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河北省冀州中学08-09学年高二下学期期末考试数学试题(理科)


河北省冀州中学 08-09 学年高二下学期期末考试 数学试题(理科)
参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P (A+B)=P (A)十 P (B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那 么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 k n-k Pn(k)= P (1 一 P) (k=0,1,2,…,n) 球的表面积公式 2 S=4π R 其中 R 表示球的半径 球的体积公式 V= π R
3

其中 R 表示球的半径

一.选择题 (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1. 已知集合 M ? {?2, ?1, 0,1, 2},N ? {x | A. {0,1} B. {?1 0} ,

1 ? 2 x ?1 ? 8,x ? R} ,则 M ? N ? ( 2
D. {?2, ?1, 0,1, 2} )

)

C. {?1, 0,1}

2.已知复数 z1 ? a ? 2i , z2 ? a ? (a ? 3)i ,且 z1 z2 ? 0 ,则实数 a 的值为( A. 0 B. 0 或-5 C. -5 D. 以上均不对

3.一个坛子里有编号为 1,2,…,12 的 12 个大小相同的球,其中 1 到 6 号球是红球,其余 的是黑球,若从中任取两个球,则取到的都是红球,且至少有 1 个球的号码是偶数的概率 是( ). A.

1 22

B.

1 11

C.

3 22

D.

2 11

4.如果点 P 到点 A( , 0)、B ( , 3) 及直线 x ? ? 个数有 A.0 个

1 2

1 2

1 的距离都相等,那么满足条件的点 P 的 2

B.1 个

C.2 个

D.无数个

3 ? 4x ? 2 ? ( x ? 1) ? 2 5.设函数 f ( x) ? ? x ? 1 x ? 1 在点 x ? 1 处连续,则 a =( ) ?a ? 1 ( x ? 1) ?
A.

1 2

B.

2 3

C.

4 3

D.

3 2

6.某市教育部门通过调查 10000 名高中生参加体育锻炼的状况,根据调查数据画出了样本 分布直方图(如图),为了分析学生参加体育锻炼与课程学习的关系,采用分层抽样的 方法从这 10000 人再抽出 100 人做进一步调查, 则在每周参加体育锻炼的时间落在 [7.5,8) 小时内的学生中应抽出的人数为 A.15 B.20 C.25 D.50

7.已知随机变量 ? 服从二项分布,且 ?? ? 2.4, D? ? 1.44 则二项分布的参数 n 、 p 的值为 A. n ? 4, p ? 0.6 C n ? 8, p ? 0.3 B。 n ? 6, p ? 0.4 D n ? 24, p ? 0.1

8.设 f (x) 是一个三次函数, f ?(x) 为其导函数,如图所示的 是 y ? x ? f ?(x) 的图象的一部分,则 f (x) 的极大值与极 小值分别是 ( ) B. f (?1)与f (1) D. f (2)与f (?2)

A. f (1)与f (?1) C. f (?2)与f (2)

9. 在空间中,有如下命题:①互相平行的两条直线在同一平面内的射影必然是互相平行的两 条直线;②若平面 ? 内任意一条直线 m//平面 ? ,则平面 ? //平面 ? ;③若平面 ? 与平 面 ? 的交线为 m,平面 ? 内的直线 n ? 直线 m,则直线 n ? 平面 ? ;④若点 P 到三角形 三个顶点的距离相等,则点 P 在该三角形所在平面上的射影是该三角形的外心。其中正 确命题的个数为 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 10.若 ( x ? A. 6

1
3

x

)n 展开式中存在常数项,则 n 的值可以是(
C. 9 D. 10
?x ?0

)

B. 8

11.已知函数 f ( x) ? 2ln 3x ? 8x, 则 lim A.10 B.-10

f (1 ? 2?x) ? f (1) 的值为 ( ?x
C.-20 D.20



12.在半径为 R 的球内有一内接正三棱锥,它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上,一个 动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动,经过其余三点后返回,则经过的最短路程是 ( ) A. ? R

7 6

B.

2? R

C.

7 ?R 3
2

D.

