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2016届高考数学(文)一轮复习跟踪检测:3-4+函数y=Asin(ωx+φ)的图象及简单三角函数模型的应用


课时作业 18 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象及简单三角函 数模型的应用
一、选择题 π 1.(2014·湖州二模)将函数 y=sin2x+cos2x 的图象向左平移 个单位长度,所得图 4 象对应的函数解析式可以是( A.y=cos2x+sin2x C.y=sin2x-cos2x ) B.y=cos2x-sin2x D.y=sinxcosx

π ? 向左平移 ? ? π? π? ? 解 析 : y = sin2x + cos2x = 2 sin ?2x+ ? π ― ― → y = 2 sin ?2?x+ ?+ ? = 2 个单位 4? 4? 4 ? ?4 ? ? π π? π? ? ? sin?2x+ + ?= 2cos?2x+ ?=cos2x-sin2x. 4 2? 4? ? ? 答案:B 2.(2014·福建卷)将函数 y=sinx 的图象向左平移 象,则下列说法正确的是( A.y=f(x)是奇函数 B.y=f(x)的周期为 π π C.y=f(x)的图象关于直线 x= 对称 2 ) π 个单位,得到函数 y=f(x)的图 2

? π ? D.y=f(x)的图象关于点?- ,0?对称 2 ? ?
π ? π? 解析:函数 y=sinx 的图象向左平移 个单位后,得到函数 f(x)=sin?x+ ?=cosx 2? 2 ?

?π ? 的图象,f(x)=cosx 为偶函数,排除 A;f(x)=cosx 的周期为 2π ,排除 B;因为 f? ?= ?2?
π π cos =0,所以 f(x)=cosx 不关于直线 x= 对称,排除 C;故选 D. 2 2 答案:D π? ? 3.(2014·新课标全国卷Ⅰ)在函数①y=cos|2x|,②y=|cosx|,③y=cos?2x+ ?, 6? ? π? ? ④y=tan?2x- ?中,最小正周期为 π 的所有函数为( 4? ? A.①②③ C.②④ B.①③④ D.①③ )

解析:① y = cos|2x| ,最小正周期为 π ;② y = |cosx| ,最小正周期为 π ;③ y =

π? π? π ? ? cos?2x+ ?,最小正周期为 π ;④y=tan?2x- ?,最小正周期为 ,所以最小正周期为 6? 4? 2 ? ? π 的所有函数为①②③,故选 A. 答案:A π? ? 4.(2014·山东青岛一模)函数 f(x)=Asin(ω x+φ )?A>0,ω >0,|φ |< ?的部分 2? ? 图象如图所示,为了得到 y=sin2x 的图象,只需将 f(x)的图象( )

π A.向右平移 个单位长度 3 π B.向右平移 个单位长度 6 π C.向左平移 个单位长度 3 π D.向左平移 个单位长度 6 解析:观察图象可知,A=1,T=π , ∴ω =2,f(x)=sin(2x+φ ).

? π ? ? π ? 将?- ,0?代入上式得 sin?- +φ ?=0. ? 6 ? ? 3 ?
π? π ? 由已知得 φ = ,故 f(x)=sin?2x+ ?. 3? 3 ? π ? π ? 为了得到 y=sin2x 的图象, 由 f(x)=sin2?x+ ?知, 只需将 f(x)的图象向右平移 个 6 6 ? ? 单位长度.故选 B. 答案:B 5.(2014·天津卷)已知函数 f(x)= 3sinω x+cosω x(ω >0),x∈R.在曲线 y=f(x) π 与直线 y=1 的交点中,若相邻交点距离的最小值为 ,则 f(x)的最小正周期为( 3 A. π 2 B. 2π 3 )

C.π

D.2π

π? ? 解析:由题意得函数 f(x)=2sin?ω x+ ?(ω >0),又曲线 y=f(x)与直线 y=1 相邻 6? ? π π π π 5π 交点距离的最小值是 ,由正弦函数的图象知,ω x+ = 和 ω x+ = 对应的 x 的值 3 6 6 6 6 π 2π π 2π 相差 ,即 = ,解得 ω =2,所以 f(x)的最小正周期是 T= =π . 3 3ω 3 ω 答案:C π? π ? 6.(2014·长春模拟)函数 f(x)=sin(2x+φ )?|φ |< ?向左平移 个单位后是奇函 2? 6 ?

