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1.2.1充分条件与必要条件


1.2.1 充分条件与必要条件 一、教学目标
重点: 充分条件、必要条件的概念,利用“ ? ”解决具体问题. 难点:充分条件、必要条件的判断. 知识点:使学生理解充分条件、必要条件的概念;能正确判断是否是充分条件或必要条件. 能力点:通过引导学生观察、归纳,培养学生的观察能力和归纳能力. 教育点:通过以学生为主体的教学方法,让学生自己构造数学命题,发展体验获取知识的感受;通过对 充分条件和必要条件与集合的关系的教学, 建立概念间的多元联系, 培养同学们多角度审视问题的习惯. 自主探究点:从命题真假、集合间的关系两种不同角度,理解充分条件、必要条件的概念. 考试点:充分条件、必要条件的判断. 易错易混点:在必要条件的判断上常出现问题. 拓展点:生活中的名言名句所含的逻辑关系.

二、复习引入
创设情境: 在日常生活中,常听人说: “这充分说明 ” , “没有这个必要”等,在数学中我们也有“充分”和“必 要”之说,这节课我们就来学习 1.2.1 充分条件与必要条件. 【设计意图】首先让学生感受生活中“充分” “必要”的含义,有利于激发学生的好奇心和求知欲;进而 引入新课题,并板书. 复习: 1.命题的常用形式. (学生回答) 2.写出命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的逆命题、否命题和逆否命题,并分别判断这四种命题的真假.
2

学生回答: 原命题:若 x ? 1 ,则 x ? 1 ; 真命题.
2

逆命题:若 x ? 1 ,则 x ? 1 ; 假命题.
2

否命题:若 x ? 1 ,则 x ? 1 ; 假命题.
2

逆否命题:若 x ? 1 ,则 x ? 1 ;真命题.
2

【设计意图】既复习了前面所学知识,又找准了学生知识结构上的生长点,重点强调条件与结论,为下面 充分条件和必要条件的学习做准备.

三、探究新知
在该问题中,原命题为真我们就称“ x ? 1 ”能推出“ x ? 1 ” .也就是说:只要有条件“ x ? 1 ”就能充
2

分保证结论“ x ? 1 ”成立.
2

【设计意图】通过对命题为真的这种新的表述方式的引入,意在顺利实现由“已有的知识结构”转入“新 知构建”的过程. 提出问题:
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1.你能举出一个“若 p ,则 q ”是真命题的例子吗?并说出条件和结论的联系. 【设计说明】教师引导学生说出条件和结论存在的联系. 以上命题中条件和结论之间的这种推出关系,反映了两者之间的一种“充分的”联系.在数学中我们 对这种联系可用一种新的定义—充分条件来描述,从而过渡到第 2 个问题. 2.由刚才的分析你能否尝试着归纳出充分条件的概念? 【设计意图】开拓学生的思维,培养学生归纳问题、总结问题的能力. 形成概念(教师板书) : 一般地, “若 p ,则 q ”是真命题,是指由 p 通过推理可以得出 q .这时,我们就说,由 p 可推出 q , 记作“ p ? q ” ,并且说 p 是 q 的充分条件(sufficient condition) ;q 是 p 的必要条件(necessary condition) . 【设计说明】学生归纳总结时不能说出 q 是 p 的必要条件,教师要补充说明,并板书概念.

四、理解新知
提出问题:对于 p 是 q 的充分条件容易理解,那么,如何理解 q 是 p 的必要条件呢? 解释:我们可从原命题与其逆否命题真假相同的角度来理解.在刚才问题中,命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”
2

的逆否命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”为真命题.是说“如果 x ? 1 不成立,那么 x ? 1 也不成立” .这就是说,
2 2

要使 x ? 1 成立,就必须有 x ? 1 成立.因此, “ x ? 1 ”是“ x ? 1 ”成立的必要条件.
2 2

【设计意图】通过以上的实例使学生亲身感知概念的发生与形成过程,进一步理解充分、必要条件定义, 帮助学生突破难点.

五、运用新知
例 1.下列“若 p ,则 q ”形式的命题中,哪些命题中的 p 是 q 的充分条件? (1)若 x ? 3 ,则 x ? 2 ; (2)若 x ? 1 ,则 x2 ? 4 x ? 3 ? 0 ; (3)若 x 为无理数,则 x 为无理数. 分析:判断 p ? q 是否成立即判断命题是否为真. 解:命题(1) (2)是真命题,命题(3)是假命题.所以,命题(1) (2)中的 p 是 q 的充分条件,命题(3)中的 p 不 是 q 的充分条件. 【设计说明】教师引导学生体验—问题的实质是判断命题“若 p ,则 q ”是否为真? 思考:对于本题中的三个命题,我们能否说 q 是 p 的必要条件呢? 分析:仍然是判断 p ? q 即判断命题的真假. 答:对于命题(1) (2)均可称 q 是 p 的必要条件,命题(3)中的 q 不是 p 的必要条件. 说明:如果“若 p ,则 q ”为假命题,那么由 p 推不出 q ,记作 p ? ? q .此时,我们就说 p 不是 q 的充 分条件, q 不是 p 的必要条件. 【设计意图】通过实例分析,将新知(充分条件、必要条件的概念)的构建过程转化为已有知识(命题真 假的判断)的应用过程. 通过思考题的解决顺利过渡到例 2. 例 2.下列“若 p ,则 q ”的命题中(若不是,请改为这种形式),哪些命题中的 q 是 p 的必要条件?
2 2 (1)若 x ? y ,则 x ? y ;
2

