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导数基础训练1


第一章
[基础训练 A 组]
一、选择题

导数及其应用
f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) h

1.若函数 y ? f ( x) 在区间 ( a, b) 内可导,且 x0 ? (a, b) 则 lim
h ?0

的值为( A. f ( x0 )
&#

39;

) B. 2 f ' ( x0 )
2

C. ?2 f ' ( x0 )

D. 0

2.一个物体的运动方程为 s ? 1 ? t ? t 其中 s 的单位是米, t 的单位是秒, 那么物体在 3 秒末的瞬时速度是( A. 7 米/秒 C. 5 米/秒 A. (0,??) C. (??,??)
3 2



B. 6 米/秒 D. 8 米/秒 ) B. (??,1) D. (1,??) )

3.函数 y = x3 + x 的递增区间是(

4. f ( x) ? ax ? 3x ? 2 ,若 f ' (?1) ? 4 ,则 a 的值等于( A.

19 3 13 3

B.

16 3 10 3


C.

D.

5.函数 y ? f ( x) 在一点的导数值为 0 是函数 y ? f ( x) 在这点取极值的( A.充分条件 C.充要条件 B.必要条件 D.必要非充分条件

6.函数 y ? x 4 ? 4 x ? 3 在区间 ? ?2,3? 上的最小值为( A. 72 C. 12 B. 36 D. 0



二、填空题
1.若 f ( x) ? x3 , f ' ( x0 ) ? 3 ,则 x0 的值为_________________; 2.曲线 y ? x 3 ? 4 x 在点 (1, ?3) 处的切线倾斜角为__________; 3.函数 y ?

sin x 的导数为_________________; x

4.曲线 y ? ln x 在点 M (e,1) 处的切线的斜率是_________,切线的方程为_______________; 5.函数 y ? x ? x ? 5x ? 5 的单调递增区间是___________________________。
3 2

三、解答题 1.求垂直于直线 2 x ? 6 y ? 1 ? 0 并且与曲线 y ? x ? 3x ? 5 相切的直线方程。
3 2

第 1 页 共 10 页

2.求函数 y ? ( x ? a)( x ? b)( x ? c) 的导数。

3 . 求 函 数 f ( x) ? x5 ? 5x4 ? 5x3 ? 1 在 区 间 ?? 1,4? 上 的 最 大 值 与 最 小 值 。

4.已知函数 y ? ax3 ? bx2 ,当 x ? 1 时,有极大值 3 ; (1)求 a , b 的值; (2)求函数 y 的极小值。

思 而 不 学 则 殆 。

[综合训练 B 组] 一、选择题
1.函数 y = x3 - 3x2 - 9x (- 2 < x < 2)有( A.极大值 5 ,极小值 ?27 B.极大值 5 ,极小值 ?11 C.极大值 5 ,无极小值 D.极小值 ?27 ,无极大值 2.若 f ' ( x0 ) ? ?3 ,则 lim
h ?0

子 曰 : 学 而 不 思 则 罔 ,



A. ? 3 C. ? 9

B. ? 6 D. ?12

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? 3h) ?( h



3 3.曲线 f ( x) = x + x - 2 在 p0 处的切线平行于直线 y = 4 x - 1,则 p0 点的坐标为(



A. (1, 0) C. (1, 0) 和 (?1, ?4)

B. (2,8) D. (2,8) 和 (?1, ?4)

' ' 4. f ( x ) 与 g ( x) 是定义在 R 上的两个可导函数,若 f ( x ) , g ( x) 满足 f ( x) ? g ( x) ,则

f ( x) 与 g ( x) 满足(
A. f ( x ) ? g ( x ) C. f ( x ) ? g ( x ) ? 0

) B. f ( x) ? g ( x) 为常数函数 D. f ( x) ? g ( x) 为常数函数
第 2 页 共 10 页

5.函数 y ? 4 x ?
2

1 单调递增区间是( x
B. (??,1) ) C. e
2



A. (0,??) 6.函数 y ? A. e
?1

C. ( ,?? )

1 2

D. (1,??)

ln x 的最大值为( x
B. e

D.

