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函数值域的求法


1. 函数值域的求法 (1) 、直接法:从自变量 x 的范围出发,推出 观观察,准确判断函数值域的方法。 例 1:求函数

y ? f ( x) 的取值范围。或由函数的定义域结合图象,或直

y ? x ? 1 ? x ? 1, ? x ≥1? 的值域。 y ? x 2 ? 6 x ? 10 的值域。
y ? x ? 1的值域。<

br />解:∵

? 2, ?? ?

?

例 2:求函数 例 3:求函数 域为 [1, ??) 。

?1, ???
x ? 0 ,∴ x ? 1 ? 1 ,∴函数 y ? x ? 1的值

(2) 、 配方法: 配方法式求 “二次函数类” 值域的基本方法。 形如 F ( x) ? af 2 ( x) ? bf ( x) ? c 的函数的值域问题,均可使用配方法。 例 1:求函数 y ? ? x2 ? 4x ? 2 ( x ?[?1,1] )的值域。 解 : y ? ? x2 ? 4x ? 2 ? ?( x ? 2)2 ? 6 ,

]∴ ∵ x ?[?1,1] , ∴ x ? 2 ?[ ?3 , ? 1 ,

1 ? (x ? 22 ) ? 9
∴ ?3 ? ?( x ? 2)2 ? 6 ? 5 ,∴ ?3 ? y ? 5 值域为 [?3,5] 。 (3) . 最值法: 对于闭区间上的连续函数, 利用函数的最大值、 最小值求函数的值域的方法。 例 1:求函数 y ? 2 , x ?? ?2, 2? 的值域。
x

∴函数 y ? ? x2 ? 4x ? 2 ( x ?[?1,1] )的

?1 ? ,4 ? ?4 ? ?

例 2:求函数 y ? ?2 x2 ? 5x ? 6 的值域。

73 ? ? ? ??, ? 8? ?

(4) 、分离常数法:分子、分母是一次函数得有理函数,可用分离常数法,此类问题一般也可以利用反函 ax ? b 数法。小结:已知分式函数 y ? (c ? 0) ,如果在其自然定义域(代数式自身对变量的要求)内, cx ? d
a? 值域为 ? ,采用部分分式法将原函数化为 ?y y ? ? ;如果是条件定义域(对自变量有附加条件) ? c?
ad b? a c (ad ? bc) ,用复合函数法来求值域。 y? ? c cx ? d

例 1:求函数 y ?

1? x 的值域。 2x ? 5
1 7 7 ? (2 x ? 5) ? 1 2 2 ?? ? 2 , 2x ? 5 2 2x ? 5

解:∵ y ? 1 ? x ? 2x ? 5

7 1 1 ? x 的值域为 { y | y ? ? 1 } 。 ∵ 2 ? 0 ,∴ y ? ? ,∴函数 y ? 2 2 2x ? 5 2x ? 5
(5) 、换元法:运用代数代换,奖所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域,形如

y ? ax ? b ? cx ? d

( a 、 b 、 c 、 d 均为常数,且 a

? 0 )的函数常用此法求解。

例 1:求函数 y ? 2x ? 1 ? 2x 的值域。

1? t2 1 2 5 2 解:令 t ? 1 ? 2 x ( t ? 0 ) ,则 x ? ,∴ y ? ?t ? t ? 1 ? ?(t ? ) ? 2 4 2
∵当 t ?

1 3 5 ,即 x ? 时, ymax ? ,无最小值。∴函数 y ? 2x ? 1 ? 2x 的值域为 2 8 4

5 (??, ] 。 4
(6) 、判别式法:把函数转化成关于 x 的二次方程 F ( x, y) ? 0 ;通过方程有实数根,判别
2 式 ? ? 0 ,从而求得原函数的值域,形如 y ? a1 x ? b1 x ? c1 ( a1 、 a2 不同时为零)的函数的 2 a2 x ? b2 x ? c2

值域,常用此方法求解。 例 1:求函数 y ?

x2 ? x ? 3 的值域。 x2 ? x ? 1

2 2 解:由 y ? x 2 ? x ? 3 变形得 ( y ?1) x ? ( y ?1) x ? y ? 3 ? 0 , x ? x ?1

当 y ? 1 时,此方程无解;当 y ? 1 时,∵ x ? R ,∴ ? ? ( y? 1) ? 4( y?1)( y?3) ?0
2



解得 1 ? y ?

