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(2.1.2-1异面直线的有关概念和原理)应用


复习引入 确定一个平面的方法: 确定一个平面的方法: (1)公理:不共线的三点确定一个 )公理: 平面. 平面. (2)一条直线和它外面一个点确定 ) 一个平面. 一个平面. (3)两条相交直线确定一个平面. )两条相交直线确定一个平面. (4)两条平行直线确定一个平面. )两条平行直线确定一个平面.

2.1.2

空间中直线与直线之间的 位置关系

知识探究( ):异面直线的概念 知识探究(一):异面直线的概念

1.异面直线的定义:不同在任何一个 异面直线的定义:不同在任何一个 异面直线的定义 任何 平面内的两条直线叫做异面直线. 平面内的两条直线叫做异面直线. 2.为了表示异面直线a 不共面的特点, 2.为了表示异面直线a,b不共面的特点, 为了表示异面直线 作图时,通常用一个或两个平面衬托, 作图时,通常用一个或两个平面衬托,如 图.
a
b

a

b

练一练: 练一练: 如图, 长方体ABCD A′B′C′D′中 ABCD(1)如图, 长方体ABCD-A′B′C′D′中, 什么棱所在直线与A′B所在直线是异面直线? A′B所在直线是异面直线 什么棱所在直线与A′B所在直线是异面直线?

D' A' D A B B'

C'

C

a a
b b

(2)关于异面直线的条件,你认为下列哪个 关于异面直线的条件, 说法正确? 说法正确? 空间中既不平行又不相交的两条直线; A. 空间中既不平行又不相交的两条直线; B. 平面内的一条直线和这平面外的一条直 线; 分别在不同平面内的两条直线; C. 分别在不同平面内的两条直线; D. 不在同一个平面内的两条直线; 不在同一个平面内的两条直线; 不同在任何一个平面内的两条直线. E. 不同在任何一个平面内的两条直线.

3.空间中直线与直线之间的位置关系: 3.空间中直线与直线之间的位置关系: 空间中直线与直线之间的位置关系
相交直线: 相交直线 共面直线 同一平面内, 同一平面内,有且 只有一个公共点; 只有一个公共点;

同一平面内,没有 同一平面内, 平行直线: 平行直线 公共点; 公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内, 异面直线 不同在任何一个平面内,没有 公共点

知识探究( ):平行线的性质 知识探究(二):平行线的性质

思考1:设直线a//b,将直线a在空间中作 思考1:设直线a//b,将直线a 1:设直线a//b 平行移动,在平移过程中a与b仍保持平 平行移动,在平移过程中a 行吗 ?

思考2:如图, 在长方体ABCD ABCD— 思考2:如图, 在长方体ABCD—A′B′C′D′ 2:如图 ,BB′‖AA′,DD′‖AA′,那么BB′ BB′与 中,BB′‖AA′,DD′‖AA′,那么BB′与 DD′平行吗 DD′平行吗 ?
D' A' D A B B' C C'

思考3 取一块长方形纸板ABCD, 思考3:取一块长方形纸板ABCD,E,F分 ABCD 别为AB CD的中点 将纸板沿EF折起, AB, 的中点, EF折起 别为AB,CD的中点,将纸板沿EF折起, 在空间中直线AD BC的位置关系如何 AD与 在空间中直线AD与BC的位置关系如何 ?
D C F D A B E A B E C F

公理4 公理4 平行于同一直线的两条直线 互相平行. 互相平行. 说明:公理4通常叫做空间平行线的传 说明:公理4通常叫做空间平行线的传 递性. 递性.

知识探究( ):两边分别平行的角 知识探究(三):两边分别平行的角

思考1:在平面上, 思考1:在平面上,如果一个角的两边与 1:在平面上 另一个角的两边分别平行, 另一个角的两边分别平行,那么这两个 角的大小有什么关系? 角的大小有什么关系?

