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厦门市2018届高中毕业班第一次质量检查理科数学模拟测试


厦门市 2018 届高中毕业班第一次单科质量检查
数学(理科)模拟试题 2018.01
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分,考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1.设集合 A ? x x ? 1 , B ? x 2 ? 16 ,则 A ? B = (
x

?

?

?

?

) D. (??,1) ? (4, ??) )

A. (1, 4)

B. (??,1)

C. (4, ??)

2.若复数 z ? (a 2 ? a ? 2) ? (a ? 1)i 为纯虚数( i 为虚数单位) ,则实数 a 的值是( A. ?2 3.下列说法正确的是(
2

B. ?2 或 1 )

C.2 或 ?1

D.2

A.“若 a ? 1 ,则 a ? 1 ”的否命题是“若 a ? 1 ,则 a ? 1 ”
2

B.“若 am ? bm ,则 a ? b ”的逆命题为真命题
2 2

C. ?x0 ? (0, ??) ,使 3 0 ? 4 0 成立
x x

D.“若 sin ? ?

1 ? ,则 ? ? ”是真命题 2 6
D.bloga|c| >alogb|c| )

4. 若 a>b>1,-1<c<0, 则( ) c c c c A.ab <ba B.a >b C.loga|c| <logb|c| 5.等比数列 ?an ? 中, a3 ? 9 ,前 3 项和为 S3 ? 3 A.1 B. ?

?

3

0

x2 dx ,则公比 q 的值是(
1 2
D. ?1 或 ?

1 2

C.1 或 ?

1 2
个单位,得到

6.若将函数 f ( x) ? 3sin(2 x ? ? )(0 ? ? ? ? ) 图象上的每一个点都向左平移

?
3

y ? g ( x) 的图象,若函数 y ? g ( x) 是奇函数,则函数 y ? g ( x) 的单调递增区间为(
A. [k? ?



?
4

, k? ?

?
4

](k ? Z )

B. [k? ?

?
4

, k? ?

3? ](k ? Z ) 4 5? ](k ? Z ) 12

C. [k? ?

2? ? , k? ? ](k ? Z ) 3 6

D. [k? ?

?
12

, k? ?

7.执行如图所示的程序框图,若输出的结果是 7,则判断框内 m 的取值范围是(



42] A. (30,

B. (30, 42)

C. (42,56]

D. (42,56)

8.刍薨( chuhong ) ,中国古代算术中的一种几何形体, 《九章算术》中记载“刍薨者,下 有褒有广,而上有褒无广.刍,草也.薨,屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形,顶部只 有长没有宽为一条棱,刍薨字面意思为茅草屋顶”,如图,为一刍薨的三视图,其中正视图 为等腰梯形,侧视图为等腰三角形,则搭建它(无底面,不考虑厚度)需要的茅草面积至少 为( )

A.24

B. 32 5

C.64

D. 32 6

9.如图,在 △ABC 中, N 为线段 AC 上靠近 A 的三等分点,点 P 在 BN 上且

??? ? ? 2 ??? ? 2 ??? AP =(m ? ) AB ? BC ,则实数 m 的值为( 11 11



A.1

B.

1 2

C.

9 11

D.

5 11

10.设抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,过点 M ( 5,0) 的直线与抛物线相交于 A , B 两点,与 抛物线的准线相交于 C , BF ? 3 ,则 ? BCF 与 ? ACF 的面积之比

S? BCF ?( S? ACF
6 7



A.

3 4

B.

4 5

C.

5 6

D.

11.在 ? ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 2c cos B ? 2a ? b ,若 ? ABC 的面积 为 S ? 3c ,则 ab 的最小值为( A.28 B.36 ) C.48 D.56

12.已知函数 f ( x) ? x3 ? 9 x2 ? 29 x ? 30 ,实数 a , b 满足 f (m) ? ?12 , f (n) ? 18 ,则

m? n ? (
A.6

) B.8 C.10 第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) D.12

二、填空题:本题共 4 小题,每题 5 分.
? x ? 1, ? 13.设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0, 则目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值 ? x ? 3 y ? 4 ? 0, ?
为 .

?2 x , x ? 1 14.已知函数 f ( x) ? ? 若不等式 f ( x) ? 5 ? mx 恒成立,则实数 m 的取值 ?ln( x ? 1),1 ? x ? 2,
范围是 . 5 1 xcos2x+m(sinx-cosx)在(-∞,+∞)上单调递减,则 m 的取值范 6 12 .

