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高考数学必会知识点总结


高考数学必会知识点总结
§ 1 集合与简易逻辑
一、集合间的关系及其运算 (1)符号“ ?, ? ”是表示元素与集合之间关系的,如立体几何中的体现 点与直线(面)的关系 ; 符号“ ?, ? ”或“ ? , 线(面)的关系 。 (2) A ? B = ; A? B = ; CU A = . ”或“ ”等是表示集合与集合之间关系的,立体几何中的体现 面与直

(3) 交、 并、 补的运算性质: 对于任意集合 A、 B, CU ( A ? B) ? CU A ? CU B; CU ( A ? B) ? CU A ? CU B 切记: A ? B ? A ? B ? A ? A ? B ? A ? B ? B . (4)集合中元素的个数的计算: 若集合 A 中有 n 个元素,则集合 A 的所有不同的子集个数为 2 有非空真子集的个数是( 2 -2)。 【2014 年河南理科高考选择题第一题,考的是集合的运用,2015 年河南文科数学考的是集合的运算】 二、常用逻辑用语: 1、四种命题: ⑴原命题:若 p 则 q;⑵逆命题:若 q 则 p;⑶否命题:若 ? p 则 ? q;⑷逆否命题:若 ? q 则 ? p 注:1、原命题与逆否命题等价;逆命题与否命题等价。判断命题真假时注意转化。 2、注意命题的否定与否命题的区别:命题 p ? q 否定形式是 p ? ?q ;否命题是 ? p ? ? q .命题“ p 或 q ”的否定是“ ?p 且 ?q ” ; “ p 且 q ”的否定是“ ?p 或 ?q ”. 3、逻辑联结词: ⑴且(and) :命题形式 p ? q; ⑵或(or) : 命题形式 p ? q; ⑶非(not) :命题形式 ? p . p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 p?q p?q 真 真 假 真 假 真 假 假
n n n

,所有真子集的个数是( 2 -1),所

?p
假 假 真 真

“或命题”的真假特点是“一真即真,要假全假” ; “且命题”的真假特点是“一假即假,要真全真” ; “非命题”的真假特点是“一真一假” 4、充要条件 由条件可推出结论,条件是结论成立的充分条件;由结论可推出条件,则条件是结论成立的必要条件。 5、全称命题与特称命题: 短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体,逻辑中通常叫做全称量词,并用符号 ? 表示。含有全体量词 的命题,叫做全称命题。 短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分,逻辑中通常叫做存在 量词,并用符号 ? 表示,含有存在量词的命题,叫做存在性命题。 全称命题 p: ?x ? M , p( x) ; 特称命题 p: ?x ? M , p( x) ; 全称命题 p 的否定 ? p: ?x ? M , ?p( x) 。 特称命题 p 的否定 ? p: ?x ? M , ?p( x) ;

【2015 年河南高考试卷选择题第三题考的是命题中的否命题】

§ 2 函数和导数
1

一、函数的性质 1.定义域(自然定义域、分段函数的定义域、应用题中的定义域等) ; 2.值域(求值域:分析法、图象法、单调性法、基本不等式法、换元法、判别式法等) ; 3.奇偶性(在整个定义域内考虑) ,判断方法: Ⅰ . 定 义 法 — — 步 骤 : 求 出 定 义 域 并 判 断 定 义 域 是 否 关 于 原 点 对 称 ; 求 f (? x) ; 比较 f (? x)与f ( x) 或 f (? x)与 ? f ( x) 的关系;Ⅱ.图象法; 常用的结论 ①已知: H ( x) ? f ( x) g ( x) 若非零函数 f ( x), g ( x) 的奇偶性相同,则在公共定义域内 H ( x ) 为偶函数; 若非零函数 f ( x), g ( x) 的奇偶性相反,则在公共定义域内 H ( x ) 为奇函数; ②若 f ( x) 是奇函数,且 0 ? 定义域 ,则 f (0) ? 0 . 【2015 年河南高考数学,填空题第一题考的是奇偶性】 4.单调性(在定义域的某一个子集内考虑) ,证明函数单调性的方法: (1).定义法 步骤①:设 x1 , x2 ? A且x1 ? x2 ;②作差 f ( x1 ) ? f ( x2 ) (一般结果要分解为若干个

因式的乘积,且每一个因式的正或负号能清楚地判断出) ;③判断正负号。 另解:设 x1 ? x2 ? ?a, b?, x1 ? x2 那么

( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ? ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在? a, b ? 上是增函数; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在? a, b ? 上是减函数. x1 ? x2

(2).(多项式函数)用导数证明: 若 f ( x) 在某个区间 A 内有导数,则

f '( x) ? 0

? x ? A?

? f ( x) 在 A 内为增函数; f '( x) ? 0

? x ? A?

? f ( x) 在 A 内为减函数.

(3)求单调区间的方法: a.定义法: b.导数法: c.图象法: 若 f 与 g 的单调性相反,则 f ?g ( x)? 为减函数。注意:先求定义域,单调区间是定义域的子集 . .................... . (4)一些有用的结论: ①奇函数在其对称区间上的单调性相同; ②偶函数在其对称区间上的单调性相反; ③在公共定义域内: F( x ) (增)= f ( x) (增)+ g ( x) (增) ; F( x ) (减)= f ( x) (减)+ g ( x) (减) ; F( x ) (增)= f ( x) (增) ? g ( x) (减) ; F( x ) (减)= f ( x) (减) ? g ( x) (增) ; ④ 一 个 重 要 的 函 数 : 函 数 y ? ax ?
? ?? ? a ? ? a? ,0 ? 或? 0, ? ? ? b ? ? b?

d.复合函数 y ? f ?g ( x)? 在公共定义域上的单调性:若 f 与 g 的单调性相同,则 f ?g ( x)? 为增函数;

b (a ? 0, b ? 0) 在 ? ? ? ?, ? ? x ?

a? ? ?或 ? b? ?

? a ,?? ? ? b ?

上单调递增;在

上是单调递减.

5.函数的周期性 (1)定义:若 T 为非零常数,对于定义域内的任一 x,使 f ( x ? T ) ? f ( x) 恒成立,则 f ( x ) 叫做周
2

期函数,T 叫做这个函数 f ( x ) 的一个周期. T 的整数倍都是 f ( x ) 的周期。 二、函数的图象 1.基本函数的图象: (1)一次函数、 (2)二次函数、 (3)反比例函数、 (4)指数函数、 (5)对数函数、 (6)三角函数、 (7)函数 y ? ax ? 2.图象的变换 (1)平移变换 ①函数 y ? f ( x ? a)(a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ( x) 的图象沿 x 轴向左平移 a 个单位得到的;函数

b (a ? 0, b ? 0) . x

y ? f ( x ? a)(a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ( x) 的图象沿 x 轴向右平移 a 个单位得到的;
②函数 y ? f ( x) ? a( a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ( x) 的图象沿 y 轴向上平移 a 个单位得到的;函数

y ? f ( x) ? a(a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ( x) 的图象沿 y 轴向下平移 a 个单位得到的;
(2)对称变换 ①函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f (? x) 的图象关于直线 x=0 对称; 函数 y ? f ( x) 与函数 y ? ? f ( x) 的图象关于直线 y=0 对称; 函数 y ? f ( x) 与函数 y ? ? f (? x) 的图象关于坐标原点对称; ②如果函数 y ? f ( x) 对于一切 x ? R, 都有 f (a ? x) ?

f (a ? x) ,那么 y ? f ( x) 的图象关于直线

x ? a 对称;如果函数 y ? f ( x) 对于一切 x ? R, 都有 f (a ? x) ? f ( a ? x) ? 2b,那么 y ? f ( x) 的图象
关于点 ( a, b) 对称。 ③函数 y ? f (a ? x) 与函数 y ? f (a ? x) 的图象关于直线 x ? a 对称。 ④y? f
?1

( x) 与 y ? f ( x) 关于直 y ? x 对称。

(3)伸缩变换(主要在三角函数的图象变换中) 三、函数的反函数: 1.求反函数的步骤: (1)求原函数 y ? f ( x) ( x ? A) 的值域 B (2)把 y ? f ( x) 看作方程,解出 x ? ?( y ) (注意开平方时的符号取舍) ; (3)互换 x、y,得 y ? f ( x) 的反函数为 y ? f 2.定理: (1) f
?1 ?1

( x) ( x ? B ) .

