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§2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 5


§ 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
教学目的: 1、能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面”; 2、理解平面的无限延展性; 3、正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系; 4、初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化;

4、空间图形是由点、线、面组成的. 点、线、面的基本位置关系如下表所示: 图形 符号语言 文字语言(读法) 点 A 在直线?上 点 A 不在直线 a 上

A

a

A

a

§ 2.1.1.1 平面
一、预习检查 1、平面的两个特征:① ; ② 说明:⑴ 平面是没有厚薄的,可以无限延伸,这是平面最基本的属性. ⑵ 一个平面把空间分成两部分,一条直线把平面分成两部分. 2、平面的画法:通常画平行四边形来表示平面 ⑴一个平面:水平放置和直立; 当平面水平放置时,通常把平行四边形的锐角画成 ,横边画成邻边的 画两个平面相交时,当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,应把被遮住的部分画成

? A
?
A

点 A 在平面?内

A
b a

点 A 不在平面?内

直线 a、b 交于 A 点

?
?

a
a

直线 a 在平面?内

直线 a 与平面?无公共点

⑵ 直线与平面相交,

?
⑶两个相交平面:

a

A

直线 a 与平面?交于点 A

平面?、?相交于直线 l

3、平面表示方法: 一般用一个希腊字母 ? 、 ? 、 ? ……来表示,还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面

说明:①集合中“∈”的符号只能用于点与直线,点与平面的关系; ②“ ? ”和“ ? ”的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系; ③虽然借用于集合符号,但在读法上仍用几何语言. 如: a ? ? (平面 ? 外的直线 a )表示 a ? ? ? 或 a ? ? A . 二、讨论展示: 例 1、将下列符号语言转化为图形语言:

? ,平面 AC 等. (符号语言)

?1?

A ?? , B ? ? , A ? l, B ? l;
1

? 2? a ? ?, b ? ? , a // c, b
解:

c ? p,?

? ? c.

§2.1.1.2 平面的基本性质
一、预习检查 1、平面的基本性质 立体几何中有一些公理,构成一个公理体系.人们经过长期的观察和实践,把平面的三条基 本性质归纳成三条公理. 公理 1: 文字语言:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内. 符号语言: 图形语言:

说明:画图的顺序:先画大件(平面) ,再画小件(点、线) 例 2、将下列文字语言转化为符号语言: ⑴ 点 A 在平面?内,但不在平面?内; ⑵ 直线 a 经过平面?外一点 M; ⑶ 直线 l 在平面?内,又在平面?内.(即平面?和?相交于直线 l) 解:⑴

应用:这条公理是判定直线是否在平面内的依据,也可用于验证一个面是否是平面,如:泥瓦工 用直的木条刮平地面上的水泥浆.①判定直线在平面内;②判定点在平面内. 模式:

?a ? ? ? A ?? . ? ?A? a
说明:公理 1 说明了平面与曲面的本质区别.通过直线的“直”来刻划平面的“平”,通过直线的“无 限延伸”来描述平面的“ ,它既是判断直线在平面内,又是检验平面的方法. 公理 2: 文字语言: 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条 过这个公共点的直线. 符号语言: 图形语言:





例 3、 在平面?内有 A,O,B 三点,在平面?内有 B,O,C 三点,试画出它们的图形.

应用:①确定两相交平面的交线位置;②判定点在直线上 说明:① 公理 2 揭示了两个平面相交的主要特征,是判定两平面相交的依据,提供了确定两个平面 交线的方法.② 指出:今后所说的两个平面(或两条直线,如无特殊说明,均指不同的平面(直线). 公理 3: 文字语言:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. 符号语言: 图形语言:
王新敞
奎屯 新疆

2

应用:①确定平面;②证明两个平面重合 说明:① “有且只有一个”的含义分两部分理解:“有”说明图形存在,但不唯一,“只有一个”说明图 形如果有顶多只有一个,但不保证符合条件的图形存在,“有且只有一个”既保证了图形的存在性, 又保证了图形的唯一性. 推论 1:

2、 在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,① AA 1 与 CC1 是否在同一平面内? ②点 B, C1 , D 是否在同一平面内?③画出平面 AC1 与平面 BC1 D 的交 线,平面 ACD1 与平面 BDC1 的交线.
C1 B C D

B1 D1

A1 A

推论 2:

推论 3:

二、当堂检测: 1、试用集合符号表示下列各语句,并画出图形: (1)点 A 在平面?内,但不在平面?内;

3.下列命题: ①空间不同三点确定一个平面; ②有三个公共点的两个平面必重合; ③空间两两相交的三条直线确定一个平面; ④三角形是平面图形; ⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形;

(2)直线 a 经过不属于平面?的点 A,且 a 不在平面?内;

⑥垂直于同一直线的两直线平行; ⑦一条直线和两平行线中的一条相交,也必和另一条相交; ⑧两组对边相等的四边形是平行四边形. 其中正确的命题是________.(填序号)

(3)平面?与平面?相交于直线 l ,且 l 经过点 P;

(4)直线 l 经过平面?外一点 P,且与平面?相交于点 M.
3


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