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2012高考数学理专题突破课件第一部分专题一第二讲:函 数


第二讲 函 数

主干知识整合

1.函数的单调性 . 对于定义域内某一区间D内任意的 对于定义域内某一区间 内任意的x1,x2且 内任意的 x1<x2(或?x=x1-x2<0) 或 = (1)若f(x1)<f(x2)(或?y=f(x1)-f(x2)<0)恒成立 若 或 = - 恒成立 上单调递增. ?f(x)在D上单调递增. 在 上单调递增 (2)若f(x1)>f(x2)(或?y=f(x1)-f(x2)>0)恒成立 若 或 = - 恒成立 上单调递减. ?f(x)在D上单调递减. 在 上单调递减

2.函数的奇偶性 . (1)函数 =f(x)是偶函数?y=f(x)的图象关于 轴对 函数y= 是偶函数? 的图象关于y轴对 函数 是偶函数 = 的图象关于 称. 函数y= 是奇函数? 函数 =f(x)是奇函数?y=f(x)的图象关于原点对 是奇函数 = 的图象关于原点对 称. (2)奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间 奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间 上的单调性相同,且在x= 处有定义时必有 处有定义时必有f(0)= 上的单调性相同,且在 =0处有定义时必有 = 0,即f(x)的图象过 的图象过(0,0). , 的图象过 . (3)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间 偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间 上的单调性相反. 上的单调性相反.

3.函数的图象 . (1)对于函数的图象要会作图、识图、用图. 对于函数的图象要会作图、识图、用图. 对于函数的图象要会作图 (2)作函数图象有两种基本方法:一是描点法;二 作函数图象有两种基本方法:一是描点法; 作函数图象有两种基本方法 是图象变换法,其中图象变换法有平移变换、 是图象变换法,其中图象变换法有平移变换、伸 缩变换、对称变换. 缩变换、对称变换.

4.指数函数与对数函数的性质 .
指数函数y= 对数函数y= 指数函数 =ax(a>0, , 对数函数 = logax(a>0,且a≠1) 且a≠1) ≠ , ≠ (-∞,+∞) (0,+∞) ,+∞ - ,+∞ ,+ (0,+∞) ,+∞ (-∞,+∞) ,+ - ,+∞ 恒过定点(0,1) 恒过定点(1,0) 恒过定点(0,1) 恒过定点(1,0) a>1时为增函数, 时为增函数, a>1时为增函数, 时为增函数, 时为增函数 时为增函数 0<a<1时为减函数 0<a<1时为减函数 时为减函数 时为减函数 非奇非偶函数 非奇非偶函数 图象始终在y轴右 图象始终在 轴右 图象始终在x轴上方 图象始终在 轴上方 侧

定义域 值域 不变性 增减性 奇偶性 图象特征

5.函数的零点与方程的根的关系 函数的零点与方程的根的关系 函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程 = 的零点就是方程f(x)=g(x) 函数 - 的零点就是方程 = 的根,即函数y= 的图象与函数y= 的根,即函数 =f(x)的图象与函数 =g(x)的图 的图象与函数 的图 象交点的横坐标. 象交点的横坐标. 6.函数有零点的判定 . 如果函数y= 在区间[a, 上的图象是连续不 如果函数 =f(x)在区间 ,b]上的图象是连续不 在区间 断的一条曲线,并且有 断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么函数 = ,那么函数y= f(x)在区间 ,b)内有零点,即存在 ∈(a,b), 在区间(a, 内有零点 即存在c∈ , , 内有零点, 在区间 使得f(c)= ,这个c也就是方程 也就是方程f(x)=0的根. 的根. 使得 =0,这个 也就是方程 = 的根

高考热点讲练

函数及其表示
(1)若 f(x)= 若 = ,则 f(x)的定义域 的定义域 1 log (2x+1) + ) 2 ) 为( ? ? ? 1 ? 1 ? ? ? - , 0? - ,+∞? A.? 2 B.? 2,+∞? ? ? ? ? ? ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? C.?-2,0?∪(0,+∞) ,+∞ D.?-2,2? ,+ ? ? ? ?
例1

1

?x2+2ax,x≥2 , ≥ (2)已知函数 f(x)=? x 已知函数 = ,若 , ?2 +1,x<2

f(f(1))>3a2,则 a 的取值范围是 的取值范围是________. .
?2x+1>0, + , ? (1)由已知得? 1 由已知得 + ) , ?log (2x+1)≠0, ? 2

【解析】 解析】

? 1 ?x>- , - 2 ∴? ? + ≠ ?2x+1≠1.