(b) ? a ? f (a) ? b ,即点 (a, b) 在原函数图象上 ? 点 (b, a ) 在反函数图象上;
?1

(2)原函数与反函数的图象关于直线 y ? x 对称. 3.有用的结论:原函数 y ? f ( x) 在区间 [?a, a] 上单调的,则一定存在反函数,且反函数 y ? f 单调的,且单调性相同;但一个函数存在反函数,此函数不一定单调。 四、函数、方程与不等式 1. “实系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 有实数解”转化为“ ? ? b ? 4ac ? 0 ” ,你是否注意到必
2 2 2 须 a ? 0 ;当 a =0 时, “方程有解”不能转化为 ? ? b ? 4ac ? 0 。若原题中没有指出是“二次”方程、

( x) 也

函数或不等式,你是否考虑到二次项系数可能为零的情形? 2、利用二次函数的图象和性质,讨论一元二次方程实根的分布。 设 x1 , x 2 为方程 f ( x) ? 0, (a ? 0) 的两个实根。
3

①若 x1 ? m, x2 ? m, 则 ? f (m) ? 0 ; ②当在区间 (m, n) 内有且只有一个实根,时,



?(1) f (m) ? f (n) ? 0 ?? ?(2)考虑端点,验证端点。当 在 区 间 (m, n) 内 有 且 只 有 两 个 实 根 时 ,
?? ? 0 ? b ? ?n ?m ? ? ?? 2a ? f ( m) ? 0 ? ? ? f ( n) ? 0

④若

m ? x1 ? n ? p ? x2 ? q 时

?

? f ( m) ? 0 ? f ( n) ? 0 ? ? ? f ( p) ? 0 ? ? f (q) ? 0

注意:①根据要求先画出抛物线,然后写出图象成立的充要条件。 ②注意端点,验证端点。 五、指数函数与对数函数 1.指数式与对数式:
a ?0,a ?1,b?R, N ?0 ab ? N ?????? ?loga N ? b

对数的三个性质:① N ? 0 ;② log a 1 ? 0 ;③ loga a ? 1 对数恒等式:①

a loga N ? N ;② log

a

N?

n log m N n ;③ log am M ? log a M m log m a
n

对数运算性质:① loga (MN ) ? loga M ? loga N ; ② loga M ③ log a
r s

? n loga M ;

M ? log a M ? log a N . (a ? 0.a ? 1, M ? 0, N ? 0) N
r ?s

指数运算性质:① a a ? a

② (a ) ? a
r s

rs

r r ③ ? ab ? ? a b ? a ? 0, b ? 0, r, s ? Q? r

2.指数函数与对数函数 (1)特征图象与性质归纳(列表) 指数函数 y=ax (a>0,a≠1) 0<a<1 特征图 象 定义域 值域 单调性 定点 函数值 分布 (2)有用的结论
x x ?x ①函数 y ? a 与 y ? log a x (a ? 0且a ? 0) 图象关于直线 y ? x 对称; 函数 y ? a 与 y ? a ( a ? 0

对数函数 y=log ax (a>0,a≠1) 0<a<1 a>1

a>1

(-∞,+∞) (0,+∞) 减函数 (0,1) x<0 时,y>1; x>0 时, 0<y<1 x<o 0<y<1; x>0 时,y>1 时 , 增函数

(0,+∞) (-∞,+∞) 减函数 (1,0) 0<x<1 时 , y>0; x>1 时,y<0 0<x<1 时 , y<0; x>1 时,y>0 增函数

且 a ? 1 )图象关于 y 轴对称;函数 y ? log 1 x 与 y ? log a x ( a ? 0 且 a ? 0 )图象关于 x 轴对称.
a

4

②记住两个指数(对数)函数的图象如何区别? 六、导数: 1.几种常见函数的导数 (1) C ? ? 0 ( C 为常数) (2) ( xn )' ? nxn?1 (n ? Q) (5) (ln x )? ? (3) (sin x)? ? cos x (4) (cosx)? ? ? sin x (8) (a x )? ? a x ln a

1 x

x (6) (log a )? ?

1 e log a x

(7) (e x )? ? e x

2.导数的运算法则 (1) (u ? v)' ? u ' ? v' 3.复合函数的求导法则 设 函 数 u ? ? ( x) 在 点 x 处 有 导 数 ux ' ? ? ' ( x) , 函 数 y ? f (u ) 在 点 x 处 的 对 应 点 U 处 有 导 数
' ' ' ,或写作 f x' (? ( x)) ? f ' (u)? ' ( x) . yu ' ? f ' (u) ,则复合函数 y ? f (? ( x)) 在点 x 处有导数,且 yx ? yu ? ux

(2) (uv)' ? u 'v ? uv'

(3) ( ) ?
'

u v

u 'v ? uv ' (v ? 0) . v2

4.导数的几何物理意义: (1)几何意义:k=f (x0)表示曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))的切线的斜率。 曲线在点 P(x0,f(x0))处的切线方程为: y ? f ( x0 ) ? f / ( x0 )( x ? x0 ) (2)V=s (t)表示即时速度,a=v (t) 表示加速度。 5.单调区间的求解过程:已知 y ? f ( x) ①分析 y ? f ( x) 的定义域; ②求导数 y ? ? f ?( x) ; ③解不等式 f ?( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为增区间;解不等式 f ?( x) ? 0 ,解集在定义域内的部 分为减区间。 (或用列表法,见课本) 6.求极大、极小值:已知 y ? f ( x) ①分析 y ? f ( x) 的定义域; ②求导数 y ? ? f ?( x) ; ③求解方程 f ?( x) ? 0 (设有根 x1 , x2 ,?, xn ) ; ④列表判断 n ? 1 个区间内导数的符号,判断 f ( x1 ), f ( x2 ),?, f ( xn ) 是否为极值 ,如果是,是极大还 ..... 是极小值。 注:判别 f ( x0 ) 是极大(小)值的方法 当函数 f ( x) 在点 x0 处连续时, (1)如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极大值; (2)如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极小值. 注意:f (x0)=0 不能得到当 x=x0 时,函数有极值;但是,当 x=x0 时,函数有极值 ? f (x0)=0
/ / / / /

7.求函数在某闭区间[a,b]上的最大、最小值: ①②③同上;④比较 f ( a ) 、 f ( x1 ), f ( x2 ),?, f ( xn ) 、 f (b) ,最大的为 f ( x)max ,最小的为 f ( x) min . 注意:极值≠最值;最值问题一般仅在闭区间上研究(实际应用题除外,即应用题中有开区间问题). 【2015 年河南高考数学选择题 12 题,考的是函数的导数,求得最大值和最小值;2015 年很难高考数 学 21 题考的是导数的运用】

§ 3 数列
一、数列的定义和基本问题 1.通项公式: an ? f (n) (用函数的观念理解和研究数列,特别注意其定义域的特殊性) ;
5

2.前 n 项和: Sn =a1 ? a2 ??? an ; 3.通项公式与前 n 项和的关系(是数列的基本问题也是考试的热点) : an ? ? 二、等差数列: 1.定义和等价定义: an ? an?1 ? d (n ? 2) ? {an } 是等差数列; 2.通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d ? An ? B ;推广: an ? am ? (n ? m)d ; 3.前 n 项和公式: S n ?

n ?1 ?S1 , ?Sn ? Sn?1 , n ? 2

a1 ? a n n(n ? 1) ? n ? na1 ? d ? An2 ? Bn ; 2 2
a?b ; 2

4.重要性质举例:① a 与 b 的等差中项 A ?

