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走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学10-9


基础巩固强化 一、选择题 1.(2013· 湖州模拟)一套重要资料锁在一个保险柜中,现有 n 把 钥匙依次分给 n 名学生依次开柜,但其中只有一把真的可以打开柜 门,平均来说打开柜门需要试开的次数为( A.1 n+1 C. 2 [答案] C [ 解析 ] 这把可以打工柜门的钥匙排在任何一个位置都是等可 B.n n-1 D. 2 )

1 1 n+1 能的,概率为n,设试开次数为 ξ,则 E(ξ)=(1+2+?+n)· n= 2 . 2.(2013· 广州一模)已知随机变量 X+η=8,若 X~B(10,0.6),则 E(η),D(η)分别是( A.6 和 2.4 C.2 和 5.6 [答案] B [解析] ∵ X ~ B(10,0.6) , ∴ E(X) = 10×0.6 = 6 , D(X) = ) B.2 和 2.4 D.6 和 5.6

10×0.6×(1-0.6)=2.4, ∴E(η)=8-E(X)=2,D(η)=(-1)2D(X)=2.4. 3.(2013· 白山联考)设随机变量 X~N(1,52),且 P(X≤0)=P(X≥a -2),则实数 a 的值为( A.4 C.8 ) B.6 D.10

[答案] A [解析] ∵X~N(1,52),P(X≤0)=P(X≥a-2), ∴ ?a-2?+0 =1,∴a=4. 2

4.一台机器生产某种产品,如果生产一件甲等品可获利 50 元, 生产一件乙等品可获利 30 元,生产一件次品,要赔 20 元,已知这台 机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为 0.6、0.3 和 0.1,则这 台机器每生产一件产品,平均预期可获利( A.39 元 C.20 元 [答案] B [解析] ξ 的分布列为 ξ p 50 0.6 30 0.3 -20 0.1 )

B.37 元 100 D. 3 元

∴E(ξ)=50×0.6+30×0.3+(-20)×0.1=37(元),故选 B. 5.已知随机变量 ξ,η 满足 ξ=2η-1,且 ξ~B(10,p),若 E(ξ) =8,则 D(η)=( A.0.5 C.0.2 [答案] D [解析] ∵ E(ξ) = 10p = 8 , ∴ p = 0.8 , ∴ D(ξ) = 10p(1 - p) = ) B.0.8 D.0.4

10×0.8×0.2=1.6,又 D(ξ)=D(2η-1)=4D(η),∴D(η)=0.4. 6.(2013· 深圳调研)两个实习生每人加工一个零件,加工为一等 2 3 品的概率分别为3和4,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两 个零件中恰有一个一等品的概率为( )

1 A.2 1 C.4 [答案] B

5 B.12 1 D.6

3? ? 2? 3 5 2 ? [解析] P=3×?1-4?+?1-3?×4=12 ? ? ? ? 二、填空题 7.抛掷一枚均匀的正方体骰子,观察出现的点数,如果出现了 5 点或 6 点,则称“抛掷高效”,若“抛掷高效”则得 1 分,否则得 0 分,则抛掷一次得分的期望为________. 1 [答案] 3 2 1 [解析] 由题意 P(ξ=0)=3,P(ξ=1)=3, 2 1 1 ∴E(ξ)=0×3+1×3=3. 8.如果随机变量 ξ~B(n,p),且 E(ξ)=4,且 D(ξ)=2,则 E(pξ -D(ξ))=________. [答案] 0 [解析] ∵ξ~B(n,p),且 E(ξ)=4,∴np=4, 1 又∵D(ξ)=2,∴np(1-p)=2,∴p=2, 1 1 ∴E(pξ-D(ξ))=E(2ξ-2)=2E(ξ)-2=0. 9.甲罐中有 5 个红球、2 个白球和 3 个黑球,乙罐中有 4 个红 球、4 个白球和 2 个黑球,先从甲罐中任意取出一球放入乙罐,再从 乙罐中取出一球,则从乙罐中取出的球是白球的概率为________. 21 [答案] 55

