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上海市闵行区2017届高三一模数学试卷(含答案)


闵行区 2016 学年第一学期高三年级质量调研考试 数 学 试 卷
(满分 150 分,时间 120 分钟) 考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸上将学校、班级、考生号、姓名等填写清楚. 2.请按照题号在答题纸各题答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿 纸、试题卷上答题无效. 3.本试卷共有 21 道试题. 一、填空题(本大题共有 12 题,满分 54 分)考生应在答题纸上相应编号的空格内直接 填写结果,第 1~6 题每个空格填对得 4 分,第 7~12 题每个空格填对得 5 分,否则 一律得零分. 1. 方程 lg ? 3x ? 4? ? 1 的解 x ? _____________. 2. 若关于 x 的不等式

x?a ? 0 ? a, b ? R ? 的解集为 ? ??,1? ? ? 4, ??? , 则 a ? b ? ____. x?b
n

3. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? 2 ? 1 ,则此数列的通项公式为___________. 4. 函数 f ? x ? ? 5.

x ? 1 的反函数是_____________.
3

?1 ? 2 x ?

6

的展开式中 x 项的系数为___________. (用数字作答) D1 A1 D B M B1 C1 E C

E 为棱 CC1 的中 6. 如右图,已知正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 , AA 1 ?2,
点,则三棱锥 D1 ? ADE 的体积为________________.

7. 从单词“ shadow ”中任意选取 4 个不同的字母排成一排,则其中含 A 有“ a ”的共有_____________种排法. (用数字作答) 8. 集合 x cos(? cos x) ? 0, x ? ?0, ? ? ? _____. (用列举法表示) 9. 如右图,已知半径为 1 的扇形 AOB , ?AOB ? 60? , P 为弧 ? AB 上的一个动点,则 OP ? AB 的取值范围是__________. 10. 已知 x, y 满足曲线方程 x ?
2

?

?

??? ? ??? ?

1 ? 2 ,则 x 2 ? y 2 的取值范围是____________. y2

高三年级质量调研考试数学试卷

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11. 已知两个不相等的非零向量 a 和 b ,向量组 x1 , x2 , x3 , x4 和 y1 , y2 , y3 , y4 均由

??

??

?

?? ?? ? ?? ? ?? ?

? ?

?? ? ?? ? ?? ? ?? ?

?

2 个 a 和 2 个 b 排列而成.记 S ? x1 ? y1 ? x2 ? y2 ? x3 ? y3 ? x4 ? y4 ,那么 S 的所有
可能取值中的最小值是________________. (用向量 a , b 表示) 12. 已知无穷数列 ?an ? , a1 ? 1, a2 ? 2 ,对任意 n ? N ,有 an? 2 ? an ,数列 {bn } 满足
*

??

??

?? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ?
?? ? ?

?b ? ,若数列 ? 2 n ? 中的任意一项都在该数列中重复出现无数 bn?1 ? bn ? an ( n ? N* ) ? n ?
次,则满足要求的 b1 的值为_______________. 二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答 题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 13. 若 a , b 为实数,则“ a ? 1 ”是“ (A) 充要条件 (C) 必要不充分条件

1 ? 1 ”的 a
(B) 充分不必要条件 (D) 既不充分也不必要条件

(

)

14. 若 a 为实数, (2 ? ai)(a ? 2i) ? ?4i ( i 是虚数单位) ,则 a ? (A) ?1 (B) 0 (C) 1 (D) 2

(

)

2 15. 函数 f ? x ? ? x ?a 在区间 ??1,1? 上的最大值是 a ,那么实数 a 的取值范围是 (

)

(A) ?0, ???

(B) ? ,1? ?2 ?

?1 ?

(C) ? , ?? ? ?2 ?

?1

?

(D) ?1, ?? ?

16. 曲线 C1 : y ? sin x , 曲线 C2 : x2 ? ? y ? r ?

? ?

1? 2 它们交点的个数 ( ? ? r ? r ? 0? , 2?

2

)

(A) 恒为偶数 (B) 恒为奇数 (C) 不超过 2017 (D) 可超过 2017 三、解答题(本大题满分 76 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编 号的规定区域内写出必要的步骤. 17. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.