10 3

二、填空题
1.函数 y ? x ? 2cos x 在区间 [0,

?
2

] 上的最大值是



2.函数 f ( x) ? x3 ? 4x ? 5 的图像在 x ? 1 处的切线在 x 轴上的截距为________________。 3.函数 y ? x 2 ? x 3 的单调增区间为
3 2 3 2 2

,单调减区间为___________________。 。

4.若 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) 在 R 增函数,则 a, b, c 的关系式为是 5.函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? a , 在 x ? 1 时有极值 10 ,那么 a , b 的值分别为________。 三、解答题 1. 已知曲线 y ? x 2 ? 1 与 y ? 1 ? x 3 在 x ? x0 处的切线互相垂直,求 x0 的值。

3. 已知 f ( x) ? ax4 ? bx2 ? c 的图象经过点 (0,1) ,且在 x ? 1 处的切线方程是 y ? x ? 2 (1)求 y ? f ( x) 的解析式; (2)求 y ? f ( x) 的单调递增区间。

[提高训练 C 组]
一、选择题
' 1.若 f ( x) ? sin ? ? cos x ,则 f (? ) 等于(

) D. 2 sin ?
'

A. sin ?

B. cos ?
2

C. sin ? ? cos ?

2.若函数 f ( x) ? x ? bx ? c 的图象的顶点在第四象限,则函数 f ( x) 的图象是(



第 3 页 共 10 页

3.已知函数 f ( x) ? ? x 3 ? ax2 ? x ? 1 在 (??,??) 上是单调函数,则实数 a 的 取值范围是( ) A. (??,? 3] ? [ 3,??) C. (??,? 3) ? ( 3,??) A. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) C. B. [? 3, 3] D. (? 3, 3) ) B. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) D. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) ) C. 4 x ? y ? 3 ? 0 D. x ? 4 y ? 3 ? 0

4.对于 R 上可导的任意函数 f ( x ) ,若满足 ( x ?1) f ' ( x) ? 0 ,则必有(

f (0) ? f (2) ? 2 f (1)
4

5.若曲线 y ? x 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为( A. 4 x ? y ? 3 ? 0 B. x ? 4 y ? 5 ? 0

6.函数 f ( x) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导函数 f ?( x) 在 ( a, b) 内的图象如图所示,

y

y ? f ?( x)

b

a
则函数 f ( x) 在开区间 ( a, b) 内有极小值点( A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 )

O

x

二、填空题 2 1.若函数 f ( x ) = x ( x - c ) 在 x ? 2 处有极大值,则常数 c 的值为_________;
2.函数 y ? 2 x ? sin x 的单调增区间为 。 3.设函数 f ( x) ? cos( 3x ? ? )(0 ? ? ? ? ) ,若 f ( x) ? f ?( x) 为奇函数,则 ? =__________ 4.设 f ( x) ? x ?
3

1 2 x ? 2 x ? 5 ,当 x ? [?1,2] 时, f ( x) ? m 恒成立,则实数 m 的 2

n

取值范围为

5.对正整数 n ,设曲线 y ? x (1 ? x) 在 x ? 2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a n ,则 数列 ?

? an ? ? 的前 n 项和的公式是 ? n ? 1?
3

三、解答题 1.求函数 y ? (1 ? cos 2 x) 的导数。

第 4 页 共 10 页

3.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 在 x ? ? (1)求 a , b 的值与函数 f ( x ) 的单调区间

2 与 x ? 1 时都取得极值 3

(2)若对 x ? [?1, 2] ,不等式 f ( x) ? c2 恒成立,求 c 的取值范围。

4.已知 f ( x) ? log 3

x 2 ? ax ? b , x ? (0, ??) ,是否存在实数 a、 b ,使 f ( x) 同时满足下列两个条件: (1) f ( x) 在 x (0,1) 上是减函数,在 ?1, ?? ? 上是增函数; (2) f ( x) 的最小值是 1 ,若存在,求出 a、 b ,若不存在,说明理由.