②若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? ap ? aq ;特别地:若 m ? n ? 2 p ,则 am ? an ? 2a p ; ③奇数项 a1 , a3 , a5 ,?成等差数列,公差为 2 d ;偶数项 a2 , a4 , a6 ,?成等差数列,公差为 2 d . ④若有奇数项 2n ? 1 项, 则 S2n?1 ? (2n ? 1)a中 ;S 奇 ? S偶 ? a中 ,S奇 ? 若有偶数项 2n 项, 则 S 偶 ? S奇 ?
n d ,其中 d 为公差; 2 n ?1 n ?1 ( a中=a n?1 ) ; a中 ,S偶 ? a中 , 2 2

⑤设 A=Sn , B=S2n -Sn , C=S3n -S2n , 则有 2 B ? A ? C ; ⑥当 a1 ? 0, d ? 0 时, Sn 有最大值;当 a1 ? 0, d ? 0 时, Sn 有最小值. ⑦用一次函数理解等差数列的通项公式;用二次函数理解等差数列的前 n 项和公式.
' (8)若等差数列 ?an ? 的前 2n ? 1 项的和为 S 2 n?1 ,等差数列 ?bn ? 的前 2n ? 1 项的和为 S 2 n ?1 ,则

a n S 2 n ?1 ? ' bn S 2 n ?1

三、等比数列: 1.定义:

an ? q(n ? 2, an ? 0, q ? 0) ? {an } 成等比数列; an?1

2.通项公式: an ? a1q n?1 ;推广 an ? amqn?m ;

(q ? 1) ?na1 ? 3.前 n 项和 S n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ; (注意对公比的讨论) ? 1 ? q ? 1 ? q (q ? 1) ?
4.重要性质举例 ① a 与 b 的等比中项 G ? G ? ab ? G ? ? ab ( a , b 同号) ;
2

2 ②若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq ;特别地:若 m ? n ? 2 p ,则 am ? an ? ap ;

③设 A=Sn , B=S2n -Sn , C=S3n -S2n , 则有 B ? A ? C ;
2

④用指数函数理解等比数列(当 a1 ? 0, q ? 0, q ? 1时)的通项公式. 【2015 年河南文科数学 7 题,考的是通项公式的前 n 项和】
6

四、等差数列与等比数列的关系举例
an 1. ?an ? 成等差数列 ? b

? ? 成等比数列;2. ?a ? 成等比数列 ??log a ? 成等差数列.
n

an ?0

b

n

五、数列求和方法 : 1.等差数列与等比数列; 2.几种特殊的求和方法 (1)裂项相消法; a n ?

1 1 1 1 ? ( ? ) ( An ? B)( An ? C ) C ? B An ? B An ? C

(2)错位相减法: an ? bn ? cn , 其中 ?bn ? 是等差数列,

?cn ? 是等比数列

记 S n ? b1c1 ? b2 c2 ? ? ? bn?1cn?1 ? bn cn ;则 qSn ? b1c2 ???? bn?1cn ? bncn?1 ,? (3)通项分解法: an ? bn ? cn 【2015 年河南高考 17 题考的是求 an 的通项公式,以及数列求和方法】 六、递推数列与数列思想 1.递推数列 (1)能根据递推公式写出数列的前几项; (2)常见题型:由 f (Sn , an ) ? 0 ,求 an , S n .解题思路:利用 an ? S n ? S n?1 , (n ? 2) 2.数学思想 (1)迭加累加(等差数列的通项公式的推导方法)若 an ? an?1 ? f (n),(n ? 2) ,则??; (2)迭乘累乘(等比数列的通项公式的推导方法)若 (3)逆序相加(等差数列求和公式的推导方法) ; (4)错位相减(等比数列求和公式的推导方法).

an ? g (n)(n ? 2) ,则??; an?1

§ 4 三角函数
一、三角函数的基本概念 1.终边相同的角的表示方法(终边在 x 轴上;终边在 y 轴上;终边在直线 y ? x 上;终边在第一象限 等),理解弧度的意义,并能正确进行弧度和角度的换算; 2.任意角的三角函数的定义(三个三角函数)、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角三角函
2 2 数 的 关 系 式 ( 三 个 : 平 方 关 系 、 商 数 关 系 、 倒 数 关 系 ) sin ? ? cos ? ? 1 , tan ? =

sin ? , cos ?

1 ? tan 2 ? ?

1 诱导公式(奇变偶不变,符号看象限: ............ cos 2 ?

二、两角和与差的三角函数 1.和(差)角公式 (1) sin(? ? ? ) = (3) cos(? ? ? ) = (5) tan(? ? ? ) = 2.二倍角公式: (1) sin 2? = (2) cos 2? = (3) tan 2? =

; (2) sin(? ? ? ) = ; (4) cos(? ? ? ) = ; (6) tan(? ? ? ) = ; = .
7

. . . ;

=

3.有用的公式 (1)升(降)幂公式: sin ? ?
2

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 1 2 、 cos ? ? ; sin ? cos ? ? sin 2? ; 2 2 2

(2)辅助角公式: a sin ? ? b cos ? ? a 2 ? b2 sin(? ? ? ) ( ? 由 a , b 具体的值确定) ; (3)正切公式的变形:tan ? ? tan ? ? tan(? ? ? )(1 ? tan ? ? tan ? )

tan ? ? t a?n tan ? ? t a?n? ? 1 t a n? (?? )

4.有用的解题思路 (1) “变角找思路,范围保运算” ; (2) “降幂——辅助角公式——正弦型函数” ; (3)巧用 sin ? ? cos ? 与 sin ? ? cos ? 的关系; (4)巧用三角函数线——数形结合. 【2015 年河南高考题选择题第二题考的是和差角公式】 三、三角函数的图象与性质 1.列表综合三个三角函数 y ? sin x , y ? cos x , y ? tan x 的图象与性质,并挖掘: (1)最值的情况; (2)三函数的周期公式: 函数 y ? A sin(? x ? ? ) ,x∈R 及函数 y ? A cos(? x ? ? ) ,x∈R(A,ω , ? 为常数,且 A≠0,ω >0)的周期

T?

2?

?

;若ω 未说明大于 0,则 T ?

? 2? ;函数 y ? tan(? x ? ? ) , x ? k? ? , k ? Z (A,ω , ? 为常数, 2 |? |

且 A≠0,ω >0)的周期 T ?

? . ?

(3)会从图象归纳单调性、对称轴和对称中心;

? ?? ? y ? sin x 的单调递增区间为 ? 2k? ? , 2k? ? ? k ? Z 单调递减区间为 2 2? ? ? ? 3? ? ? 2k? ? , 2k? ? ? k ? Z ,对称轴为 x ? k? ? (k ? Z ) ,对称中心为 ? k? ,0 ? (k ? Z ) ? 2 2 2? ? y ? cos x 的单调递增区间为 ?2k? ? ? ,2k? ? k ? Z 单调递减区间为 ?2k? ,2k? ? ? ? k ? Z ,
对称轴为 x ? k? (k ? Z ) ,对称中心为 ? k? ?

2. 了解正弦、 余弦、 正切函数的图象的画法, 会用 “五点法” 画正弦、 余弦函数和函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的简图,并能由图象写出解析式. (1)“五点法”作图的列表方式; (2)求解析式 y ? A sin(? x ? ? ) 时初相 ? 的确定方法:代(最高、低)点法、公式 x1 ? ? 3.正弦型函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象变换 切记: y ? A sin ? x ??? ? y ? A sin(? x ? ? ) 注意图象变换有时用向量表达,注意两者之间的转译. 【2015 年河南高考试卷,选择题第八题,三角函数的单调性】 四、解三角形、 1.三个重要结论 (1)正弦定理:
平移

? , 0 ? (k ? Z ) 2 ? k ? ?? ? y ? tan x 的单调递增区间为 ? k? ? , k? ? ? k ? Z ,对称中心为 ( ? , 0)(k ? Z ) 2 2 2? ?