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(2)全等三角形面积相等; (3)若 a ? b ,则 ac ? bc . 解:命题(1) (2)是真命题,命题(3)是假命题.所以,命题(1) (2)中的 q 是 p 的必要条件. 【设计意图】通过练习进一步加强学生对必要条件的理解. 教师强调: ①“ p ? q ” , “ p 是 q 的充分条件” , “ q 是 p 的必要条件”是同一逻辑关系的三种不同描述形式(举例: 就如同你向别人介绍你妈妈的时候,你妈妈就不用在介绍你一样) ,前者是符号表示,后两者是文字表示; ②充分条件的含义用通俗的语言来说是指“有它就行” , 即“有之必然” ;必要条件的含义用通俗的语言 来说是指“缺它不行” ,即“无之必不然”. 【设计意图】提升学生的认识水平,从不同角度进一步帮助同学们理解“充分”和“必要”. 变式练习: 1.下列“若 p ,则 q ”形式的命题中,哪些 p 是 q 的充分条件? (1) p : x ? a2 ? b2 , q : x ? 2ab ; (2) p : x ? 5, q : x ? 10 ; (3) p : ab ? 0, q : a ? 0 . 答案:命题(1) (3)中的 p 是 q 的充分条件. 【设计意图】巩固新知,(3)也可以通过等价命题的真假进行判断,用不同的方法帮学生解决问题. 2.判断下列命题的真假: (1) ( x ? a)( x ? b) ? 0是x ? a 的必要条件; (2) sin ? ? sin ? 是? ? ? 的充分条件; (3)四边形对角线相等是四边形是平行四边形的必要条件. 答案:(1)正确,(2) (3)错误. 【设计意图】以上问题的解决,沟通了充分条件、必要条件与四种命题之间的关系,并帮助学生进一步理 解充分条件和必要条件,也为以后充要条件的学习作准备. 提炼方法: 提出问题,组织学生讨论:如何判断充分条件和必要条件? (1)分清谁是条件 p ,谁是结论 q ; (2)进行两次推理或判断,即判断 p ? q 是否成立, q ? p 是否成立; (3)根据(2)写出结论. 【设计意图】加深对充分条件、必要条件的认识,并浓缩成解题方法. 深化概念: 集合 P ? ?x | x ? 3? ,集合 Q ? ?x | x ? 2? .问集合 P 与集合 Q 是什么关系? 探究问题: 如果 p 表示某元素 x 属于集合 P , q 表示该元素属于集合 Q ,如何用集合间的关系理解“ p ? q ”的含 义? 分析: “ P ? Q ” 用图形可以表示为:

P P

Q

或 u o

P (Q )

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是指:某元素 x 属于集合 P ,那么该元素必属于集合 Q , 也就是说
x ? P ? x ? Q ,即:“ p ? q ”

所以 x ? P 是 x ? Q 的______条件,

x ? Q 是 x ? P 的______条件.
结论:若 P ? Q ,则 x ? P 是 x ? Q 的充分条件, x ? Q 是 x ? P 的必要条件.

【设计意图】通过前面的学习,学生可以初步理解充分、必要条件的概念,再从集合角度对这两个概念加 以分析,则可以使学生更准确深入地理解其中的内涵. 拓展延伸: 1.(学科联系)在下列电路图中,闭合开关 A 是灯泡 B 亮的什么 条件(用充分条件和必要条件) : 如图(1)所示,开关 A 闭合是灯泡 B 亮的 条件; 如图(2)所示,开关 A 闭合是灯泡 B 亮的 条件. 2.能力提升(开放性题目)填空(写出一个满足题意的即可) (1)“ ab ? 0 ”的一个充分条件是________; (2)“ x ? 3 ”的一个必要条件是________. 答案:1.(1)充分;(2)必要. 2.(1)可填: a ? 0, b ? 0, a ? 0且b ? 0 ,这三种中的任何一种; (2)可填: x ? 4 (形如 x ? a ,其中 a ? 3 的答案都是对的). 【设计意图】(1)说明数学和语文、物理等学科的联系,引导学生观察 2 中两个问题的问法和前面例题有无 不同,培养学生的观察能力;(2)从条件判断填空到开放的填写条件有助于彰显学生对问题的理解程度,通 过这组练习,可以了解学生“会了什么?” 、 “还存在什么问题?” ,使后面的教学更有针对性!