11 11 11 x2 ? x ? 3 ,又 y ? 1 ,∴ 1 ? y ? ∴函数 y ? 的值域为 { y |1 ? y ? } 2 3 3 3 x ? x ?1

(7) 、函数的单调性法:确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,求出函数 的值域。 例 1:求函数 y ? x ? 1 ? 2x 的值域。 解:∵当 x 增大时, 1 ? 2 x 随 x 的增大而减少, ? 1 ? 2 x 随 x 的增大而增大, ∴函数 y ? x ? 1 ? 2x 在定义域 (??, ] 上是增函数。∴ y ? 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 ,
2 2 2

1 2

∴函数 y ? x ? 1 ? 2x 的值域为 (??, ] 。 例 2.求函数 y ? x ?

1 2

1 在区间 x ? ?0,???上的值域。 x

分析与解答:任取 x1 , x2 ? ?0,??? ,且 x1 ? x 2 ,则

f ?x1 ? ? f ?x2 ? ?

?x1 ? x2 ??x1 x2 ? 1? ,因为 0 ? x
x1 x2

1

? x2 ,所以: x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 0 ,

当 1 ? x1 ? x2 时, x1 x2 ? 1 ? 0 ,则 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ; 当 0 ? x1 ? x2 ? 1 时, x1 x2 ? 1 ? 0 ,则 f ?x1 ? ? f ?x2 ?;而当 x ? 1 时, y min ? 2 于是:函数 y ? x ?

1 在区间 x ? ?0,??? 上的值域为 [2,??) 。 x

(8) 、基本不等式法
利用基本不等式 a
2

? b 2 ? 2ab 和 a ? b ? 2 ab (a, b ? 0) 是求函数值域的常用技巧之一 ,



用此法求函数的值域, 要合理地添项和拆项, 添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量 , 同 时, 利用此法时应注意取 " ?" 成立的条件. 例 1 求函数 解答:

y?
x?2 x ?1

x?2 x ?1 的值域.

y?

?

x ?1 ?

1 x ?1

?2

, 当且仅当

x ? 1 时 " ?" 成 立 .

故函数的值域为

y ? [2,??) .
此法可以灵活运用 , 对于分母为一次多项式的二次分式 , 当然可以运用判别式法求得其值域 , 但是若 能变通地运用此法, 可以省去判别式法中介二次不等式的过程. 例 2 求函数

y?

x2 ?2 x?2 x ?1 的值域.

解答: 此题可以利用判别式法求解 , 这里考虑运用基本不等式法求解此题 , 此时关键是在分子中分解 出 " ( x ? 1)" 项来 ⅰ)当 x ⅱ)当 x

y?

( x ?1)( x ?1) ?1 x ?1

; ? ( x ? 1) ? x1 ?1

? ?1 时, x ? 1 ? 0 ,

1 x ?1

? 0,
1 x ?1

此时

y ? 2,
此时有

等号成立, 当且仅当 x

? 0.

? ?1 时, ? ( x ? 1) ? 0 , ?

? 0,

y?

( x ? 1)(x ? 1) ? 1 1 1 ? ? ? ( x ? 1) ? ? ??? ( x ? 1) ? ? ?2 , 等 号 成 立 , 当 且 仅 当 x ?1 x ?1 x ? 1? ? ?

x ? ?2 .
综上, 原函数的值域为: y ? (??,?2] ? [2,??) . 不等式法:利用基本不等式 ,求函数的最值,其题型特

征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时需要用到拆项、添项和两边平方 等技巧。

(9) 、有界性法:利用某些函数有界性求得原函数的值域。

例 1:求函数

y?

x2 ?1 的值域。 x2 ? 1 y ?1 y ?1 ( x? R , y ?1) ,∴ ? ? 0 ,∴ y ?1 y ?1

解:由函数的解析式可以知道,函数的定义域为 R ,对函数进行变形可得

( y ?1) x2 ? ?( y ? 1) ,
?1 ? y ? 1 ,



y ? 1 ,∴ x 2 ? ?

2 ∴函数 y ? x ? 1 的值域为 { y | ?1 ?

x2 ? 1

y ? 1}
Yr 范围,从而求出其值域或

形如 sin ? 最值。

? f ( y), x 2 ? g( y),因为sin ? ? 1, x 2 ? 0 可解出
2 x ? 1 的值域 2x ?1

例 2.求函数 y ?

解:函数的有界性由

y?

2x ?1 y ?1 y ?1 得 2x ? ? 2 2 ? 0,? ? 0 ? y ? 1或y ? ?1 x 2 ?1 y ?1 y ?1
1? ? ? ??, ? ? ?3, ?? ? 5? ?
?1 ? ,3 ? ?3 ? ?

例 3:求函数 y ? 例 4:求函数 y ?