15. 若函数 f(x)= 围是_______ 16.已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 F ,过点 F 向双曲线的一条渐近线引垂线,垂足 a 2 b2

为 M ,交另一条渐近线于 N ,若 7 FM ? 3FN ,则双曲线的渐近线方程为

???? ?

??? ?

.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 a2 ? a5 ? 25 , Sn ? 55 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 anbn ?

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . 3n ? 1
11 ,0 2

18. (本题满分 12 分)如图,在锐角△ABC 中,D 为 BC 边的中点,且 AC= 3 ,AD= 为△ABC 外接圆的圆心,且 cos∠BOC= (1)求 sin∠BAC 的值; (2)求△ABC 的面积. 1 . 3

AB ? 6 , 19.如图, 在三棱锥 P ? ABC 中, 平面 PAB ? 平面 ABC ,

CE ? 2 EB , 且 AD ? 2 DB , BC ? 2 3 ,AC ? 2 6 ,D, E 分别为线段 AB, BC 上的点, PD ? AC .
(1)求证: PD ? 平面 ABC ; (2)若 PA 与平面 ABC 所成的角为

? ,求平面 PAC 与平面 PDE 所成的锐二面角. 4

20.已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点分别为 F1 , F2 , 以 F1F2 为直径的圆与直 a 2 b2

线 ax ? 2by ? 3ab ? 0 相切. (1)求椭圆 C 的离心率; (2) 如图, 过 F1 作直线 l 与椭圆分别交于两点 P, Q , 若 ? PQF2 的周长为 4 2 , 求F F2Q 1 P?

???? ???? ?

的最大值.

21.已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 1 ? ,a?R 且a ? 0. ax a

(1)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (2)当 x ? [ , e] 时,试判断函数 g ( x) ? (ln x ?1)ex ? x ? m 的零点个数. 22.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 过点 (1, 0) ,倾斜角为 ? ,以坐标原点为极点, x 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程是 ? = (1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程; (2)若 ? ?

1 e

8cos ? . 1 ? cos 2 ?

?
4

,设直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,求 ? AOB 的面积.

23.设函数 f ( x) ? x ? 3 , g ( x) ? 2x ?1 . (1)解不等式 f ( x) ? g ( x) ; (2)若 2 f ( x) ? g ( x) ? ax ? 4 对任意的实数 x 恒成立,求 a 的取值范围.

2018 年厦门市高中毕业班第一次单科质量检查 理科数学 一、选择题 题号 答案 1 A 2 D 3 D 4 C 5 C 6 B 7 A 8 B 9 D 10 D 11 C 12 A 参考答案

二、填空题 13.

-1;

14.

? 5? 0, ; ? ? 2? ?

15.

[-

2 3

,

2 3

]

16.

y??

10 x. 2

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.解析: (1) ?

?a2 ? a5 ? 2a1 ? 5d ? 25 ?a1 ? 5, ,求得 ? ? an ? 3n ? 2. S ? 5 a ? 5 a ? 10 d ? 55 d ? 3 , ? 5 3 1 ?

(2) bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ). an (3n ? 1) (3n ? 1)(3n ? 2) 3 3n ? 1 3n ? 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Tn ? b1 ? b2 ? ? bn ? ( ? ? ? ? ? ? ? )? ( ? ), 3 2 5 5 8 3n ? 1 3n ? 2 3 2 3n ? 2

?Tn ?

1 1 n ? ? . 6 9n ? 6 2(3n ? 2)
1 ???????3 分 3

18. 解:(1)由题设知∠BOC=2∠BAC,?????????????1 分 ∴cos∠BOC=cos2∠BAC=1-2sin ∠BAC= ∴sin ∠BAC=
2 2

2 ,sin∠BAC= 3

6 3

.??????5 分

(2)延长 AD 至 E,使 AE=2AD,连接 BE,CE,则四边形 ABEC 为平行四边形,∴CE=AB.????6 分 在△ACE 中,AE=2AD= 11 ,AC= 3 ,∠ACE=π -∠BAC,cos∠ACE=-cos∠BAC=分 2 2 2 ∴由余弦定理得,AE =AC +CE -2AC·CE·cos∠ACE, 即( 11 ) =( 3 ) +CE -2× 3 ·CE×(2 2 2

3 3

.??7

3 ), 3

解得 CE=2,∴AB=CE=2, ??????????????????9 分 1 1 6 ∴S△ABC= AB·AC·sin∠BAC= ×2× 3 × 2 2 3 = 2 .????12 分
2 2 2 ?