5、设函数 f ( x) ? x ? 3ax ? b(a ? 0) .
3

(1)若曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f ( x)) 处与直线 y ? 8 相切,求 a , b 的值; (2)求函数 f ( x ) 的单调区间与极值点.

6、

已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 1 , a ? R .
? 2 1? 设函数 f ( x) 在区间 ? ? , ? ? 内是减函数,求 a 的取值范围. ? 3 3?

新课程高中数学训练题组参考答案
(数学选修 2-2)第一章
一、选择题 1.B

导数及其应用 [基础训练 A 组]

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) ? lim 2[ ] h ? 0 h 2h f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) ? 2 lim ? 2 f ' ( x0 ) h ?0 2h ' ' 2.C s (t ) ? 2t ?1, s (3) ? 2 ? 3 ?1 ? 5 lim
h ?0

3.C

y ' = 3x2 + 1 > 0 对于任何实数都恒成立
第 5 页 共 10 页

4.D

f ' ( x) ? 3ax 2 ? 6 x, f ' ( ?1) ? 3a ? 6 ? 4, a ?

10 3

5.D 对于 f ( x) ? x3 , f ' ( x) ? 3x2 , f ' (0) ? 0, 不能推出 f ( x ) 在 x ? 0 取极值,反之成立 6.D

y' ? 4x3 ? 4, 令y' ? 0, 4x3 ? 4 ? 0, x ? 1,当x ? 1时, y' ? 0;当x ? 1时, y' ? 0 得 y极小值 ? y |x?1 ? 0, 而端点的函数值 y |x??2 ? 27, y |x?3 ? 72 ,得 ymin ? 0

二、填空题 1. ?1 2.

f ' ( x0 ) ? 3x02 ? 3, x0 ? ?1

3 3 y ' ? 3 x 2 ? 4 , k ? y' x ?|1 ? ?1 , t ?a n ? ? ? 1 , ?? ? 4 4 ' ' x cos x ? sin x (sin x) x ? sin x ? ( x) x cos x ? sin x y' ? ? 3. 2 x x2 x2 1 1 1 1 1 ' ' 4. , x ? ey ? 0 y ? , k ? y |x ?e ? , y ? 1 ? ( x ? e), y ? x e x e e e 5 5 ' 2 5. (??, ? ), (1, ??) 令y ? 3 x ? 2 x ? 5 ? 0, 得x ? ? , 或x ? 1 3 3
三、解答题 1.解:设切点为 P (a, b) ,函数 y ? x3 ? 3x2 ? 5 的导数为 y' ? 3x2 ? 6x 切线的斜率 k ? y' |x?a ? 3a2 ? 6a ? ?3 ,得 a ? ?1 ,代入到 y ? x3 ? 3x2 ? 5 得 b ? ?3 ,即 P(?1, ?3) , y ? 3 ? ?3( x ? 1),3x ? y ? 6 ? 0 。 2.解: y' ? ( x ? a)' ( x ? b)( x ? c) ? ( x ? a)( x ? b)' ( x ? c) ? ( x ? a)( x ? b)( x ? c)'

? ( x ? b)( x ? c) ? ( x ? a)( x ? c) ? ( x ? a)( x ? b)
3.解: f ?( x) ? 5x 4 ? 20x 3 ? 15x 2 ? 5x 2 ( x ? 3)(x ? 1) , 当 f ?( x) ? 0 得 x ? 0 ,或 x ? ?1 ,或 x ? ?3 , ∵ 0 ?[?1, 4] , ?1?[?1, 4] , ?3 ?[?1,4] 列表:

x
f ' ( x)
f ( x)

?1

(?1, 0)
+ ↗

0
0
1

(0, 4)
+ ↗

0

0
4 3

又 f (0) ? 0, f (?1) ? 0 ;右端点处 f (4) ? 2625 ; ∴函数 y ? x ? 5x ? 5x ? 1 在区间 [?1, 4] 上的最大值为 2625 ,最小值为 0 。
5

4.解: (1) y ? 3ax ? 2bx, 当 x ? 1 时, y' |x?1 ? 3a ? 2b ? 0, y |x?1 ? a ? b ? 3 ,
' 2

即?

