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2014高考数学理二轮专题突破文档:8.2数形结合思想


河北饶阳中学 2014 年数学理二轮复习专题

第2讲

数形结合思想

[ 来源 :zzstep.co m]

1. 数形结合的数学思想:包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分 为两种情形:一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数 作为目的, 比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质; 二是借助于数的精确性和规 范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精 确地阐明曲线的几何性质. 2. 运用数形结合思想分析解决问题时,要遵循三个原则: (1)等价性原则.在数形结合时,代数性质和几何性质的转换必须是等价的,否则解题 将会出现漏洞.有时,由于图形的局限性,不能完整的表现数的一般性,这时图形的性 质只能是一种直观而浅显的说明,要注意其带来的负面效应. (2)双方性原则.既要进行几何直观分析,又要进行相应的代数抽象探求,仅对代数问 题进行几何分析容易出错. (3)简单性原则.不要为了“数形结合”而数形结合.具体运用时,一要考虑是否可行 和是否有利;二要选择好突破口,恰当设参、用参、建立关系、做好转化;三要挖掘隐 含条件, 准确界定参变量的取值范围, 特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二 次曲线. 3. 数形结合思想解决的问题常有以下几种: (1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围. (2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围. (3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系. (4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式. (5)构建立体几何模型研究代数问题. (6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题. (7)构建方程模型,求根的个数. (8)研究图形的形状、位置关系、性质等. 4. 数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧,特别是在解选择题、填空题 时发挥着奇特功效, 这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练, 以提高解题能力和 速度.具体操作时,应注意以下几点: (1)准确画出函数图象,注意函数的定义域. (2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法, 值得注

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意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整, 以便于作图),然后作出两个函数的图象,由图求解.

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类型一 利用数形结合思想讨论方程的根、函数的零点 例 1 (2012· 辽宁)设函数 f(x)(x∈R)满足 f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),且当 x∈[0,1]时,f(x) )

1 3? =x3.又函数 g(x)=|xcos(πx)|,则函数 h(x)=g(x)-f(x)在? ?-2,2?上的零点个数为( A.5 答案 B 解析 根据题意,函数 y=f(x)是周期为 2 的偶函数且 0≤x≤1 时,f(x)=x3, 则当-1≤x≤0 时,f(x)=-x3,且 g(x)=|xcos(πx)|, 所以当 x=0 时,f(x)=g(x). 1 当 x≠0 时,若 0<x≤ ,则 x3=xcos(πx), 2 即 x2=cos πx. B.6 C.7 D.8

1 3? 再根据函数性质画出? 在同一个坐标系中作出所得关系式等号两边函 ?-2,2?上的图象, 数的图象,如图所示,有 5 个根.所以总共有 6 个.

用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程) 的解的个数是一种重要的思想方法, 其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟 悉函数的表达式(不熟悉时,需要作适当变形转化为两个熟悉的函数),然后在同一坐标 系中作出两个函数的图象,图象的交点个数即为方程解的个数.
?x2+bx+c,x≤0 ? 设函数 f(x)=? ,若 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于 x ? ?2, x>0

的方程 f(x)=x 的解的个数为 A.1 答案 C 解析 由 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,
2 ? ?x +4x+2,x≤0 解得 b=4,c=2,∴f(x)=? ?2, x>0 ?

( D.4

)

B.2

C.3

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? ?x>0 ?x≤0 ? ∴方程 f(x)=x?? 或? 2 ?x=2 ?x +4x+2=x ? ?

解得 x=2 或 x=-1 或 x=-2,均合题意. 类型二 利用数形结合思想解不等式或求参数范围 例2
[ 来源:中.教. 网 z. z.s.tep]

?a2-ab,a≤b, ? (1)(2012· 福建)对于实数 a 和 b,定义运算“*”:a*b=? 2 设 f(x)=(2x ? ?b -ab,a>b.

-1)*(x-1),且关于 x 的方程 f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根 x1,x2,x3,则 x1x2x3 的取值范围是________. 答案 ?

?1- 3 ? ? ? 16 ,0?

? ??2x-1?x,x≤0, 解析 由定义可知,f(x)=? ?-?x-1?x,x>0. ?

