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湖北省恩施巴东县第一高级中学高中数学 §1.3.2函数的奇偶性教案 新人教A版必修1


§1.3.2 函数的奇偶性
一.教学目标 1.知识与技能: 理解函数的奇偶性及其几何意义;学会运用函数图象理解和研究函数的性质;学会判 断函数的奇偶性; 2.过程与方法: 通过函数奇偶性概念的形成过程,培养学生观察、归纳、抽象的能力,渗透数形结合 的数学思想. 3.情态与价值: 通过函数的奇偶性教学,培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力. 二.教学重点和难点: 教学重点:函数的奇偶性及其几何意义 教学难点:判断函数的奇偶性的方法与格式 三.学法与教学用具 学法:学生通过自己动手计算,独立地去经历发现,猜想与证明的全过程,从而建立奇 偶函数的概念. 教学用具:三角板 投影仪 四.教学思路 (一)创设情景,揭示课题 “对称”是大自然的一种美,这种“对称美”在数学中也有大量的反映,让我们看看下 列各函数有什么共性? 观察下列函数的图象,总结各函数之间的共性.

f ( x) ? x2
y

f ( x) ?| x | ?1

x( x) ?

1 x2

y

y

0

x

-1 0
-1

1

x

0

x

2 通过讨论归纳:函数 f ( x) ? x 是定义域为全体实数的抛物线;函数 f ( x) ?| x | ?1 是定

1 是定义域为非零实数的两支曲线, 各函数之间的共 x2 性为图象关于 y 轴对称.观察一对关于 y 轴对称的点的坐标有什么关系?
义域为全体实数的折线; 函数 f ( x ) ? 归纳:若点 ( x, f ( x)) 在函数图象上,则相应的点 (? x, f ( x)) 也在函数图象上,即函数 图象上横坐标互为相反数的点,它们的纵坐标一定相等.
1

(二)研探新知 函数的奇偶性定义: 1.偶函数 一般地,对于函数 f ( x ) 的定义域内的任意一个 x ,都有 f (? x) ? f ( x) ,那么 f ( x ) 就 叫做偶函数. (学生活动)依照偶函数的定义给出奇函数的定义. 2.奇函数 一般地,对于函数 f ( x ) 的定义域的任意一个 x ,都有 f (? x) ? ? f ( x) ,那么 f ( x ) 就 叫做奇函数. 注意: ①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; ②由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任 意一个 x ,则 ?x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称) . 3.具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. (三)质疑答辩,排难解惑,发展思维. 例 1.判断下列函数是否是偶函数. (1) f ( x) ? x2

x ?[?1, 2]

x3 ? x 2 (2) f ( x) ? x ?1
解:函数 f ( x) ? x2 , x ?[?1, 2] 不是偶函数,因为它的定义域关于原点不对称. 函数 f ( x) ? 原点对称. 例 2.判断下列函数的奇偶性 (1) f ( x) ? x 解: (略) 小结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: ①首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; ②确定 f (? x)与f ( x)的关系; ③作出相应结论:
2
4

x3 ? x 2 也不是偶函数,因为它的定义域为 ?x | x ? R且x ? 1 ? ,并不关于 x ?1

(2) f ( x) ? x

5

(3) f ( x) ? x ?

1 x

(4) f ( x ) ?

1 x2

若 f (? x) ? f ( x)或f (? x) ? f ( x) ? 0, 则f ( x)是偶函数 ; 若 f (? x) ? ? f ( x)或f (? x) ? f ( x) ? 0, 则f ( x)是奇函数 .

例 3.判断下列函数的奇偶性: ① f ( x) ? lg (4 ? x) ? g (4 ? x)

?1 2 x ? 1 ( x ? 0) ? ?2 ② g ( x) ? ? ? ? 1 x 2 ? 1 ( x ? 0) ? ? 2
分析:先验证函数定义域的对称性,再考察 f (? x)是否等于f ( x)或 ? f ( x) .

|4+x >0 且 4 ? x > 0? = ?x | ?4 < x < 4? ,它具有对称 解: (1) f ( x )的定义域是 x
性.因为 f (? x) ? lg (4 ? x) ? lg (4 ? x) ? f ( x) ,所以 f ( x ) 是偶函数,不是奇函数. (2)当 x >0 时,- x <0,于是

?

1 1 g (? x) ? ? (? x) 2 ? 1 ? ?( x 2 ? 1) ? ? g ( x) 2 2 当 x <0 时,- x >0,于是 1 1 1 g (? x) ? (? x) 2 ? 1 ? x 2 ? 1 ? ?(? x 2 ? 1) ? ? g ( x) 2 2 2
综上可知,在 R ∪R 上, g ( x) 是奇函数.
- +

例 4.利用函数的奇偶性补全函数的图象. 教材 P35 思考题: 规律:偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 说明:这也可以作为判断函数奇偶性的依据.