? π? 数,则函数 f(x)在?0, ?上的最小值为( 2? ?
A.- C. 1 2 3 2 D. 1 B.- 2 3 2

)

π? π ? ? π? 解析: 函数 f(x)=sin(2x+φ )?|φ |< ?向左平移 个单位后得到函数为 f?x+ ?= 2? 6? 6 ? ? π π ? ? π? ? ? ? sin?2?x+ ?+φ ?=sin?2x+ +φ ?,因为此时函数为奇函数,所以 +φ =kπ (k∈Z), 6? 3 3 ? ? ? ? ? 所以 φ =- π π π + kπ (k∈ Z).因为 |φ |< ,所以当 k= 0 时,φ =- ,所以 f(x) = 3 2 3

π? π π π 2π π π ? sin?2x- ? .当 0≤x≤ 时,- ≤2x- ≤ ,即当 2x- =- 时,函数 f(x)= 3? 2 3 3 3 3 3 ? π? 3 ? ? π? sin?2x- ?有最小值为 sin?- ?=- . 3? 2 ? ? 3? 答案:A 二、填空题 7. (2014·陕西五校三模)函数 y=sinx(3sinx+4cosx)(x∈R)的最大值为 M, 最小正周 期为 T,则有序数对(M,T)为__________. 3?1-cos2x? 3 3 解析:因为 y=sinx(3sinx+4cosx)= +2sin2x=2sin2x- cos2x+ ≤ 2 2 2 9 3 4+ + =4, 4 2 所以 M=4,T=π ,所以有序数对(M,T)为(4,π ). 答案:(4,π ) 8. 已知函数 y=g(x)的图象由 f(x)=sin2x 的图象向右平移 φ (0<φ <π )个单位得到, 这两个函数的部分图象如图所示,则 φ =__________.

π π π 解析:函数 f(x)=sin2x 的图象在 y 轴右侧的第一个对称轴为 2x= ,所以 x= , 2 4 8 π 3π 3π 关于 x= 对称的直线为 x= ,由图象可知,通过向右平移之后,横坐标为 x= 的点 4 8 8 17π 17π 3π π 平移到 x= ,所以 φ = - = . 24 24 8 3 π 答案: 3

? π? 2 9.(2015·湖北武汉调研)已知函数 f(x)= 3sin2x+2cos x+m 在区间?0, ?上的最 2? ?
大值为 3,则: (1)m=__________; (2)当 f(x)在[a,b]上至少含 20 个零点时,b-a 的最小值为__________. 解析:(1)f(x)= 3sin2x+2cos x+m = 3sin2x+1+cos2x+m π? ? =2sin?2x+ ?+m+1. 6? ? π π π 7π 因为 0≤x≤ ,所以 ≤2x+ ≤ . 2 6 6 6 π? 1 ? 所以- ≤sin?2x+ ?≤1, 6? 2 ? f(x)max=2+m+1=3+m=3, ∴m=0. π? 2π ? (2)由(1)得 f(x)=2sin?2x+ ?+1,周期 T= =π ,在长为 π 的闭区间内有 2 个 6? 2 ? 或 3 个零点. π? ? 由 2sin?2x+ ?+1=0, 6? ?
2

π? 1 ? 得 sin?2x+ ?=- , 6? 2 ? π 7π π 11π 2x+ =2kπ + ,k∈Z 或 2x+ =2kπ + ,k∈Z, 6 6 6 6 π 5π 所以 x=kπ + 或 x=kπ + ,k∈Z. 2 6 π π 不妨设 a= ,则当 b=9π + 时,f(x)在区间[a,b]上恰有 19 个零点,当 b=9π + 2 2 5π π 28π 时恰有 20 个零点,此时 b-a 的最小值为 9π + = . 6 3 3 28π 答案:(1)0 (2) 3 三、解答题 π? ? 10.(2014·北京卷)函数 f(x)=3sin?2x+ ?的部分图象如图所示. 6? ?