19. (1) 证明: 连接 DE , 由题意知 AD ? 4, BD ? 2, ? AC ? BC ? AB ,??ACB ? 90 .

cos?ABC ?

2 3 3 ? . 6 3

?CD2 ? 22 ? 12 ? 2 ? 2 ? 2 3 cos?ABC ? 8.

?CD ? 2 2.
?CD 2 ? AD 2 ? AC 2 ,则 CD ? AB ,
又因为 平面 PAB ? 平面 ABC ,所以 CD ? 平面PAB,?CD ? PD, 因为 PD ? AC , AC , CD 都在平面 ABC 内, 所以 PD ? 平面 ABC ; (2)由(1)知 PD, CD, AB 两两互相垂直,建立如图所示的直角坐标系 D ? xyz ,

且 PA 与平面 ABC 所成的角为

? ,有 PD ? 4 , 4

则 A(0,?4,0),C (2 2,0,0), B(0,2,0), P(0,0,4) ∴ CB ? (?2 2,2,0), AC ? (2 2,4,0), PA ? (0,?4,?4) 因为 AD ? 2 DB, CE ? 2 EB,? DE // AC , 由(1)知 AC ? BC , PD ? 平面 ABC ,∴ CB ? 平面 DEP ∴ CB ? (?2 2,2,0) 为平面 DEP 的一个法向量.

? ?n ? AC, ? 设平面 PAC 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ,则 ? ? ?n ? PA,
∴?

?2 2 x ? 4 y ? 0 ?? 4 y ? 4 z ? 0

,令 z ? 1 ,则 x ? 2 , y ? ?1 ,

∴ n ? ( 2,?1,1) 为平面 PAC 的一个法向量. ∴ cos ? n, CB ??

?4?2 3 ?? . 2 4 ? 12

故平面 PAC 与平面 PDE 的锐二面角的余弦值为 所以平面 PAC 与平面 PDE 的锐二面角为 30?

3 , 2

20.解析: (1)由题意

? 3ab a ? 4b
2 2

? c ,即 3a 2b2 ? c 2 (a 2 ? 4b2 ) ? (a 2 ? b2 )(a 2 ? 4b2 ).

所以 a 2 ? 2b 2 ,? e ?

2 2

(2)因为三角形 ?PQF2 的周长为 4 2 ,所以 4a ? 4 2 ,?a ? 2,
2 由(1)知 b ? 1 ,椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1 ,且焦点 F1 (?1,0), F2 (1,0) , 2
2 2 ), Q(?1,? ), 2 2

①若直线 l 斜率不存在,则可得 l ? x 轴,方程为 x ? ?1, P (?1,

F2 P ? (?2,

7 2 2 ), F2Q ? (?2,? ) ,故 F2 P ? F2Q ? . 2 2 2

②若直线 l 斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 由?

? y ? k ( x ? 1), ?x ? 2 y ? 2
2 2

消去 y 得 (2k ? 1) x ? 4k x ? 2k ? 2 ? 0 ,
2 2 2 2

设 P ( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?

4k 2 2k 2 ? 2 , x x ? . 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

F2 P ? F2Q ? ( x1 ?1, y1 ) ? ( x2 ?1, y2 ) ? ( x1 ?1)(x2 ?1) ? y1 y2 ,
则 F2 P ? F2Q ? (k 2 ?1) x1 x2 ? (k 2 ?1)(x1 ? x2 ) ? k 2 ?1. 代入韦达定理可得

2k 2 ? 2 4k 2 7k 2 ? 1 7 9 2 2 F2 P ? F2Q ? (k ? 1) 2 ? (k ? 1)(? 2 ) ? k ? 1 ? 2 ? ? , 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 2 2(2k 2 ? 1)
2
2 由 k ?0 可 得

