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等比数列的前n项和学案


等比数列的前 n 项和学案(第一课时) 教学目标 理解并掌握等比数列前 n 项和公式的推导过程、 公式的特点, 在此基础上能初步应用公 式解决与之有关的问题。通过对公式推导方法的探索与发现,向学生渗透特殊到一般、类比 与转化、分类讨论等数学思想,培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力.和逆向 思维的能力 重点、难点 教学重点:公式的推导、公式的特点和公式的运用. 教学难点:

公式的推导方法和公式的灵活运用 (I)复习回顾 (1) 定义: (2) 等比数列通项公式: (3) 等差数列通项的推导思想: (4) 在等比数列

?a ?中,公比为 q ,则 a
n

k ?1

? qak ?

(II)探索与研究: 一天一个人找到一个百万富翁对他说,我每天给你 10 万元,而你第一天给我 1 分,第二天 给我 2 分,第三天给我 4 分,即后一天给我的钱是前一天的 2 倍,如此下去一个月,咱俩签个合 约你愿意吗? 如果是你你会签这个合约吗?

1 ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? 2 4 ? ?2 29 应归结为什么数学问题呢?
探讨 1:设 S30 ? 1 ? 2 ? 2 2 ? 23 ? 2 4 ? ?2 29 记为(1)式,注意观察每一项的特征, 有何联系? 探讨 2: 如果我们把每一项都乘以 2,就变成了它的后一项,(1)式两边同乘以 2 则有 2 S30 ? 2 ? 2 2 ? 23 ? 2 4 ? ?230 ,记为(2)式.比较(1)(2)两式,你有什么发现? 如何求 S 30 ? (1)式两边同乘以的 2 是此数列中的什么?若此题(1)式改为

S30 ? 1 ? 3 ? 32 ? 33 ? 34 ? ?329 那么根据这种方法在(1)式两边应同乘以几呢?
设等比数列

?a ?是首项为 a , 公比为 q 的等比数列的前 n 项和 S
n
1

n

= a1 ? a2 ? a3 ? ?an

= a1 ? a1q ? a1q ? a1q ? ?a1q
2 3

n?1

如何求 S n 呢?你有几种办法?

写出等比数列 n 项和公式 请你用等比数列的前 n 项和公式计算出国际象棋盘中的麦粒数吗? 应用求和公式时应注意什么问题呢?

1

等比数列的前 n 项和有什么特征?已知一个数列的前 n 项和 S n =A+B q n ,该数列是等比数列 的条件是什么? 练习;等比数列{an}的前 n 项和 S n = ( ) +a,则 a 的值为 一基本量题型 1. 求下列等比数列前 n 项的和: ⑴

1 2

n

1 1 1 , , ,?; 2 4 8

(2) a1 ? 3, q ? 2, n ? 6 ; (3) a1 ? 8, q ?

1 1 , an ? ; 2 2
1 ,q ? 0 . 243

(4) a1 ? 27 , a9 ? 变式

1 在等比数列{an}中, q ?

1 31 ,n=3, S n ? ,则 a1 为 2 8

2.已知等比数列{an}的前 n 项和为 S n , S 3 ? 3, S 6 ? 27, 则此等比数列的公 比等于

3 设等比数列{an}的前 n 项和为 S n ,公比 q=2,则 A2 B4 C

S4 ?( a2
17 2



15 2

D

4、如果等比数列前 3 项之和等于首项的 3 倍,则该数列的公比等于( A.1 B.-2 C.1 或-2 D.-1 或 2



请给你的同桌编一道关于知三求二( a1 , q, n, an , S n )的题 二知识拓展 求和 1. a ? a ? a ? a ? ? ? a
2 3 4 n

3 n 2 (2 ? 1 )+( 2 ? 1 )+( 2 ? 1) +?( 2 ? 1)
2

2

3

(2 ? 1) ? (2 2 ? 2) ? (23 ? 3) ? ? ? (2 n ? n)

4.

9+99+999+?+99?9 n个9

你能归纳出 2.3.4 题的一般方法吗? 三能力提升 1 高一八班受到表扬了 假如这个消息首先由班长在早上 7 点知道,并用一个小时告诉了另 外两位同学;这两位同学又用一个小时分别告诉未知此消息的另外两位同学。如此下去, 则到下午 5 点,全校同学是否都已知道这个消息?(全校同学共约 1400 人)

2. 如果 f(x+y)=f(x)f(y),且 f(1)=2,则 f(1)+f(2)+f(3)+?f(2010)

课后作业.必做: P61 习题 1.2 选做 思考题(1)求和 x ? 2 x ? 3x ? ?nx
2 3 n

(2)“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?” 这首中国古诗的答案是多少?

3


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