?3a ? 2b ? 0 , a ? ?6, b ? 9 ?a ? b ? 3
3 2 ' 2 '

(2) y ? ?6x ? 9x , y ? ?18x ? 18x ,令 y ? 0 ,得 x ? 0, 或x ? 1

? y极小值 ? y |x?0 ? 0

(数学选修 2-2)第一章
一、选择题 1.C

导数及其应用 [综合训练 B 组]

y' ? 3x2 ? 6x ? 9 ? 0, x ? ?1, 得x ? 3 ,当 x ? ?1 时, y' ? 0 ;当 x ? ?1 时, y' ? 0 当 x ? ?1 时, y极大值 ? 5 ; x 取不到 3 ,无极小值
第 6 页 共 10 页

2.D 3.C

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? 3h) f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? 3h) ? 4 lim ? 4 f ' ( x0 ) ? ?12 h ? 0 h 4h ' 2 ' 2 设切点为 P 0 (a, b) , f ( x) ? 3x ? 1, k ? f (a) ? 3a ? 1 ? 4, a ? ?1 , lim
h ?0

把 a ? ?1 ,代入到 f ( x) = x3 + x - 2 得 b ? ?4 ;把 a ? 1 ,代入到 f ( x) = x3 + x - 2 得 b ? 0 ,所以 P 0 (1, 0) 和

(?1, ?4)
4.B 5.C 6. A

f ( x) , g ( x) 的常数项可以任意

1 8 x3 ? 1 1 ? 0, (2 x ? 1)(4 x 2 ? 2 x ? 1) ? 0, x ? 令 y ? 8x ? 2 ? 2 x x 2 ' ' 1 (ln x) x ? ln x ? x 1 ? ln x ' ? ? 0, x ? e , 令y ? 当 x ? e 时,y' ? 0 ; 当 x ? e 时,y' ? 0 ,y极大值 ? f (e) ? , 2 2 e x x 1 在定义域内只有一个极值,所以 ymax ? e
'

二、填空题

y' ? 1 ? 2 s i x n ? 0 x , ? ,比较 0, , 处的函数值,得 ymax ? ? 3 6 6 6 2 6 3 3 f ' ( x)? 3x2 ? 4 , f ' ( 1 ?) 7 f, ? ( 1 ) y1 ?0 , ? 1 x 0 ? 7 (y时 ? 1) , x ? 0 ? , 2. ? 7 7 2 2 2 ' 2 3. (0, ) ( ??, 0), ( , ??) y ? ?3 x ? 2 x ? 0, x ? 0, 或x ? 3 3 3 2 ' 2 4. a ? 0, 且b ? 3ac f ( x) ? 3ax ? 2bx ? c ? 0 恒成立, ?a ? 0 则? , a ? 0, 且b2 ? 3ac 2 ?? ? 4b ? 12ac ? 0 ' 2 2 5. 4, ?11 f ( x)? 3x ? 2a x ? b , ' f (1 ? ) 2 a ? b ? 3 ? 0 ,f ( ? 1 )a? a ? b ? ? 1 10 ?2a ? b ? ?3 ?a ? ?3 ?a ? 4 ,当 a ? ?3 时, x ? 1 不是极值点 ,? ,或 ? ? 2 b ? 3 b ? ? 11 a ? a ? b ? 9 ? ? ?
1. 三、解答题 1.解: y ? 2x, k1 ? y |x? x0 ? 2x0 ; y ? 3x , k2 ? y |x?x0 ? 3x0
' ' ' 2 ' 2
3

?