六、课堂小结
引导学生回顾本节课的教学过程,小结如下内容: (1)充分条件与必要条件的概念; (2)如何判断充分条件和必要条件? (3)判断充分条件、必要条件时我们用到了哪些方法?(定义法、等价法(逆否命题) 、集合法) (4)数学思想:等价转化. 教师总结(一首诗帮助学生记忆):充分必要逻辑深, 核心关键判假真. 分清条件和结论, 等价命题可判真. 【设计意图】再现课堂,小结提升,有助于学生明确学习的重点.

七、布置作业
-3-

1.阅读教材 P11—12; 2.书面作业 必做题:课本第 12 页 A 组 1、2; 补充题: 判断下列命题的真假: (1)“ a ? b ? 0 ”是“ a ? b ”的充分条件;
2 2 2 2 (2)“ a ? b ”是“ ac ? bc ”的必要条件;

(3)“函数 f ( x ) 是奇函数”是“ f (0) ? 0 ”的充分条件; (4)“ x ? 3 ”是“ | x |? 3 ”的充分条件; (5) tan ? ? 1是? ?

?
4

的充分条件.

答案:(1)真;(2)真;(3)假;(4)假;(5)真. 选做题: (1)设 A 是 C 的充分条件,B 是 C 的充分条件,D 是 C 的必要条件,D 是 B 的充分条件,那么,D 是 A 的 什么条件? A 是 B 的什么条件? 答案: D 是 A 的必要条件; A 是 B 的充分条件. (2)研究性课题(结合生活,丰富感知) 请试探讨下列生活中名言名句的逻辑关系. ①少壮不努力,老大徒伤悲;②谦虚使人进步,骄傲使人落后;③名师出高徒. 说明:充分、必要条件与生活中的推理判断密切相关.本题目要求从数学的角度审视生活中的语言,探讨 其中的逻辑关系.但此题的答案应当是开放的,不同的观点应当允许共存,关键是体验“数学地思维” . 【设计意图】设计作业 1,2,是引导学生先复习,再作业,培养学生良好的学习习惯.书面作业的布置, 是为了让学生能够运用知识解决简单的数学问题;研究性课题的安排,让学生探究生活中的逻辑关系,把 学习延伸到课外,体验“在生活中数学地思维” .要理解数学的价值,学会数学地思维应该是更根本的追 求.

八、教学反思
本节课的亮点是教学设计和实际教学中,教师本人更多的是站在一个引路人的角度,告诉学生该向哪 里走,怎么走,让他们自己去走.如:在例题与练习教学中由浅入深,引导学生多角度的审视问题,从不 同角度去看问题,分析问题,思考问题,从而可以使得对一个具体问题理解的更准确、更全面、更深刻.另 外我大多是先带领学生分析问题,探求解决问题的方法,在学生通过自己的努力尝试解答之后,我再进行 总结,避免了“满堂灌” .课后,我根据本节课实际教学过程中出现的问题,在第二课时的教学中作出调 整和弥补,并在第二课时中,加强对学生运用知识解决问题环节的训练.拓展延伸富有新意,有利于培养 学生的探索能力和创新意识,有利于培养学生的思维能力和思维品质,整个设计圆满地完成了教学任务. 本教学设计的作业选做 2,不同于通常的数学习题和数学问题,具有浓郁的文化气息,希望能成为是 点缀的花边而且是点睛的妙笔,将课堂的学习延伸至课外,让学生在生活中自觉地体验“数学地思维” . 本教案的弱项是拓展延伸能力提升的教学是存在困难的,问题的难度主要在于问题本身是一个开放式 的填空题.所以,我要先让学生通过观察对比几个例题的问法,找出问题问法的变化,然后使用已经总结 出的方法,尝试解决这一问题但仍有一些值得再探讨的问题,由于问题本身存在的难度,使得对于一些中 下的学生由于新知识还没有完全吸收,问题难度的上升导致思维有点混乱,因此未能很好的理解.在以后 的教学中可以考虑把该题教学放到第二课时.
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九、板书设计
1.2.1 充分条件与必要条件 例1 1.定义: 一般地, “若 p ,则 q ”是真 命题, 是指由 p 通过推理可以得出 q .这时,我们就说,由 p 可推出 q, 记作 “p?q” , 并且说 p 是 q 的充分条件; q 是 p 的必要条件. 2.判断步骤: (1)分清谁是条件 p ,谁是结论 q ; 例 2 (2) 进行两次推理或判断,即判断 p ? q 是否成立, q ? p 是否成 立; (3)根据(2)写出结论. 3.判断方法: 定义法、等价法(逆否命题) 、 集合法 作业

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