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广东省汕头市潮阳一中2012-2013学年高二上学期第一次月考数学(理)试题


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广东省汕头市潮阳一中 2012-2013 学年高二上学期第 一次月考数学(理)试题
一、选择题: (将你认为正确的答案填在答卷的表格内,每题有且只有一个正确 选项) 1.已知集合 M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M ? N ,则 P 的子集共有: A.2 个 B.4 个 C.6 个 D.8 个 2.某商场有四类食品,其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有 40 种、10 种、30 种、20 种,现从中抽取一个容量为 20 的样本进行食品安全检 测。 若采用分层抽样的方法抽取样本,则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和 是: (A)4 (B)5 (C)6 (D)7

?2 x,x ? 0, 3.已知函数 f(x)= ? 。若 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值等于: ? x ? 1, x ? 0
B. -1 C. 1 D. 3 ? ? 1 1 4.设向量 a ? (1, 0), b ? ( 2 , 2 ), 则下列结论中正确的是:
? ? A. a ? b

A. -3

? ? 2 B. a ? b ? 2

C. a // b

? ? ? D. a ? b与b 垂直

5、 已知 y ? 2x 2 ? kx ? 3 在 (??,3] 上是减函数, 在 [3,??] 上是增函数, 则 k 的值是: A、 ? 6 B、6 C、 ? 12 D、12 6.如图所示,ABCD 是一平面图形的水平 放置的斜二侧直观图。在斜二侧直观图中, ABCD 是一直角梯形,AB∥CD , AD ? CD , 且 BC 与 y 轴平行。若 AB ? 6, AD ? 2 ,
D y A B

则这个平面图形的实际面积为: A. 20 2 B. 12 2 C. 20 D.
20 2 3

O

C

x

y?0 ? y ?1 ? 7.实数 x 、 y 满足不等式组 ? x ? y ? 0 则 w ? 的取值范围是: x ?1 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
? 1? A. ? ?1, ? ? 3? ? 1 1? B. ? ? , ? ? 2 3? ? 1 ? C. ? ? , ?? ? ? 2 ? ? 1 ? D. ? ? ,1? ? 2 ?

8. 圆柱内有一个三棱柱,三棱柱的底面在圆柱底面内,三棱柱的底面是正三角

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形。那么在圆柱内任取一点,该点落在三棱柱内的概率为: A.
3

?

B.

3 3 4?

C.

4? 5 3

D.

3? 3 4?

? 4? 9.设 ? ? 0 ,函数 y ? sin(? x ? )+2的图像向右平移 个单位后与原图象重合, 3 3
则? 的最小值是(

) C.
3 2

A.

2 3

B.

4 3

D. 3

10. 数列 ?an ?, ?bn ?的通项公式分别是 an ? n ,bn ? 2n ,则数列 ?an ? bn ?的前 100 项的和 为: A. 99 ? 2
101

?2

B. 99 ? 2

101

? 2 C. 100? 2101 ? 2

D. 100? 2

101

?2

二、填空题:(将你认为正确的答案填在答卷对应题序的横线上) 11.右面的程序框图给出了计算数列 ?an ? 的前 8 项 和 S 的算法,算法执行完毕后,输出的 S 为 12.函数 y ? .

log0.5 ?4 x ? 3? 的定义域是

1

13.已知等比数列 ?an ? 中,前 n 项和为 S n ,当 S 4 ? 1 , S8 ? 17 时,公比 q 的值为 14.下表是避风塘 4 天卖出冷饮的杯数 y 与当天气温 x 0C 的 对比表: 气温 / x 0C 杯数 y 20 20 25 38 30 60 33 70

如果卖出冷饮的杯数 y 与当天气温 x 0C 成线性相关关系,根据最小二阶乘法,求 得回归直线方程是 y ? 3.92x ? a ,则 a 的值是 。

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三、解答题:要求写出必要的步骤、推理要严密、书写要条理。

?? ? 15. 设函数 f (x ) ? sin? ? x ? ? 4? ?
图象如右图所示. (1)求 f ? x ? 的表达式; (2)若 f (x) ? f ? ? x ? ?

