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函数单调性的应用


课题:函数单调性的应用(第三课时)
教学目标:1.使学生掌握函数单调性在解题中的灵活应用. 2.培养学生数形结合思想, 等价转化思想在解题中的应用. 教学重点: 函数单调性的应用. 教学难点: 函数单调性的灵活应用. 教学过程: (一)新课引入. 复习:函数单调性的概念以及证明函数单调性方法, 今天我们进一研究函数单调性的应用. (二)讲授新课 例 1.已知函数 f(x)=x2-2x-3 (1) (2) (3) 若 x ? [-2,0],求函数 f(x)的最值. 若 x ? [2,4],求函数 f(x)的最值. 若 x ? [- , ],求函数 f(x)的最值.
1 2 5 2

请四个学生到黑板演板. 解(1)当 x ? [-2,0]时是,f(x)max=f(-2)=5 f(x)min=f(0)= -3 (2)当 x ? [2,4]时,f(x)max=f(4)=5 f(x)min=f(2)=-3 (3)当 x ? [- , ] 时,f(x)max=f( )= - f(x)min=f(1)=-4 讲评:通过数形结合总结出,求二次函数 f(x)=ax2+bx+c 在[m,n]
1 2 5 2

5 2

7 4

上最值的一般步骤是: (1)判断对称轴 x= - (2)若 x=-
b ? [m,n] 2a
b 是否属于[m,n] 2a

f(m) , f(n), f(-

b )中较大者是最大值,较小者 2a

是最小值. (3)若 x=-
b ? [m,n] ,f(m),f(n),中较大者是最大值,较小者是最小值. 2a

例 2.函数 f(x 的大小.

3 )在(0, + ? )上是减函数,比较 f(a2-a+1)与 f( ) 4

此题学生作答,老师讲解.
1? 3 3 解: a -a+1= ? ? a ? ? + 4 ? 4 >0 2? ?
2
2

又因为 f(x)在(0, + ? )上为减函数. 所以 f(a2-a+1) ? f( ) 讲评:本题的关键是利用函数在(0, + ? )上单调性. 例 3.已知 f(x)在它的定义域[-7,+ ? )上是增函数,且 f(3)=0,试解不 等式 f(x2-7x-5)<0。 学生讨论,教师作答. 解:因为 f(3)=0, 所以原不等式等价于 f(x2-7x-5)<f(3) 又 f(x)在其定义域[-7,+ ? )上是增函数 所以
2 ? x ? 7 x ? 12 ? 0 ? ? x ? 7 x ? 5 ? ?17 ? 即 ? 2 即? 2 ? ? ?x ? 7x ? 8 ? 0 ?x ? 7x ? 5 ? 3

3 4

2

解得:-1< x ? 3 或 4 ? x <8

讲评:解此题的关键是脱去函数符号,脱去函数符号的主要依据是函 数的单调性,同时,要特别注意函数的定义域,否则可能产生增 根. (三)课堂练习. 1.求下列函数的最值. (1)y=x2-4x-1(0 ? x ? 3) (2)y=x2-2x+3(2 ? x ? 5) (3)y=-2x2+2x-1(x ? , x ? 1 ) 略解(1)x=0 时,ymax=-1 , x=2 时,ymin=-5 (2)x=2 时,ymin=3, x=5 时,ymax=18 (3)当 x= (四)课时小结. (1)利用函数的单调性比较函数值大小问题,常常将其转化比较自 变量的大小问题. (2)利用函数的单调性解不等式时,必须考虑定义域. (3)求二次函数在闭区间上的最值的一般步骤. (五)课后作业:求函数 f(x)=-x(x-a)( x ? [-1,1] )最值. 解:f(x)=- ( x ? ) 2 +
a 2
a 2

1 3

1 5 时,yma= 3 9

a2 4

(1)当 <-1 ,即 a<-2 时,f(x)在[-1,1]递减. ymax=f(-1)=-a-1 ymin=f(1)=a-1

(2)当 -1 ?
a 2

a <0 , 即-2 ? a<0 时, 2

Ymax=f( ) =

a2 4

ymin=f(1)=a-1 (3)当 0 ? < 1 即 0 ? a<2 时,ymax= f( )= ymin=f(-1)=-a-1 (4)当 ? 1 即 a ? 2 时, ymax=f(1)=a-1 ymin=f(-1)=-a-1 思考题:函数 f(x)在(0,+ ? )上增函数,满足 f(xy)=f(x)+f(y) , f(8)=3 解不 等式 f(x)+f(x-2)>3 解:因为 f(8)=3 所以 f(x)+f(x-2)>f(8) 又因为 f(xy)=f(x)+f(y) 所以 f(x(x-2))>f(8) 因为 f(x)定义在(0,+ ? )上是增函数.
?x ? 0 ? 所以 ? x ? 2 ? 0 ? x( x ? 2) ? 8 ?
a 2
a 2 a 2

a2 4

所以 x>4 (六)板书设计.

函数单调性的应用.

课堂练习

例1 例2 例3

小结. 作业. .

(七)教学反思: 本节例 3.学生讨论时普遍忽略定义域,需要反复强调。解例 1 时 学生甲提的问题很好。他说:如果不是闭区间例如:x ? (-2,0), x ? ( ?? ,2] [0, ?? )如何求最值?此问题提的非常好,要培养学 生创新意识.


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