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高考数学系统复习资料 空间向量应用


高考数学系统复习资料
空间向量及其应用
一.课标要求:
(1)空间向量及其运算 ① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程; ② 了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正 交分解及其坐标表示; ③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示; ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与 垂直。 (2)

空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量; ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系; ③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理) ; ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题,体会向量方法在研究 几何问题中的作用。

? ? BA ? OA ? OB ? a ? b
? OP ? ?a (? ? R)
加法交换率: a ? b ? b ? a. 加法结合率: (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ). 数乘分配率: ? (a ? b ) ? ?a ? ?b . 说明: ①引导学生利用右图验证加法交换率, 然后推广到首尾相接的若干向量之和; ②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3. 平行向量(共线向量): 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合, ? ? ? ? 则这些向量叫做共线向量或平行向量。 a 平行于 b 记作 a ∥ b 。 ? ? 注意:当我们说 a 、b 共线时,对应的有向线段所在直线可能是同一直线,也可能是 ? ? 平行直线;当我们说 a 、 b 平行时,也具有同样的意义。
? ? ? ? ? 共线向量定理:对空间任意两个向量 a ( a ≠ 0 ) b , a ∥ b 的充要条件是存在实 、 ? ? 数 ? 使b = ? a ? ? ? ? ? 注:⑴上述定理包含两个方面:①性质定理:若 a ∥ b ( a ≠0) ,则有 b = ? a ,其 ? ? ? ? ? 中 ? 是唯一确定的实数。 ②判断定理: 若存在唯一实数 ? , b = ? a a ≠0)则有 a ∥ b 使 ( , ? ? ? ? ? ? (若用此结论判断 a 、 b 所在直线平行,还需 a (或 b )上有一点不在 b (或 a )上) 。 ? ? ? ? ? ⑵对于确定的 ? 和 a , b = ? a 表示空间与 a 平行或共线,长度为 | ? a |,当 ? >0 ? ? 时与 a 同向,当 ? <0 时与 a 反向的所有向量。 ? ⑶若直线 l∥ a , A ? l ,P 为 l 上任一点,O 为空间任一点,下面根据上述定理来 推导 OP 的表达式。 ? 推论:如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线,那么对任一点 O, 点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t,满足等式

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

二.命题走向
本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本讲是立体几何的核 心内容,高考对本讲的考察形式为:以客观题形式考察空间向量的概念和运算,结合主 观题借助空间向量求夹角和距离。 预测 07 年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用,尤其是求夹角、求距离, 教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解,加大了向量的应用,因此作为 立体几何解答题,用向量法处理角和距离将是主要方法,在复习时应加大这方面的训练 力度。

三.要点精讲
1.空间向量的概念 向量:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法:用有向线段表示,并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向 量。 说明:①由相等向量的概念可知,一个向量在空间平移到任何位置,仍与原来的向 量相等,用同向且等长的有向线段表示;②平面向量仅限于研究同一平面内的平移,而 空间向量研究的是空间的平移。 2.向量运算和运算率

? OP ? OA ? ta
其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量。 在 l 上取 AB 当t ?



?

? ? a ,则①式可化为

OP ? (1 ? t )OA ? t OB.



? ? OB ? OA ? AB ? a ? b

1 1 时,点 P 是线段 AB 的中点,则 ③ OP ? (OA ? OB ). 2 2 ①或②叫做空间直线的向量参数表示式,③是线段 AB 的中点公式。

第 1 页 共 6 页

注意:⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基础,也是常用的直线参数方程的 表示形式;⑵推论的用途:解决三点共线问题。⑶结合三角形法则记忆方程。 ? ? 4. 向量与平面平行: 如果表示向量 a 的有向线段所在直线与平面 ? 平行或 a 在 ? 平 ? ? ? 面内,我们就说向量 a 平行于平面 ? ,记作 a ∥ ? 。注意:向量 a ∥ ? 与直线 a∥ ? 的 联系与区别。 共面向量:我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。 ? ? ? ? ? 共面向量定理 如果两个向量 a 、 b 不共线,则向量 p 与向量 a 、 b 共面的充要条 件是存在实数对 x、y,使 p ? xa ? yb . ① 注:与共线向量定理一样,此定理包含性质和判定两个方面。 推论:空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是存在有序实数对 x、y,使

推论:设 O、A、B、C 是不共面的四点,则对空间任一点 P,都存在唯一的有序实 数组 x、y、z ,使 OP ? xOA ? yOB ? zOC. 6.数量积
? ? ? ? (1) 夹角: 已知两个非零向量 a 、b , 在空间任取一点 O, OA ? a ,OB ? b , 作

则角∠AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角,记作 ? a ,b ?

