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瑞祥高中数学会考复习必背知识点1


瑞祥高中高三数学会考复习必背知识点
第一章 集合与简易逻辑 1、含 n 个元素的集合的所有子集有 2 n 个
2、复合命题三种形式:p 或 q、p 且 q、非 p; 真值表:p 或 q,同假为假,否则为真;p 且 q,同真为真;非 p,真假相反。 3、四种命题: 原命题:若 p 则 q; 逆命题:若 q 则 p; 否命题:若 ? p 则 ? q; 逆否命题:若

? q 则 ? p; 互为逆否的两个命题是等价的。 原命题与它的逆否命题是等价命题。 4、充分条件与必要条件: 若 p ? q ,则 p 叫 q 的充分条件;若 p ? q ,则 p 叫 q 的必要条件; 若 p ? q ,则 p 叫 q 的充要条件;

第二章 函数
1、函数的单调性: (1)定义: 、 区间 D 上任意两个值 x1 , x 2 , x1 ? x2 时有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , f (x) 为 D 上增函数; x1 ? x2 若 称 若 (2) 、区间 D 叫函数 f (x) 的单调区间,单调区间 ? 定义域; (3) 、判断单调性的一般步骤:①、设,②、作差,③、变形,④、下结论 (4) 、复合函数 y ? f [h( x)] 的单调性:内外一致为增,内外不同为减; (同增异减) 2、指数及其运算性质: 时有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,称 f (x) 为 D 上减函数。 (一致为增,不同为减)

? a ( a ? 0) ? a ;当 n 为偶数时, n a n ?| a |? ? ? ? a ( a ? 0) m m ? 1 (2)分数指数幂:正分数指数幂: a n ? n a m ;负分数指数幂: a n ? m
(1) n a 叫根式,当 n 为奇数时, a
n n

an
1
r s r ?s r s rs r r r (3)运算性质:当 a ? 0, b ? 0, r , s ? Q 时: a ? a ? a , (a ) ? a , (ab) ? a b , r a ? a r ;

3、对数及其运算性质: (1)定义:如果 a ? N (a ? 0, a ? 1) ,数 b 叫以 a 为底 N 的对数,记作 log a N ? b ,其中 a 叫底数,N
b

叫真数,以 10 为底叫常用对数:记为 lgN,以 e=2.7182828…为底叫自然对数:记为 lnN (2)性质:①:负数和零没有对数,②、1 的对数等于 0: log a 1 ? 0 ,③、底的对数等于 1: log a a ? 1 , ④、积的对数: log a ( MN ) ? log a M ? log a N , 商的对数: log a 幂的对数: log a M
n

? n log a M ,

M ? log a M ? log a N , N 1 方根的对数: log a n M ? log a M , n
对数函数

4、指数函数和对数函数的图象性质 函数 定义 指数函数

y ? ax
a>1

( a ? 0且a ? 1 ) 0<a<1

y ? log a x ( a ? 0且a ? 1 )
a>1 0<a<1 y=logax y x O

图象 (非奇 非偶)

y

y=a

x

y=ax

y

y

1 O x

1 O x

1

x

O

1 y=logax



定 义 域 值 域

(-∞,+∞)

(-∞,+∞)

(0,+∞)

(0,+∞)

(0,+∞)

(0,+∞)

(-∞,+∞) 在(0,+∞) 上是增函数

(-∞,+∞) 在(0,+∞) 上是减函数



单 调 性 函 数 值 变 化

在(-∞,+∞) 在(-∞,+∞) 上是增函数 上是减函数

?? 1, x ? 0 ? a ?? 1, x ? 0 ?? 1, x ? 0 ?
x

?? 1, x ? 0 ? a ?? 1, x ? 0 ?? 1, x ? 0 ?
x

?? 0, x ? 1 ? log a x ?? 0, x ? 1 ?? 0,0 ? x ? 1 ?

?? 0, x ? 1 ? log a x ?? 0, x ? 1 ?? 0,0 ? x ? 1 ?