7 F2 P ? F2Q ? (?1, ) 2

, 结 合 当 k 不 存 在 时 的 情 况 , 得

7 F2 P ? F2Q ? (?1, ] , 2

7 . 2 ax ? 1 , ( x ? 0) 21.解析: (1) f ?( x) ? ax 2
所以 F2 P ? F2Q 最大值是 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 恒成立,所以函数 f ? x ? 是 ? 0, ??? 上的单调递增函数;

ax ? 1 1 ? 0 ,得 x ? , 2 ax a ax ? 1 1 f ?( x ) ? ? 0 ,得 0 ? x ? , 2 ax a 1 1 函数单调递增区间为 ( ,?? ) ,减区间为 (0, ). a a
当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? 综上所述,当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 增区间为 ? 0, ??? . . 当 a ? 0 时,函数单调递增区间为 ( ,?? ) ,减区间为 (0, ). (2)∵ x ? [ , e ] ,函数 g( x) ? (ln x ? 1)e x ? x ? m 的零点, 即方程 (ln x ? 1)e x ? x ? m 的根. 令 h ? x ? ? ? lnx ?1? e ? x , h? ? x ? ? ?
x

1 a

1 a

1 e

?1 ? ? lnx ? 1? e x ? 1. ?x ?
1 1 ? 1 在 [ ,1) 递 减 , 在 ?1, e ? 上递增,∴ x e

由 ( 1 ) 知 当 a ?1 时 ,

f ? x ? ? lnx ?

f ? x ? ? f ?1? ? 0 .


1 1 ? lnx ? 1 ? 0 在 x ? [ , e ] 上恒成立. x e

∴ h? ? x ? ? ?

?1 ? ? lnx ? 1? e x ? 1 ? 0 ? 1 ? 0 , ?x ?
x

∴ h ? x ? ? ? lnx ?1? e ? x 在 x ? [ , e ] 上单调递增. ∴ h ? x ?min
1 1 ?1? ? h ? ? ? ?2e e ? , h( x)max ? e e ?e?

1 e

1 1 1 所以当 m ? ?2e ? 或 m ? e 时,没有零点,当 ?2e e ? ? m ? e 时有一个零点. e e

1 e

22.(1)直线 l 的参数方程为: ?

? x ? 1 ? t cos ? , (t为参数). ? y ? t sin ?

?? ?

8cos ? 2 2 2 2 ,? ? sin ? ? 8cos? , ? ? sin ? ? 8? cos? , 即y ? 8x. 2 sin ?

? 2 x ? 1? t, ? ? ? 2 (2)当 ? ? 时,直线 l 的参数方程为: ? (t为参数), 4 ?y ? 2 t ? 2 ?
代入 y ? 8x 可得 t ? 8 2t ?16 ? 0,
2
2

设A、B两点对应的参数分别为t1, t2 , 则 t1 ? t1 ? 8 2, t1 ? t2 ? ?16
? AB ? t1 ? t2 ? (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1 ? t2 ? 8 3.
又点O到直线AB的距离d ? 1? sin

?
4

?

2 , 2

? S?AOB ?

1 1 2 AB ? d ? ? 8 3 ? ? 2 6. 2 2 2

23.(本小题满分 10 分) 解: (1)由已知,可得 x ? 3 ? 2x ?1 ,

即 x ? 3 ? 2x ?1 .
则有:3x2 ?10 x ? 8 ? 0, 2 ? x ? ? 或x ? 4. 3
2 故所求不等式的解集为: (??, ? ) ? (4, ??). 3

2

2

? ??4 x ? 5, x ? ?3, ? 1 ? (2)由已知,设h( x) ? 2 f ( x) ? g ( x) ? 2 x ? 3 ? 2 x ? 1 ? ?7, ?3 ? x ? , 2 ? 1 ? 4 x ? 5, x ? . ? ? 2 当x ? ?3时,只需 ? 4 x ? 5 ? ax ? 4恒成立,即ax ? ?4 x ? 9, ?4 x ? 9 9 ? x ? ?3 ? 0 ?a ? ? ?4 ? 恒成立. x x 9 ? a ? (?4 ? ) max ,? a ? ?1, x 1 当 ? 3 ? x ? 时,只需7 ? ax ? 4恒成立, 即ax ? 3 ? 0恒成立. 2 ?? 3a ? 3 ? 0 ?a ? ?1 ? 只需? 1 ,? ? ,? ?1 ? a ? 6. a ?3? 0 ?a ? 6 ? ?2

1 当x ? 时,只需4 x ? 5 ? ax ? 4恒成立, 即ax ? 4 x ? 1. 2 1 4x ?1 1 ? x ? ? 0, ?a ? ? 4 ? 恒成立. 2 x x 1 ? 4 ? ? 4 ,且无限趋近于 4, x ? a ? 4.
综上, a 的取值范围是 ( ?1, 4].


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