1 即 x>- 且 x≠0,∴选 C. - ≠ , 2

(2)由题知,f(1)=2+1=3,f(f(1))=f(3)=32+ 由题知, 由题知 = + = , = = 6a,若f(f(1))>3a2,则9+6a>3a2,即a2-2a- , + - 3<0,解得-1<a<3.故填 -1,3). ,解得- 故填(- 故填 . 答案】 【答案】 (1)C (2)(-1,3) -

归纳拓展】 求函数定义域的类型和相应方法: 【 归纳拓展 】 求函数定义域的类型和相应方法 : (1)若已知函数的解析式, 则这时函数的定义域是 若已知函数的解析式, 若已知函数的解析式 使解析式有意义的自变量的取值范围, 使解析式有意义的自变量的取值范围 , 只需构建 并解不等式(组 即可 即可. 并解不等式 组)即可. (2)对于复合函数求定义域问题, 若已知 对于复合函数求定义域问题, 若已知f(x)的定 对于复合函数求定义域问题 的定 义域[a, ,其复合函数f(g(x))的定义域应由不等 义域 ,b],其复合函数 的定义域应由不等 解出. 式a≤g(x)≤b解出. ≤ ≤ 解出 (3)实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外, 实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外, 实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外 还应使实际问题有意义. 还应使实际问题有意义.

变式训练1 变式训练

在实数的原有运算中, 在实数的原有运算中,我们定义新

运算“ 如下: 运算 “ ⊕ ” 如下 : 当 a≥b时 , a⊕ b= a; 当 a<b ≥ 时 ⊕ = ; 设函数f(x)= (1⊕ x)x- (2⊕ x), 时 , a⊕ b= b2.设函数 ⊕ = 设函数 = ⊕ - ⊕ , x∈[-2,2],则函数f(x)的值域为 ∈- ,则函数 的值域为________. . 的值域为
?x-2,x∈[-2,1] - , ∈- , 解析: 解析:由题意知 f(x)=? 3 = ,当 x , ∈ , ?x -2,x∈(1,2]

,-1]; ∈ [- 2,1]时 , f(x)∈ [- 4,- ; 当 x∈ (1,2]时 , - 时 ∈ - ,- ∈ 时 f(x)∈(-1,6],∴当 x∈[-2,2]时,f(x)∈[-4,6]. ∈- , ∈- 时 ∈- .
答案: - 答案:[-4,6]

函数的图象与性质
例2

(1)(2011年高考课标全国卷 下列函数中, 年高考课标全国卷)下列函数中 年高考课标全国卷 下列函数中,

既是偶函数又在(0,+ 上单调递增的函数是 既是偶函数又在 ,+∞)上单调递增的函数是 ,+ 上单调递增的函数是( ) A.y=x3 . = B.y=|x|+1 . = + C.y=- 2+1 . =- =-x D.y=2-|x| . =

(2)(2011年高考陕西卷 设函数 年高考陕西卷)设函数 年高考陕西卷 设函数f(x)(x∈R)满足 ∈ 满足 f(-x)=f(x),f(x+2)=f(x),则y=f(x)的图象可能 - = , + = , = 的图象可能 ) 是(