π ,斜边 AB ? 4 , D 是 AB 的 6 中点.现将 Rt△ AOB 以直角边 AO 为轴旋转一周得到一个圆锥,点 C 为圆锥底面圆周上的一点,且 ?BOC ? 90? , 求:
如图,在 Rt△ AOB 中, ?OAB ? (1)圆锥的侧面积; (2)直线 CD 与平面 BOC 所成的角的大小.(用反三角函数表示)

A

D

O 高三年级质量调研考试数学试卷 第 2 页共 9 页 C

B

18. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 10 分.

?? ? A ? ,sin A ? , A、B、C 是 △ ABC 的内角. 2 ? ? ?? ? (1)当 A ? 时,求 n 的值; 2 ?? ? ?? 2? (2)若 C ? , AB ? 3 ,当 m ? n 取最大值 时,求 A 的大小及边 BC 的长. 3
已知 m ? 2 3,1 , n ? ? cos 2

?? ?

?

?

19. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 10 分. 如图所示,沿河有 A、B 两城镇,它们相距 20 千米.以前,两城 镇的污水直接排入河里,现为保护环境,污水需经处理才能排放.两 城镇可以单独建污水处理厂,或者联合建污水处理厂(在两城镇之间 或其中一城镇建厂,用管道将污水从各城镇向污水处理厂输送).依 据经验公式,建厂的费用为 f (m) ? 25 ? m0.7 (万元), m 表示污水流 量;铺设管道的费用(包括管道费) g ( x) ? 3.2 x (万元) , x 表示输 送污水管道的长度(千米). 已知城镇 A 和城镇 B 的污水流量分别为 m1 ? 3 、m 2 ? 5 ,A 、B 两城镇连接污水处理厂的管道总长为 20 千米. 假定:经管道输送的污水流量不发生改变,污水经处理后直 接排入河中. 请解答下列问题(结果精确到 0.1 ) : (1)若在城镇 A 和城镇 B 单独建厂,共需多少总费用? (2) 考虑联合建厂可能节约总投资, 设城镇 A 到拟建厂的距 离为 x 千米,求联合建厂的总费用 y 与 x 的函数关系式,并求 y 的取值范围. B

A

20km

河 流
B

A x
污水处理厂★

河 流

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20. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分.

y2 ? 1 的左、 如图, 椭圆 x 2 ? 右顶点分别为 A 、B , 4
双曲线 ? 以 A 、 B 为顶点,焦距为 2 5 .点 P 是 ? 上 在第一象限内的动点,直线 AP 与椭圆相交于另一点

y

P

Q
M A

O

B

x

O 线段 AQ 的中点为 M , 记直线 AP 的斜率为 k , Q,
为坐标原点. (1)求双曲线 ? 的方程; (2)求点 M 的纵坐标 yM 的取值范围; (3)是否存在定直线 l ,使得直线 BP 与直线 OM 关于直线 l 对称?若存在,求直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

21. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 在平面直角坐标系上,有一点列 P P P2 , P ?, Pn?1, Pn , 设 点 Pk 的 坐 标 0, 1, 3, ,其中 xk、yk ? Z . 记 ?xk ? xk ? xk ?1 , ?yk ? yk ? yk ?1 ,且 ? xk , yk ? ( k ? N, k ? n ) 满足 ?xk ? ?yk ? 2 ( k ? N , k ? n ) .
*

(1)已知点 P 1 满足 ?y1 ? ?x1 ? 0 ,求 P 1 的坐标; 0 ? 0,1? ,点 P
* (2)已知点 P ,且 ? yk ? ( k ? N, k ? n )是递增 0 ? 0,1? , ?xk ? 1 ( k ? N , k ? n )

数列,点 Pn 在直线 l : y ? 3x ? 8 上,求 n ; (3)若点 P 0 的坐标为 ? 0, 0 ? , y2016 ? 100 ,求 x0 ? x1 ? x2 ? ? ? x2016 的最大值.

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闵行区 2016 学年第一学期高三年级质量调研考试 数学试卷参考答案与评分标准
一. 填空题 1.2 ; 2.5 ; 3.an ? 2n?1 6. ; 4. f
?1

? x ? ? ? x ? 1?

2

( x ? 1) ; 5. 160;
11. 4a ? b ;

4 ?? 2? ? ? 1 1? ?1 ? ; 7. 240 ;8. ? , ? ;9. ? ? , ? ; 10. ? , ?? ? ; 3 ?2 ? ?3 3 ? ? 2 2?
13.C; 14.B; 15.C; 16.D.