图 象

定 点 图 象 特 征

? a 0 ? 1,?过定点(0,1) ? a x ? 0,?图象在 x 轴上方

? log a 1 ? 0,? 过定点(1,0)

? x ? 0,?图象在 y 轴右边

图 y ? a x 的图象与 y ? log a x 的图象关于直线 y ? x 对称 象 关 系 5、函数零点的概念: 对于函数 y=f(x) ,我们把使方程 f(x)=0 成立的实数根 x 叫做函数 y=f(x)的零点。 . 6、方程的根、函数的零点、函数图象与 x 轴的交点之间的关系: 方程 f ( x ) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x ) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x ) 有零点。 利用它们之间关系,如果我们无法用公式求得方程 f(x)=0 的根,则可以通过观察相应函数 y=f(x)的图象和性质,找出零点的大致位置,从而求出方程的近似解。 7、 零点存在定理: 如果函数 y ? f (x) 在区间[a, b]上的图象是连续不断的一条曲线, 并且有 f (a )g f (b) ? 0 成立,那么函数 y ? f (x) 在区间(a,b)内有零点。即存在 c ? (a, b) ,使得 f (c ) ? 0 。这个 C 也就是 方程 f ( x ) ? 0 的根。

第三章

数列
?a1 ? S1 (n ? 1) ?S n ? S n?1 (n ? 2)

1、数列的前 n 项和: S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ; 数列前 n 项和与通项的关系: a n ? ? 2、等差数列 : (1) 、定义:等差数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数; (2) 、通项公式: a n ? a1 ? (n ? 1)d (其中首项是 a1 ,公差是 d ; )

n(n ? 1) n(a1 ? a n ) ? na1 ? d (整理后是关于 n 的没有常数项的二次函数) 2 2 a?b (4) 、等差中项: A 是 a 与 b 的等差中项: A ? 或 2 A ? a ? b ,三个数成等差常设:a-d,a,a+d 2 3、等比数列: (1) 、定义:等比数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数, q ? 0 ) ( 。
(3) 、前 n 项和
Sn ?

(2) 、通项公式: a n ? a1 q

n ?1

(其中:首项是 a1 ,公比是 q )

na1 ,( q ? 1) ? ? n (3) 、前 n 项和: S n ? ? a1 ? a n q a1 (1 ? q ) ? , (q ? 1) ? 1? q 1? q ?
(4) 、等比中项: G 是 a 与 b 的等比中项:
G b 2 ? ,即 G ? ab (或 G ? ? ab ,等比中项有两个) a G

第四章 三角函数 180 ? ? 1、弧度制: 、 180 ? ? 弧度,1 弧度 ? ( (1) ) ? 57 ?18 ' ;弧长公式: l ?| ? | r ( ? 是角的弧度数)

?

y x y 2、三角函数定义: sin ? ?    ? ? cos   ? ?    tan r r x 3、 特殊角的三角函数值

? 的角度

0?

30?

45?

60?

90?

120 ?

135 ?

150 ?
5? 6

180 ?

270 ? 360 ?

? 的弧度
sin ?

0
0

? 6
1 2
3 2 3 3

? 4
2 2 2 2

? 3
3 2 1 2
3
2 2

? 2
1
0


2? 3
3 2

3? 4
2 2 ? 2 2

?
0

3? 2

2?
0

1 2
? 3 2 ? 3 3

?1
0


cos?
tan?

1
0

?1 2
? 3
t a? ? n

?1
0

1
0

1

?1
s i? n c o?s

4、同角三角函数基本关系式: sin ? ? cos ? ? 1 5、两角和与差的正弦、余弦、正切 S (? ? ? ) : sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?

S (? ? ? ) : sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? C (? ? ? ) : cos(a ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? T(? ? ? ) : tan(? ? ? ) ? tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?
? b cos x ? ? 2 a ?b ?
2

C (? ? ? ) : cos(a ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? T(? ? ? ) :
tan(? ? ? ) ? tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?

6、辅助角公式: a sin x ? b cos x ?

? a 2 ? b2 ? 2a 2 sin x ? ? ? a ?b

? a 2 ? b2 (sin x ? cos? ? cos x ? sin ?) ? a 2 ? b2 ? sin(x ? ?)
7、二倍角公式: 、 S 2? : (1)

sin 2? ? 2 sin? cos?

(2) 、降次公式: (多用于研究性质)

C 2? :

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ?

sin ? cos? ?