? ?

?

? . ?

? ?

a b c ? ? ? 2 R ( 2 R 为三角形 ABC 的外接圆直径)或写成 sin A sinB sin C a : b : c ? sin A : sin B : sin C

【2015 年河南高考 16 题,考的是三角形的正弦定理】
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(2)余弦定理: a 2

? b2 ? c 2 ? 2ab cos A,或写成 cos A ?

b2 ? c2 ? a2 2ab

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ca sin B 2 2 2 2.在使用正弦定理时判断一解或二解的方法:⊿ABC 中, A ? B ? sin A ? sin B
(3)三角形 ABC 面积公式: S ?

§ 5 平面向量和空间向量
一、向量的基本概念 向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量. 二、加法与减法运算 1.代数运算 (1) A1 A2 ? A2 A3 ? ? ? An?1 An ? A1 An . (2)若 a =( x1 , y1 ), b =( x2 , y2 )则 a ? b =( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) . 2.几何表示:平行四边形法则、三角形法则。 以向量 AB = a 、 AD = b 为邻边作平行四边形 ABCD,则两条对角线的向量 AC = a + b ,

BD = b - a , DB = a - b .且有︱ a ︱-︱ b ︱≤︱ a ? b ︱≤︱ a ︱+︱ b ︱.
3.运算律 向量加法有如下规律: a + b = b + a (交换律);

? ? ; a +0= a a +( b + c )=( a + b )+ c (结合律)

a +(- a )=0.

【2015 年河南高考选择题第七题,向量的加减】 三、实数与向量的积 实数 ? 与向量 a 的积是一个向量。1.︱ ? a ︱=︱ ? ︱·︱ a ︱; (1) 当 ? >0 时, ? a 与 a 的方向相同;当 ? <0 时, ? a 与 a 的方向相反;当 ? =0 时, ? a =0. (2)若 a =( x1 , y1 ) ,则 ? · a =( ?x1 , ?y1 ) . 2.两个向量共线的充要条件: (1) 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是:有且仅有一个实数 ? ,使得 b = ? a . (2) 若 a =( x1 , y1 ), b =( x2 , y2 )则 a ∥ b ? x1 y 2 ? x2 y1 ? 0 . 四、平面向量基本定理 1.若 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量 a ,有且只有一对实 数 ?1 , ? 2 ,使得 a = ?1 e1 +

??

?? ?

??

则 ?1 = ? 2 =0. 五、向量的数量积; 1.向量的夹角:

2. 有用的结论: 若 e1 、 若一对实数 ?1 , 使得 ?1 e1 + ? 2 e2 =0, ?2 , e2 是同一平面内的两个不共线向量,

?? ?? ?

?? ? ? 2 e2 .

??

?? ?

已知两个非零向量 a 与 b ,作 OA = a , OB = b ,则∠AOB= ? ( 0 ? ? ? 180 )叫做向量 a 与 b 的夹 角(两个向量必须有相同的起点 ) 。 .....
0 0

?

?

?

2.两个向量的数量积:已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角为 ? , 则 a · b =︱ a ︱·︱ b ︱cos ? . 其中︱ b ︱cos ? 称为向量 b 在 a 方向上的投影. 3.向量的数量积的性质:若 a =( x1 , y1 ), b =( x2 , y2 ) (1) e · a = a · e =︱ a ︱cos ?

?

?

?

?

?

?

?

?

(2) a ⊥ b ? a · b =0 ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ( a , b 为非零向量) ; (3)︱ a ︱=

?

?

( e 为单位向量);

?

?

? ? 2 2 a ? a ? x1 ? y1 ;

9

? ? x1 x 2 ? y1 y 2 a ?b (4)cos ? = ? ? = . (可用于判定角是锐角还是钝角 ) ............. 2 2 2 2 a?b x1 ? y1 ? x 2 ? y 2
4.向量的数量积的运算律:

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a · b = b · a ;( ? a )· b = ? ( a · b )= a ·( ? b );( a + b )· c = a · c + b · c .

六、点 P 分有向线段 P 1P 2 所成的比

1.定义:设 P1、P2 是直线 l 上两个点,点 P 是 l 上不同于 P1、P2 的任意一点,则存在一个实数 ? 使 2.位置讨论:

P1 P = ? P P2 , ? 叫做点 P 分有向线段 P 1P 2 所成的比。

? >0;特别地:点 P 是线段 P1P2 的中点是 ? ? 1 . (1)当点 P 在线段 P 1P 2 上时,

? <0; (2)当点 P 在线段 P 1P 2 或P 2P 1 的延长线上时,
3.分点坐标公式:若 P1 P = ? P P2 ; P ;则 1 , P, P 2 的坐标分别为( x1 , y1 ),( x , y ),( x2 , y 2 )

?x 2 ? x ? x11? ?? ? y ? y1 ? ?y 2 ? 1? ?

, ( ? ≠-1) , 中点坐标公式:

4.三点共线定理: 若 OA ? xOB ? yOC 则 A,B,C 共线的充要条件是 x+y=1 5.点的平移公式 ?

??? ?

??? ?

??? ?

x2 ? x ? x1 ? 2 ? y ? y1 ? y 2 2 ?



???? ??? ? ????' ? x' ? x ? h ? x ? x' ? h ? ? ' ? ? OP ? OP ? PP ? ' ' ?y ? y ? k ?y ? y ? k ? ?
'

(图形 F 上的任意一点 P(x,y)在平移后图形 F 上的对应点为 P' ( x ' , y ' ) ,且 PP' 的坐标为 ( h, k ) ). 七、空间向量 1. 空间两个向量的夹角公式 cos〈a,b〉=

????

a1b1 ? a2b2 ? a3b3
2 2 2 2 a ? a2 ? a3 b12 ? b2 ? b3 2 1

(a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ).

2.空间两点间的距离公式 若 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则 ??? ? ??? ? ??? ? d A, B = | AB |? AB ? AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2 .

§ 6 不等式
一、不等式的基本性质与定理 1.实数的大小顺序与运算性质之间的关系: a ? b ? a ?b ? 0 ; a ? b ? a ?b ? 0; a ? b ? a ?b ? 0 . 2.不等式的性质: (1) a ? b ? b ? a 或 a ? b ? b ? a (反对称性) (2) a ? b, b ? c ? a ? c 或 a ? b, b ? c ? a ? c (传递性) ; (3) a ? b ? a ? c ? b ? c 推论 1: a ? b ? c ? a ? c ? b (移项法则) ;推论 2: a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d (同向不等式相加) ; (4) a ? b, c ? 0 ? ac ? bc , a ? b, c ? 0 ? ac ? bc 推论 1: a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ;推论 2: a ? b ? 0 ? a ? b
n n

(5) a ? b ? 0 ? n a ? n b ( n ? N , n ? 2 ) ; (6) ab ? 0, a ? b ? 3.常用的基本不等式和重要的不等式
2 (1) a ? R, a ? 0, a ? 0 , 当且仅当 a ? 0 取“=”.
2 2 (2) a, b ? R, 则a ? b ? 2ab (当且仅当 a ? b 时取“=” )

1 1 ? (倒数法则) a b

10

(3) a, b ? R ? ,则 a ? b ? 2 ab (当且仅当 a ? b 时取“=” )

a?b ——算术平均数, ab ——几何平均数. 2 a 2 ? b2 a?b 2 ?( ) (当且仅当 a ? b 时取“=” (4) ) 2 2 4、最值定理:设 x, y ? 0,由x ? y ? 2 xy 得
注: (1)如积 xy ? P 为定值,则当且仅当 x ? y 时 x ? y 有最小值 2 P ;
2 (2)如和 x ? y ? S 为定值,则当且仅当 x ? y 时 x ? y 有最大值 ( ) .

