

h

sin(? ? ? ) sin ? sin ?

B.

h

cos(? ? ? ) sin ? sin ?

C.

h

sin(? ? ? ) cos ? cos ?

D. h

cos(? ? ? ) cos ? cos ?

10. M 为双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 右支上一点, A 、 F 分别为双曲线的左顶点和右焦点,且 a 2 b2 ?MAF 为等边三角形,则双曲线 C 的离心率为 A. C. 4 D. 6 5 ?1 B. 2

11. 棱长为 1 的正四面体 ABCD 中,E 为棱 AB 上一点 (不含 A, B 两点) , 点 E 到平面 ACD 和平面 BCD 的 距离分别为 a ,b ,则 A.

( ab ? 1)( a ? b) 的最小值为 ab
B. 2 3 C.

7 6 3 12. 已知 f ?( x ) 是定义在 R 上的函数 f ( x ) 的导数,满足 f ?( x) ? 2 f ( x) ? 0 ,且 f (?1) ? 0 ,则 f ( x) ? 0 的
2

2 6

D.

解集为
第 2 页 共 10 页 2016 四模理科

A. (?? , ?1)

B. (?1,1)

C.

(?? ,0)

D. (?1, ??)

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题—21 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第 22 题—24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡中的横线上). 13.已知圆 C 的圆心在直线 2 x ? y ? 1 ? 0 上,且经过原点和点 (?1 ,?5) ,则圆 C 的方程为 ___________.

1 x ≤ y ≤ x 的概率为_________. 2 15. 等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 S10 ? 0 , S15 ? 25 ,则使 (n ? 1) Sn 取最小值的 n 等于_

1] ,则满足 14. 任取实数 x ,y ?[0 ,

_.

16. 下列说法中正确的有:___________. ①已知直线 m, n 与平面 ? , ? ,若 m∥? , n ? ? , ? ? ? ,则 m∥ n ; ②用数学归纳法证明 (n ? 1)(n ? 2)?(n ? n) ? 2n ?1? 3?(2n ? 1)(n ? N* ) ,从 n ? k 到 n ? k ? 1 时,等 式左边需乘的代数式是 (2k ? 1)(2k ? 2) ; ③对命题“正三角形与其内切圆切于三边中点”可类比猜想:正四面体与其内切球切于各面中心; ④在判断两个变量 y 与 x 是否相关时,选择了 3 个不同的模型,它们的相关指数 R 分别为:模型1 为
2

0.98 ,模型 2 为 0.80 ,模型 3 为 0.50 .其中拟合效果最好的是模型1 ; 1) 关于 y 轴的对称点 A? 的坐标为 (?1,2,?1) . ⑤在空间直角坐标系中,点 A(1,2 ,
三、解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos(2 x ?

?
6

) ? sin 2 x .

(1)利用“五点法”列表,并画出 f ( x ) 在 [?

, ] 上的图象; 6 6 (2)a,b,c 分别是锐角 ?ABC 中角 A,B,C 的对边.若 a ? 3 , f ( A) ? ? 3 , 求 ?ABC 的周长的取值范围.
18. (本小题满分 12 分) 某便携式灯具厂的检验室, 要检查该厂生产的某一批次产品在使用时的安全性.检查人员从中随机抽取 5 件, 通过对其加以不同的电压(单位:伏特)测得相应电流(单位:安培) ,数据见下表:

? 5?

产品编号 ① ② ③ ④ ⑤ 电压(x ) 10 15 20 25 30 电流(y ) 0.6 0.8 1.4 1.2 1.5
(1)试估计如对该批次某件产品加以 110 伏电压,产生的电流是多少? (2)依据其行业标准,该类产品电阻在[18,22]内为合格品.以上述抽样中得到的频率为合格品概率,再从该 批次产品中随机抽取 5 件,记随机变量 X 表示其中合格品个数,求随机变量 X 的分布列、期望和方差.