? 1 ? 2 sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1
T2? :

t a2? ? n

2 t a?n 1 ? t a2 ? n

1 sin 2? 2 1 ? cos 2? 1 1 sin 2 ? ? ? ? cos 2? ? 2 2 2 1 ? cos 2? 1 1 cos2 ? ? ? cos 2? ? 2 2 2

8、解三角形: 、三角形的面积公式: S ? ? (1) (2)正弦定理: 、

1 1 1 ab sin C ? ac sin B ? bc sin A 2 2 2

a b c ? ? ? 2 R, 边用角表示:a ? 2 R sin A,  b ? 2 R sin B,c ? 2 R sin sin A sin B sin C

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos A
(3) 、余弦定理: b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac ? cos B

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC ? (a ? b) 2 ? 2ab(1 ? cocC)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 求角: cos A ? b ? c ? a      cos B ? a ? c ? b      cos C ? a ? b ? c 2bc 2ac 2ab 9、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图象

定义域 值域

R

R

? ?1,1?
当 x ? 2 k? ?

?
2

? k ? ? ? 时,
?
2 ? ?1 .

? ?1,1? 当 x ? 2k? ? k ? ? ? 时,
? k ? ? ? 时, ymin ? ?1 .
2? 偶函数
在 ? 2k? ? ? , 2k? ? ? k ? ? ? 上是 增函数;在 ? 2k? , 2k? ? ? ?
ymax ? 1;当 x ? 2k? ? ?

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?

R

最值

ymax ? 1;当 x ? 2k? ?

既无最大值也无最小值

? k ? ? ? 时, ymin
周期性 奇偶性

单调性

2? 奇函数 ? ?? ? 在 ? 2 k? ? , 2 k? ? ? 2 2? ? ? k ? ? ? 上是增函数;在

?
奇函数

? 3? ? ? ? 2 k? ? 2 , 2 k? ? 2 ? ? ? ? k ? ? ? 上是减函数.
对称中心 ? k? , 0 ?? k ? ? ? 对称轴 x ? k? ?

? k ? ? ? 上是减函数.
? ? ? 对称中心 ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ? 对称轴 x ? k? ? k ? ? ?
平面向量
?

? ?? ? 在 ? k? ? , k? ? ? 2 2? ? ? k ? ? ? 上是增函数.

对称性

?
2

? k ? ??

? k? ? 对称中心 ? , 0 ? ? k ? ?? ? 2 ? 无对称轴

第五章
1、坐标运算:
? ?
?

⑴设 a ? ? x1 , y1 ?, b ? ? x 2 , y 2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ? 数与向量的积:λ a ? ? ? x1 , y1 ? ? ??x1 , ?y1 ? ,数量积: a ? b ? x1 x 2 ? y1 y 2 (2) 、设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2) , ,则 AB ? ? x 2 ? x1 , y 2 ? y1 ? .(终点减起点)
? ? ? ?

| AB |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ;向量 a 的模| a |: | a | 2 ? a ? a ? x 2 ? y 2 ;
(3) 、平面向量的数量积: a ? b ? a ? b cos? , 注意: 0 ? a ? 0 , 0 ? a ? 0 , a ? (?a) ? 0
? ? ? ?

? ?

?

?

(4) 、向量 a ? ? x1 , y1 ?, b ? ? x 2 , y 2 ? 的夹角 ? ,则 cos? ?
? ? ? ?

?

?

x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1
2 2


2

x2 ? y 2
2

2、重要结论: 、两个向量平行: a// b ? a ? ? b (? ? R) , a// b ? x1 y 2 ? x2 y1 ? 0 (1) (2) 、两个非零向量垂直 a ? b ? a ? b ? 0
? ? ? ?

?

?

, a ? b ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0

?

?

