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2013北京东城区高三一模数学试题答案(理)


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北京市东城区 2012-2013 学年度第二学期高三综合练习(一) 数学参考答案 (理科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)B (5)C (2)C (6)D (3)C (7)A (4)A (8)B

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) 2 (12) 3 (10) 160 (11) 84 (14) a
89

2
第 45 行的第 77 列

3

(13) 144

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分) 解: (Ⅰ)因为 b sin A ? 3a cos B , 由正弦定理可得 sin B sin A ? 3 sin A cos B , 因为在△ ABC 中, sin A ? 0 , 所以 tan B ? 3 . 又0 ? B ? ? , 所以 B ?

? . 3
2 2 2

(Ⅱ)由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B , 因为 B ?

? ,b ? 2 3 , 3
2 2

所以 12 ? a ? c ? ac . 因为 a ? c ? 2ac ,
2 2

所以 ac ? 12 . 当且仅当 a ? c ? 2 3 时, ac 取得最大值 12 . (16) (共 14 分) 证明(Ⅰ)取 AB 的中点 F ,连结 PF , EF . 因为 P 是 BC 的中点, 所以 FP // AC , FP ?

1 AC . 2

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1 1 AB ? AC , 2 2 所以 ED // FP ,且 ED ? FP , 所以四边形 EFPD 是平行四边形.
因为 ED // AC ,且 ED ? 所以 DP // EF . 因为 EF ? 平面 EAB , DP ? 平面 EAB , 所以 DP // 平面 EAB . (Ⅱ)因为 ?BAC ? 90? ,平面 EACD ? 平面 ABC , 所以以点 A 为原点,直线 AB 为 x 轴,直线 AC 为 y 轴,建立如图所示的空间直角坐 标系 A ? xyz ,则 z 轴在平面 EACD 内. 由已知可得 A(0, 0, 0) , B(2 , 0 , 0) , E(0 ,1, 3) , D(0 , 2 , 3) . 所以 EB ? (2 , ?1, ? 3) , ED ? (0 ,1, 0) , 设平面 EBD 的法向量为 n ? ( x , y , z ) .

??? ?

??? ?

??? ? ?n ? EB ? 0 , ? 由 ? ??? ? ?n ? ED ? 0 . ? ? ?2 x ? y ? 3z ? 0 , 所以 ? ?y ? 0. ?
取z ? 2, 所以 n ? ( 3 , 0 , 2) .

又因为平面 ABC 的一个法向量为

m ? (0 , 0 ,1) .
所以 cos ? n , m ??

n?m 2 7 . ? n m 7
2 7 . 7

即平面 EBD 与平面 ABC 所成锐二面角大小的余弦值为 (17) (共 13 分) (Ⅰ)由题意可知所得奖品个数最大为 10,概率为:
2 A2 1 p? 2 ? . A6 15

(Ⅱ) X 的可能取值是: 0, 2, 4,6,8,10 .

X p

0

2

4

6

8

10

1 5

1 5

1 5

4 15

1 15

1 15

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所以 EX ? 0 ?

1 1 1 4 1 1 ? 2 ? ? 4 ? ? 6 ? ? 8 ? ? 10 ? ? 4 . 5 5 5 15 15 15

(18) (共 14 分) 解: (Ⅰ)当 a ? 0 时, f ( x) ? x 2e? x .

f ?( x) ? 2xe? x ? x2e? x ? xe? x (2 ? x) . 所以 f ?(2) ? 0 . (Ⅱ) f ?( x) ? (2x ? a)e? x ? e? x ( x2 ? ax ? a) ? e? x [? x2 ? (2 ? a) x] ? ?e? x ? x[ x ? (2 ? a)] . 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? 2 ? a . 当 2 ? a ? 0 ,即 a ? 2 时, f ?( x) ? ? x2e? x ≤ 0 恒成立,
此时 f ( x ) 在区间 (??, ??) 上单调递减,没有极小值; 当 2 ? a ? 0 ,即 a ? 2 时, 若 x ? 0 ,则 f ?( x) ? 0 . 若 0 ? x ? 2 ? a ,则 f ?( x) ? 0 . 所以 x ? 0 是函数 f ( x ) 的极小值点. 当 2 ? a ? 0 ,即 a ? 2 时, 若 x ? 0 ,则 f ?( x) ? 0 . 若 2 ? a ? x ? 0 ,则 f ?( x) ? 0 . 此时 x ? 0 是函数 f ( x ) 的极大值点. 综上所述,使函数 f ( x ) 在 x ? 0 时取得极小值的 a 的取值范围是 a ? 2 . (Ⅲ)由(Ⅱ)知当 a ? 2 ,且 x ? 2 ? a 时, f ?( x) ? 0 ,
a ?2 因此 x ? 2 ? a 是 f ( x ) 的极大值点,极大值为 f (2 ? a) ? (4 ? a)e .