[解析] 设从甲罐中取出红球、 白球、 黑球的事件分别为 A1、A2、 A3,设从乙罐中取出白球的事件为 B,则 1 1 3 P(A1)=2,P(A2)=5,P(A3)=10, 1 4 1 5 3 所求概率 P(B) = P(A1B) + P(A2B) + P(A3B) = 2 × 11 + 5 × 11 + 10 4 21 ×11=55. 三、解答题 10.(2013· 海淀模拟)某班将要举行篮球投篮比赛,比赛规则是: 每位选手可以选择在 A 区投篮 2 次或选择在 B 区投篮 3 次.在 A 区 每进一球得 2 分,不进球得 0 分;在 B 区每进一球得 3 分,不进球得 0 分,得分高的选手胜出.已知参赛选手甲在 A 区和 B 区每次投篮进 9 1 球的概率分别为10或3. (1)如果选手甲以在 A、 B 区投篮得分的期望较高者为选择投篮区 的标准,问选手甲应该选择在哪个区投篮? (2)求选手甲在 A 区投篮得分高于在 B 区投篮得分的概率. [解析] (1)法一: 设选手甲在 A 区投两次篮的进球数为 X, 则 X~ 9 9 9 B(2,10),故 E(X)=2×10=5, 9 则选手甲在 A 区投篮得分的期望为 2×5=3.6. 1 设选手甲在 B 区投三次篮的进球数为 Y,则 Y~B(3,3),故 E(Y) 1 =3×3=1, 则选手甲在 B 区投篮得分的期望为 3×1=3. ∵3.6>3,

∴选手甲应该选择在 A 区投篮. 法二: 设选手甲在 A 区投篮的得分为 ξ, 则 ξ 的可能取值为 0,2,4, 9 1 P(ξ=0)=(1-10)2=100, 9 9 18 P(ξ=2)=C1 × (1 - ) = 2× 10 10 100, 9 81 P(ξ=4)=(10)2=100. 所以 ξ 的分布列为: ξ P 0 1 100 2 18 100 4 81 100

1 18 81 ∴E(ξ)=0×100+2×100+4×100=3.6. 同理,设选手甲在 B 区域投篮的得分为 η,则 η 的可能取值为 0,3,6,9, 1 8 P(η=0)=(1-3)3=27, 1 12 4 P(η=3)=C1 3× ×(1- ) = , 3 3 9 12 1 2 P(η=6)=C2 3×( ) (1- )= , 3 3 9 1 1 P(η=9)=(3)3=27. 所以 η 的分布列为: ξ P 0 8 27 3 4 9 6 2 9 9 1 27

8 4 2 1 ∴E(η)=0×27+3×9+6×9+9×27=3. ∵E(ξ)>E(η),∴选手甲应该选择在 A 区投篮.

(2)设选手甲在 A 区投篮得分高于在 B 区投篮得分为事件 C,甲 在 A 区投篮得 2 分、在 B 区投篮得 0 分为事件 C1,甲在 A 区投篮得 4 分、在 B 区投篮得 0 分为事件 C2,甲在 A 区投篮得 4 分、在 B 区 投篮得 3 分为事件 C3,则 C=C1∪C2∪C3,其中 C1,C2,C3 为互斥 事件. 18 8 81 则: P(C)=P(C1∪C2∪C3)=P(C1)+P(C2)+P(C3)=100×27+100 8 81 4 49 ×27+100×9=75,故选手甲在 A 区投篮得分高于在 B 区投篮得分 49 的概率为75. 能力拓展提升 11.(2013· 福州模拟)随机抽取某厂的某种产品 200 件, 经质检, 其 中有一等品 126 件、二等品 50 件、三等品 20 件、次品 4 件.已知生 产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为 6 万元、2 万元、1 万元, 而 1 件次品亏损 2 万元.设 1 件产品的利润(单位:万元)为 ξ. (1)求 ξ 的分布列; (2)求 1 件产品的平均利润(即 ξ 的均值); (3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为 1%,一 等品率提高为 70%.如果此时要求 1 件产品的平均利润不小于 4.73 万 元,则三等品率最多是多少? [解析] (1)由于 1 件产品的利润为 ξ,则 ξ 的所有可能取值为 126 50 6,2,1,-2,由题意知 P(ξ=6)=200=0.63,P(ξ=2)=200=0.25,P(ξ 20 4 =1)=200=0.1,P(ξ=-2)=200=0.02. 故 ξ 的分布列为