作出函数 f(x)的图象,如图所示. 1 由图可知,当 0<m< 时, 4 f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根 x1,x2,x3. 不妨设 x1<x2<x3, 易知 x2>0, 1 且 x2+x3=2× =1, 2 1 ∴x2x3< . 4 1 ? ??2x-1?x=4, 1- 3 1+ 3 令? 解得 x= 或 x= (舍去). 4 4 ? ?x<0, ∴ 1- 3 1- 3 <x1<0,∴ <x1x2x3<0. 4 16

(2)已知奇函数 f(x)的定义域是{x|x≠0,x∈R},且在(0,+∞)上单调递增,若 f(1)=0, 则满足 x· f(x)<0 的 x 的取值范围是________. 答案 (-1,0)∪(0,1)

解析 作出符合条件的一个函数图象草图即可,由图可知 x· f(x)<0 的 x 的取值范围是(-1,0)∪(0,1). 求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象,根据不 等式中量的特点,选择适当的两个(或多个)函数,利用两个函数图象的上、下位置关系 转化数量关系来解决问题,往往可以避免繁琐的运算,获得简捷的解答. (1)使 log2(-x)<x+1 成立的 x 的取值范围是________.

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|lg x|, 0<x≤10, ? ? (2)已知函数 f(x)=? 1 若 a,b,c 互不相等,且 f(a)=f(b)=f(c), ? ?-2x+6,x>10, 则 abc 的取值范围是
网 zzstep.com]

( B.(5,6) D.(20,24)

)

[ 来 源: 中 国 教 育 出版

A.(1,10) C.(10,12) 答案 解析 (1)(-1,0) (2)C

(1)在同一坐标系中,分别作出 y=log2(-x),y=x+1 的图象,由图可知,x 的取

值范围是(-1,0).

(2)作出 f(x)的大致图象.

由图象知,要使 f(a)=f(b)=f(c),不妨设 a<b<c,则 1 -lg a=lg b=- c+6. 2 ∴lg a+lg b=0,∴ab=1,∴abc=c. 由图知 10<c<12,∴abc∈(10,12). 类型三 利用数形结合思想求最值 例3 若 a, b, c 均为单位向量, 且 a· b=0, (a-c)· (b-c)≤0, 则|a+b-c|的最大值为( A. 2-1 C. 2 答案 B 解析 设 a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y), 则 x2+y2=1, a-c=(1-x,-y),b-c=(-x,1-y), 则(a-c)· (b-c)=(1-x)(-x)+(-y)(1-y)=x2+y2-x-y=1-x-y≤0,即 x+y≥1. 又 a+b-c=(1-x,1-y), ∴|a+b-c|= ?1-x?2+?1-y?2 = ?x-1?2+?y-1?2, 如图 ①
[ 来源:中.教.网 z. z.s.tep]

)

B.1 D.2

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c=(x,y)对应点在 AB 上,而①式的几何意义为 P 点到 AB 上点的距离,其最大值为 1. 在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三点:①要彻底弄清一些概 念和运算的几何意义以及曲线的代数特征, 对数学题目中的条件和结论, 既分析其几何 意义又分析其代数意义.②要恰当设立参数,合理建立关系,由数思形,以形思数,做 好数形转化.③要正确确定参数的取值范围. x-y+1≤0, ? ? 若实数 x,y 满足?x>0, ? ?y≤2, 答案 2 解析 画可行域如图所示. y 又 的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率 k. x 由图知,过点 A 的直线 OA 的斜率最小.
?x-y+1=0, ? 联立? ? ?y=2

y 则 的最小值是________. x

得 A(1,2), ∴kOA= 2-0 y =2.∴ 的最小值为 2. x 1-0

1. 在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数 的几何意义等都实现以形助数的途径, 当试题中涉及这些问题的数量关系时, 我们可以 通过图形分析这些数量关系,达到解题的目的. 2. 有些图形问题,单纯从图形上无法看出问题的结论,这就要对图形进行数量上的分析, 通过数的帮助达到解题的目的. 3. 利用数形结合解题,有时只需把图象大致形状画出即可,不需要精确图象. 4. 数形结合思想是解决高考数学试题的一种常用方法与技巧,特别是在解选择题、填空题 时更方便,可以提高解题速度. 5. 数形结合思想常用模型:一次、二次函数图象;斜率公式;两点间的距离公式(或向量 的模、复数的模);点到直线的距离公式等.
[ 来源:中国教育出 版网 zzstep.com]