上是奇函数, 【解析】 (1)∵y=x 在定义域 R 上是奇函数,∴A 解析】 ∵ = 不对. 不对. 2 y=- +1 在定义域 R 上是偶函数,但在 ,+∞) =-x 上是偶函数,但在(0,+ ,+∞ =- 上是减函数, 不对. 上是减函数,故 C 不对. ?1? -|x| D 中 y=2 =?2?|x|虽是偶函数,但在(0,+∞)上是减 = ,+ ? ? 虽是偶函数,但在 ,+∞ 上是减 ? ? 函数, 函数,只有 B 对. (2)由于 f(-x)=f(x),所以函数 y=f(x)是偶函数,图 是偶函数, 由于 - = , = 是偶函数 轴对称, C 象关于 y 轴对称, 所以 A、 错误; 、 错误; 由于 f(x+2)=f(x), + = , 所以 T=2 是函数 y=f(x)的一个周期,D 错误.所以 = = 的一个周期, 错误. 的一个周期 选 B.

3

【答案】 答案】

(1)B

(2)B

归纳拓展】 【 归纳拓展 】 (1)已知函数解析式选择其对应的 已知函数解析式选择其对应的 图象时, 一般是通过研究函数的定义域、 值域、 图象时 , 一般是通过研究函数的定义域 、 值域 、 单调性、 单调性 、 奇偶性等性质以及图象经过的特殊点等 来获得相应的图象特征, 来获得相应的图象特征 , 然后对照图象特征选择 正确的图象. 正确的图象. (2)求解这类涉及函数性质的多项判断题时, 既要 求解这类涉及函数性质的多项判断题时, 求解这类涉及函数性质的多项判断题时 充分利用题目的已知条件, 进行直接的推理、 充分利用题目的已知条件 , 进行直接的推理 、 判 断 , 又要合理地运用函数性质之间的联系, 结合 又要合理地运用函数性质之间的联系 , 已知的结论进行间接的判断. 已知的结论进行间接的判断 . 若能画出图象的简 单草图,往往会起到引领思维方向的作用. 单草图,往往会起到引领思维方向的作用.

变式训练2 变式训练

(1)设f(x)是定义在 上的周期为 的周 设 是定义在R上的周期为 是定义在 上的周期为3的周 )

期函数,如图表示该函数在区间(- 上的图象, 期函数 , 如图表示该函数在区间 - 2,1]上的图象, 上的图象 则f(2011)+f(2012)=( + =

A.3 . C.1 .

B.2 . D.0 .

?ax(x>1) ) ? (2)若 f(x)=? a 若 = - + ( ≤ ) ?(4- )x+2(x≤1) 2 ?

是 R 上的单调递 )

增函数, 的取值范围为( 增函数,则实数 a 的取值范围为 A.(1,+∞) ,+∞ B.[4,8) . ,+ . C.(4,8) D.(1,8) . .

解析: 由于 由于f(x)是定义在 上的周期为 的周期 是定义在R上的周期为 解析:(1)由于 是定义在 上的周期为3的周期 函数,所以f(2011)+f(2012)=f(670×3+1)+ 函数,所以 + = × + + f(671×3-1)=f(1)+f(-1),而由图象可知 × - = + - ,而由图象可知f(1)= = 1,f(-1)=2,所以 , - = ,所以f(2011)+f(2012)=1+2=3. + = + =

(2)函数 f(x)在(-∞, 和(1, ∞)上都为增函数, 函数 1]和 , +∞ 上都为增函数, 在- + 上都为增函数 上的最高点不高于其在[1, 且 f(x)在(-∞,1]上的最高点不高于其在 , 在- 上的最高点不高于其在
?a>1 ? ? a ?4- >0 - 2 )上的最低点 上的最低点, +∞)上的最低点,即? ? ?a≥4-a 2 ? ≥ -2+ ?

a∈ ,解得 a∈

[4,8),故选 B. ,
答案: 答案:(1)A (2)B

基本初等函数
例3 设二次函数 设二次函数f(x)=x2+x+c(c>0),若f(x)= = + > , =

0有两个实数根 1、x2(x1<x2). 有两个实数根x 有两个实数根 . (1)求正实数 的取值范围; 求正实数c的取值范围 求正实数 的取值范围; (2)求x2-x1的取值范围. 求 的取值范围.

x 【解】 (1)由 x2+x+c=0 有两个实数根 x1、 2(x1 由 + =
??=1-4c>0, = - > , 1 <x2)及 c>0 得? 及 > 解得 0<c< . < < 4 > , ?c>0,

即c

? 1? ? 0, ?. 的取值范围是? ,4? ? ?