?

?

?

?

?

?

?

MP ? x MA ? y MB, ④
或对空间任一定点 O,有 OP ? OM ? x MA ? y MB. ⑤ 在平面 MAB 内,点 P 对应的实数对(x, y)是唯一的。①式叫做平面 MAB 的向量 表示式。 又∵ MA ? OA ? OM ,. MB ? OB ? OM ,. 代入⑤,整理得
OP ? (1 ? x ? y )OM ? xOA ? yOB.

? a ? a
? b

A
? a ? a ? O b (1)? a ? a ? a

A
? a ? a ? a ? a O ? (2) a ? a

B
? a

? b

? b

B
? a

? ? ? ? ? ? 说明:⑴规定 0≤ ? a ,b ? ≤ ? ,因而 ? a ,b ? = ?b ,a ? ;
⑵如果 ? a ,b ? =

? a

? a

? a

A
? a

?

?



? ? ? ? ? ,则称 a 与 b 互相垂直,记作 a ⊥ b ; 2

由于对于空间任意一点 P,只要满足等式④、⑤、⑥之一(它们只是形式不同的同 一等式) ,点 P 就在平面 MAB 内;对于平面 MAB 内的任意一点 P,都满足等式④、⑤、 ⑥,所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量 MA 、 MB (或不共线三点 M、A、B) 确定的空间平面的向量参数方程,也是 M、A、B、P 四点共面的充要条件。 ? ? ? 5.空间向量基本定理:如果三个向量 a 、 b 、 c 不共面,那么对空间任一向量,存 z, 使 p ? xa ? yb ? zc . ? ? ? 说明:⑴由上述定理知,如果三个向量 a 、 b 、 c 不共面,那么所有空间向量所组 ? ? ? ? ? ? ? ? 成的集合就是 p | p ? xa ? yb ? zc , x、y、z ? R ,这个集合可看作由向量 a 、 b 、 c 生 ? ? ? ? ? ? 成的,所以我们把{ a , b , c }叫做空间的一个基底, a , b , c 都叫做基向量;⑵空 间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底;⑶一个基底是指一个向量组, ? 一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同的概念;⑷由于 0 可视为与 任意非零向量共线。与任意两个非零向量共面,所以,三个向量不共面就隐含着它们都 ? 不是 0 。 在一个唯一的有序实数组 x, y,

⑶在表示两个向量的夹角时,要使有向线段的起点重 合,注意图(3)(4)中的两个向量的夹角不同, 、 图(3)中∠AOB= ?OA, OB? ,

O
? a

B (3) ? A a
? a

O 图(4)中∠AOB= ? ? ? AO, OB? , 从而有 ??OA, OB ? = ?OA,?OB ? = ? ? ?OA, OB? . (2)向量的模:表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。 ? ? ? ? ? ? ? ? (3)向量的数量积: a b cos? a , b ? 叫做向量 a 、 b 的数量积,记作 a ? b 。 即 a ? b = a b cos? a , b ? , 向量 AB 在e 方向上的正射影: A
? a

(4)

B
? a

?

?

?

?

?

?

? ?

? ?
?

? ?

B

? e
A?

B?
l

第 2 页 共 6 页

? ? ? ? a ? e ?| AB | cos? a , e ? ? A?B ?
(4)性质与运算率

用处。像零向量与任何向量共线等性质,要兼顾。 题型 2:空间向量的基本运算

? ? ? ? ⑴ a ? e ? cos? a , e ? 。

? ? ? ? ⑴ (? a ) ? b ? ? ( a ? b )
? ? ? ? ⑵a ?b =b ?a ? ? ? ? ? ? ? ⑶ a ? (b ? c ) ? a ? b ? a ? c

? ? ? ? ⑵ a ⊥ b ? a ? b =0 ?2 ? ? ⑶ | a | ? a ? a.
四.典例解析
题型 1:空间向量的概念及性质

??? ? ???? ? ? M 为 A1C1 与 B1 D1 的交点。若 AB ? a , AD ? b , ???? ? AA1 ? c ,则下列向量中与 BM 相等的向量是( ) 1? 1? ? 1? 1? ? ( A) ? a ? b ? c ( B) a ? b ? c 2 2 2 2 ? ? 1? 1 1 1 (C ) ? a ? b ? c ( D) a ? b ? c 2 2 2 2
??? ??? ???? ? ?

