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北师大版数学(理)提升作业:2.13定积分与微积分基本定理(含答案)


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课时提升作业(十六)
一、选择题 1.(2013·芜湖模拟) (A)lnx+ ln2x (C)

?

1 ? ln x dx=( 1 x
e

/>)

(B) -1 (D)

2.(2013·赣州模拟)已知函数 f(x)= 则 (A) (B)4 f(x)dx 的值为( (C)6 (D) ,直线 x=1 以及坐标轴围成的平面图形 ) (D) )

3.(2013· 汉中模拟)由 y=

绕 x 轴旋转一周所得旋转体体积为( (A) (B)π (C)

4.(2013·济南模拟)已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路 线(假定为直线)行驶,甲车、乙车的速度曲线分别为 v 甲和 v 乙(如图所 示).那么对于图中给定的 t0 和 t1,下列判断中一定正确的是( (A)在 t1 时刻,甲车在乙车前面 (B)t1 时刻后,甲车在乙车后面 (C)在 t0 时刻,两车的位置相同 (D)t0 时刻后,乙车在甲车前面 )

5.如图,阴影部分的面积是(

)

(A)2

(B)2-

(C) (2x-1)dx=6,则 t 的值等于( (D)8

(D) )

6.(2013·三亚模拟)已知 t>0,若 (A)2 (B)3 (C)6

7.曲线 y=sinx,y=cosx 与直线 x=0,x= 所围成的平面区域的面积为 ( (A) (B) (C) (D)2 ) (sinx-cosx)dx (sinx-cosx)dx (cosx-sinx)dx (cosx-sinx)dx

8.(2013·广州模拟)物体 A 以 v=3t2+1(m/s)的速度在一直线 l 上运动, 物体 B 在直线 l 上,且在物体 A 的正前方 5m 处,同时以 v=10t(m/s)的速 度与 A 同向运动,出发后物体 A 追上物体 B 所用的时间 t(s)为( (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 )

9.如图,函数 y=-x2+2x+1 与 y=1 相交形成一个闭合图形(图中的阴影部 分),则该闭合图形的面积是( )

(A)1

(B)

(C)
2?

(D)2 sinxdx=0 推断直线 x=0,x=2π ,y=0 和 )

10.(2013·马鞍山模拟)根据 ?0

正弦曲线 y=sinx 所围成的曲边梯形的面积时,正确结论为( (A)面积为 0 (B)曲边梯形在 x 轴上方的面积大于在 x 轴下方的面积 (C)曲边梯形在 x 轴上方的面积小于在 x 轴下方的面积 (D)曲边梯形在 x 轴上方的面积等于在 x 轴下方的面积 二、填空题 11.(2013·宜春模拟) |3-2x|dx= .

12.(2013· 海口模拟)已知函数 f(x)=-x3+ax2+bx(a,b∈R)的图像如图所 示,它与 x 轴在原点处相切,且 x 轴与函数图像所围区域(图中阴影部分) 的面积为 ,则 a 的值为 .

13.已知函数 f(x)=sin5x+1,根据函数的性质、积分的性质和积分的几 何意义,探求 f(x)dx 的值,结果是 .

14.(能力挑战题)抛物线 y=-x2+4x-3 及其在点 A(1,0)和点 B(3,0)处的 切线所围成图形的面积为 三、解答题 15.(能力挑战题)如图所示,直线 y=kx 分抛物线 y=x-x2 与 x 轴所围图形 为面积相等的两部分,求 k 的值. .

答案解析
1.【解析】选 C. 2.【解析】选 D. = x3
0 ?2

?

1 ? ln x dx=(lnx+ 1 x
e

) 1e = . (x+1)dx

f(x)dx=

x2dx+

+( x2+x) =(0+ )+( ×4+2-0)= . π(x+2)dx=π〃( +2x)
1 0

3.【解析】选 C.V=

= π.

4.【解析】选 A.可观察出曲线 v 甲,直线 t=t1 与 t 轴围成的面积大于曲 线 v 乙,直线 t=t1 与 t 轴围成的面积,故选 A. 5.【解析】选 C. 6.【解析】选 B. (3-x2-2x)dx=(3x- x3-x2) (2x-1)dx= 2xdx= .