? 3

?

? ?

?

k1k2 ? ?1, 6 x03 ? ?1, x0 ? ?

2.解:设小正方形的边长为 x 厘米,则盒子底面长为 8 ? 2 x ,宽为 5 ? 2 x

36 。 6

V ? (8 ? 2x)(5 ? 2x) x ? 4x3 ? 26x2 ? 40x
V ' ? 12 x 2 ? 52 x ? 40, 令V ' ? 0, 得x ? 1, 或x ? 10 10 ,x? (舍去) 3 3

V极大值 ? V (1) ? 18 ,在定义域内仅有一个极大值, ?V最大值 ? 18
3.解: (1) f ( x) ? ax ? bx ? c 的图象经过点 (0,1) ,则 c ? 1 ,
4 2

f ' ( x) ? 4ax3 ? 2bx, k ? f ' (1) ? 4a ? 2b ? 1, 4 2 切点为 (1, ?1) ,则 f ( x) ? ax ? bx ? c 的图象经过点 (1, ?1) 5 9 得 a ? b ? c ? ?1, 得a ? , b ? ? 2 2 5 4 9 2 f ( x) ? x ? x ? 1 2 2
第 7 页 共 10 页

3 10 3 10 ? x ? 0, 或x ? 10 10 3 10 3 10 单调递增区间为 (? , 0), ( , ??) 10 10 ? ? 1 3 ? ? ? ? b ? 0, a ? 2, b ? 1 4.解:由 a ? ( 3, ?1), b ? ( , ) 得 a? 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 [a ? (t ? 3)b ]? (?ka ? tb ) ? 0, ?ka 2 ? ta? b ? k (t 2 ? 3)a? b ? t (t 2 ? 3)b 2 ? 0 1 1 ?4k ? t 3 ? 3t ? 0, k ? (t 3 ? 3t ), f (t ) ? (t 3 ? 3t ) 4 4 3 3 3 3 f ' (t ) ? t 2 ? ? 0, 得t ? ?1, 或t ? 1; t 2 ? ? 0, 得 ? 1 ? t ? 1 4 4 4 4 所以增区间为 (??, ?1), (1, ??) ;减区间为 (?1,1) 。
(2) f ' ( x) ? 10 x3 ? 9 x ? 0, ?

(数学选修 2-2)第一章
一、选择题 1.A 2.A 3.B 4.C

导数及其应用 [提高训练 C 组]

5.A

f ' ( x) ? sin x, f ' (? ) ? sin ? b ' 对称轴 ? ? 0, b ? 0, f ( x) ? 2 x ? b ,直线过第一、三、四象限 2 f ' ( x) ? ?3x2 ? 2ax ?1 ? 0 在 (??,??) 恒成立, ? ? 4a2 ?12 ? 0 ? ? 3 ? a ? 3 当 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 在 (1, ??) 上是增函数;当 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x ) 在 (??,1) 上是减 函数,故 f ( x ) 当 x ? 1 时取得最小值,即有 f (0) ? f (1), f (2) ? f (1), 得 f (0) ? f (2) ? 2 f (1) 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直的直线 l 为 4 x ? y ? m ? 0 ,即 y ? x4 在某一点的导数为 4 ,而 y? ? 4 x3 ,所以 y ? x4 在 (1,1) 处导数为 4 ,此点的切线为 4 x ? y ? 3 ? 0
' ' '

6.A 极小值点应有先减后增的特点,即 f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 二、填空题
2 f ' ( x)? 3x ? 4c x ? 2c , 'f ( 2? ) 2c? 8? c 1? 2 0c ? , 或 , 2c , ?2 6时取极小值 2. (??, ??) y' ? 2 ? c o x s ? 对于任何实数都成立 0 ? 3. f ' ( x) ? ? sin( 3x ? ?)( 3x ? ?)' ? ? 3sin( 3x ? ?) 6 ? f ( x) ? f ?( x) ? 2 cos( 3 x ? ? ? ) 3 ? ? 要使 f ( x) ? f ?( x) 为奇函数,需且仅需 ? ? ? k? ? , k ? Z , 3 2 ? ? 即: ? ? k? ? , k ? Z 。又 0 ? ? ? ? ,所以 k 只能取 0 ,从而 ? ? 。 6 6 4. (7, ??) x ? [?1,2] 时, f ( x)max ? 7