例 3.如图:在平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,
A1

D1

M B1

C1

D A B

C

么 a, b 的关系是不共线;② O, A, B, C 为空间四点,且向量 OA, OB, OC 不构成空间的一 个基底,那么点 O, A, B, C 一定共面;③已知向量 a, b, c 是空间的一个基底,则向量

? ?

例 1.有以下命题:①如果向量 a, b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底,那

? ?

1? 1? ? 1 ? a? b ?c ; 解析:显然 BM ? BB1 ? B1 M ? ( AD ? AB) ? AA1 ? 2 2 2
答案为 A。 点评:类比平面向量表达平面位置关系过程,掌握好空间向量的用途。用向量的方 法处理立体几何问题,使复杂的线面空间关系代数化,本题考查的是基本的向量相等, 与向量的加法.考查学生的空间想象能力。 例 4.已知: a ? 3m ? 2n ? 4 p ? 0, b ? ( x ? 1)m ? 8n ? 2 yp, 且 m, n, p 不共面. 若 a ∥ b ,求 x, y 的值. 解:? a ∥ b ,,且 a ? 0,? b ? ?a, 即 ( x ? 1)m ? 8n ? 2 yp ? 3?m ? 2?n ? 4?p. 又? m, n, p 不共面,?

? ? ?

? ? ? ? ? a ? b, a ? b, c ,也是空间的一个基底。其中正确的命题是(



( A) ①②

( B) ①③

(C ) ②③

( D) ①②③

? ? ? ? 解析: 对于① “如果向量 a, b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底, 那么 a, b 的
关系一定共线” ;所以①错误。②③正确。 点评:该题通过给出命题的形式考察了空间向量能成为一组基的条件,为此我们要 掌握好空间不共面与不共线的区别与联系。 例 2.下列命题正确的是( )

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? ( A) 若 a 与 b 共线, b 与 c 共线,则 a 与 c 共线; ? ? ? ( B) 向量 a, b, c 共面就是它们所在的直线共面;

? ? ?

x ?1 8 2y ? ? ,? x ? ?13, y ? 8. 3 ?2 ?4

(C ) 零向量没有确定的方向;
? ? ? ? ( D) 若 a // b ,则存在唯一的实数 ? 使得 a ? ? b ;
解析:A 中向量 b 为零向量时要注意,B 中向量的共线、共面与直线的共线、共面 不一样,D 中需保证 b 不为零向量。 答案 C。 点评:零向量是一个特殊的向量,时刻想着零向量这一特殊情况对解决问题有很大

点评:空间向量在运算时,注意到如何实施空间向量共线定理。 题型 3:空间向量的坐标 例 5. (1)已知两个非零向量 a =(a1,a2,a3) b =(b1,b2,b3) , ,它们平行的充 要条件是( ) B.a1·b1=a2·b2=a3·b3 D.存在非零实数 k,使 a =k b

A. a :| a |= b :| b | C.a1b1+a2b2+a3b3=0

(2)已知向量 a =(2,4,x) b =(2,y,2) , ,若| a |=6, a ⊥ b ,则 x+y 的值是 ( ) A. -3 或 1 B.3 或-1 C. -3 D.1

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(3)下列各组向量共面的是(



A. a =(1,2,3), b =(3,0,2), c =(4,2,5) B. a =(1,0,0), b =(0,1,0), c =(0,0,1) C. a =(1,1,0), b =(1,0,1), c =(0,1,1) D. a =(1,1,1), b =(1,1,0), c =(1,0,1) 解析: (1)D;点拨:由共线向量定线易知;
?4 ? 16 ? x 2 ? 36 ? ? x ? 4, ? x ? ?4, ? ?4 ? 4 y ? 2 x ? 0 ? ? y ? ?3 ? y ? 1. ? 点拨:由题知 ? 或? ;