? ? bx ? a ,其中: b ? (附:回归方程: y

? ( x y ) ? nx y
i ?1 i i

n

?x
i ?1

n

2

i

? nx

2

,a ? y ? bx

参考数据: x = 20 , y ? 1.1 ,

?x y
i i=1

5

i

= 121 ,

?x
i=1

5

2 i

? 2250 )

19. (本小题满分 12 分)

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?DAC = 30? , 在四棱锥 P ? ABCD 中,AD ? BC ,DC ? AD ,PA ? 平面 ABCD ,2 AD= BC = 2 3 ,
M 为 PB 中点.
(1)证明: AM ? 平面 PCD ; (2)若二面角 M ? PC ? D 的余弦值为 ?

6 ,求 PA 的长. 4

20. (本小题满分 12 分)

x2 y 2 l | AB | 已知椭圆 C : 2 + 2 = 1(a ? b > 0) 的左、 右焦点分别为 F1 , F2 , 过点 F 1 的直线 交椭圆于 A ,B 两点, a b
的最小值为 3,且△ ABF2 的周长为 8. (1)求椭圆的方程; (2)当直线 l 不垂直于 x 轴时,点 A 关于 x 轴的对称点为 A? ,直线 A? B 交 x 轴于点 M ,求△ ABM 面积 的取值范围. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = x+a lnx (a ? R) . (1)若曲线 y = f ( x) 在点 (1, f (1)) 处与直线 y = 3x ? 2 相切,求 a 的值; (2)函数 g ( x) ? f ( x) ? kx 有两个零点 x1 ,x2 ,试判断 g ? ?
2

? x1 ? x2 ? ? 的符号,并证明. ? 2 ?

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲. 如图, AB 是圆 O 的直径,弦 BD 、 CA 的延长线相交于点 M , MN 垂直 BA 的延长线于点 N .

(1)求证: DA 是 ?CDN 的角平分线; (2) 求证: BM ? AB ? AM ? 2 AB ? AN .
2 2 2

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23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程. 在极坐标系中,点 P 的坐标是 (1, 0) ,曲线 C 的方程为 ? ? 2 2 cos(? ? 为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,斜率为 ?1 的直线 l 经过点 P . (1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程; (2)若直线 l 和曲线 C 相交于两点 A ,B ,求 | PA |2 ? | PB |2 的值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲. 已知函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 2 | ,不等式 f ( x) ≥ t 对 ?x ? R 恒成立. (1)求 t 的取值范围; (2) 记 t 的最大值为 T ,若正实数 a ,b 满足 a ? b ? T ,求证:
2 2

?
4

) .以极点为坐标原点,极轴

2 1 1 ? a b



6 . 2

长春市普通高中 2016 届高三质量监测(四) 数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. B 2. D 3. A 4. B 5. C 6. C 7. B 8. B 9. A 10. C 11. D 12. A 简答与提示: 1. 【试题解析】B 由题意可知 A ? { y | y ? 0},所以 A ? B ? {2, 4} . 故选 B. 2. 3. 4. 【试题解析】D 【试题解析】A 【试题解析】B 故选 B. 5. 【试题解析】C 由程序框图可知,要输出 k ? 8 ,需 s ?

5 ? 1 ? 2i, z ? 1 ? 2i ,则 z ? z ? 5 . 故选 D. 1 ? 2i a ?b ? 1 ”等价于“ a ? b ” “ log2 a ? log2 b ”等价于“ a ? b ? 0 ” , “2 ,故选 A. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 ? ? ?2 由 a ? b ? 2, a ? (b ? a) ? ?2 可知 a ? b ? 2 ,则 2a ? b ? 4a ? 4a ? b ? b ? 2 3 .
复数 z ?

1 1 1 11 ? ? ? 时条件成立,当 2 4 6 12

s?
6. 7.