S 2

即:积定和最小,和定积最大. 注:运用最值定理求最值的三要素:一正二定三相等. 5.含绝对值的不等式性质: a ? b ? a ? b ? a ? b (注意等号成立的情况). 【2015 年河南高考 24 题,考察不等式的运用】 二、解不等式 1.一元一次不等式 ax ? b(a ? 0) (1) a ? 0, ? x x ?

? b? b? (2) a ? 0, ? x x ? ? . ? ; a? a? ? ? 2 2 2 2. (1)一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0(或 ? 0) (a ? 0, ? ? b ? 4ac ? 0) ,如果 a 与 ax ? bx ? c 同
号,则其解集在两根之外;如果 a 与 ax ? bx ? c 异号,则其解集在两根之间.简言之:同号两根之外, 异号两根之间.
2

?

x1 ? x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) ; x ? x1 , 或x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) .
ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 解集为 R (2) 重要结论: (即 ax ? bx ? c ? 0 对 x ? R 恒成立) , 则 a ? 0, ? ? 0 .
2

2

(注:若二次函数系数含参数且未指明不为零时,需验证 a ? 0 ). 3.绝对值不等式: (1)零点分段讨论 ? a ? ?

a?0 ?a , ?? a a ? 0

(2) 转化法: f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x)或f ( x) ? ?g ( x) ; f ( x) ? g( x) ? ?g( x) ? f ( x) ? g( x) ; (3)数形结合 4.指数不等式与对数不等式 (1)当 a ? 1 时, a
f ( x)

?a

g ( x)

? f ( x) ? g ( x) ;

? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 . ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?

(2)当 0 ? a ? 1 时, a

f ( x)

?a

g ( x)

? f ( x) ? g ( x) ;

5.高次不等式、分式不等式——序轴标根法(穿针引线法) 步骤:①形式:

P( x) ? 0 或 P( x)Q( x) ? 0 (移项,一边化为 0,不要轻易去分母) ; Q( x ) ②因式分解,化为积的形式( x 系数符号>0——标准式) ;③序轴标根;④写出解集.

注意含参数的不等式的解的讨论 . .............. 四、一个有用的结论 关于函数 y ? x ?

p : x
11

1. p ? 0 时,当 x ? 0 时 x ?

p p ? 2 p ;当 x ? 0 时 x ? ? ?2 p .在(0, p ] 、 [? p ,0) 上是减函 x x

数;在 (? ?, p ] 、 [? p , ??) 上是增函数.

(0, ? ?) 2. p ? 0 时,在 ? ??, 上为增函数. 0? 、

§ 7 直线与圆
一、直线的基本量 1.两点间距离公式:若 A(x1 , y1 ), B(x 2 , y 2 ) ,则 AB ? 特别地: AB // x 轴,则 AB ?

( x2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2
.

; AB // y 轴,则 AB ?

2.直线 l : y ? kx ? b 与圆锥曲线 C: f ( x, y) ? 0 相交的弦 AB 长公式 消去 y 得 ax2 ? bx ? c ? 0 (务必注意 ? ? 0 ) ,设 A ( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 则:

AB ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 )2 ? (1 ? k 2 )[( x2 ? x1 ) 2 ? 4 x1 x2 ]
3.直线的倾斜角与斜率 (1)倾斜角 ? ?[0, ? ) ;当 ? ?

?
2

时,直线的斜率 k ? tan ? .

(2)常见问题:倾斜角范围与斜率范围的互化——右图 4.直线在 x 轴和 y 轴上的截距: (1)截距非距离; ( 2) “截距相等”的含义. 二、直线的方程: 直线方程的五种形式:

k (1)点斜式 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P 1 ( x1 , y1 ) ,且斜率为 ).
(2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距).

y ? y1 x ? x1 ( y1 ? y2 )( P ? 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )). y2 ? y1 x2 ? x1 x y (4)截距式 ? ? 1(a, b分别为x轴y轴上的截距,且a ? 0,b ? 0) a b (5)一般式 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0).
(3)两点式 三、两条直线的位置关系: (1)若 l1 : y ? k1x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ① l1 / /l2 ? k1 ? k2 , b1 ? b2 ; ② l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 . (2)若 l1 : A 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 , l2 : A 2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 , ① l1 / /l2 ? A ;② l1 ? l2 ? A ; 1B2 ? A 2B 1 ? 0且AC 1 2 ?A 2C1 ? 0 1 A2 ? B 1B2 ? 0 【2015 年河南高考 15 题,考的是直线的斜率】 五、点到直线的距离 1.点 P( x0 , y0 ) 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离: d ?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

2.平行线间距离:若 Ax ? By ? C1 ? 0 、 Ax ? By ? C2 ? 0 ,则 d ? 注意点:x,y 对应项系数应相等.且 C1 ? C2 六、圆:1.确定圆需三个独立的条件

C1 ? C 2 A 2 ? B2

.

(1)标准方程: ( x ? a) ? ( y ? b) ? r , 其中圆心为 ( a, b) ,半径为 r .
2 2 2

(2)一般方程: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E ? 4F ? 0) 其中圆心为 (?
2 2 2 2

D E ,? ) , 2 2

半径为 r ?

D 2 ? E 2 ? 4F . 2
12

2.直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系: 设圆心 C 到直线 l 的距离为 d,则相切 ? d=r,相交 ? d<r ? ,相离 ? d>r; 3.两圆的位置关系: 设两圆的半径分别为 R 和 r,圆心距为 d,则

外离 ? d>R+r,外切 ? d=R+r,相交 ? R-r<d<R+r,内切 ? d=R-r,内含 ? d<R-r; 【2015 年河南高考数学填空题 14 题,考的是圆的标准方程】

§ 8 圆锥曲线
一、椭圆,1.定义 ( 1 ) 第 一 定 义 : 若 F1 , F2 是 两 定 点 , P 为 动 点 , 且

PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1 F2 ( a 为常数)则 P 点的轨迹是椭圆。
(2)第二定义:若 F1 为定点,l 为定直线,动点 P 到 F1 的距 离与到定直线 l 的距离之比为常数 e(0<e<1) ,则 P 点的轨迹是椭 圆。 2. 标准方程: (1) 焦点在 x 轴上: 焦点在 y 轴上:

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) ; a2 b2

y 2 x2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 。 a 2 b2 (焦点的位置 ? 标准方程形式) 3.几何性质(以焦点在 x 轴上为例) : (1)范围: ? a ? x ? a 、 ?b ? y ? b (2)对称性:长轴长= 2 a ,短轴长=2b,焦距=2c

a c (3)离心率 e ? ,准线方程 x ? ? c a (4)有用的结论: PF 1 ? 2a ? PF 2 , a ? c ? PF 1 ? a ? c,
A1 F1 ? A2 F2 ? a ? c , A1 F2 ? A2 F1 ? a ? c , 顶点与准线距离、焦点与准线距离分别与 a, b, c 有关. (5) ?PF 、三角形面积公式 将有关线段 PF 1 F2 中经常利用余弦定理 1 PF2 1 、 PF2 、2c,有关角 ?F .... .......
结合起来,建立 PF1 + PF2 、 PF 1 ·PF2 等关系 二、双曲线【2015 年河南高考选择题,考的是双曲线与向量基本运算的结合】 1.定义: (1)第一定义: 若 F1,F2 是两定点, PF1 ? PF2 ? 2a ? F1 F2 ( a 为常数) ,则动点 P 的轨迹是双曲线。 (2)第二定义:若动点 P 到定点 F 与定直线 l 的距离之比是常数 e(e>1) ,则动点 P 的轨迹是双曲线。 【2014 年河南高考卷子选择题第四题考的是双曲线的第二定义】 2.标准方程