例 5.已知 f ( x ) 是奇函数,在(0,+∞)上是增函数. 证明: f ( x ) 在(-∞,0)上也是增函数. 证明: (略) 小结:偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反;奇函数在关于原点对称的区间上 单调性一致. (四)巩固深化,反馈矫正.
3

(1)课本 P36 练习 1.2

P39 B 组题的 1.2.3

(2)判断下列函数的奇偶性,并说明理由. ① f ( x) ? 0, x ?[?6, ?2] ? [2,6] ; ② f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 2 | ③ f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 2 | ④ f ( x) ? lg ( x 2 ? 1 ? x) (五)归纳小结,整体认识. 本节主要学习了函数的奇偶性,判断函数的奇偶性通常有两种方法,即定义法和图象 法,用定义法判断函数的奇偶性时,必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称,单 调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点, 需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和 奇偶性这两个性质. (六)设置问题,留下悬念. 1.书面作业:课本 P44 习题 A 组 1.3.9.10 题 2.设 f ( x)在R上是奇函数,当x >0 时, f ( x) ? x(1 ? x) 试问:当 x <0 时, f ( x ) 的表达式是什么? 解:当 x <0 时,- x >0,所以 f (? x) ? ? x(1 ? x) ,又因为 f ( x ) 是奇函数,所以

f ( x) ? ? f (? x) ? ?[? x(1 ? x)] ? x(1 ? x) .

A组 一、选择题: 1.已知函数 f ( x) ?

4 ? x2 ,则它是( | x ? 2 | ?2



A.奇函数 C.既是奇函数又是偶函数
2

B.偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数

2.已知函数 f ( x) ? (m ? 1) x ? 2mx ? 3 为偶函数,则 f(x)在区间(-5,-2)上是( ) A.增函数 C.部分为增函数,部分为减函数 3.函数 y ? x( x ? 1) 的大致图象是(
2

B.减函数 D.无法确定增减性 )

4

4.如果奇函数 f ? x ? 在区间 ?3,7? 上是增函数且最小值是 5,那么 f ? x ? 在区间 ? ?7, ?3? 上 A、是增函数且最小值是—5 C、是减函数且最小值是—5 5.已知 f ( x) ? x ?
2

B、是增函数且最大值是—5 D、是减函数且最大值是—5 )

1 在[—3,—2]上是减函数,下面结论正确的是( |x|

A.f(x)是偶函数,在[2,3]上单调递减 B.f(x)是奇函数,在[2,3]上单调递减 C.f(x)是偶函数,在[2,3]上单调递增 D.f(x)是奇函数,在[2,3]上单调递增 6. f ? x ? 为奇函数,在 ? 0, ?? ? 上 f ? x ? ? x ?1 ? x ? ,则它在 ? ??,0 ? 上表达式 ( A、 f ? x ? ? x ?1 ? x ? C、 f ? x ? ? x ?1 ? x ? 二、填空题: 7 . 函 数 f ( x) ? x ? bx ? cx 是 奇 函 数 , 函 数 g ( x) ? x ? (c ? 2) x ? 5 是 偶 函 数 , 则
3 2 2



B、 f ? x ? ? ? x ?1 ? x ? D、 f ? x ? ? ? x ?1 ? x ?

b=______,c=_______。 8.定义在 R 上的函数 f(x) 、g(x)都是奇函数,函数 F(x)= a f(x)+bg(x)+3 在区 间(0,+∞)上的最大值为 10,那么函数 F(x)在(-∞,0)上的最小值是________。 9.函数 f(x)=|x—a|—|x—a|(a∈R)的奇偶性是_____________。
2 10. 偶函数 f (x) 是定义在 R 上的函数, 且在 (0, +∞) 上单调递减, 则 f ( ? ) 和 f (a ? a ? 1)

3 4

的大小关系是___________。 11 . f ( x )是(—∞, + ∞)上的奇函数,且在(—∞, + ∞)上是减函数,那么满足

f (a) ? f (a 2 ) ? 0 的实数 a 的取值范围是____________。
12.已知 f ( x) 为奇函数, g ( x) ? f ( x ? 2) 为偶函数,且 f (3) ? 5 ,则 f (2001 ) ? __. 三、解答题: 13.已知函数 f(x)是定义在集合{x|x∈R 且 x≠0}上的奇函数,且在区间(-∞,0)上是 减函数,若 ab<0,a+b≥0,求证:f(a)+f(b)≤0。 14.定义在(-2,2)上的偶函数 f(x) ,满足 f(1-a)<f(a) ,又当 x≥0 时,f(x)是

5

减函数,求 a 的取值范围。 15.已知函数 f(x)对任意 x,y∈R,都有 f(x+y)=f(x)+f(y) ,若 x>0 时,f(x)<0, 且 f(1)=-2。 (1)判断 f(x)的奇偶性; (2)判断 f(x)的单调性; (3)求 f(x)在[-3,3]上的最 大值和最小值。

例:判断下列函数是否是偶 函数

6


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