思考2: 如图,四棱柱ABCD--A′B′C′D′ ABCD-思考2: 如图,四棱柱ABCD--A′B′C′D′
的底面是平行四边形, ADC与 的底面是平行四边形,∠ADC与∠A′D′C′, ∠ADC与 B′A′D′的两边分别对应平行 的两边分别对应平行, ∠ADC与∠B′A′D′的两边分别对应平行, 这两组角的大小关系如何 ?
C' D' C D A A' B D' C D A B' C' A' B B'

思考3:如图,在空间中AB// A′B′, 思考3:如图,在空间中AB// A′B′, 3:如图 A′C′,你能证明∠BAC与 AC// A′C′,你能证明∠BAC与 相等吗? ∠B′A′C′ 相等吗? C
E A E A D B D C B

定理 空间中如果两个角的两边分别 对应平行,那么这两个角相等或互补 相等或互补. 对应平行,那么这两个角相等或互补 说明:在这个定理中, 说明:在这个定理中,你能进一步指 定理中 出两个角相等的条件吗? 出两个角相等的条件吗? ①角的两边方向都相同,角相等; 角的两边方向都相同,角相等; 角的两边方向都相反,角相等; ②角的两边方向都相反,角相等; 角的两边只有一边方向相反, ③角的两边只有一边方向相反,两 角互补. 角互补.

理论迁移 (1)P45探究: 如图是一个正方体的表 P45探究: 探究 面展开图,如果将它还原为正方体, 面展开图,如果将它还原为正方体,那么 A AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线是 AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线是 异面直线的有多少对? 异面直线的有多少对?
C G D H E F E A B H G C A B F D

如图,空间四边形ABCD ABCD中 (2)如图,空间四边形ABCD中,E,F,G, H分别是AB,BC,CD,DA的中点. 分别是AB,BC,CD,DA的中点. AB 的中点 (1) 求证:四边形EFGH是平行四边形. 求证:四边形EFGH是平行四边形. EFGH是平行四边形 AC=BD,那么四边形EFGH是什么图形? EFGH是什么图形 (2) 若AC=BD,那么四边形EFGH是什么图形?
A H E D B F G C

知识探究( ):异面直线所成的角 知识探究(四):异面直线所成的角
b a α o a'

1.定义:对于两条异面直线a,b, 定义:对于两条异面直线a 定义 经过空间任一点O作直线a′‖a a′‖a, 经过空间任一点O作直线a′‖a, b′‖b, a′与b′所成的锐角( 所成的锐角 b′‖b,则 a′与b′所成的锐角(或 直角)叫做异面直线a 所成的角( 直角)叫做异面直线a与b所成的角(或 夹角) 夹角)

2.若点O的位置不同,则直线a′与b′的 2.若点O的位置不同,则直线a′与b′的 若点 a′ 夹角不会发生变化.为了作图方便, 夹角不会发生变化.为了作图方便,点O 通常取在两条异面直线中的一条上. 通常取在两条异面直线中的一条上. b
b'

O
α

a b'

a' o

a' o'

3.两条异面直线垂直: 3.两条异面直线垂直:当两条异面直线 两条异面直线垂直 所成的角是直角时, 所成的角是直角时,就说这两条直线互 相垂直.两条互相垂直的异面直线a, , 相垂直.两条互相垂直的异面直线 ,b, 记作a⊥ 记作 ⊥b.

做一做: 做一做: 在长方体ABCD A′B′C′D′中 ABCD(1)在长方体ABCD-A′B′C′D′中, AB垂直的棱有 与AB垂直的棱有 .
C' B' C B A A' D D'

(2)判断: 判断: 垂直于同一条直线的两 的两条 ①垂直于同一条直线的两条直线互 平行( 相平行( )

②如果两条平行直线中有一条与某 一条直线垂直,那么另一条也与这条直线 一条直线垂直 那么另一条也与这条直线 垂直( 垂直( ).

如图, 正方体ABCD A′B′C′D′中 ABCD(3) 如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中. 直线A′B CC′的夹角是 A′B和 ①直线A′B和CC′的夹角是 . ②棱 所在直线 与直线A′B垂直. A′B垂直 与直线A′B垂直.
D′ A′ D A B B′ C C′

如图,在四面体ABCD ABCD中 例 如图,在四面体ABCD中,E,F分 AE BF 1 别是棱AD BC上的点 AD, 上的点, 别是棱AD,BC上的点,且 ED = FC = 2 已知AB=CD=3 EF AB=CD=3, 求异面直线AB AB和 已知AB=CD=3, = 3 ,求异面直线AB和 CD所成的角 所成的角. CD所成的角 A
E M

D B F C

小结: 小结: 1.异面直线及夹角; 异面直线及夹角; 异面直线及夹角 2.异面直线互相垂直的意义; 异面直线互相垂直的意义; 异面直线互相垂直的意义

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