1. 已知 0<a<1,则方程 a|x|=|logax|的实根个数为

(

)

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A.1 答案 B

B.2

C.3

D.4

解析 作出函数 y=a|x|,y=|logax|的图象,由图象可知,两图象只 有两个交点,故方程有 2 个实根. 2. 设 a=sin A.a<b<c 答案 D 解析 a=sin =sin 2π 5π π- ? =sin? 7? ? 7 5π 2π 2π ,b=cos ,c=tan ,则 7 7 7 B.a<c<b C.b<c<a ( )

D.b<a<c

2π π 2π π ,又 < < , 7 4 7 2

可通过单位圆中的三角函数线进行比较: 如图所示,cos <tan 2π 2π 2π 2π 2π =OA,sin =AB,tan =MN,∴cos <sin 7 7 7 7 7

2π ,即 b<a<c. 7 ( )

1 3. 当 0<x≤ 时,4x<logax,则 a 的取值范围是 2 A.?0,

?

2? 2?

B.?

2 ? ? 2 ,1?

C.(1, 2) 答案 B

D.( 2,2)

解析 利用指数函数和对数函数的性质及图象求解. 1 ∵0<x≤ ,∴1<4x≤2,∴logax>4x>1, 2 ∴0<a<1,排除答案 C,D; 1 1 1 11 取 a= ,x= ,则有 4 =2,log =1, 2 2 2 22 显然 4x<logax 不成立,排除答案 A;故选 B. 4. 若不等式 9-x2≤k(x+2)- 2的解集为区间[a,b],且 b-a=2,则 k=________. 答案 2
[ 来源:中教网]

解析 令 y1= 9-x2, y2=k(x+2)- 2, 在同一个坐标系中作出其图象, 因 9-x2≤k(x +2)- 2的解集为[a,b]且 b-a=2. 结合图象知 b=3,a=1,即直线与圆的交点坐标为(1,2 2). 2 2+ 2 ∴k= = 2. 1+2

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1 5. 若不等式|x-2a|≥ x+a-1 对 x∈R 恒成立,则 a 的取值范围是________. 2 1? 答案 ? ?-∞,2? 1 解析 作出 y=|x-2a|和 y= x+a-1 的简图, 依题意知应有 2a≤2 2 1 -2a,故 a≤ . 2 6. 设函数 f(x)=ax3-3ax,g(x)=bx2-ln x(a,b∈R),已知它们在 x= 1 处的切线互相平行. (1)求 b 的值;
?f?x?,x≤0, ? (2)若函数 F(x)=? 且方程 F(x)=a2 有且仅有四个解, 求实数 a 的取值范围. ?g?x?,x>0, ?



函数 g(x)=bx2-ln x 的定义域为(0,+∞),
[ 来源:中*国教*育 出*版 网]

(1)f′(x)=3ax2-3a?f′(1)=0,

1 g′(x)=2bx- ?g′(1)=2b-1, x 1 依题意 2b-1=0,所以 b= . 2 1 (2)x∈(0,1)时,g′(x)=x- <0, x 1 x∈(1,+∞)时,g′(x)=x- >0, x 1 所以当 x=1 时,g(x)取得极小值 g(1)= ; 2 当 a=0 时,方程 F(x)=a2 不可能有四个解; 当 a<0,x∈(-∞,-1)时,f′(x)<0, x∈(-1,0)时,f′(x)>0, 所以当 x=-1 时,f(x)取得极小值 f(-1)=2a, 又 f(0)=0,所以 F(x)的图象如图所示: 从图象可以看出 F(x)=a2 不可能有四个解. 当 a>0,x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0,x∈(-1,0)时,f′(x)<0, 所以当 x=-1 时,f(x)取得极大值 f(-1)=2a. 又 f(0)=0,所以 F(x)的图象如图: 1 从图象看出方程 F(x)=a2 有四个解,则 <a2<2a, 2 所以实数 a 的取值范围是? 2 ? . ? 2 ,2?

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