2

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) ; a2 b2 y2 x2 焦点 在 y 轴上: 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) . a b (2)焦点的位置 ? 标准方程形式 3.几何性质(以焦点在 x 轴上为例) (1)范围: x ? a 或 x ? ? a 、 y ? (??, ??) (2)对称性:实轴长= 2 a ,虚轴长=2b,焦距=2c.
(1)焦点在 x 轴上:

a c (3)离心率 e ? ,准线方程 x ? ? c a

2

13

(4)渐近线方程:

x2 y2 b ? 2 ?0? y?? x. 2 a a b x y x y b x ? ? ? 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 ? ? ;若双曲 a b a a b
2 2

与此有关的结论:若渐近线方程为 y ? ?

x2 y2 x2 y2 线与 2 ? 2 ? 1 有公共渐近线,可设为 2 ? 2 ? ? ( ? ? 0 ,焦点在 x 轴上;? ? 0 ,焦点在 y 轴上). a b a b (5)当 a ? b时 ? 离心率 e ? 2 ? 两渐近线互相垂直,分别为 y= ? x , 此时双曲线为等轴双曲线,可设为 x 2 ? y 2 ? ? ;
( 6 ) 注 意 ?PF 1 F2 中 结 合 定 义 PF1 ? PF2 ? 2 a 与 余 弦 定 理

cos?F1 PF2 ,将有关线段 PF1 、 PF2 、 F1 F2 和角结合起来。
【2015 年河南高考 20 题考的是双曲线】 三、抛物线 1.定义:到定点 F 与定直线 l 的距离相等的点的轨迹是抛物线。 即:到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离之比是常数 e(e=1) 。 2.标准方程(以焦点在 x 轴的正半轴为例) : y ? 2 px( p ? 0) (其 中 p 为焦点到准线的距离——焦参数) ; 3.几何性质
2

p p ,0) ,通径 AB ? 2 p ,准线: x ? ? ; 2 2 p p p (2) 焦半径: CF ? x0 ? , 过焦点弦长 CD ? x1 ? ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ? p . 2 2 2 p (3) 几何特征: 焦点到顶点的距离= ; 焦点到准线的距离= p ; 通径长= 2 p(通径是最短的焦点弦) , 2
(1) 焦点: ( 顶点是焦点向准线所作垂线段中点。

y (4)抛物线 y ? 2 px 上的动点可设为 P ( ? , y? ) 2p
2

2

【2015 河南文科 5 题考的是抛物线的几何性质】 四、直线与圆锥曲线的关系判断 1.直线与双曲线:当直线与双曲线的渐进线平行时,直线与双曲线仅有一个交点. 2.直线与抛物线:当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线仅有一个交点.

§ 9 立体几何
一、直线、平面、简单几何体: 1、学会三视图的分析: 2、斜二测画法应注意的地方: (1)在已知图形中取互相垂直的轴 Ox、Oy。画直观图时,把它画成对应轴 o'x'、o'y'、使∠x'o'y'=45° (或 135° ) ; (2)平行于x轴的线段长不变,平行于y轴的线段长减半. (3)直观图中的45度原图中 就是90度,直观图中的90度原图一定不是90度. 3、表(侧)面积与体积公式: ⑴柱体:①表面积:S=S 侧+2S 底;②侧面积:S 侧= 2?rh ;③体积:V=S 底 h ⑵锥体:①表面积:S=S 侧+S 底;②侧面积:S 侧= ?rl ;③体积:V= 【2015 年河南高考选择第六题考的是圆锥的体积】 ⑶台体①表面积:S=S 侧+S 上底 S 下底②侧面积:S 侧= ? (r ? r )l
'

1 S 底 h: 3

4 ⑷球体:①表面积:S= 4?R 2 ;②体积:V= ?R 3 3 【2015 年河南高考选择题第 10 题,考的是三视图和几何图形表面积】
14

4、位置关系的证明(主要方法) :注意立体几何证明的书写 (1)直线与平面平行:①线线平行 ? 线面平行;②面面平行 ? 线面平行。 (2)平面与平面平行:①线面平行 ? 面面平行。 (3)垂直问题:线线垂直 ? 线面垂直 ? 面面垂直。核心是线面垂直:垂直平面内的两条相交直线 5、求角: (步骤-------Ⅰ.找或作角;Ⅱ.求角) ⑴异面直线所成角的求法:平移法:平移直线,构造三角形; ⑵直线与平面所成的角:直线与射影所成的角 【2015 年河南高考 18 题,考的是几何图形如何建立直角坐标系,线面垂直,以及二面角】 二、主要思想与方法 1.计算问题: (1)空间角的计算步骤:一作、二证、三算 异面直线所成的角 范围:0°<θ ≤90° 方法:①平移法;②补形法. 直线与平面所成的角 范围:0°≤θ ≤90° 方法:关键是作垂线,找射影. 二面角 方法:①定义法;②三垂线定理及其逆定理;③垂面法. 注:二面角的计算也可利用射影面积公式 S′=Scosθ 来计算 (2)空间距离:两点之间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、两条平行线间的距离、两条异 面直线间的距离、平面的平行直线与平面之间的距离、两个平行平面之间的距离. 七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离.七种距离之间有密切联系, 有 些可以相互转化,如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离,平行线面间的距离或平行平面间的距 离都可转化成点到平面的距离. 在七种距离中,求点到平面的距离是重点,求两条异面直线间的距离是难点. 求点到平面的距离: (1)直接法,即直接由点作垂线,求垂线段的长.(2)转移法,转化成求另一点 到该平面的距离.(3)体积法. .. 2.平面图形的翻折,要注意翻折前后的长度、角度、位置的变化,翻折前后在同一个三角形中的角 度、长度不变 3.在解答立体几何的有关问题时,应注意使用转化的思想: ①利用构造矩形、直角三角形、直角梯形将有关棱柱、棱锥的问题转化成平面图形去解决. ②将空间图形展开(移出)是将立体几何问题转化成为平面图形问题的一种常用方法. ③补法把不规则的图形转化成规则图形,把复杂图形转化成简单图形. ④利用三棱锥体积的自等性,将求点到平面的距离等问题转化成求三棱锥的高. 【2015 年河南高考 22 题,考的是几何证明】 1.复数的相等 a ? bi ? c ? di ? a ? c, b ? d .( a, b, c, d ? R ) 2.复数的运算法则:设 z1 ? a ? bi, z2 ? c ? di. 则 ① z1 ? z2 ? (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ② z1 z2 ? (ac ? bd ) ? (ad ? bd )i ③

§ 10 复数

z1 ac ? bd bc ? ad 2 ? 2 ? 2 i(c ? d 2 ? 0) 2 2 z2 c ? d c ?d

3.复数 z1 ? a ? bi, z2 ? c ? di. 的模(或绝对值) | z | = | a ? bi | = a 2 ? b2 .其中 a, b ? R. ①z ? z; ②
n

z .z
1

2

?

z .z
1

2

;



z z

1 2

?

z ( z z
1 2

2

? 0);
2



z

n

?

z

; ⑤ z ? 1 ? z ? z ? 1;

⑥ z ? z ? z 2 ? z ? z ? z.

2

2

4.复数常用的运算技巧 ①i
4n

? 1 , i 4 n ?1 ? i , i 4n?2 ? ?1 , i 4 n ?3 ? ?i , i 4n? 4 ? 1 , i n ? i n?1 ? i n? 2 ? i n?3 ? 0(n ? Z )
15

② (1 ? i)2 ? ?2i



1? i 1? i ? i, ? ?i 1? i 1? i

【2015 年河南高考试卷选择题第一题,考的复数的运算和模】

§ 11 概率和统计
一、

概率

1,古典概率 ⑴定义:我们把试验中所有可能出现的基本事件是有限个;每个基本事件出现的可能性相等,具备以 上两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概率。 ⑵求法:如果一次试验中的等可能基本事件共有 n 个,那么每一个等可能事件的概率都是 个事件 A 包含了其中的 m 个等可能的基本事件,那么事件 A 发生的概率为: P ? A ? ?