ξ P

6

2

1 0.1

-2 0.02

0.63 0.25

(2)1 件产品的平均利润为 E(ξ)=6×0.63+2×0.25+1×0.1+(- 2)×0.02=4.34(万元). (3)设技术革新后三等品率为 x,则此时 1 件产品的平均利润为 E(ξ)=6×0.7+2×(1-0.7-x-0.01)+1×x+(-2)×0.01=4.76-x. 由 E(ξ)≥4.73,得 4.76-x≥4.73, 解得 x≤0.03,所以三等品率最多为 3%. 12.(2012· 湖北理,20)根据以往的经验,某工程施工期间的降水 量 X(单位:mm)对工期的影响如下表: 降水量 X 工期延误天数 Y X<300 0 300≤X<700 700≤X<900 X≥900 2 6 10

历年气象资料表明,该工程施工期间降水量 X 小于 300、700、 900 的概率分别为 0.3、0.7、0.9.求: (1)工期延误天数 Y 的均值与方差; (2)在降水量 X 至少是 300 的条件下,工期延误不超过 6 天的概 率. [分析] (1)利用概率的加法公式及对立事件求分布列,再求均值 与方差.(2)利用条件概率公式求解. [解析] (1)由已知条件和概率的加法公式有: P(X<300)=0.3, P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3 =0.4, P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2. P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1. 所以 Y 的分布列为:

Y P

0 0.3

2 0.4

6 0.2

10 0.1

于是,E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3; D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2 ×0.2+(10-3)2×0.1=9.8. 故工期延误天数 Y 的均值为 3,方差为 9.8. (2)由概率的加法公式,P(X≥300)=1-P(X<300)=0.7, 又 P(300≤X<900)=P(X<900)-P(X<300)=0.9-0.3=0.6. 由 条 件 概 率 , 得 P(Y≤6|X≥300) = P(X<900|X≥300) = P?300≤x<900? 0.6 6 =0.7=7. P?X≥300? 故在降水量 X 至少是 300mm 的条件下,工期延误不超过 6 天的 6 概率是7. 13.(2013· 四川理,18)某算法的程序框图如图所示,其中输入的 变量 x 在 1,2,3,?,24 这 24 个整数中等可能随机产生.

(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出 y 的值为 i 的概率 Pi(i=1,2,3); (2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重

复运行 n 次后,统计记录了输出 y 的值为 i(i=1,2,3)的频数,以下是 甲、乙所作频数统计表的部分数据. 甲的频数统计表(部分)

乙的频数统计表(部分)

当 n=2100 时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自 输出 y 的值为 i(i=1,2,3)的频率(用分数表示), 并判断两位同学中哪一 位所编程序符合算法要求的可能性较大; (3)将按程序框图正确编写的程序运行 3 次,求输出 y 的值为 2 的次数 ξ 的分布列及数学期望. [解析] (1)变量 x 是在 1,2,3,?,24 这 24 个整中数随机产生的 一个数,共有 24 种可能. 当 x 从 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23 这 12 个数中产生时,输出 y 1 的值为 1,故 P1=2;

当 x 从 2,4,8,10,14,16,20,22 这 8 个数中产生时, 输出 y 的值为 2, 1 故 P2=3; 1 当 x 从 6,12,18,24 这 4 个数中产生时, 输出 y 的值为 3, 故 P3=6. 1 1 所以,输出 y 的值为 1 的概率为2,输出 y 的值为 2 的概率为3, 1 输出 y 的值为 3 的概率为6. (2)当 n=2100 时,甲、乙所编程序各自输出 y 的值为 i(i=1,2,3) 的频率如下:

比较频率趋势与概率, 可得乙同学所编程序符合算法要求的可能 性大. (3)随机变量 ξ 可能的取值为 0,1,2,3. 10 23 8 P(ξ=0)=C0 3×( ) ×( ) = 3 3 27, 11 22 4 P(ξ=1)=C1 3×( ) ×( ) = , 3 3 9 12 21 2 P(ξ=2)=C2 3×( ) ×( ) = , 3 3 9 13 20 1 P(ξ=3)=C3 3×( ) ×( ) = 3 3 27, 故 ξ 的分布列为

ξ P

0 8 27

1 4 9

2 2 9

3 1 27

8 4 2 1 所以,Eξ=0×27+1×9+2×9+3×27=1. 即 ξ 的数学期望为 1. 14.某学校数学兴趣小组有 10 名学生,其中有 4 名女学生;英 语兴趣小组有 5 名学生,其中有 3 名女学生,现采用分层抽样方法, 从数学兴趣小组、英语兴趣小组中共抽取 3 名学生参加科技节活动. (1)求从数学兴趣小组、英语兴趣小组各抽取的人数; (2)求从数学兴趣小组抽取的学生中恰有 1 名女学生的概率; (3)记 ξ 表示抽取的 3 名学生中男学生数, 求 ξ 的分布列及数学期 望. [解析] = (1)因为数学兴趣小组人数:英语兴趣小组人数=

,从数学兴趣小组和英语兴趣小组中抽取 3 人,则抽取数学小

组的人数为 2 人,英语小组的人数为 1 人. (2)从数学兴趣小组中抽取 2 人恰有一名女生的概率
1 1 C6 · C4 8 P= C2 =15. 10

(3)随机变量 ξ 的可能取值为 0、1、2、3. C2 2 4 3 P(ξ=0)=C2 · = 25; 10 5
1 C1 C4 3 C2 28 6· 4 2 P(ξ=1)= C2 · + 2 ·= C10 5 75; 10 5 1 C2 C1 C4 2 31 6 3 6· P(ξ=2)=C2 · + 2 ·= C10 5 75; 10 5

C2 2 6 2 P(ξ=3)=C2 · = 15, 10 5 所以 ξ 的分布列为

ξ P

0 2 25

1 28 75

2 31 75

3 2 15

2 28 31 2 8 E(ξ)=0×25+1×75+2×75+3×15=5.

考纲要求 1.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念. 2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实 际问题. 3.利用实际问题的直方图,了解正态分布的特点及曲线所表示 的意义. 补充说明 1.均值与方差的理解 (1)均值 E(X)是一个实数,由 X 的分布列唯一确定,即 X 作为随 机变量是可变的,而 E(X)是不变的,它描述 X 值的取值平均水平. (2)D(X)表示随机变量 X 对 E(X)的平均偏离程度,D(X)越小,X 的取值越集中,D(X)越大,X 的取值越分散. 2.正态曲线与正态分布 ?x-μ?2 1 函数 f(x)=φμ,σ(x)= e- 2σ2 ,x∈R.其中实数 μ 和 σ 为参 2πσ 数,我们称 f(x)的图象为正态曲线.服从正态分布的随机变量叫做正 态变量. 正态随机变量 X 落在区间[a,b]内的概率为: P(a<X≤b)≈?bf(x)dx.
?a

即由正态曲线,过点(a,0)和(b,0)的两条 x 轴的垂线,及 x 轴所围 成的平面图形的面积,就是随机变量 X 落在区间[a,b]的概率的近似 值,如下图.