第六章

不等式
a?b 2 ) 2

y

1、均值不等式定理:a>0,b>0; a ? b ? 2 ab 或 ab ? ( 2、常用的基本不等式:① a ? b ? 2ab ? a, b ? R ? ;
2 2

一正、二定、三相等

2 a ? a
a
x

a?b? a 2 ? b2 ② ab ? ? a, b ? R ? ;③ ab ? ? ? ? ? a ? 0, b ? 0 ? ; 2 ? 2 ?
2

a 2 ? b2 ? a ? b ? ?? ④ ? ? a, b ? R ? . 2 ? 2 ? 3、极值定理:设 x 、 y 都为正数,则有
2

?2 a

s2 . 4 ⑵若 xy ? p (积为定值) ,则当 x ? y 时,和 x ? y 取得最小值 2 p . 第七章 直线和圆的方程
⑴若 x ? y ? s (和为定值) ,则当 x ? y 时,积 xy 取得最大值 1、斜 率: k ? tan? , k ? (??,??) ;直线上两点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y 2 ) ,则斜率为 k ? y 2 ? y1 1 x 2 ? x1

2、直线方程: 、点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) ; 、斜截式: y ? kx ? b ; (1) (2) (3) 、一般式: Ax ? By ? C ? 0 (A、B 不同时为 0) 斜率 k ? ? 3、两直线的位置关系(1) 、平行: l1 // l 2 ? k1 ? k 2且b1 ? b2 垂直: k1 ? k 2 ? ?1 ? l1 ? l 2
A2 ? B 2
2

A C , y 轴截距为 ? B B
A1 B C ? 1 ? 1 时 , l1 // l 2 ; A2 B2 C2

A1 A2 ? B1 B2 ? 0 ? l1 ? l 2 ;

(2) 、点到直线的距离公式 d ? Ax0 ? By0 ? C (直线方程必须化为一般式) 6、圆的方程: 、圆的标准方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r ,圆心为 C (a, b) ,半径为 r (1)
2 2
2 2 2 2 (2)圆的一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 (配方: ( x ? D ) 2 ? ( y ? E ) 2 ? D ? E ? 4 F ) 2 2 4 2 2 D E 为圆心,半径为 1 D ? E ? 4F ? 0 时,表示一个以 (? ,? ) D 2 ? E 2 ? 4 F 的圆; 2 2 2

1、椭圆

第八章 圆锥曲线 x y2 标准方程: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , a b
2

半焦距: c 2 ? a 2 ? b 2 2、双曲线 标准方程:

, 离心率的范围: 0 ? e ? 1 ,准线方程: x ? ?

a2 , c

x2 y2 2 2 2 ? 2 ? 1, (a ? 0, b ? 0) ,半焦距: c ? a ? b ,离心率的范围: e ? 1 2 a b 2 b x2 y2 a 准线方程: x ? ? ,渐近线方程用 2 ? 2 ? 0 求得: y ? ? x ,等轴双曲线离心率 e ? 2 a c a b

3、抛物线:

p 是焦点到准线的距离 p ? 0 ,离心率: e ? 1 p p 2 :准线方程 x ? ? 焦点坐标 ( ,0) ; y ? ?2 px  :准线方程 x ? y 2 ? 2 px  2 2 p p x 2 ? 2 py :准线方程 y ? ? 焦点坐标 (0, ) ; x 2 ? ?2 py :准线方程 y ? 2 2
第九章
2 2 2

p p 焦点坐标 ( ? ,0) 2 2 p p 焦点坐标 (0,? ) 2 2

直线 平面 简单的几何体

2 1、长方体的对角线长 l ? a ? b ? c ;正方体的对角线长 l ?

3a
2

4 ? R 3 ,球的表面积公式: S ? 4? R 3 1 3、柱体 V ? s ? h ,锥体 V ? s ? h , 3
2、球的体积公式: V ?

4、空间中的平行问题 (1)直线与平面平行的判定及其性质 线面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。 线线平行 ? 线面平行 线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线和交线平行。线面平行 ? 线线平行 (2)平面与平面平行的判定及其性质 两个平面平行的判定定理 (1) 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面, 那么这两个平面平行 (线面平行→面面平行) , (2)如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面平行。 (线线平行→面面平行) , (3)垂直于同一条直线的两个平面平行, 两个平面平行的性质定理 (1)如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。 (面面平行→线面平行) (2)如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 (面面平行→线线平行) 5、空间中的垂直问题 (1)线线、面面、线面垂直的定义 ①两条异面直线的垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线互相垂直。 ②线面垂直:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,就说这条直线和这个平面垂直。 ③平面和平面垂直:如果两个平面相交,所成的二面角(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形)是 直二面角(平面角是直角) ,就说这两个平面垂直。 (2)垂直关系的判定和性质定理 ①线面垂直判定定理和性质定理 判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直这个平面。 性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。 ②面面垂直的判定定理和性质定理 判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。 6、空间向量的运算