1 ,如果某 n

m n

P(A)∈[0,1]

⑶利用概率的古典定义来求等可能事件概率的步骤: 1)先判断 2)确定基本事件总个数 n 3)算出事件 A 中包含的基本事件的个数 m 4)代入公式计算。 【2015 年河南文科数学 4 题考的是基本事件分类讨论】 2.几何概型

P(A)=

构成事件A的区域长度(面积或体积) 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

3.互斥事件 A,B 中有一个发生的概率: 加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B) 特例: B ? A 时, P(A) ? P(A) ? 1,即对立事件的概率和为 1 对于 n 个互斥事件 A1,A2,?, A n, 其加法公式为 P (A1+A2+?+An) =P (A1)+P(A2) +?+P(An) . 【2014 年河南高考数学选择题 5 考的是基本事件概率的计算】 4.独立事件 A,B 同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B). n 个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·?· An)=P(A1)· P(A2)·?· P(An).
k k n ?k 5.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率 P . n (k ) ? Cn P (1 ? P)

【2015 年河南高考数学选择题第四题,考的 n 次独立重复试验】 6.离散型随机变量的分布列的两个性质: (1) P ) ;(2) P i ? 0(i ? 1, 2,? 1?P 2 ? ? ? 1. 7.数学期望 E? ? x1P 1 ? x2 P 2 ? ? ? xn P n ?? 8.数学期望的性质: (1) E (a? ? b) ? aE (? ) ? b ; (2)若 ? ~ B(n, p) ,则 E? ? np . 9.方差 D? ? ? x1 ? E? ? ? p1 ? ? x2 ? E? ? ? p2 ? ? ? ? xn ? E? ? ? pn ? ?
2 2 2

10.标准差 ?? = D? . 【2014 年河南高考数学 18 题考的是方差与标准差,还有就是正态分布】 二、统计 1.总体、个体、样本、 ,样本个体、样本容量的定义; 2.抽样方法:统计抽样的基本方法有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种,这三种简单的抽样都是 等概率抽样,各方法的适用范围及相互关系如下表: 类 别 共同点 各 自 特 点
16

相 互 联 系

适 用 范 围

简单随 机抽样 系统抽 样 (等距 抽样) 抽样过程 中每个个 体被抽到 的概率都 相同,都 分 层 抽 样

从总体中逐个抽取(一般有 抽签法和随机数表法两种) 将总体分成几部分,按确定 在起始部分抽样时 的规则(抽取必须是等 采用简单随机抽样 距抽取)在各部分抽取 将总体分成几层,

总体中的 个体较少 总体中的个 数较多

总体由差异

n 为N

分层进行抽取(每层中抽取

各层抽样时采用简单 明显的几部 随机抽样或系统抽样 分组成

n 的比例数为 N )

3.变量间的相关关系,相关关系强弱的判断: 4. 回归直线方程与回归分析
^

r ??0.75,1? 正相关很强, r ??-1,-0.75? 负相关很强, r ??-0.25,0.25? 相关关系较弱.

(1)直线方程y =a+bx,叫做 Y 对 x 的回归直线方程,b 叫做回归系数.要确定回归直线方程,只要确 定 a 与回归系数 b. (2)用最小二乘法求回归直线方程中的 a,b 有下列公式
n ^

b =

i 1

∑ xiyi-n x =
i=1

y
2

^

^

^

^

∑x2 i -n x

n

,a = y -b x ,其中的a ,b 表示是求得的 a,b 的估计值.

(3)相关性检验 ①计算相关系数 r,r 有以下性质:|r|≤1,并且|r|越接近 1,线性相关程度越强;|r|越接近 0,线性相 关程度越弱; ②|r|>r0.05,表明有 95%的把握认为变量 x 与 Y 直线之间具有线性相关关系,回归直线方程有意义;否 则寻找回归直线方程毫无意义. 5. 独立性检验 (1)2×2 列联表: B A A 合计 n11 n21 n+1 B n12 n22 n+ 2 合计 n1+ n2+ n

其中 n1+=n11+n12,n2+=n21+n22,n+1=n11+n21,n+2=n12+n22,n=n11+n21+n12+n22. (2)χ2 统计量: n?n11n22-n12n21?2 χ2= . n1+n2+n+1n+2 (3)两个临界值:3.841 与 6.635 当 χ2>3.841 时,有 95%的把握说事件 A 与 B 有关;
17

当 χ2>6.635 时,有 99%的把握说事件 A 与 B 有关; 当 χ2≤3.841 时,认为事件 A 与 B 是无关的. 【2015 年河南高考,19 题考的是回归线方程】

§ 12 排列组合和二项式定理
1.分类计数原理(加法原理) N ? m1 ? m2 ? ? ? mn . 2.分步计数原理(乘法原理) N ? m1 ? m2 ??? mn .
m 3.排列数公式 An = n(n ? 1)?(n ? m ? 1) =

n! * .( n , m ∈N ,且 m ? n ). ( n ? m) !
m

m m?1 4.排列恒等式 (1) An ;(2) An ? ? (n ? m ?1) An

n m An ?1 ; n?m m m?1 n n?1 n m m m?1 (3) An . ? nAn ?1 ; (4) nA n ? A n ?1 ? A n ;(5) A n?1 ? A n ? mA n

m 5.组合数公式 C n =

n! Anm n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) * = = ( n , m ∈N ,且 m ? n ). m 1? 2 ? ? ? m m! ? (n ? m)! Am
m n?m m m?1 m = Cn ;(2) C n + Cn = Cn Cn ?1
m

6.组合数的两个性质(1) 7.组合恒等式(1) Cn ? (3) Cn ?
m

n ? m ? 1 m ?1 n m m Cn ;(2) Cn ? Cn ?1 ; m n?m

n n m?1 n r r r ?1 Cn ?1 ; (4) ? C n = 2 ; (5) Crr ? Crr?1 ? Crr?2 ? ? ? Cn ? Cn ?1 . m r ?0

m m 8.排列数与组合数的关系是: An . ?m ! ? Cn

0 n 1 n?1 2 n ?2 2 r n ?r r n n 9.二项式定理 (a ? b) n ? Cn a ? Cn a b ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b ; r n ?r r 1, 2?,n) . 二项展开式的通项公式: Tr ?1 ? Cn a b (r ? 0,

【2015 年河南理科高考数学,选择题第十题,考的二项式展开式的通项公式】

§ 13 框图
1. 程序框图 (1)通常用一些通用图形符号构成一张图来表示算法.这种图称做程序框图(简称框图). (2)基本的程序框图有起、止框、输入、输出框、处理框、判断框、流程线等图形符号和连接线构成. 2. 三种基本逻辑结构 名称 内容 顺序结构 最简单的算法结构,语 定义 句与语句之间,框与框 之间按从上到下的顺序 进行 依据指定条件选择执行 不同指令的控制结构 条件分支结构 循环结构

根据指定条件决定是否 重复执行一条或多条指 令的控制结构

18

程序框图

3.基本算法语句 (1)赋值语句 ①概念:用来表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句. ②一般格式:变量名=表达式. ③作用:计算出赋值号右边表达式的值,把该值赋给赋值号左边的变量,使该变量的值等于表达式的 值. (2)输入语句 ①概念:用来控制输入结构的语句. ②一般格式:变量名=input. ③作用:把程序和初始数据分开. (3)输出语句 ①概念:用来控制把求解结果在屏幕上显示(或打印)的语句. ②一般格式:print(%io(2),表达式). ③作用:将结果在屏幕上输出. (4)条件语句 ①处理条件分支逻辑结构的算法语句. ②条件语句的格式及框图. a.if 语句最简单的格式及对应的框图

b.if 语句的一般格式及对应的框图

(5)循环语句
19

①算法中的循环结构是由循环语句来实现的. ②循环语句的格式及框图. a.for 语句

b.while 语句

【2015 年河南理科高考题,选择题第九题框图】 § 14 坐标系与参数方程
1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