1〃dx=x2 -x =t2-t,

由 t2-t=6 得 t=3 或 t=-2(舍去). 【方法技巧】定积分的计算方法 (1)利用定积分的几何意义,转化为求规则图形(三角形、矩形、圆或其 一部分等)的面积. (2)应用微积分基本定理: 求定积分 f(x)dx 时,可按以下两步进行,

第 一步:求使 F'(x)=f(x)成立的 F(x); 第二步:计算 F(b)-F(a). 7.【解析】选 D.当 x∈[0, ]时,y=sinx 与 y=cosx 的图像的交点坐标 为( , ),作图可知曲线 y=sinx,y=cosx 与直线 x=0,x= 所围成的平面 区 域 的 面 积 可 分 为 两 部 分 : 一 部 分 是 曲 线 y=sinx,y=cosx 与 直 线 x=0,x= 所围成的平面区域的面积;另一部分是曲线 y=sinx,y=cosx 与 直线 x= ,x= 所围成的平面区域的面积.且这两部分的面积相等,结合 定积分定义可知选 D. 8.【解析】选 C.因为物体 A 在 t 秒内行驶的路程为 B 在 t 秒 内 行 驶 的 路 程 为 (3t2+1)dt,物体 10tdt, 所 以

(3t2+1-10t)dt=(t3+t-5t2) =t3+t-5t2=5? (t-5)(t2+1)=0,即 t=5. 9.【解析】选 B.函数 y=-x2+2x+1 与 y=1 的两个交点为(0,1)和(2,1), 所以闭合图形的面积等于 (-x2+2x+1-1)dx= (-x2+2x)dx= .

10.【思路点拨】y=sinx 的图像在[0,2π]上关于(π,0)对称,据此结合 定积分的几何意义判断. 【解析】选 D.y=sinx 的图像在[0,2π]上关于(π,0)对

称,

sinxdx= ?0 sinxdx+

?

sinxdx=0.

11.【解析】∵|3-2x|=



|3-2x|dx=
3

(3-2x)dx+
2 3 2

(2x-3)dx

=(3x-x2) 12 +(x2-3x) = . 答案:

12.【解析】f'(x)=-3x2+2ax+b,∵f'(0)=0,∴b=0, ∴f(x)=-x3+ax2,令 f(x)=0,得 x=0 或 x=a(a<0). S 阴影=答案:-1 13.【解析】∵函数 y=sin5x 是奇函数, ∴ ∴ sin5xdx=0, f(x)dx= sin5xdx+ 1dx=π. (-x3+ax2)dx= a4= ,∴a=-1.

答案:π 14.【思路点拨】先求出曲线的两条切线,再将所求面积分割成两部分 求解. 【解析】如图所示,因为 y'=-2x+4,y'|x=1=2, y'|x=3=-2,两切线方程为 y=2(x-1)和 y=-2(x-3). 由 得 x=2.

所以 S=

[2(x-1)-(-x2+4x-3)]dx+ (x2-2x+1)dx+ (x2-6x+9)dx

[-2(x-3)-(-x2+4x-3)]dx= =( x3-x2+x) +( x3-3x2+9x) = . 答案:

15.【思路点拨】先求出抛物线 y=x-x2 与 x 轴所围成图形的面积,再表 示出直线 y=kx 与抛物线 y=x-x2 所围成图形的面积,最后由面积相等构 造方程求解. 【解析】抛物线 y=x-x2 与 x 轴两交点的横坐标为 x1=0,x2=1, 所以,抛物线与 x 轴所围图形的面积 S= 又 由此可得, 抛物线 y=x-x2 与 y=kx 两交点的横坐标为 x3=0,x4=1-k,所以, = ?0 =(
1? k

(x-x2)dx=( - x3) = .

(x-x2-kx)dx x2- x 3)

= (1-k)3. 又知 S= , 所以(1-k)3= , 于是 k=1=1.

【变式备选】定义 F(x,y)=(1+x)y,x,y∈(0,+∞).令函数 f(x)=F(1,log2(x2-4x +9))的图像为曲线 C1,曲线 C1 与 y 轴交于点 A(0,m),过坐标原点 O 向曲 线 C1 作切线,切点为 B(n,t) (n>0),设曲线 C1 在点 A,B 之间的曲线段与 线段 OA,OB 所围成图形的面积为 S,求 S 的值.

【解析】因为 F(x,y)=(1+x)y,所以 f(x)=F(1, log2(x2-4x+9))= =x2-4x+9,故 A(0,9),又过坐标原点 O 向曲

线 C1 作切线,切点为 B(n,t)(n>0),f'(x)=2x-4. 所以 所以 S= 解得 B(3,6), (x2-4x+9-2x)dx

=( -3x2+9x) =9.

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