正态分布是自然界中最常见的一种分布, 许多现象都近似地服从 正态分布. 如长度测量误差、 正常生产条件下各种产品的质量指标等. 一般地,一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的 偶然因素作用结果之和,它就服从或近似服从正态分布. 化归思想 将正态变量在任意区间上的概率化归为特殊区间的概率后求值. 4.3σ 原则 服从于正态分布 N(μ, σ2)的随机变量 X 几乎总取值于区间(μ-3σ, μ+3σ)之内,而在此区间以外取值的概率只有 0.0026,通常认为这种 情况在一次试验中几乎不可能发生.这就是正态分布的 3σ 原则. 正态总体在三个特殊区间内取值的概率为 P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826, P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9544, P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9974. 5.求解随机变量的的期望与方差的问题,先要弄清概率模型, 其次弄清事件的关系.三要熟记相关公式.四是注意期望与方差的性 质.

备选习题 1.(2013· 山西模拟)某班举行了一次“心有灵犀”的活动,教师 把一张写有成语的纸条出示给 A 组的某个同学, 这个同学再用身体语 言把成语的意思传递给本组其他同学. 若小组内同学甲猜对成语的概 率是 0.4,同学乙猜对成语的概率是 0.5,且规定猜对得 1 分,猜不对 得 0 分,则这两个同学各猜 1 次,得分之和 X(单位:分)的数学期望 为( ) A.0.9 C.1.2 [答案] A [解析] 依题意得,得分之和 X 的可能取值分别是 0,1,2,且 P(X =0)=(1-0.4)(1-0.5)=0.3,P(X=1)=0.4×(1-0.5)+(1-0.4)×0.5 =0.5,P(X=2)=0.4×0.5=0.2,因此,这两个同学各猜 1 次,得分 之和 X(单位:分)的数学期望为 0×0.3+1×0.5+2×0.2=0.9. 2.设一随机试验的结果只有 A 和- A ,且 P(A)=p,令随机变量 X
? ?1 =? ?0 ?

B.0.8 D.1.1

?A出现?, ?A不出现?. A.p C.-p(1-p) [答案] D

则 X 的方差 D(X)等于(

)

B.2p(1-p) D.p(1-p)

[解析] X 服从两点分布,故 D(X)=p(1-p). 3.(2012· 杭州质检)体育课的排球发球项目考试的规则是:每位 学生最多可发球 3 次,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到 3 次为止.设学生一次发球成功的概率为 p(p≠0),发球次数为 X,若 X 的数学期望 E(X)>1.75,则 p 的取值范围是( )

7 A.(0,12) 1 C.(0,2) [答案] C

7 B.(12,1) 1 D.(2,1)

[解析] 由已知条件可得 P(X=1)=p, P(X=2)=(1-p)p, P(X=3)=(1-p)2p+(1-p)3=(1-p)2, 则 E(X)= P(X= 1)+2P(X=2)+ 3P(X=3)= p+2(1-p)p+3(1- p)2=p2-3p+3>1.75, 5 1 解得 p>2或 p<2, 1 又由 p∈(0,1),可得 p∈(0,2),故应选 C. 4.已知抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴在 y 轴的左侧,其 中 a、b、c∈{-3,-2,-1,0,1,2,3},在这些抛物线中,记随机变量 ξ=“|a-b|的取值”,则 ξ 的数学期望 E(ξ)为( 8 A.9 2 C.5 [答案] A [解析] ∵对称轴在 y 轴左侧, b ∴-2a<0,∴ab>0,即 a 与 b 同号,
1 1 1 ∴满足条件的抛物线有 2C3 C3C7=126 条.