1 1 1 1 25 11 ? ? ? ? 时条件不成立,从而 s ? . 故选 C. 12 2 4 6 8 24

【试题解析】C 由祖暅原理可知,该不规则几何体的体积与已知三视图几何体体积相等,图示几何体 是一个正方体去掉一个半圆柱,从而其体积为 8 ? ? . 故选 C. 【试题解析】B 由题意可知 ? ? 3, ? ?

?

2? ?? ? , A ? 2 ,进而 f ? x ? ? 2sin ? 3x ? ? ,从而 f ( ) ? 1 . 故 6 9 6? ?

8.

选 B. 【试题解析】B 可行域如图所示,目标函数可化为 y ? ?kx ? z ,若目标函数仅在 (4, 6) 处取最大值, 则 ? k ? 1 ,即 k ? ?1 . 故选 B.

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7

6

B (4,6)

5

4

3

2

1

A
8 6 4 2 1 2 4 6 8 10 12 14

2

C
3

9.

【试题解析】A

设气球在地面上的射影点为 D ,在 ?ABD 中, AB ?

4

BC ?

AB sin(? ? ? ) . 故选 A. sin(? ? ? ) ? h ? sin ? sin ? sin ?

h ,在 ?ABC 中, sin ?

10. 【试题解析】C 由题意可知,设双曲线左焦点为 F ? ,由 ?MAF 为等边三角形,所以 | MF |?| AF |? a ? c ,从而 | MF ? |? 3a ? c ,在 ?MFF ? 中,由余弦定理得,

(3a ? c)2 ? (a ? c)2 ? 4c2 ? 2c ? (a ? c) ,解得 e ? 4 或 e ? ?1 (舍).故选 C.
11. 【试题解析】D 连结 CE, DE ,由正四面体棱长为 1,有 OA ? 有

6 ,由于 VA?BCD ? VE ?BCD ? VE ? ACD , 3

1 4 6 ? ? 6 ,所以 ? a ? b ,由 a ? b ? 2 ab 可得 ab (a ? b) 2 3

( ab ? 1)( a ? b) ab

?

6 3

(1 ?

1 ab

)?

7 6 3

. 故选 D.

12. 【试题解析】A 由 f ?( x) ? 2 f ( x) ? 0 可知 e2 x f ?( x) ? (e2 x )? f ( x) ? 0 ,即 g ( x) ? e2 x f ( x) 在 R 上单调 递增,由 f (?1) ? 0 得 g (?1) ? 0 ,则当 f ( x) ? 0 时, x ? ?? ?, ? 1? . 故选 A. 二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 13 14.

5 12

15. 6 或 7

16. ③④⑤

简答与提示: 13. 【试题解析】由题意可知,该圆心原点和点 (?1, ?5) 的中垂线 2 x ? 10 y ? 26 ? 0 上,又在直线

2 x ? y ? 1 ? 0 上,因此圆心为 (2, ?3) ,半径为 13 ,因此圆的方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 13 . 1 14. 【试题解析】由题意,点 ( x, y) 所满足的区域如图所示,因此 x, y ? ?0,1? 条件下, x ? y ? x 的概率 2 3 1 1 2 x2 1 5 即为图中阴影面积与正方形面积的比值, 其中阴影面积为 ? ( x ? x)dx ? ( x 2 ? ) |0 ? , 由几何 0 2 3 4 12 5 5 概型可知概率为 12 ? . 1 12
y
1

O

1

x

15. 【试题解析】由题意可知, a3 ? a8 ? 0 ,而 a8 ? 要求 (n ? 1) Sn ?

5 2 n( n ? 10) ,故公差 d ? , a1 ? ?3 ,则 S n ? ,现 3 3 3

(n ? 1)n(n ? 10) 3

的最小值,对上式求导可知,当 n ? 6 或 n ? 7 时取最小值.