2 cos x ? 1 的值域。 3cos x ? 2
2 ? sin x 的值域。 2 ? sin x

(10) 、 数形结合法: 函数图像是掌握函数的重要手段, 利用数形结合的方法, 根据函数图像求得函数值域, 是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义(如两点间距离,直线的斜率、截距等) 或当一个函数的图象易于作出时,借助几何图形的直观性可求出其值域。 例 1:求函数
y

y ?| x ? 3 | ? | x ? 5 | 的值域。
8 -3 o 5 x

??2 x ? 2 ( x ? ?3) ? 解:∵ y ?| x ? 3 | ? | x ? 5 |? ?8 (?3 ? x ? 5) , ?2 x ? 2 ( x ? 5) ?


y ?| x ? 3 | ? | x ? 5 | 的 图 像 如 图 所 示 ,

由图像知:函数

y ?| x ? 3 | ? | x ? 5 | 的 值 域 为

[8,?? )
以上是我们学习函数之后,关于求函数值域的一些方法,随着以后学习的进一步深入,我们还会学到 其它的一些有关求函数值域的方法。 根据函数的结构特征,赋予几何图形,数形结合。 (11) 、复合函数法:对函数 而求出

y ? f (u), u ? g ( x) ,先求 u ? g ( x) 的值域充当 y ? f (u ) 的定义域,从

y ? f (u ) 的值域的方法。

例 1、求函数

y?

3x 3x ? 1
x

的值域

(复合函数法)设 3

?1 ? t

,则

y?

3x ? 1 ? 1 1 1 ? 1? x ? 1 ? ?t ? 1? x t 3 ?1 3 ?1

1 ? t ? 1 ?0 ? ? 1 t
例 2:求函数 y ? log 1 (?2 x2
2

?0 ? y ? 1
? 5x ? 3) 的值域。

?原函数的值域为?01?
? 49 ? , ?? ? ? ?8 ?

(12)、导数法 若函数

f

在 ( a, b) 内可导, 可以利用导数求得

f

在 ( a, b) 内的极值, 然后再计算

f



a , b 点的极限值.
求得

从而

f

的值域.

例 1: 求函数 分析:显然

f ( x) ? x 3 ? 3x 在 (?5,1) 内的值域. f ?( x) ? 3x 2 ? 3 .


f

在 (?5,3) 可导,且

f ?( x) ? 0 得 f
所以, 函数

的极值点为 x

? 1, x ? ?1.

f (?1) ? 2,
(13) 、 “平方开方法” 例 1 求函数

f (1 ? 0) ? ?2 . f (?5 ? 0) ? 140.

f

的值域为 (?2,140) .

y ? x ?3 ? 5? x

的值域

y 2 ? ( x ? 3) ? (5 ? x) ? 2 ? x 2 ? 8 x ? 15
解: (平方法)函数定义域为: x ?

?3,5?

由 x ? ?3,5? , 得 ? x 2 ? 8 x ? 15 ? ?0,1? ? y 2 ? ?2,4? ? 原函数值域为 2 ,2

?

?

例2

求函数 f ( x) ?| sin x | ? | cos x | ( x ? R )的值域. 解: 参照例 1 的验证步骤, 显然, 此题的 f ( x) 也满足了采用 “平方开方法” 的三个特征.于是, 对 f ( x)

| x?R ) 平方、 开方得 f ( x) ? 1? | sin 2 x |( x ? R ) .这里,g ( x) ?| sin 2 x ( .易知,g ( x) 的值域为 [0,1] .
于是, f ( x) 的值域为 [1, 2] . 多种方法综合运用

x2 ?1 例 1、求函数 y ? 2 x ?1
解法一: (逆求法)?

的值域

x2 ?

1? y ?0 1? y

? ?1 ? y ? 1 ? 原函数的值域为 ?? 11?

解法二: (复合函数法)设 x

2

?1 ? t

,则 y ? 1 ?

2 2 ? 1? (t ? 1) t x ?1
2

2 ?2 ? ?1 ? y ? 1 t ?? 1 , 1? ? 原函数值域为 ? t ? 1 ?0 ?
解法三: (判别式法)原函数可化为 1) 2)

( y ? 1) x 2 ? 0 ? x ? y ? 1 ? 0

y ? 1时

不成立

y ? 1 时, ? ? 0 ? 0 ? 4( y ? 1)( y ? 1) ? 0 ? ?1 ? y ? 1

? ?1 ? y ? 1
综合 1) 、2)值域 { y | ?1 ?

y ? 1}

解法四: (三角代换法)? x ? R

? ? ?? ?设 x ? tan? ? ? ? ? , ? ,则 ? 2 2?

1 ? tan2 ? y?? ? ? cos 2? ? 2? ? ?? ? , ? ? ? cos 2? ? ?? 1 , 1? 1 ? tan2 ?

? 原函数的值域为 { y | ?1 ? y ? 1}
总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一 般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。


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