?1? a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 , z1 ? z2 ? . ? ? ? 2 ? a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 , z1 ? z2 ? . ? ? 3? ? a ? ? ? x1 , ? y1 , ? z1 ? . ? ? ? 4 ? a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 . ? ? ? ? ? ? ? 5 ? 若 a 、 b 为非零向量,则 a ? b ? a ? b ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 ? 0 . ? ? ? ? ? ? ? ? 6 ? 若 b ? 0 ,则 a // b ? a ? ?b ? x1 ? ? x2 , y1 ? ? y2 , z1 ? ? z2 . ? 7 ? a ?

?

?

设 a ? ? x1 , y1 , z1 ? , b ? ? x2 , y2 , z2 ? ,则

?

?

? ? a ? a ? x12 ? y12 ? z12 .

? ? a ?b ? ? ⑽ 设异面直线 a , b 的夹角为 ? ,方向向量为 a , b ,其夹角为 ? ,则有 cos ? ? cos ? ? ? ? . a b ? ? ? ? ⑾ 设直线 l 的方向向量为 l ,平面 ? 的法向量为 n , l 与 ? 所成的角为 ? , l 与 n 的夹角为 ? ,则有 ? ? l ?n sin ? ? cos ? ? ? ? . l n ?? ?? ? ?? ?? ? ⑿ 设 n1 , n2 是二面角 ? ? l ? ? 的两个面 ? , ? 的法向量,则向量 n1 , n2 的夹角(或其补角)就是二 ?? ?? ? n1 ? n2 面角的平面角的大小.若二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 ? ,则 cos ? ? ?? ?? . ? n1 n2 ? ⒀ 在直线 l 上找一点 ? ,过定点 ? 且垂直于直线 l 的向量为 n ,则定点 ? 到直线 l 的距离为 ??? ? ? ?? ? n ??? ? ??? ? ? d ? ?? cos???, n? ? ? . n ??? ? ??? ? ⒁ 点 ? 与点 ? 之间的距离可以转化为两点对应向量 ?? 的模 ?? 计算. ? ⒂ 点 ? 是平面 ? 外一点,? 是平面 ? 内的一定点,n 为平面 ? 的一个法向量,则点 ? 到平面 ? 的距离为 ??? ? ? ?? ? n ??? ? ??? ? ? d ? ?? cos???, n? ? ? n
第十章
m

2 2 2 x ? y12 ? z12 ? x2 ? y2 ? z2 ??? ? ? 9 ? ? ? x1 , y1 , z1 ? , ? ? ? x2 , y2 , z2 ? ,则 d?? ? ?? ? 2 1

? ? a ?b ? ? ? 8 ? cos? a , b ? ? ? ? ? a b

x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2



? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ? ? ? z2 ? z1 ?
2 2

2

排列 组合 二项式定理

1、排列: 、排列数公式: An = n(n ? 1) ?(n ? m ? 1) = (1)
n

n! .( n , m ∈N*,且 m ? n ).0!=1 (n ? m)!

(2) 、全排列:n 个不同元素全部取出的一个排列; An ? n! ? n(n ? 1)(n ? 2) ? ? ? 3 ? 2 ? 1 ? n ? (n ? 1)! ; 2、组合: (1) 、组合数公式: C
m n =

Anm n(n ? 1) ?(n ? m ? 1) n! 0 * = = ( n , m ∈N ,且 m ? n ); C n ? 1 ; m Am m!(n ? m)! ? 1? 2 ? ?? m
m n?m

(2)组合数的两个性质: C n = C n

; Cn + C n
n 0

m

m ?1

= C n ?1 ;
1 n ?1 2 r n b ? C n a n?2 b 2 ? ? ? C n a n?r b r ? ? ? C n b n ;

m

3、二项式定理 : 、定理: (a ? b) ? C n a ? C n a (1)
n

(2) 、二项展开式的通项公式(第 r +1 项) Tr ?1 ? C n a :
r

n?r

b r (r ? 0,2?,n) 1,

各二项式系数和:Cn0+Cn1+Cn2+ Cn3+ Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n (表示含 n 个元素的集合的所有子集的个数) 。 0 2 4 6 1 3 5 7 n -1 奇数项二项式系数的和=偶数项二项式系数的和:Cn +Cn +Cn + Cn +…=Cn +Cn +Cn + Cn +…=2
第十一章 概率 1、概率(范围) :0≤P(A) ≤1(必然事件: P(A)=1,不可能事件: P(A)=0) 2、等可能性事件的概率: P( A) ?