所以 g ( x) ? (4 ? x)e 令 h( x) ? (3 ? x)e
x ?2

x ?2

( x ? 2) .

g?( x) ? ?ex?2 ? ex?2 (4 ? x) ? (3 ? x)e x?2 . ( x ? 2) . ? 0 恒成立,即 h( x) 在区间 (??, 2) 上是增函数.
2? 2

则 h?( x) ? (2 ? x)e

x ?2

所以当 x ? 2 时, h( x) ? h(2) ? (3 ? 2)e 又直线 3x ? 2 y ? m ? 0 的斜率为

? 1 ,即恒有 g ?( x) ? 1 .

3 , 2

所以曲线 y ? g ( x) 不能与直线 3x ? 2 y ? m ? 0 相切. (19) (共 13 分) 解: (I)由题意知, 4a ? 8 ,所以 a ? 2 . 因为 e ?

1 2

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所以

b2 a 2 ? c 2 3 ? ? 1 ? e2 ? , 2 2 a a 4
2

所以 b ? 3 .

所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

(II)由题意,当直线 AB 的斜率不存在,此时可设 A( x0 , x0 ) , B( x0 , ? x0 ) . 又 A , B 两点在椭圆 C 上, 所以

x0 2 x0 2 12 ? ? 1 , x0 2 ? . 7 4 3

所以点 O 到直线 AB 的距离 d ?

12 2 21 . ? 7 7

当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m .

? y ? kx ? m, ? 由 ? x2 y 2 消去 y 得 ?1 ? ? 3 ?4

(3 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ?12 ? 0 .
由已知 ? ? 0 . 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) . 所以 x1 ? x2 ? ?

8km 4m 2 ? 12 , x1 x2 ? . 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

因为 OA ? OB , 所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 所以 x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0 . 即. 所以 (k ? 1)
2

4m2 ? 12 8k 2 m2 ? ? m2 ? 0 . 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k

2 2 整理得 7m ? 12(k ? 1) ,满足 ? ? 0 .

所以点 O 到直线 AB 的距离

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d?

| m| k ?1
2

?

12 2 21 为定值. ? 7 7

(20) (共 13 分) 解: (Ⅰ)依据题意,当 S ? (?1,3) 时, C ( A, S ) 取得最大值为 2. (Ⅱ)①当 0 是 S 中的“元”时,由于 A 的三个“元”都相等及 B 中 a, b, c 三个“元”的 对称性,可以只计算 C ( A, S ) ?

3 (a ? b) 的最大值,其中 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 1 . 3

由 (a ? b)2 ? a2 ? b2 ? 2ab ? 2(a2 ? b2 ) ? 2(a2 ? b2 ? c2 ) ? 2 , 得 ? 2 ? a?b ?

2.
2 时, a ? b 达到最大值 2 , 2

当且仅当 c ? 0 ,且 a ? b ? 于是 C ( A, S ) ?

3 6 . ( a ? b) ? 3 3 3 (a ? b ? c) 的最大值, 3

②当 0 不是 S 中的“元”时,计算 C ( A, S ) ?
2 2 2 由于 a ? b ? c ? 1 ,

所以 (a ? b ? c) ? a ? b ? c ? 2ab ? 2ac ? 2bc .
2 2 2 2

? 3(a 2 ? b2 ? c2 ) ? 3 ,
当且仅当 a ? b ? c 时,等号成立. 即当 a ? b ? c ?

3 3 时, a ? b ? c 取得最大值 3 ,此时 C ( A, S ) ? ( a ? b ? c) ? 1 . 3 3

综上所述, C ( A, S ) 的最大值为 1. (Ⅲ)因为 Bm ? (bm1 , bm2 , bm3 , bm4 ) 满足 bm12 ? bm22 ? bm32 ? bm42 ? m . 由 bm1 , bm2 , bm3 , bm4 关系的对称性,只需考虑 (bm2 , bm3 , bm4 ) 与 (a1 , a2 , a3 ) 的关系数的情况. 当 bm1 ? 0 时,有 (

bm 2 m

)2 ? (

bm 3 m

)2 ? (

bm 4 m

)2 ? 1 .

a1

bm 2 m

? a2

bm3 m

? a3

bm 4 m

?

a12 ?

2 bm 2 b2 b2 2 2 a2 ? m3 a3 ? m 4 m ? m ? m 2 2 2

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?

2 2 2 a12 ? a2 2 ? a32 bm 2 ? bm3 ? bm 4 ? 2 2m

?
即 bm1 ? 0 ,且 a1 ?

1 1 ? ?1. 2 2
bm 3 m
, a3 ?

bm 2 m

, a2 ?

bm 4 m

时,

a1bm2 ? a2bm3 ? a3bm4 的最大值为 m .
当 bm1 ? 0 时, bm22 ? bm32 ? bm42 ? m , 得 a1bm2 ? a2bm3 ? a3bm4 最大值小于 m . 所以 C( A, Bm ) 的最大值为 m (m ? 1, 2,3,?, n) .

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