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江苏省高中数学必修五第三章:4基本不等式(1)教案


课题: 3.4 基本不等式 ab ? 案 课型: 新授课 日

a?b 2



课时

总序第

个教

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年 月 日

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年 月

教学目标: 批 1.知识与技能:学会推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意 注 义,并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等; 2.过程与方法:通过实例探究抽象基本不等式; 3.情态与价值:通过本节的学习,体会数学来源于生活,提高学习数学的兴 趣 教学重 点:应用数形 结合的思 想理解不等式 ,并从不 同角度探索不等式

ab ?

a?b 的证明过程; 2 a?b 等号成立条件 2

教学难点:基本不等式 ab ? 教学用具:投影仪

教学方法:通过实例探究抽象基本不等式 教学过程:

1.课题导入
基本不等式 ab ?

a?b 的几何背景: 2

如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古 代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人 民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗? 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

2.讲授新课
1.探究图形中的不等关系 将图中的“风车”抽象成如图,在正方形 ABCD 中右个全等的直角三角形。 设直角三角形的两条直角边长为 a,b 那么正方形的边长为 a 2 ? b2 。这样,4 个直角三角形的面积的和是 2ab,正方形的面积为 a ? b 。由于 4 个直角三角
2 2

形的面积小于正方形的面积,我们就得到了一个不等式: a ? b ? 2ab 。
2 2

当直角三角形变为等腰直角三角形,即 a=b 时,正方形 EFGH 缩为一个点,这 时有 a ? b ? 2ab 。
2 2

2.得到结论:一般的,如果

a, b ? R, 那么a 2 ? b 2 ? 2ab(当且仅当 ? b时取" ?"号) a
3.思考证明:你能给出它的证明吗? 证 明 : 因 为
1

a 2 ? b 2 ? 2ab ? (a ? b) 2
当 a ? b时,(a ? b)2 ? 0,当a ? b时,(a ? b)2 ? 0, 所以, (a ? b) 2 ? 0 ,即 (a 2 ? b 2 ) ? 2ab. 4.1)从几何图形的面积关系认识基本不等式 ab ?

a?b 2

特别的,如果 a>0,b>0,我们用分别代替 a、b ,可得 a ? b ? 2 ab , 通常我们把上式写作: ab ?

a?b (a>0,b>0) 2 a?b 2)从不等式的性质推导基本不等式 ab ? 2 a?b ? ab 2
a+b ? a+b( -

用分析法证明: 要证 (1) 只 要 证 (2) 要证 , (2)只要证 要证 (3) 只要证 ,

?0

2

(3) (4)

显然, (4)是成立的。当且仅当 a=b 时, (4)中的等号成立。

3)理解基本不等式 ab ?

a?b 的几何意义 2

探究:课本第 110 页的“探究” 在右图中, 是圆的直径, C 是 AB 上的一点, AB 点 AC=a,BC=b。 过点 C 作垂直于 AB 的弦 DE,连接 AD、BD。你能利用这个 图形得出基本不等式 ab ?

a?b 的几何解释吗? 2
2

易证Rt△ACD∽Rt△DCB,那么CD =CA·CB 即CD= ab . 这个圆的半径为

a?b a?b ? ab ,其中当且 ,显然,它大于或等于 CD,即 2 2 a?b 几何意义是“半径不小于半弦” 2

仅当点 C 与圆心重合,即 a=b 时,等号成立. 因此:基本不等式 ab ? 评述:1.如果把

a?b 看作是正数 a、b 的等差中项, ab 看作是正数 a、b 的 2

等比中项,那么该定理可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中 项.

2

2.在数学中,我们称

a?b 为 a、b 的算术平均数,称 ab 为 a、b 的几 2

何平均数.本节定理还可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平 均数. [补充例题] 例 1 已知 x、y 都是正数,求证: (1)

y x ? ≥2; x y
2 2 3 3 3 3

(2)(x+y) x +y ) x +y )≥8x y . ( ( 分析:在运用定理:

a?b ? ab 时,注意条件 a、b 均为正数,结合不 2

等式的性质(把握好每条性质成立的条件),进行变形. 解:∵x,y 都是正数 >0 (1) ∴

y x 2 2 3 3 >0, >0,x >0,y >0,x >0,y x y

x y x y x y ? ?2 ? =2 即 ? ≥2. y x y x y x
x2+y2≥2 x 2 y 2 >0 x3+y3

(2)x+y≥2 xy >0
3 3 ≥2 x y >0

∴(x+y) x +y ) x +y )≥2 xy ·2 ( ( 即(x+y) x +y ) x +y )≥8x y . ( (
2 2 3 3 3 3

2

2

3

3

x 2 y 2 ·2 x 3 y 3 =8x3y3

3.随堂练习 1.已知 a、b、c 都是正数,求证 (a+b) b+c) c+a)≥8abc ( (
分析:对于此类题目,选择定理: 可求得结果. 解:∵a,b,c 都是正数 ∴a+b≥2 ab >0

a?b ? ab (a>0,b>0)灵活变形, 2

b+c≥2 bc >0 c+a≥2 ac >0
∴(a+b) b+c) c+a)≥2 ab ·2 bc ·2 ac =8abc ( ( 即(a+b) b+c) c+a)≥8abc. ( (

3

4.课时小结
本节课,我们学习了重要不等式 a +b ≥2ab;两正数 a、b 的算术平均数 (
2 2

a?b a?b ) ,几何平均数( ab )及它们的关系( ≥ ab ).它们成立的 2 2

条件不同,前者只要求 a、b 都是实数,而后者要求 a、b 都是正数.它们既是 不等式变形的基本工具,又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们 的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题:ab≤

a 2 ? b2 ,ab≤ 2



a?b 2 ). 2

5.评价设计
课本第 100 页习题[A]组的第 1 题 教学后记:

4


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