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【一本通】2014届高考数学一轮复习 第14章 离散型随机变量的均值与方差 理


2014 届高考数学(理)一轮复习 14 离散型随机变量的均值与方差
一、选择题 1.已 知随机变量 ξ 服从正态分布 N(1,σ ),P(ξ ≤4)=0.84,则 P(ξ ≤-2)=( A.0.16 C.0.68
2 2

)

B.0.32 D.0.84

解析:∵ξ ~N(1,σ ),P(ξ ≤

4)=0.84, ∴P(ξ ≤-2)=P(ξ >4)=1-P(ξ ≤4)=0.16. 答案:A 2.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2 分的概率为 b,不得分的概率为

c,a、b、c∈(0,1),且无其他得分情况,已知他投篮一次得分的数学期望为 1,
则 ab 的最大值为 A. C. 1 48 1 12 B. D. 1 24 1 6 ( )

1 解析:依题意得 3a+2b+0×c=1,∵a>0,b>0,∴3a+2b≥2 6ab,即 2 6ab ≤1,∴ab≤ . 24 答案:B 3.某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1 000 粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种 2 粒, 补种的种 子数记为 X,则 X 的数学期望为( A.100 C.300 B.200 D.4 00 )

解析:记“不发芽的种子数为 ξ ”,则 ξ ~B(1 0 00,0.1), 所以 E(ξ )=1 000×0.1= 100,而 X=2ξ , 故 E(X)=E(2ξ )=2E(ξ )=200. 答案:B 4.若随机变量 X~N(1,4),P (X≤0)=m,则 P(0<X<2)=( A.1-2m C. 1-2m 2 B. 1-m 2 )

D.1-m

解析:据题意知正态曲线关于直线 x=1 对称, 1 1 故 P(0<X<1)= -P(X≤0)= -m, 2 2 1 因此 P(0<X<2)=2P(0<X<1)=2( -m)=1-2m. 2
1

答案:A 5.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 1 分,罚不中得 0 分,已知某运动员罚球命中的概率为 0.7, 则他罚球 2 次(每次罚球结果互不影响)得分的均值是( A.0.7 C.1.4 B.1 D.2 )

解析:设 X 表示此运动员罚球 2 次的得分,则 X 的所有可能取值为 0,1,2.其分布列为

X P

0 0.3×0. 3

1 2×0.7×0.3

2 0.7×0.7

∴E(X)=0×0.09+1×0.42+2×0.49=1.4. 答案:C 6. 已知抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)的对称轴在 y 轴的左侧, 其中 a, , ∈{-3, b c -2, -1,0,1,2,3}, 在这些抛物线中,若随机变量 ξ =|a-b|的取值,则 ξ 的数学期望 E (ξ )= ( A. C. 8 9 2 5 B. D. 3 5 1 3
1 1 1 2

)

解析:对称轴在 y 轴的左侧(a 与 b 同号)的抛物线有 2C3C3C7=126 条,ξ 的可能取值有 0、1、2.

P(ξ =0)= P(ξ =1)= P(ξ =2)=
答案:A

6×7 1 = , 126 3 8×7 4 = , 126 9 4×7 2 8 = ,E(ξ )= . 126 9 9

二、填空题 7.某县农民的月均收入 ξ 服从正态分布,即 ξ ~N(1 000 ,40 ),则此县农民月均收入在 1 000 元到 1 080 元间人数的百分比为________. 1 解析:P(1 000<ξ ≤1 080)= P(920<ξ ≤1 080) 2 1 = P(1 000-80<ξ ≤1 000+80) 2 1 = ×0 .954 4=0.477. 2
2
2

答案:47.72% 8.随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,1),若 P(ξ <1)=0.841 3,则 P(-1<ξ <0)=________. 解析:依题意得 P(-1<ξ <0)=P(0<ξ <1)=P(ξ <1)-P(ξ <0)=0.841 3-0.5=0.341 3. 答案:0.3413 9.某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历.假定该毕业生得到甲公 2 司面试的概率为 ,得到乙、丙两公司面试的概率均为 p,且三个公司是否让其面试是相互独立的.记 X 为 3 1 该毕业生得到面试的公司个数.若 P(X=0)= ,则随机变量 X 的数学期望 E(X)=________. 12 1 1 2 解析:∵P(X=0)= =(1-p) × , 12 3 1 ∴p= ,随机变量 X 的可能值为 0,1,2,3, 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 5 因此 P(X=0)= ,P(X=1)= ×( ) + ×( ) = ,P(X =2)= ×( ) ×2+ ×( ) = ,P(X=3) 12 3 2 3 2 3 3 2 3 2 12 2 1 2 1 = ×( ) = , 3 2 6 1 5 1 5 因此 E(X)=1× +2× +3× = . 3 12 6 3 5 答案: 3 三、解答题 10.中华人民共和国《道路交通安全法》中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次:“酒后驾 车”和“醉酒驾车”, 其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量 Q(简称血酒含量, 单位是毫克/100 毫升), 当 20≤Q≤80 时,为酒后驾车;当 Q>80 时,为醉酒驾车.济南市公安局交通管理部门于 2011 年 2 月的某 天晚上 8 点至 11 点在市区设点进行一次拦查行动,共依法查出了 60 名饮酒后违法驾驶机动车者,如图为 这 60 名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图(其中 Q≥140 的人数计入 120≤Q<140 人数之 内).