8 ?R 3

二.填空题(本题含四个小题,每个小题 5 分共 20 分)

1) 13.在某项测量中,测量结果 ? 服从正态分布 N (1 ? )(? ? 0) .若 ? 在 (0, 内取值的概率 ,

为 0.4,则 ? 在 (2,+?) 上取值的概率为 14.在 ( x ? 项. 15.已知 lim
x ?3



2
3

x

?1 只有第 5 项的二项式系数最大, 则展开式中含 x 项为第____ )n 的展开式中,

x3 ? ax 2 ? x ? 3 a n ? bn ?1 ? b ,则 lim n?1 n ? n ?? a x ?3 ?b

16.已知 f(x)在 x=a 处的导数值为 A(A≠0),函数 F(x)= f ( x) ? A2 x 2 满足 F ? (a ) ? 0 ,则

aA ? _______.
三.解答题 17. (本小题满分 10 分)已知△ABC 的三个内角分别为 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,且 2 满足 c ? bc cos A ? ca cos B ? ab cosC. (1)试判断△ABC 的形状; (2)若 AB ? BC ? ?3, AB ? AC ? 9, 求角B 的大小.

18.(本小题满分 12 分) 用红、黄、蓝、白、橙五种颜色的鲜花布置如图所示的花圃,要求同一区域上用同一种 颜色鲜花,相邻区域使用不同颜色的鲜花。 (1)求恰有两个区域用红色鲜花的概率。 (2)记花圃中红色鲜花区域的块数为 ? , 求
A1 B1 C1 A'1 B1 C1 A1 Q Q P P A B C
图1

? 的分布列及其数学期望。

C

B

A'

A
图2

19.(本小题满分 12 分) 如图 1 所示,在边长为 12 的正方形 AA?A1?A1 中, BB1 // CC1 // AA1 ,且 AB ? 3 , BC ? 4 , AA1? 分 别交 BB1 ,CC1 点于 P, Q ,将该正方形沿 BB1 、 CC1 折叠,使得 A?A1? 与 AA1 重合,构成如图 2 所示的三棱柱 ABC ? A1B1C1 中 (Ⅰ)求证: AB ? PQ ; (Ⅱ)在底边 AC 上有一点 M , AM : MC ? 3 : 4 ,求证: BM // 面 APQ (III)求直线 BC 与平面 APQ 所成角的正弦值.

20. (本小题满分 12 分) 一 个 圆 环 直 径 为 2 2m , 通 过 铁 丝 BC, CA1 , CA2 , CA3 ( A1 , A2 , A3 是 圆 上 三 等 分 点 且

BC长度大于0 )悬挂在 B 处,圆环呈水平状态并距天花板 2 m ,如
图所示.

B

C

(Ⅰ)设 BC 长为 x ( m ),铁丝总长为 y (m) , 试写出 y 关于 x 的函数解析式,并写出函数定义域; (Ⅱ)当 x 取多长时,铁丝总长 y 有最小值,并求此最小值.

A1

A3 A2

21.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 是首项为 a1 ? 列 ?cn ? 满足 cn ? an ? bn . (Ⅰ)求 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)若 cn ?

1 1 ,公比 q ? 的等比数列,设 bn ? 2 ? 3 log 1 an (n ? N *) ,数 4 4 4

1 2 m ? m ? 1 对一切正整数 n 恒成立,求实数 m 的取值范围. 4

22.(本小题满分 12 分) 已知 A 、B、C 是椭圆 M:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的三点, a 2 b2

其中点 A 的坐标为 (2 3,0) ,BC 过椭圆 M 的中心,且

AC ? BC ? 0, | BC |? 2 | AC | .
(1)求椭圆 M 的方程; (2)过点 (0, t ) 的直线 l (斜率存在时)与椭圆 M 交于两点 P、 Q, D 为椭圆 M 与 y 轴负半轴的交点, | DP |?| DQ |, 设 且 求实数 t 的取值范围。

一、选择题:1-4 :CCDB 二.填空题:(13)0.1

参考答案 5-8:DCBC (14)7

9-12 BDCC (15) ? 8 (16)

1 2

三.解答题: 17.解:(1)由余弦定理得:

b2 ? c2 ? a2 c2 ? a2 ? b2 a2 ? b2 ? c2 ? ca ? ? ab ? 2bc 2ca 2ab 2 2 2 ? c ? a ? b ? ?ABC 是以角 C 为直角的直角三角形.………5 分 (2)? Rt?ABC 中 AB ? BC ? ? | AB | ? | BC | cos B ? ?3 ………………① c 2 ? bc ?