?x1+x2=- , =-1, (2)由根与系数关系,得? 由根与系数关系, 由根与系数关系 , ?x1·x2=c,

又 x2>x1, ∴x2-x1= (x1+x2)2-4x1·x2= 1-4c. - 1 ∵0<c< ,∴0<x2-x1<1. < < < 4 的取值范围是(0,1). 即 x2-x1 的取值范围是 .

归纳拓展】 二次函数、 【 归纳拓展 】 (1)二次函数 、 一元二次方程和一 二次函数 元二次不等式是一个有机的整体, 元二次不等式是一个有机的整体 , 要深刻理解它 们之间的相互关系, 能用函数与方程、 分类讨论、 们之间的相互关系 , 能用函数与方程 、 分类讨论 、 数形结合思想来研究与“ 三个二次” 有关的问题, 数形结合思想来研究与 “ 三个二次 ” 有关的问题 , 高考对“ 三个二次” 高考对 “ 三个二次 ” 知识的考查往往渗透在其他 知识之中,并且大都出现在解答题中. 知识之中,并且大都出现在解答题中. (2)指数函数、对数函数的图象和性质受底数 的影 指数函数、 指数函数 对数函数的图象和性质受底数a的影 解决与指、 响 , 解决与指 、 对数函数特别是与单调性有关的 问题时,首先要看底数a的范围 对于幂函数, 的范围. 问题时,首先要看底数 的范围.对于幂函数,掌 握好考纲中列出的五种常用的幂函数即可. 握好考纲中列出的五种常用的幂函数即可.

4 (a>0 且 变式训练 3 已知函数 f(x)=1- x = - > 2a +a a≠1)是定义在 -∞,+∞)上的奇函数. 是定义在(- ,+∞ 上的奇函数 上的奇函数. ≠ 是定义在 (1)求 a 的值; 求 的值; (2)求函数 f(x)的值域. 的值域. 求函数 的值域

解:(1)由于函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 由于函数 是定义在 上的奇函数, 4 =0,解得 a=2. , = 故必有 f(0)=0,即 1- 0 = , - 2a +a 2 (2)由(1)知 a=2,代入 f(x)得 f(x)=1- x , 由 知 = , 得 = - 2 +1

1 2 由于 2 >0, , 所以 2 +1>1,0< x <1,0< x > < < 2 +1 2 +1
x x

2 2 ,-2< ,-1< - <2,- <- x <0,- <1- x ,- ,- <1,即 , 2 +1 2 +1 -1<y<1, < < , 的值域是(- 故函数 f(x)的值域是 -1,1). 的值域是 .

函数的零点
函数 f(x)= 2x- x- 2的一个零点所在 = - 的一个零点所在 的区间是( 的区间是 ) A.(0,1) . B.(1,2) . C.(2,3) . D.(3,4) .
例4

【解析】 观察函数 y=2x 和函数 y=x+ 2的 解析】 = = + 的 图象可知, 图象可知,函数 f(x)=2 -x- 2有一个大于零 = - 有一个大于零 的零点, 的零点,又 f(1)=1- 2<0,f(2)=2- 2>0, = - , = - , 根据函数零点的存在性定理知函数的一个零点 在区间(1,2)上. 上 在区间
【答案】 答案】 B
x

归纳总结】 确定函数零点的常用方法: 【归纳总结】 确定函数零点的常用方法: (1)解方程判定法:若方程易解时用此法. 解方程判定法:若方程易解时用此法. 解方程判定法 (2)利用零点存在性定理. 利用零点存在性定理. 利用零点存在性定理 (3)利用数形结合法 , 尤其是那些方程两端对应 利用数形结合法, 利用数形结合法 的函数类型不同的绝对值、 分式、 指数、 的函数类型不同的绝对值 、 分式 、 指数 、 对数 以及三角等方程多以数形结合法求解. 以及三角等方程多以数形结合法求解.