(1)求此次拦查中醉酒驾车的人数; (2)从违法驾车的 60 人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取 8 人做样本进行研究,再从抽取的 8 人中任取 3 人,求 3 人中含有醉酒驾车人数 X 的分布列和数学期望.
3

解:(1)由已知得,(0.003 2+0.004 3+0.005 0)×20=0.25,0.25×60=15,所以此次拦查中醉酒 驾车的人数为 15 人. (2)易知利用分层抽样抽取 8 人中含有醉酒驾车者为 2 人,所以 X 的所有可能取值为 0,1,2. C6 5 C6C2 15 P(X=0)= 3= ,P(X=1)= 3 = , C8 14 C8 28
3 2 1

P(X=2)=

C6C2 3 , 3 = C8 28

1 2

X 的分布列为 X P
0 5 14 1 15 28 2 3 28

E(X)=0× +1× +2× = .
2 3 11.甲、乙、丙三人独立地对某一技术难题进行攻关.甲能攻克的概率为 ,乙能攻克的概率为 ,丙 3 4 4 能攻克的概率为 . 5 (1)求这一技术难题被攻克的概率; (2)现假定这一技术难题已被攻克,上级决定奖励 a 万元.奖励规则如下:若只有 1 人攻克,则此人 获得全部奖金 a 万元;若只有 2 人攻克,则奖金奖给此二人,每人各得 万元;若三人均攻克,则奖金奖 2 给此三人,每人各得 万元.设甲得到的奖金数为 X,求 X 的分布列和数学期望. 3 2 3 4 1 1 1 59 解: (1)这一技术难题被攻克的概率 P=1-(1- )(1- )(1- )=1- × × = . 3 4 5 3 4 5 60 (2)X 的可能取值分别为 0, , ,a. 3 2 1 ×? 3 P(X=0)= 1 1 1- × ? 4 5 59 60 19 = , 59

5 14

15 28

3 28

3 4

a

a

a a

2 3 4 × × a 3 4 5 24 P(X= )= = , 3 59 59 60

4

2 3 1 1 4 ×? × + × ? 4 5 4 5 a 3 14 P(X= )= = , 2 59 59 60 2 1 1 × × 3 4 5 2 P(X=a)= = . 59 59 60 ∴X 的分布列为

X P

0 19 59

a
3 24 59

a
2 14 59

a
2 59

19 a 24 a 14 2 17 E(X)=0× + × + × +a× = a. 59 3 59 2 59 59 59 12.某市公租房的房源位于 A、B、C 三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源,且申请其 中任一个片区的房源是等可能的.求该市的任 4 位申请人中: (1)恰有 2 人申请 A 片区房源的概率; (2)申请的房源所在片区的个数 ξ 的分布列与期望. 解:(1)法一:所有可能的申请方式有 3 种,恰有 2 人申请 A 片区房源的申请方式有 C4·2 种,从而 C4·2 8 恰有 2 人申请 A 片区房源的概率为 4 = . 3 27 法二:设对每位申请人的观察为一次试验,这是 4 次独立重复试验. 1 记“申请 A 片区房源”为事件 A,则 P(A)= . 3 从而, 由独立重复试验中事件 A 恰发生 k 次的概率计算公式知, 恰有 2 人申请 A 片区房源的概率为 P4(2) 8 2 1 2 2 2 =C4( ) ( ) = . 3 3 27 (2)ξ 的所有可能值为 1,2,3.
2 2 4 2 2

P(ξ =1)= 4= , P(ξ =2)= P(ξ =3)=
C3?
2

3 3

1 27

C2C4+C4C2? 14 C3? = (或 P(ξ =2)= 4 3 27
2 3

1 3

2 2

2

2 -2? 14 = ), 4 3 27

4

C3C4C2 4 C4A3 4 4 = (或 P(ξ =3)= 4 = ). 3 9 3 9

1 2 1

综上知,ξ 有分布列 ξ 1 2 3
5

P

1 27

14 27

4 9

1 14 4 65 从而有:E(ξ )=1× +2× +3× = . 27 27 9 27

6


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