AB ? AC ?| AB | ? | AC | cos A ?| AB | ? | AC | sin B ? 9 ………②
②÷①得

| AC | sin B | BC | cos B

? tan 2 B ? 3 ,则 tan B ? 3 ? B ?

?
3

………………10 分

18. 解:(Ⅰ)设 M 表示事件“恰有两个区域用 红色鲜花”. 如图,A、D 为红色时, 共有 4 ? 3 ? 3 ? 36 种;B、E 为红色时,共有 4 ? 3 ? 3 ? 36 种; ……………2 分 因此,事件 M 包含的基本事件有:36+36=72 种. 当区域 A、D 同色时,共有 5 ? 4 ? 3 ? 3 ? 180 种; 当区域 A、 不同色时, D 共有 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 2 ? 240 种; 因 此 , 所 有 基 本 事 件 总 数 为 : 180+240=420 种. …………4 分 它们是等可能的所以, 恰有两个区域用红色鲜花的概 率 p( M ) =

A B
C

D

E

72 6 ? .………………6 分 420 35

(Ⅱ)随机变量 ? 的取值分别为 0,1,2. ………………7 分 则当 ? ? 0 时,用黄、蓝、白、橙四种颜色来涂色, 若 A、 为同色时, D 共有 4 ? 3 ? 2 ?1? 2 ? 48 种; A、 为不同色时, 若 D 共有 4 ? 3 ? 2 ?1?1 ? 24 种;即 ? ? 0 所包含的基本事件有 48+24=72 种,

72 6 ? ;…………9 分 420 35 6 由第(Ⅰ)问得 p (? ? 2) ? ; 35 6 6 23 ? ? .………………10 分 所以 p (? ? 1) ? 1 ? 35 35 35
所以 p (? ? 0) ? 从而随机变量 ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

23 6 35 35 6 23 6 ? 1? ? 2 ? ? 1 .………………12 分 所以, E (? ) = 0 ? 35 35 35
解、 (Ⅰ)证明:因为 AB ? 3 , BC ? 4 , 所以 AC ? 5 ,从而 AC 2 ? AB 2 ? BC 2 ,即 AB ? BC .………………………2 分 又因为 AB ? BB1 ,而 BC ? BB1 ? B , 所以 AB ? 平面 BC1 又 PQ ? 平面 BC1 所以 AB ? PQ ;………………4 分 (Ⅱ)解:过 M 作 MN // CQ 交 AQ 于 N ,连接 PN , 因为 AM : MC ? 3 : 4 ? AM : AC ? MN : CQ ? 3 : 7 ……………6 分

6 35

? MN ? PB ? 3

? PB // CQ ? MN // PB

? 四边形 PBMN 为平行四边形
? BM // PN ,所以 BM // 平面 APQ …………………………8 分
(III)解:由图 1 知, PB ? AB ? 3, QC ? 7 ,分别以 BA, BC, BB1 为 x, y, z 轴, 则 A(3,0,0), C (0, 4,0), P(0,0,3), Q(0, 4,7)

??? ? ??? ? ??? ? BC ? (0, 4,0), AP ? (?3,0,3), AQ ? (?3, 4,7) ………10 分
设平面 APQ 的法向量为 n ? (a, b, c) ,

?

? ??? ? ?n ? AP ? 0 ??3a ? 3c ? 0 ? 所以 ? ? ???? 得? , ?n ? AQ ? 0 ??3a ? 4b ? 7c ? 0 ?

??? ? ? ??? ? ? BC ? n ?4 3 ?? 令 a ? 1 ,则 c ? 1, b ? ?1 , cos ? BC , n ?? ??? ? ? ? 3 BC n 4 ? 3
所以直线 BC 与平面 APQ 所成角的正弦值为 注:其它做法据具体情况而定。

3 …………………………12 分 3

20. 解: (Ⅰ)由题意 C , A1 , A2 , A3 四点构成一个正三棱锥, CA1 , CA2 , CA3 为该三棱锥的三条 侧棱. ……2 分

三棱锥的侧棱 CA1 ?