? x? R ,? ? 0? 的部分

1 ?? ? ? , x ? ? , ? ,求 tan x 的值. 4 ?4 2?

16.某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了 7 场比赛,他们所有比赛得分的 情况用如图所示的茎叶图表示 (Ⅰ)求甲、乙两名运动员得分的中位数; (Ⅱ)你认为哪位运动员的成绩更稳定? (Ⅲ)如果从甲、乙两位运动员的 7 场得分中各随机抽取一场的得分,求甲的得 分大于乙的得分的概率. 参考数据如下: ( 92 ? 82 ? 102 ? 22 ? 62 ? 102 ? 92 ? 466 , 7 2 ? 4 2 ? 6 2 ? 32 ? 12 ? 2 2 ? 112 ? 236)





5 7 4 1 2 31 3 2 4 2 3 7 2 3 1 0

17.在 ?ABC 中, 角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c, 且满足 cos (1)求 ?ABC 的面积; (2)若 c ? 1, 求a的值。

? ??? ? A 2 5 ??? ? , AB ? AC ? 3 。 2 5

18.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD 垂直于底面 ABCD ,底面 ABCD 是直角梯
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形, DC / / AB, ?BAD ? 90? ,且 AB ? 2 AD ? 2 DC ? 2 PD ? 4 , E 为 PA 的中点。 (1)如图,若正视方向与 AD 平行,请在下面(答题区)方框内作出该几何体 的正视图并求出正视图面积; (2)证明: DE / / 平面 PBC ; (3)求四棱锥 P ? ABCD 的体积;
P

E D
正视图

C B

A

19.定义在 R 上的单调函数 y ? f ( x) 满足 f (3) ? log2 3 ,且对任意的 x 、 y ? R 都 有 f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) (1)求证: f ( x) 为奇函数; (2)若 f k ? 3 x ? f 3 x ? 9 x ? 2 ? 0 对任意 x ? R 恒成立,求实数 k 的取值范围。

?

? ?

?

2 20 . 已 知 函 数 f ? x? ? x , 其 中 m ? R . 定 义 数 列 ?an ? 如 下 : a1 ? 0 , ? m

an?1 ? f ? an ? , n ? N * .(I)当 m ? 1 时,求 a2 , a3 , a4 的值;
(II)是否存在实数 m,使 a2 , a3 , a4 构成公差不为 0 的等差数列?若存在,请求 出实数 m 的值,若不存在,请说明理由; (III)求证:当 m ?
1 时,总能找到 k ? N ,使得 ak ? 2010 . 4

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广东省汕头市潮阳一中 2012-2013 学年高二上学期第 一次月考数学(理)试题答卷
一 选择题: (每小题 5 分,共 50 分) 题序 答案 二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

三、解答题: (共 80 分,其中 15 题、17 题为 12 分,其它题都为 14 分) 15 解:

16 解:

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17 解:

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18 证明:

正视图

P

E D A C B

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19 解:

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20 解:

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广东省汕头市潮阳一中 2012-2013 学年高二上学期第 一次月考数学(理)试题答案
一 选择题: (每小题 5 分,共 50 分) 题序 答案 1 B 2 C 3 A 4 D 5 C 6 A 7 C 8 B 9 C 10 A

二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 11、 92
?3 ? 12、 ? ,1? ? ?1, ?? ? ?4 ?

13、 q ? ?2

14、 ?58.84

三、解答题: (共 80 分,其中 15 题、17 题为 12 分,其它题都为 14 分) 15.解: (1)设函数 f ? x ? 的周期为 T,
? T 3? ? ? ? - ? 得T ? ? , ?? ? 2 . 4 8 8 4

所以 f (x) ? sin(2 x ?

?

4

).

……………3 分

? ? ?? ?? ? ?? 1 ? ? ? (2)∵ f ? x ? ? f ? ? x ? ? sin ? 2x ? ? sin ? -2x ? ? sin ? 2x ? ? cos ? 2x ? ? ? , 4? ?4 4? 4? 4 ? ? ? ?