m . n

3、互斥事件有一个发生的概率:A,B 互斥: P(A+B)=P(A)+P(B);A、B 对立:P(A)+ P(B)=1 4、独立事件同时发生的概率:独立事件 A,B 同时发生的概率:P(A·B)= P(A)·P(B).

n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率 Pn (k ) ? Cn P (1 ? P )
k k

n ?k

.

第十二章 数系的扩充与复数的引入 1、两个复数相等的定义:
a ? bi ? c ? di ? a ? c且b ? d(其中,a,b,c,d, R)特别地a ? bi ? 0 ? a ? b ? 0 . ?

2、复数的四则运算 若两个复数 z1=a1+b1i,z2=a2+b2i, (1)加法:z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i;

(2)减法:z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i;

(3)乘法:z1·z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i; 第十三章 1、导数定义: f ? x ? 在点 x 0 处的导数记作 y ?

z1 (a1a2 ? b1b2 ) ? (a2b1 ? a1b2 )i ? z2 a2 2 ? b2 2 (4)除法: ;
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ; . ?x

导数及其应用
x ? x0

? f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

2、函数 y ? f ? x ? 在点 x0 处的导数的几何意义是曲线 3、常见函数的导数公式: ①C ? 0;
'
x ' x

y ? f ? x?
'

在点

? ? x0 , f ? x0 ? ?

处的切线的斜率.
'

② ( x ) ? nx
n ' x ' x

n ?1



③ (sin x) ? cos x ; ⑦ (log a x) ?
'

④ (cos x) ? ? sin x ; ⑧ (ln x) ?
'

⑤ (a ) ? a ln a ; ⑥ (e ) ? e ; 4、导数运算法则:

1 ; x ln a

1 x

?1?

? f ? x ? ? g ? x ??? ? f ? ? x ? ? g ? ? x ? ? ? ;

? 2?

? f ? x ? ? g ? x ??? ? f ? ? x ? g ? x ? ? f ? x ? g ? ? x ? ? ? ;

5、在某个区间 ? a, b ? 内,若 f ? ? x ? ? 0 ,则函数 y ? f ? x ? 在这个区间内单调递增; 若 f ? ? x ? ? 0 ,则函数 y ? f ? x ? 在这个区间内单调递减. 6、求解函数 y ? f ( x) 单调区间的步骤: (1)确定函数 y ? f ( x) 的定义域;
' '

? f ? x ? ?? f ? ? x ? g ? x ? ? f ? x ? g ? ? x ? ? g ? x ? ? 0? ? ? ? 2 ? g ? x ?? ? 3? ? g ? x ? ? ? ? .

(2)求导数 y ? f ( x) ;
' '

(3)解不等式 f ( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为增区间; (4)解不等式 f ( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为减区间. 7、求函数 y ? f ? x ? 的极值的方法是:解方程 f ? ? x ? ? 0 .当 f ? ? x0 ? ? 0 时:

?1? 如果在 x0 附近的左侧 f ? ? x ? ? 0 ,右侧 f ? ? x ? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极大值; ? 2 ? 如果在 x0 附近的左侧 f ? ? x ? ? 0 ,右侧 f ? ? x ? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极小值.
8、求解函数极值的一般步骤: (1)确定函数的定义域 (2)求函数的导数 f’(x) (3)求方程 f’(x)=0 的根 (4)用方程 f’(x)=0 的根,顺次将函数的定义域分成若干个开区间,并列成表格 (5)由 f’(x)在方程 f’(x)=0 的根左右的符号,来判断 f(x)在这个根处取极值的情况 9、求函数 y ? f ? x ? 在 ? a , b ? 上的最大值与最小值的步骤是:

?1? 求函数 y ? f ? x ? 在 ? a, b ? 内的极值; ? 2 ? 将函数 y ? f ? x ? 的各极值与端点处的函数值 f ? a ? , f ? b ? 比较,其中最大的一个是最大值,最小的
一个是最小值.


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