)

3 B.5 1 D.3

6×7 1 8×7 4 ξ 的取值为 0、1、2,P(ξ=0)= 126 =3,P(ξ=1)= 126 =9,P(ξ

4×7 2 =2)= 126 =9. 1 4 2 8 ∴E(ξ)=3×0+9×1+9×2=9. 5.(2013· 山东聊城一模)本着健康、低碳的生活理念,租自行车 骑游的人越来越多. 某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过 两小时免费,超过两小时部分每小时的收费标准为 2 元(不足 1 小时 的部分按 1 小时计算).甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各 1 1 租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为4,2;两小 1 1 时以上且不超过三小时还车的概率分别为2,4;两人租车时间都不会 超过四小时. (1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率; (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ξ,求 ξ 的分布 列及数学期望 E(ξ). [解析] (1)由题意得,甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车 1 1 的概率分别为4,4. 记“甲,乙两人所付的租车费用相同”为事件 A, 1 1 1 1 1 1 5 则 P(A)=4×2+2×4+4×4=16, 5 即甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为16. (2)随机变量 ξ 的所有可能取值为 0,2,4,6,8,且 1 1 1 P(ξ=0)=4×2=8; 1 1 1 1 5 P(ξ=2)=4×4+2×2=16;

1 1 1 1 1 1 5 P(ξ=4)=2×4+4×2+4×4=16; 1 1 1 1 3 P(ξ=6)=2×4+4×4=16; 1 1 1 P(ξ=8)=4×4=16. ξ 的分布列为 ξ P 0 1 8 2 5 16 4 5 16 6 3 16 8 1 16

1 5 5 3 1 7 所以 E(ξ)=0×8+2×16+4×16+6×16+8×16=2. 6.有一批货物需要用汽车从城市甲运至城市乙,已知从城市甲 到城市乙只有两条公路,且通过这两条公路所用的时间互不影响.据 调查统计, 通过这两条公路从城市甲到城市乙的 200 辆汽车所用时间 的频数分布如下表: 所用的时间(天数) 通过公路 1 的频数 通过公路 2 的频数 10 20 10 11 40 40 12 20 40 13 20 10

假设汽车 A 只能在约定日期(某月某日)的前 11 天出发,汽车 B 只能在约定日期的前 12 天出发. (1)为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙,估 计汽车 A 和汽车 B 应如何选择各自的路径. (2)若通过公路 1、公路 2 的“一次性费用”分别为 3.2 万元、1.6 万元(其他费用忽略不计),此项费用由生产商承担.如果生产商恰能 在约定日期当天将货物送到, 则销售商一次性支付给生产商 40 万元, 若在约定日期前送到,每提前一天销售商将多支付给生产商 2 万元; 若在约定日期后送到,每迟到一天,销售商将少支付给生产商 2 万

元.如果汽车 A、B 长期按(1)中所选路径运输货物,试比较哪辆汽车 为生产商获得的毛利润更大. (注:毛利润=销售商支付给生产商的费用-一次性费用) [解析] (1)频率分布表,如下: 所用的时间(天数) 通过公路 1 的频率 通过公路 2 的频率 10 0.2 0.1 11 0.4 0.4 12 0.2 0.4 13 0.2 0.1

设 A1、A2 分别表示汽车 A 在前 11 天出发选择公路 1、2 将货物 运往城市乙;B1、B2 分别表示汽车 B 在前 12 天出发选择公路 1、2 将货物运往城市乙. P(A1)=0.2+0.4=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5, ∴汽车 A 应选择公路 1. P(B1)=0.2+0.4+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9, ∴汽车 B 应选择公路 2. (2)设 X 表示汽车 A 选择公路 1 时,销售商付给生产商的费用, 则 X=42,40,38,36. X 的分布列如下: X P 42 0.2 40 0.4 38 0.2 36 0.2

E(X)=42×0.2+40×0.4+38×0.2+36×0.2=39.2. ∴汽车 A 选择公路 1 时的毛利润为 39.2-3.2=36.0(万元) 设 Y 表示汽车 B 选择公路 2 时的毛利润, Y=42.4, 40.4, 38.4,36.4. 则分布列如下: Y P 42.4 40.4 38.4 36.4 0.1 0.4 0.4 0.1

E(Y)=42.4×0.1+40.4×0.4+38.4×0.4+36.4×0.1=39.4,

∴汽车 B 选择公路 2 时的毛利润为 39.4 万元, ∵36.0<39.4,∴汽车 B 为生产商获得毛利润更大.


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