(1)写出 f(x)的最小正周期及图中 x0,y0 的值; π? ? π (2)求 f(x)在区间?- ,- ?上的最大值和最小值. 2 12 ? ? 解析:(1)f(x)的最小正周期为 π . 7π x0= ,y0=3. 6 π? π ? 5π ? π ? (2)因为 x∈?- ,- ?,所以 2x+ ∈?- ,0?. 12? 6 6 ? ? 2 ? π π 于是,当 2x+ =0,即 x=- 时,f(x)取得最大值 0; 6 12 π π π 当 2x+ =- ,即 x=- 时,f(x)取得最小值-3. 6 2 3

π? ? 11.(2015·苏州调研)已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )?其中A>0,ω >0,0<φ < ? 2? ? 的周期为 π ,且图象上有一个最低点为 M? (1)求 f(x)的解析式; 3 (2)求使 f(x)< 成立的 x 的取值集合. 2 解析:(1)由题意知:A=3,ω =2, 由 3sin?

?2π ,-3?. ? ? 3 ?

?4π +φ ?=-3, ? ? 3 ?

4π π 得 φ + =- +2kπ ,k∈Z, 3 2 -11π 即φ = +2kπ ,k∈Z. 6 π π 而 0<φ < ,所以 k=1,φ = . 2 6 π? ? 故 f(x)=3sin?2x+ ?. 6? ? π? 3 3 ? (2)f(x)< 等价于 3sin?2x+ ?< , 6? 2 2 ? π? 1 ? 即 sin?2x+ ?< , 6? 2 ? 7π π π 于是 2kπ - <2x+ <2kπ + (k∈Z), 6 6 6 2π 解得 kπ - <x<kπ (k∈Z), 3 3 2π 故使 f(x)< 成立的 x 的取值集合为{x|kπ - <x<kπ ,k∈Z}. 2 3 12.(2015·菏泽月考)已知函数 f(x)=2sinω xcosω x+2 3sin ω x- 3(ω >0)的最 小正周期为 π . (1)求函数 f(x)的单调增区间; π (2)将函数 f(x)的图象向左平移 个单位, 再向上平移 1 个单位长度, 得到函数 y=g(x) 6 的图象.若 y=g(x)在[0,b](b>0)上至少含有 10 个零点,求 b 的最小值. 解析:(1)由题意得:f(x)=2sinω xcosω x+2 3sin ω x- 3=sin2ω x- 3cos2ω x π? ? =2sin?2ω x- ?, 3? ? 由最小正周期为 π ,得 ω =1,
2 2

π? ? 得 f(x)=2sin?2x- ?, 3? ? π π π 令 2kπ - ≤2x- ≤2kπ + ,k∈Z, 2 3 2 整 理 得 kπ - π 5π ≤x≤kπ + , k ∈ Z , 所 以 函 数 f(x) 的 单 调 增 区 间 是 12 12

?kπ -π ,kπ +5π ?,k∈Z. ? ? 12 12 ? ?
π (2)将函数 f(x)的图象向左平移 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度,得到 y= 6 2sin2x+1 的图象,所以 g(x)=2sin2x+1. 7π 11π 令 g(x)=0,得 x=kπ + 或 x=kπ + (k∈Z),所以 y=g(x)在[0,π ]上恰好有 12 12 两个零点, 若 y=g(x)在[0, b]上至少有 10 个零点, 则 b 不小于第 10 个零点的横坐标即可, 11π 59π 即 b 的最小值为 4π + = . 12 12


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