?? ? ?

12.2; 二. 选择题 三. 解答题 ??????????2 分
D A

17.[解] (1) S侧 =? rl

? 2 ? 4 ? ? ? 8?

??????????6 分 ??????8 分
C O E B

(2)取 OB 的中点 E ,连接 DE 、 CE , 则 DE // AO ,所以 DE ? 平面BOC ,

所以 ?DCE 是直线 CD 与平面 BOC 所成的角, ????10 分 在 Rt△DEC 中, CE ? 5, DE ? 3 , tan ?DCE ?

3 15 ????12 分 ? 5 5

所以 ?DCE ? arctan

15 5

所以直线 CD 与平面 BOC 所成的角的大小为 arctan 分

6 15 ( arcsin )???? 14 4 5

2 ?? ?? ? 1 ? 5 ?1? 18.[解] (1)当 A ? 时, n ? ? ,1? ? n ? ? ? ? 1 ? 2 2 ?2? ?2 ? ?? ? ?? 2 A ? sin A ? 3 ?1 ? cos A ? ? sin A (2) m ? n ? 2 3 cos 2

?

????4 分 ????6 分

?? ? ? 2sin ? A ? ? ? 3 3? ? ?? ? ?? ? m ? n 取到最大值时 , A ? 6 AB BC ? 由正弦定理 , sin C sin A
高三年级质量调研考试数学试卷

??????????8 分 ??????????10 分 ??????????12 分

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?

3 BC ? 2 ? sin ? sin 3 6

解得 BC ? 3

??????????14 分

19.[解] (1)分别单独建厂,共需总费用

y1 ? 25 ? 30.7 ? 25 ? 50.7 ? 131.1 万元
(2)联合建厂,共需总费用

??????????4 分

y ? 25 ? ? 3 ? 5 ?

0.7

? 3.2 ? x ? 3.2 20 ? x ( 0 ? x ? 20 )
0.7

所以 y 与 x 的函数关系式为 y ? 25 ? 8 令 h? x? ?

? 3.2

?
2

x ? 20 ? x ( 0 ? x ? 20 )??8 分

?

x ? 20 ? x ( 0 ? x ? 20 )
???10 分

h2 ? x ? ? 20 ? 2 x ? 20 ? x ? ? 20 ? 2 ? ? x ? 10? ? 100 ? ? 20, 40?
121.5 ? 25 ? 80.7 ? 3.2 ? 20 ? y ? 25? 80.7 ? 3.2 ? 40 ? 127.4
y 的取值范围为 ?121.5,127.4? .
20.[解] (1)设双曲线 ? 的方程为

??????????14 分

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,双曲线的焦距为 2c ;???2 分 a 2 b2

依题意可得 A ? ?1,0? , B ?1,0 ? ,

a ? 1, c ? 5 ;
?b2 ? c 2 ? a 2 ? 5 ? 1 ? 4

? 双曲线 ? 的方程为 x 2 ?
4分

y2 ?1 4

??????????

(2) 由题意可知,直线 AP, BP, OM 的斜率皆存在,且不为零. 设点 P ? x1 , y1 ? 、 Q ? x2 , y2 ? , 直线 AP 的方程为 y ? k ? x ? 1? ( 0 ? k ? 2 )

? y ? k ? x ? 1? ? 2 2 2 2 联立方程组 ? 整理,得 ? 4 ? k ? x ? 2k x ? k ? 4 ? 0 , y2 2 ?1 ?x ? ? 4
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???6 分

解得, x ? ?1 或 x ?

4 ? k2 4 ? k2 ,? x2 ? , 4 ? k2 4 ? k2
???8 分

得Q?

? 4 ? k 2 8k ? ? ?k 2 4k ? , M , , , ? ? 2 2 2 2 ? ? 4?k 4?k ? ? 4?k 4?k ?

因为 0 ? k ? 2 , yM ?

4k 4 ? 在 ? 0, 2 ? 上是增函数, 所以 yM ? ? 0,1? ???10 2 4 4?k k? k

分 ( 或 者 yM ?

4k 4 4 ? ? ?1 , 当 且 仅 当 k ? 2 时 取 等 号 , 所 以 2 4 4?k 4 k? 2 k? k k
4 k
??????