1. 6

5. 2

n ?1

?2

y/

x?2

? ?2n ? 1? n? 2? 切线方程为 , :y ?

n

2 ??

? n 1

2? n ?

?

2? x ( ,2 )

n 令 x ? 0 ,求出切线与 y 轴交点的纵坐标为 y0 ? ? n ? 1? 2 ,所以

和 Sn ? 三、解答题

2 ?1 ? 2n ? 1? 2

an ? a ? ? 2n ,则数列 ? n ? 的前 n 项 n ?1 ? n ? 1?

? 2n?1 ? 2

第 8 页 共 10 页

1.解: y ? (1 ? cos 2 x)3 ? (2cos2 x)3 ? 8cos6 x

y' ? 48cos5 x ? (cos x)' ? 48cos5 x ? (? sin x) ? ?48sin x cos5 x 。 1 1 1 1 ' 2.解:函数的定义域为 [?2, ??) , y ? ? ? ? 2x ? 4 2 x ? 3 2x ? 4 4 x ? 12 ' 当 x ? ?2 时, y ? 0 ,即 [?2, ??) 是函数的递增区间,当 x ? ?2 时, ymin ? ?1 所以值域为 [?1, ??) 。
3.解: (1) f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c, f ' ( x) ? 3x2 ? 2ax ? b

2 12 4 1 ? a ? b ? 0 , f ' (1) ? 3 ? 2a ? b ? 0 得 a ? ? , b ? ?2 3 9 3 2 ' 2 f ( x) ? 3x ? x ? 2 ? (3x ? 2)( x ?1) ,函数 f ( x) 的单调区间如下表: 2 2 2 (??, ? ) ? ( ? ,1) 1 x (1, ??) 3 3 3 ? ? ? 0 0 f ' ( x) 极大值 ? 极小值 ? f ( x) ? 2 2 所以函数 f ( x ) 的递增区间是 (??, ? ) 与 (1, ??) ,递减区间是 ( ? ,1) ; 3 3 1 2 2 22 3 2 ?c (2) f ( x) ? x ? x ? 2 x ? c, x ? [ ?1, 2] ,当 x ? ? 时, f ( ? ) ? 2 3 3 27 为极大值,而 f (2) ? 2 ? c ,则 f (2) ? 2 ? c 为最大值,要使 f ( x) ? c2 , x ?[?1, 2]
由 f (? ) ?
'

恒成立,则只需要 c2 ? f (2) ? 2 ? c ,得 c ? ?1, 或c ? 2 。 4.解:设 g ( x) ?

∵ f ( x ) 在 (0,1) 上是减函数,在 [1, ??) 上是增函数 ∴ g ( x) 在 (0,1) 上是减函数,在 [1, ??) 上是增函数. ∴?

x 2 ? ax ? b x

? g ' (1) ? 0 ? g (1) ? 3

?b ? 1 ? 0 ?a ? 1 解得 ? ?a ? b ? 1 ? 3 ?b ? 1 经检验, a ? 1, b ? 1 时, f ( x ) 满足题设的两个条件.
∴?
'

5、解: (1) f

? x? ? 3x2 ? 3a ,

∵曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f ( x)) 处与直线 y ? 8 相切,
' ? ?3 ? 4 ? a ? ? 0 ?a ? 4, ? f ? 2? ? 0 ? ?? ?? ∴? ? ? f ? 2? ? 8 ?8 ? 6a ? b ? 8 ?b ? 24. ?

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6、.(本题满分 14 分)

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