16. 【试题解析】由题意可知,①中 m 的位置不确定,因此①错误;②用数学归纳法证明
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(n ? 1)(n ? 2)?(n ? n) ? 2 ? 1 ? 3?(2n ? 1)(n ? N ) ,从 n ? k 到 n ? k ? 1 时,等式左边需乘的代数 式应为 2(2k ? 1) ,因此②错误;③满足合情推理,因此③正确;④根据相关指数的定义可知,相关指 数越接近于 1,模型的拟合效果越好,因此④正确;⑤根据空间直角坐标系的性质可知,关于 y 轴对称 的点对为 ( x, y, z ) 和 (? x, y, ? z ) ,因此⑤正确. 故答案为③④⑤.
n *

三、解答题(本大题必做题 5 小题,三选一选 1 小题,共 70 分) 17. (本小题满分12分) 【试题解析】(1) 将函数 f ( x) ? cos( 2 x ?

?

f ( x) ? 3 cos(2 x ? ) ,根据列表 3 ? ? 3? ? 2x ? 0 3 2 2 ? ? ? 7? x ? 6 12 3 12

?

6

) ? sin 2 x 化简成为

2?

5? 6

y

3

0

? 3

0

3

可知函数图像如图所示.

(6 分) (2) 在锐角 ?ABC 中, a ? 3, f ( A) ? ? 3 , 可知 A ?

?

3 即 b ? 2sin B , c ? 2sin C ,周长

,由正弦定理可知

a b c ? ? ?2, sin A sin B sin C 2? ? ? C ) ? 2sin C ? 3 ? 2 3 sin(C ? ) , 3 6
(12 分)

L ? 3 ? 2sin B ? 2sin C ? 3 ? 2sin(
其中 18.

?
6

?C ?

?
2

,因此 L 的取值范围是 (3 ? 3,3 3] .

(本小题满分12分) ? ? 0.044 x ? 0.22 ,故当电压加为 110 【试题解析】(1)由题意可得 b ? 0.044, a ? 0.22 ,所以回归直线 y 伏时,估计电流为 5.06 安培 (6 分) (2)经计算,产品编号为①③的不合格品,其余为合格品,合格概率为 则 X ~ B (5, ) ,有 P( X ? i ) ? C5 ( ) ( )
i i

3 5

3 5

3 5

2 5

5?i

(i ? 0,1, 2,3, 4,5)
3
3 3 3 2 2 C5 ( ) ( ) 5 5

X 的分布列为: 0 X P
2 ( )5 5

1
1 3 2 4 C5 ( )( ) 5 5

2

4

5

3 2 C52 ( ) 2 ( )3 5 5

3 2 C54 ( ) 4 ( )1 5 5

3 ( )5 5

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由于 X ~ B (5, ) ,则 EX ? 5 ?

3 5

3 3 3 6 ? 3 ; DX ? 5 ? ? (1 ? ) ? . 5 5 5 5

(12 分)

19. (本小题满分 12 分) 【试题解析】解:取 PC 的中点为 N ,连结 MN , DN (1) ? M 是 PB 的中点,
P

1 BC 2 ? AD / / BC ,且 BC ? 2 AD , ? NM / / AD且NM ? AD , ? 四边形 AMND 为平行四边形,? AM / / ND , 又 ? AM ? 平面 PCD , ND ? 平面 PCD 所以 AM / / 平面 PCD ? MN / / BC , MN ?
(2)以 A 为坐标原点, AN 为 x 轴, AD 为 y 轴,

M A B

N D

C

(6 分)
z P

AP 为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.设 PA ? t (t ? 0) , ? ?DAC ? 30?,?CD ? 1 ,由题意可求得:

M A C D y

B x N ??? ? ???? ??? ? BC ? (0,2 3,0), DC ? (1,0,0), PC ? (1, 3, ?t ) . ?? ? 设 m ? ( x, y, ?1) 为平面 PMC 的法向量, n ? ( x?, y?,1) 为平面 PCD 的法向量,则有: ?? ??? ? ?? ? ?m ? PC ? 0 ? ? x ? 3 y ? t ? 0 ? x ? ?t ,所以 m ? (?t ,0, ?1) ?? ?? ? ? ?? ??? ? y?0 ? ?m ? BC ? 0 ? ? 2 3y ? 0 ? ??? ? ? x? ? 0 ? ? ? x? ? 3 y? ? t ? 0 ? 3 ? n ? PC ? 0 ? t ,1) ?? ?? t ,所以 n ? (0, ? ? ???? ?? y 3 ? x ? 0 ? n ? DC ? 0 ? ? ? ? 3 ? ?? ? 6 m?n ?1 6 ,? ?? ? ? ? 二面角 M ? PC ? D 的余弦值为 ? ?? 2 4 4 | m || n | t t 2 ?1 ? ?1 3 4 2 化简得 t ? 4t ? 5 ? 0 ,所以 t ? 1 ,即 PA ? 1 (12 分)

20.

(本小题满分 12 分) 【试题解析】解:(1) 因为 AB 是过焦点 F1 的弦,所以当 AB ? x 轴时, | AB | 最小,且最小值为 由题意可知

2b 2 , a

2b 2 ? 3 ,再由椭圆定义知, ?ABF2 的周长为 4 a ,所以 a ? 2, b ? 3 ,所以椭圆的方程为 a

x2 y 2 ? ?1 (4 分) 4 3 (2)设 AB 方程为 y ? k ( x ? 1), A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), A?( x1 , ? y1 ) ,

? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 则 ? x2 y 2 ,化简得 (3 ? 4k ) x ? 8k x ? 4k ?12 ? 0 ?1 ? ? ?4 3 ?8k 2 4k 2 ? 12 x x ? 所以 x1 ? x2 ? ①, ② 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 y ? y1 y ?y ,? A?B 方程为 y ? y1 ? 2 1 ( x ? x1 ) 则 k A?B ? 2 x2 ? x1 x2 ? x1
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化简有 y ?

k ( x1 ? x2 ) ? 2k 2kx1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ,将①②代入可得 x? x2 ? x1 x2 ? x1

1 ? 6k 24k ? 6k x? ? ? x ? 4? , ? 2 2 ? 2 x2 ? x1 ? 3 ? 4k 3 ? 4k ? (3 ? 4k )( x2 ? x1 ) 1 所以直线 A?B 恒过定点 (?4, 0) ,所以 S ?ABM ? ? 3? | y1 ? y2 | 2 x ? my ? 1 ? ? 设 AB : x ? my ? 1(m ? 0) ,则 ? x 2 y 2 ,整理得 (3m2 ? 4) y 2 ? 6my ? 9 ? 0 , ?1 ? ? 3 ?4 6m ?9 y1 ? y2 ? , y1 y2 ? ,所以 2 3m ? 4 3m 2 ? 4 2 36 144(m 2 ? 1) ? 6m ? 2 | y1 ? y2 | ? ? 2 ? ? ? 2 2 2 2 ? 3m ? 4 ? 3m ? 4 9(m ? 1) ? 6(m ? 1) ? 1 144 144 ? ? ?9 1 16 2 9(m ? 1) ? 2 ?6 m ?1 ? 9? 因为 m ? 0 ,所以 0 ?| y1 ? y2 |? 3 ,所以 S ?ABM ? ? 0, ? (12 分) ? 2? y?
21. (本小题满分 12 分) 【试题解析】解:(1) f ?( x) ? 1 ?

a ,? f ?(1)=3,? a ? 2 (4 分) x ? g ( x1 ) ? x1 ? a ln x1 ? kx12 ? 0 x (2)易知 a ? 0 , ? , 不妨设 x1 ? x2 , 1 ? t ? 1 2 x2 ? g ( x2 ) ? x2 ? a ln x2 ? kx2 ? 0
所以 x1 ? x2 ? a(ln x1 ? ln x2 ) ? k ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) 所以 1 ?