5 -2 b 2=2k2+k-10=0,解得 k=- 2 ,或 k=2。

题型 4:数量积 例 7.(2000 江西、山西、天津理,4)设 a 、 b 、c 是任意的非零平面向量,且相互不 共线,则 ①( a ·b )c -( c ·a )b = 0 ②| a |-| b |<| a - b | ③( b ·c )a -( c ·a )

b 不与 c 垂直
④(3 a +2 b ) a -2 b )=9| a |2-4| b |2 中,是真命题的有( (3 A.①② B.②③ C.③④ 答案:D 解析:①平面向量的数量积不满足结合律.故①假; ) D.②④

(2)A

(3)A 点拨:由共面向量基本定理可得。 点评:空间向量的坐标运算除了数量积外就是考察共线、垂直时参数的取值情况。 例 6.已知空间三点 A(-2,0,2) ,B(-1,1,2) ,C(-3,0,4) 。设 a = AB ,

b = AC , (1)求 a 和 b 的夹角 ? ; (2)若向量 k a + b 与 k a -2 b 互相垂直,求 k 的值.
思维入门指导:本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用,套用公式即可得到所 要求的结果. 解:∵A(-2,0,2),B(-1,1,2) ,C(-3,0,4), a = AB , b = AC , ∴ a =(1,1,0), b =(-1,0,2). (1)cos ? =

②由向量的减法运算可知| a |、| b |、| a - b |恰为一个三角形的三条边长,由“两边 之差小于第三边” ,故②真; ③因为[ b · c ) a -( c · a ) b ] c =( b · c ) a · c -( c · a ) b · c =0, ( · 所以垂直.故③假; ④(3 a +2 b ) a -2 b )=9· a · a -4 b · b =9| a |2-4| b |2 成立.故④真. (3 点评:本题考查平面向量的数量积及运算律。 例 8. (2002 上海文,理 2)已知向量 a 和 b 的夹角为 120°,且| a |=2,| b |=5, (1) 则(2 a - b ) a =_____. · (2)设空间两个不同的单位向量 a =(x1,y1,0), b =(x2,y2,0)与向量 c =(1,1,

a ?b | a ||b |

?1 ? 0 ? 0

=

10 2 ? 5 ? - 10 ,

10 ∴ a 和 b 的夹角为- 10 。

(2)∵k a + b =k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2) , k a -2 b =(k+2,k,-4) ,且(k a + b )⊥(k a -2 b ) , ∴(k-1,k,2)· (k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=2k2+k-10=0。
5 则 k=- 2 或 k=2。

? 1)的夹角都等于 4 。(1)求 x1+y1 和 x1y1 的值;(2)求< a , b >的大小(其中 0<< a , b >
<π ) 。 解析: 答案: 解析: (2 a - b ) a =2 a 2- b ·a =2| a |2-| a |·b |· (1) 13; ∵ · | cos120°

点拨:第(2)问在解答时也可以按运算律做。 a + b )(k a -2 b )=k2 a 2-k a · b (
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1 =2·4-2·5(- )=13。 2
(2)解:(1)∵| a |=| b
2 |=1,∴x 1 2 +y 1 2 =1,∴x 2 2 =y 2

(2)已知 F1=i+2j+3k,F2=-2i+3j-k,F3=3i-4j+5k,若 F1,F2,F3 共同作用于同一 物体上,使物体从点 M1(1,-2,1)移到点 M2(3,1,2),求物体合力做的功。 解析: (1)设 m =( 13a ? 1 , 13b ? 1 , 13c ? 1 ), n =(1,1,1), =1. 则| m |=4,| n |= 3 .
6 12 ? 12 ? 12 = 2 .

2 ? ? 又∵ a 与 c 的夹角为 4 ,∴ a · c =| a || c |cos 4 = 2 6 又∵ a · c =x1+y1,∴x1+y1= 2 。
2 x1 2 +y 1

∵ m · n ≤| m |·n |, | ∴ m · n = 13a ? 1 + 13b ? 1 + 13c ? 1 ≤| m |·n |=4 3 . |
1 当 13a ? 1 = 13b ? 1 = 13c ? 1 时,即 a=b=c= 3 时,取“=”号。
M (2)解:W=F· 1+F2+F3)· 1 M 2 =14。 s=(F

1

1

1

另外

6 1 1 2 =(x1+y1) -2x1y1=1,∴2x1y1=( 2 ) -1= 2 .∴x1y1= 4 。
2

(2)cos< a , b >=
6 1 x2- 2 x+ 4 =0 的解.