? :?
设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换

? x? ? ? ?x ? y? ? ? ?y

(? ? 0) (? ? 0) 的作用下,点 P(x,y)对应到点

P?( x?, y?) ,称 ? 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
2.极坐标系的概念 (1)极坐标系

如图所示

,在平面内取一个定点 O ,叫做极点,自极点 O 引一条射线 Ox ,叫做极轴;再选

定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角 坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐 标系. (2)极坐标 设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径,记为

? ;以极轴 Ox 为始边,射线 OM 为终

边的角 ?xOM 叫做点 M 的极角,记为 ? .有序数对 ( ? ,? ) 叫做点 M 的极坐标,记作 M ( ? , ? ) . 一般地,不作特殊说明时,我们认为 ? ? 0, ? 可取任意实数.

20

特别地,当点 M 在极点时,它的极坐标为(0, ? )( ? ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表 示. 如果规定 ? ? 0, 0 ? ? ? 2? ,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标 ( ? ,? ) 表示;同时,极坐标 ( ? ,? ) 表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如 图所示:

(2)互化公式:设 M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是 ( x, y ) ,极坐标是 ( ? ,? ) ( ? ? 0 ),于是极坐标与直 角坐标的互化公式如表: 点M 直角坐标 ( x, y ) 极坐标 ( ? ,? )

互化公式

? x ? ? cos ? ? ? y ? ? sin ?

? 2 ? x2 ? y 2
tan ? ? y ( x ? 0) x

在一般情况下,由 tan ? 确定角时,可根据点 M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程

圆心在极点 ,半径为 r 的圆

? ? r (0 ? ? ? 2? )

圆心为 ( r , 0) , 半径 为 r 的圆

? ? 2r cos ? (?

?
2

?? ?

?
2

)

(r , ) 2 , 半径 圆心为
为 r 的圆

?

? 2r sin ? (0 ? ? ? ? )

21

(1) 过极点,倾斜角为 ? 的直线

? ? ? ( ? ? R)或? ? ? ? ? ( ? ? R)
(2) ? ? ? ( ? ? 0)和? ? ? ? ? ( ? ? 0)

过点 ( a, 0) , 与极轴 垂直的直线

? cos ? ? a (?

?
2

?? ?

?
2

)

( a, ) 2 ,与极轴 过点
平行的直线

?

? sin ? ? a(0 ? ? ? ? )

注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即 ( ? ,? ),( ? , 2? ? ? ),(?? , ? ? ? ),(?? , ?? ? ? ), 都表示同一 点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少

M( , ) 4 4 可以表示为 有 一 个 能 满 足 极 坐 标 方 程 即 可 . 例 如 对 于 极 坐 标 方 程 ? ??, 点

? ?

? ? ? ? ? ? ? 5? ( , ) ( , ? 2? )或( , ? 2? )或(- , ) 4 4 4 4 4 4 等多种形式,其中,只有 4 4 的极坐标满足方程 ? ? ? .
二、参数方程 1.参数方程的概念

? x ? f (t ) ? x , y 都是某个变数 t 的函数 ? y ? g (t ) ①,并且对 一般地,在平面直角坐标系中 ,如果曲线上任意一点的坐标
于 t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点 M ( x, y ) 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数 方程,联系变数

x , y 的变数 t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫

做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方 程. (2)如果知道变数

x , y 中的一个与参数 t 的关系,例如 x ? f (t ) ,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的

? x ? f (t ) ? y ? g (t ) 就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使 x , y 的取值范 关系 y ? g (t ) ,那么 ?
围保持一致.
22

注:普通方程化为参数方程,参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题,关键在于适当地设 参数,如果选用的参数不同,那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。 3.圆的参数 如图所示,设圆 O 的半径为 r ,点 M 从初始位置

M 0 出发,按逆时针方向在圆 O 上作匀速圆周运动,设

? x ? r cos ? (? 为参数) ? M ( x, y) ,则 ? y ? r sin ? 。
这就是圆心在原点 O ,半径为 r 的圆的参数方程,其中 ? 的几何意义是 圆心为 ( a, b) ,半径为 r 的圆的普通方程是 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r ,
2 2 2

OM 0 转过的角度。

? x ? a ? r cos ? (? 为参数) ? y ? b ? r sin ? ? 它的参数方程为: 。
4.椭圆的参数方程

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), 2 b 以坐标原点 O 为中心,焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为 a 其参数方程为

? x ? a cos ? (?为参数) ? ? 称为离心角;焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程是 ? y ? b sin ? ,其中参数 ? x ? b cos? y 2 x2 (?为参数), ? ? ? 1( a ? b ? 0), y ? a sin ? ? ? ? a 2 b2 其参数方程为 其中参数 仍为离心角,通常规定参数
的范围为

? ∈[0,2 ? ) 。 ? 的几何意义为椭圆上任一点的离心角,要把它和这一点的旋转角 ? 区分开

注:椭圆的参数方程中,参数

来,除了在四个顶点处,离心角和旋转角数值可相等外(即在 0 到 2? 的范围内) ,在其他任何一点,两个

0 ?? ?
角的数值都不相等。但当

?
2 时,相应地也有

0 ?? ?

?
2 ,在其他象限内类似。

【2014 年河南高考 20 题考椭圆的基本性质】 5.双曲线的参数方程

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0), 2 b 以坐标原点 O 为中心,焦点在 x 轴上的双曲线的标准议程为 a 其参数方程为

? x ? a sec ? ? 3? (?为参数) ? ? ? [0, 2? )且? ? , ? ? . y ? b tan ? 2 2 ? ,其中
y 2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0), y 轴 上 的 双 曲 线 的 标 准 方 程 是 a 2 b2 焦 点 在 其 参 数 方 程 为

23

? x ? b cot ? (?为参数,其中? ? (0, 2? )e且? ? ? . ? ? y ? a csc ?
以上参数 ? 都是双曲线上任意一点的离心角。 6.抛物线的参数方程

? x ? 2 pt 2 (t为参数). ? 2 y ? 2 pt y ? 2 px ( p ? 0) 以坐标原点为顶点,开口向右的抛物线 的参数方程为 ?
7.直线的参数方程

经过点

M 0 ( x0 , y0 ) ,倾斜角为

? (? ?

?

) 2 的直线 l 的普通方程是 y ? y0 ? tan ? ( x ? x0 ), 而过 M 0 ( x0 , y0 ) ,

? x ? x0 ? t cos ? ? y ? y0 ? t sin ? (t为参数) l ? 倾斜角为 的直线 的参数方程为 ? 。
注:直线参数方程中参数的几何意义:过定点

M 0 ( x0 , y0 ) , 倾 斜 角 为 ? 的 直 线 l 的 参 数 方 程 为

? x ? x0 ? t cos ? ? ? y ? y0 ? t sin ? (t为参数) ,其中 t 表示直线 l 上以定点 M 0 为起点,任一点 M ( x, y) 为终点的有向线段

?????? ? M M M M0 M 的数量, 当点 M 在 0 上方时,t >0; 当点 M 在 0 下方时,t <0; 当点 M 与 0 重合时,t =0。
我们也可以把参数 t 理解为以

M 0 为原点,直线 l 向上的方向为正方向的数轴上的点 M 的坐标,其单位长

度与原直角坐标系中的单位长度相同。

【2015 年河南高考 23 题考的是坐标系与参数方程】

24


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