变式训练4 变式训练

若函数f(x)=log2(x+1)-1的零点是抛 = 若函数 + - 的零点是抛

物线x= 的焦点的横坐标, = 物线 =ay2的焦点的横坐标,则a=________.

解析: 解析:令 f(x)=log2(x+1)-1=0,得函数 f(x)的 = + - = , 的 零点为 x=1, = , 于是抛物线 x=ay2 的焦点的坐标是 = ?1 ? >0 ?a 1 2 2 (1,0), , 因为 x=ay 可化为 y =ax, ? = , 所以 , ?1 ?4a=1 ? 1 解得 a= . = 4 1 答案: 答案: 4

考题解答技法

(2011 年 高 考 辽 宁 卷 ) 设 函 数 f(x) = ?21-x,x≤1, ≤ , ? 则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范 ≤ - , , ?1-log2x,x>1, 围是( ) 围是 A.[-1,2] .- B.[0,2] . C.[1,+∞) ,+∞ . ,+ D.[0,+∞) ,+∞ . ,+


【解析】 当 x≤1 时,由 2 解析】 ≤

1-x

≤2,知 x≥0,即 , ≥ ,

1 0≤x≤1.当 x>1 时,由 1-log2x≤2,知 x≥ , ≤ ≤ 当 - ≤ , ≥ 2 即 x>1,所以满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是 , ≤ [0,+∞). ,+∞ . ,+
答案】 【答案】 D

得分技巧】 要解不等式, 【得分技巧】 要解不等式,要先根据分段函 数中自变量取值范围的界定, 数中自变量取值范围的界定,代入相应的解析 式求解指数不等式与幂函数不等式,注意取值 式求解指数不等式与幂函数不等式, 范围的大前提, 范围的大前提,然后把两个不等式的解集并起 来即可. 来即可.

失分溯源】 【 失分溯源 】 本题为与分段函数有关的解不等式 问题, 在本题中易忽视根据分段条件进行分类讨论, 问题 , 在本题中易忽视根据分段条件进行分类讨论 , 从而导致解错,分类讨论常见的误区有: 从而导致解错,分类讨论常见的误区有: (1)忽视讨论: 由题目信息不能进行正确的分类讨论, 忽视讨论: 忽视讨论 由题目信息不能进行正确的分类讨论, 如分段函数各段对应关系,指数、 对数函数的底数、 如分段函数各段对应关系 , 指数 、 对数函数的底数 、 直线的斜率、 直线的斜率 、 等比数列的公比等需要讨论时而忽 视. (2)讨论不全:即有丢掉的情况. 讨论不全: 讨论不全 即有丢掉的情况. (3)讨论不规范: 讨论的先后顺序 , 最后结果整合的 讨论不规范: 讨论不规范 讨论的先后顺序, 不规范. 不规范.

变式训练

?x2+ax+1,x≥1 + , ≥ 已知函数 已知函数 f(x)=? 2 = , + , ?ax +x+1,x<1

上单调递增” 则 “ - 2≤a≤0” 是 “f(x)在 R 上单调递增 ” 的 ≤ ≤ ” 在 ( ) A.充分而不必要条件 . B.必要而不充分条件 . C.充分必要条件 . D.既不充分也不必要条件 .

解析: 解析:选 B.函数 f(x)在 R 上单调递增的充要条件 函数 在
? a ?- ≤1 ? 2 ?a<0 是? 1 ?- ≥1 ? 2a ? 2 2 × + ≥ × + ?1 +a×1+1≥a×1 +1+1



1 由此解得- 由此解得- ≤a<0,由此可知,“-2≤a≤0”是 ,由此可知, ≤ ≤ ” 2 “函数 f(x)在 R 上单调递增”的必要不充分条件, 在 上单调递增”的必要不充分条件, 选 B.

本部分内容讲解结束
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