a ?b | a ||b |

6 1 =x1x2+y1y2,由(1)知,x1+y1= 2 ,x1y1= 4 .∴x1,y1 是方程

点评:若 m =(x,y,z), n =(a,b,c),则由 m · n ≤| m |·n |,得(ax+by+cz)2≤ | (a2+b2+c2)(x2+y2+z2).此式又称为柯西不等式(n=3)。本题考查| a |·| b |≥ a · b 的应用, 解题时要先根据题设条件构造向量 a , b ,然后结合数量积性质进行运算。空间向量的 数量积对应做功问题。 例 10.如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, BC1 ? AB1 , BC1 ? A1C , 求证:

? ? ? ? 6? 2 6? 2 6? 2 6? 2 , ? x1 ? , , , ? x1 ? ?x2 ? ?x2 ? ? ? ? ? 4 4 4 4 ? ? ? ? 6? 2 6? 2 6? 2 6? 2 ? ? ? ? y1 ? , ? y1 ? . y2 ? , ? y2 ? . ? ? 4 4 4 4 ? ? ? ? ∴ 或 同理可得 或 ? ? x1 ? y 2 ? ? ? ? ? x 2 ? y1 ? ∵ a ≠ b ,∴ ? ? ? x1 ? y 2 ? ? ? 6? 2 ? , ? x 2 ? y1 ? 4 或? 6? 2 , 4 6? 2 , 4 6? 2 . 4

AB1 ? A1C.
证明:? A1C ? A1C1 ? C1C ,

BC1 ? BC ? CC1 , A1C ? BC1 ? ( A1C1 ? C1C ) ? ( BC ? CC1 ) ? A1C1 ? BC ? C1C 2 ? 0, ? C1C 2 ? A1C1 ? BC.
同理 AB1 ? AB ? BB1 , BC1 ? BB1 ? B1C1 ,

6? 2 6? 2 6? 2 6? 2 1 1 1 4 4 4 ∴cos< a , b >= · + · 4 =4+4=2.

? ? AB1 ? BC1 ? AB ? BC ? CC12 ? 0(? BB1 ? CC1 ),? AB ? BC ? A1C1 ? BC ? 0,
又 A1C1 ? AC , ? BC ? ( AB ? AC ) ? 0. 设 D 为 BC 中点,则 AB ? AC ? 2AD. ? 2 BC ? AD ? 0,? BC ? AD,

? ∵0≤< a , b >≤π,∴< a , b >= 3 。 评述:本题考查向量数量积的运算法则。 题型 5:空间向量的应用

例 9. (1)已知 a、b、c 为正数,且 a+b+c=1,求证: 13a ? 1 + 13b ? 1 + 13c ? 1 ≤ 4 3。

? AB ? AC, 又 A1 A ? B1 B,? A1C ? AB1 .
点评:从上述例子可以看出,利用空间向量来解决位置关系问题,要用到空间多边

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形法则,向量的运算,数量积以及平行,相等和垂直的条件。

五.思维总结
本讲内容主要有空间直角坐标系,空间向量的坐标表示,空间向量的坐标运算,平 行向量, 垂直向量坐标之间的关系以及中点公式.空间直角坐标系是选取空间任意一点 O 和一个单位正交基底{i,j,k}建立坐标系,对于 O 点的选取要既有作图的直观性,而 且使各点的坐标,直线的坐标表示简化,要充分利用空间图形中已有的直线的关系和性 质;空间向量的坐标运算同平面向量类似,具有类似的运算法则.一个向量在不同空间的 表达方式不一样,实质没有改变.因而运算的方法和运算规律结论没变。如向量的数量积 a·b=|a|· |b|cos<a,b>在二维、三维都是这样定义的,不同点仅是向量在不同空间具有不 同表达形式.空间两向量平行时同平面两向量平行时表达式不一样,但实质是一致的,即 对应坐标成比例,且比值为 ? ,对于中点公式要熟记。 对本讲内容的考查主要分以下三类: 1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质 此类题一般难度不大,用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题。 2.向量在空间中的应用 在空间坐标系下,通过向量的坐标的表示,运用计算的方法研究三维空间几何图形 的性质。 在复习过程中,抓住源于课本,高于课本的指导方针。本讲考题大多数是课本的变 式题,即源于课本。因此,掌握双基、精通课本是本章关键。

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