a(ln x1 ? ln x2 ) ? k ( x1 ? x2 ) x1 ? x2 a g ?( x) ? 1 ? ? 2kx, x x ?x a (ln x1 ? ln x2 ) 2a 2a g ?( 1 2 ) ? 1 ? ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ? ?1 ? 2 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2

? 2 ln x1 ? ln x2 ? a ? 2 ln t ? a 1 ? 2(t ? 1) ? ? a? ? ? ? ln t ? ?? ? ?? ? ? x1 ? x2 ? x2 ? t ? 1 t ? 1 ? x2 t ? 1 ? t ? 1 ? ? x1 ? x2 2(t ? 1) 4 1 (t ? 1)2 ? ln t (t ? 1) , h?(t ) ? 令 h(t ) ? ? ? ? ?0 t ?1 (t ? 1)2 t t (t ? 1)2 所以 h(t ) 在 (0, ??) 上单调递减,而 h(1) ? 0 ,所以当 t ? 1 时, h(t ) ? 0 , x ? x2 x ?x ) ? 0 ;当 a ? 0 时, g ?( 1 2 ) ? 0 . 所以当 a ? 0 时, g ?( 1 (12 分) 2 2
22. (本小题满分 10 分) 【试题解析】解(1)? AB 是圆 O 的直径, ? AD ? BD ,即 ?ADM ? 90? 又 MN 垂直 BA 的延长线于点 N,即 ?ANM ? 90? ∴M、N、A、D 四点共圆,∴ ?MDN ? ?NAM

? ?BAC ? ?NAM , ?BAC ? ?BDC,? ?BDC ? ?MDN
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由于 ?ADM ? ?ADB ? 90? ,所以 ?ADC ? ?ADN 所以 DA 是 ?CDN 的角分线 (2)? M、N、A、D 四点共圆,∴ AB ? NB ? BM ? BD ① ? B、C、A、D 四点共圆,∴ MD ? MB ? MA ? MC ② ① +②有

(5 分)

MD ? MB ? MB ? BD ? MA ? MC ? AB ? BN BM 2 ? MA ? ( MA ? AC) ? AB ? ( AB ? AN ) BM 2 ? MA2 ? AB2 ? MA ? AC ? AB ? AN

? B、C、M、N 四点共圆,所以 MA ? AC ? AB ? AN
所以 BM ? AB ? AM ? 2 AB ? AN
2 2 2

(10 分)

23. (本小题满分 10 分) 【试题解析】解(1)由曲线 C 的极坐标方程 ? ? 2 2 cos( ? ? 曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y

?
4

) 可得, ? 2 ? 2? cos? ? 2? sin ? ,因此

? 2 t, ?x ? 1? ? 2 点 P 的直角坐标为 (1, 0) ,直线 l 的倾斜角为 135? ,所以直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数 ) . 2 ? y? t, ? ? 2
(5 分)

? 2 t, ?x ? 1? ? 2 (2) 将 ? (t 为参数 ) 代入 x2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ,有 t 2 ? 2t ?1 ? 0 , ? y ? 2 t, ? ? 2 设 A , B 对应参数分别为 t1 , t2 ,有 t1 ? t2 ? 2, t1t2 ? ?1 ,根据直线参数方程 t 的几何意义有,
2 | PA |2 ? | PB |2 = t12 ? t2 ? (t1 ? t2 )2 ? 2t1t2 ? 4 .

(10 分) (5 分)

24. (本小题满分 10 分) 【试题解析】(1) f ( x) ?| x ? 1| ? | 2 ? x |≥| x ? 1 ? 2 ? x |? 3 ,所以 t ? 3 . (2)由(1)知 T ? 3, 所以 a2 ? b2 ? 3(a ? 0, b ? 0) 因为 a ? b ? 2ab ,所以 ab ?
2 2

3 2 6 1 1 2 ? ab ? ,又因为 ? ? ,所以 1 1 2 2 a b ab ? a b

(当且仅当 a ? b 时

取“ ? ” ).

第 10 页 共 10 页 2016 四模理科


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