(3) 方法一: 由题 (2) 知直线 OM 的方程为: y ? ? x yM ? ? 0,1? ) 12 分

? y ? k ? x ? 1? 4 ? k2 ? 2 x ? 同理,解方程组 ? ,可得 , 1 y 2 4 ? k2 ?1 ?x ? ? 4
得点 P 的坐标为 ?

? 4 ? k 2 8k ? , 2 2 ? ? 4?k 4?k ?

直线 BP 的斜率 k BP ?

y1 4 ? x1 ? 1 k
4 ? x ? 1? , k
??????????14 分

直线 BP 的方程为: y ?

联立直线 BP 与直线 OM 的方程,解得 x ?

1 , 2 1 对 2

因为 直线 BP 与 OM 的 斜率互为相反 数,所以 直线 BP 与 OM 关于直 线 x ? 称. 方法二:由 P ? x1 , y1 ? 在双曲线上可得: 所以 k AP ? kBP ? 4 同理 k AQ ? kBQ ? ?4 ,即 k AP ? kOM ? ?4 ,
高三年级质量调研考试数学试卷

??????????16 分

y1 y ? 1 ?4 1? x 1? x1
??????????12 分 ??????????14 分
第 7 页共 9 页

因此 kOM ? kBP ? 0 设直线 OM : y ? k ?x ,则直线 BP : y ? ?k ? ? x ?1? ,解得 x ?

1 2 1 对 2

因为 直线 BP 与 OM 的 斜率互为相反 数,所以 直线 BP 与 OM 关于直 线 x ? 称.

??????????16 分

21.[解] (1)因为 xk ? Z 、 yk ? Z ,所以 ?xk , ?yk ? Z 又因为 ?x1 ? ?y1 ? 2 , 0 ? ?x1 ? ?y1 , 所以 ?

? ?x1 ? 1 ? ?y1 ? 2

??????2 分

所以 x1 ? x0 ? ?x1 ? 0 ? 1 ? 1, y1 ? y0 ? ?y1 ? 1 ? 2 所以点 P 1 的坐标为 ?1,3? (2)因为 x0 ? 0 , ?xk ? 1 ( k ? N* , k ? n ) , 得 xn ? x0 ? ?x1 ? ?x2 ? ?x3 ? ? ? ?xn ? n ?????????6 分 ??????????4 分

又 ?xk ? ?yk ? 2 , ?xk ? 1 ,得 ?yk ? ?2 ( k ? N* , k ? n ) , 因为 yk ? y0 ? ?y1 ? ?y2 ? ?x3 ? ? ? ?yk ,而 ? yk ? ( k ? N, k ? n )是递增数列, 故 ?yk ? 2 ( k ? N* , k ? n )

yn ? y0 ? ?y1 ? ?y2 ? ?x3 ? ?? ?yn ? 1? 2n ,
所以 P n ? n,1 ? 2n ?

????????8 分

1 ? 2n ? 3n ? 8 ,得 n ? 9 将P n ? n,1 ? 2n ? 代入 y ? 3x ? 8 ,得
(3) yn ? y0 ? ?y1 ? ?y2 ? ?y3 ? ?? ?yn

?????10 分

? y2016 ? ?y1 ? ?y2 ? ?y3 ? ? ? ?y2016 ? 100
记 Tn ? x0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn

??????????12 分

高三年级质量调研考试数学试卷

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? x0 ? ? x0 ? ?x1 ? ? ? x0 ? ?x1 ? ?x2 ? ??? ? x0 ? ?x1 ? ?x2 ? ?x3 ? ?? ?xn ? ? n?x1 ? ? n ?1? ?x2 ??? 2?xn?1 ? ?xn
因为 n ? 2016 是偶数, n ? 100 ,
2 Tn ? n?x1 ? ? n ? 1? ?x2 ? ? ? 2?xn ?1 ? ?xn ? 2 ? ? n ? ? n ? 1? ? ?? ? 2 ? 1? ? ?n ?n ?

??????????14 分

16 分 当

?y1 ? ?y2 ? ?y3 ? ? ? ?y100 ? 1,

?y101 ? 1, ?y102 ? ?1, ?, ?yn?1 ? 1, ?yn ? ?1,

2 , ?Tn ?max ? n ? n ?x1 ? ?x2 ? ?x3 ? ? ? ?xn ? 2 时(取法不唯一)

所以 ?T2016 ?max ? 2016 ? 2016 ? 4066272
2

?????????? 18



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