(2 ? x) 2 ? 2 ;…………………4 分
…………………5 分 ………………7 分

2 于是有 y ? x ? 3 ( 2 ? x) ? 2 .( 0 ? x ? 2)

(Ⅱ)对 y 求导得 y ? ? 1 ?

3(2 ? x) ( 2 ? x) 2 ? 2

.

令 y ? ? 0 得 9(2 ? x) 2 ? (2 ? x) 2 ? 2 ,解得 x ?

3 5 或 x ? (舍). ………………9 分 2 2

当 x ? (0, ) 时, y ? ? 0, 当 x ? ? ,2 ? 时, y ? ? 0 .

3 2

?3 ?2

? ?

3 时,即 BC ? 1.5m 时, y 取得最小值为 6 m . 2 1 n 21、解:(Ⅰ)由题意知, a n ? ( ) (n ? N *) 4 易得 bn ? 3log 1 an ? 2 ? 3n ? 2
故当 x ?
4

……………12 分

(Ⅱ) cn ? an ? bn ? (3n ? 2) ? ( )

1 4

n

1 1 1 ? cn ?1 ? cn ? (3n ? 1) ? ( ) n ?1 ? (3n ? 2) ? ( ) n ? 9(1 ? n) ? ( ) n ?1 , (n ? N *) 4 4 4 1 ∴ n ? 1 时, c 2 ? c1 ? , 当 4 当 n ? 2时, cn?1 ? cn ,即c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? ? ? cn 1 1 2 ∴ n ? 1 时, cn 取最大值是 ,又 c n ? m ? m ? 1对一切正整数 n恒成立 当 4 4 1 1 ? m 2 ? m ? 1 ? ,即 m 2 ? 4m ? 5 ? 0得m ? 1或m ? ?5 4 4
22.(1)∵点 A 的坐标为( 2 3, ) 0, ∴ a ? 2 3 ,椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 12 b 2

①…1 分

又∵ | BC |? 2 | AC | . ,且 BC 过椭圆 M 的中心

O (0,0),∴ | OC |?| AC | .

……2 分

又∵ AC ? BC ? 0, ∴△AOC 是以∠C 为直角的等腰三角形, 易得 C 点坐标为( 3 , 3 ) ……3 分

将( 3 , 3 )代入①式得 b 2 ? 4

∴椭圆 M 的方程为

x2 y2 ? ?1 12 4

……4 分

(2)当直线 l 的斜率 k ? 0 ,直线 l 的方程为 y ? t 则满足题意的 t 的取值范围为 ? 2 ? t ? 2 ……5 分 当直线 l 的斜率 k ≠0 时,设直线 l 的方程为

y ? kx ? t

? y ? kx ? t ? 由 ? x2 得 (3k 2 ? 1) x 2 ? 6ktx ? 3t 2 ? 12 ? 0 y2 ?1 ? ? ? 12 4
∵直线 l 与椭圆 M 交于两点 P、Q, ∴△= (6kt) 2 ? 4(3k 2 ? 1)(3t 2 ? 12) ? 0
2 2 即 t ? 4 ? 12k



6分

设 P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ 中点 H ( x0 , y0 ) ,则

H 的横坐标 x0 ?

x1 ? x 2 ? 3kt t ? 2 ,纵坐标 y 0 ? kx 0 ? t ? , 2 2 3k ? 1 3k ? 1

D 点的坐标为(0,-2) 由 | DP |?| DQ | ,得 DH ⊥ PQ , k DH ? k PQ ? ?1,

t
即 3k ? 1
2

?2

3kt ? 2 3k ? 1

? k ? ?1, 即 t ? 1 ? 3k 2 。 ③

8分

2 ∴ k ? 0, ∴ t ? 1 。

④ 10 分 12 分

由②③得 0 ? t ? 4 ,结合④得到 1 ? t ? 4. 综上所述, ? 2 ? t ? 4


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