?? 1 1 5? ? ?? ? ? ∴ sin ? 4 x ? ? ? .……9 ? cos4x ? ,又 x ? ? , ? , 4x ? (? ,2? ), ? x ? 2? 2 2 12 ? ?4 2?


? ? 3 tan ? tan 1? 5? ? ? ? ? 4 6 ? 3 ? 2 ? 3 .…………12 分 ? tan ? ? ? ? ∴ tanx ? tan ? ? 12 3 ? 4 6 ? 1-tan ? tan 1- 4 6 3
16.解: (Ⅰ)运动员甲得分的中位数是 22,运动员乙得分的中位数是 23…2 分 14 ? 17 ? 15 ? 24 ? 22 ? 23 ? 32 ? 21 …………………3 分 (Ⅱ)? x甲 ? 7 12 ? 13 ? 11 ? 23 ? 27 ? 31 ? 30 x乙 ? ? 21 …………………4 分 7

S

2 甲

? 21-14? ? ? 21-17 ? ? ? 21-15? ? ? 21-24? ? ? 21-22? ? ? 21-23? ? ? 21-32? ?
2 2 2 2 2 2

2

7

?

236 7

………………………………………………………………………………… 6 分
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2 2 2

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2 2 2 2

S

2 乙

? 21-12? ? ? 21-13? ? ? 21-11? ? ? 21-23? ? ? 21-27 ? ? ? 21-31? ? ? 21-30? ?
7

?

466 7

8分
2 2 ,从而甲运动员的成绩更稳定………………………………9 分 ? S甲 ? S乙

(Ⅲ)从甲、乙两位运动员的 7 场得分中各随机抽取一场的得分的基本事件为

?14,12? , ?14,13?, ?14,11?,?, ?32,31?, ?32,30?

,总数为 49……10 分

其中甲的得分大于乙的是:甲得 14 分有 3 场,甲得 17 分有 3 场,甲得 15 分有 3场 甲得 24 分有 4 场,甲得 22 分有 3 场,甲得 23 分有 3 场,甲得 32 分有 7 场,共 计 26 场 12 分
26 ………14 分 49
2

从而甲的得分大于乙的得分的概率为 P ?

?2 5? A 2 5 A 3 17.解: (1)? cos ? ,? cos A ? 2 cos 2 ? 1 ? 2 ? ? ?1 ? , ? ? ? 2 5 2 5 ? 5 ?

2分

4 ?3? ? sin A ? 1 ? cos A ? 1 ? ? ? ? . 5 ?5?
2

2

3分

??? ? ??? ? 又由 AB ? AC ? 3 ,得 bc cos A ? 3.? bc ? 5.
1 1 4 ? S?ABC ? bc sin A ? ? 5 ? ? 2. 2 2 5

6分
8分

(2)由(1)知bc ? 5, 又c ? 1 , ?b ? 5.

9分 11 分

由余弦定理得 a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 52 ? 12 ? 2 ? 3 ? 20.

? a ? 2 5.

12 分

18.解(1)正视图如下: (没标数据扣 1 分)

…………3 分
1 主视图面积 S ? ? 4 ? 2 ? 4cm 2 ………………5 分 2 (2)设 PB 的中点为 F ,连接 EF , CF ………6 分 ? E ,F 分别是 PA,PB 的中点 ? EF // AB 又 DC // AB ? EF // DC
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且 EF ? DC ?

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1 AB ………………8 分 2 故四边形 CDEF 是平行四边形,即可得 ED / /CF , 9分 又 ED ? 平面 PBC , CF ? 平面 PBC ,? ED / / 平面 PBC 10 分 (3)? PD ? 底面 ABCD , ? PD ? 2 是四棱锥 P ? ABCD 的高 11 分

? AB ? 4, DC ? 2, AD ? 2 ? 直角梯形 ABCD 的面积是
1 1 AD ? ( AB ? DC ) ? ? 2 ? ?2 ? 4 ? ? 6 cm2 13 分 2 2 1 1 cm 3 ? 四棱锥 P ? ABCD 的体积是 V ? S 底 ? PD ? ? 6 ? 2 ? 4 3 3 S底 ?

? ?

?

?

14 分 ∴ f (0) ? 0

19. 解:令 x ? y ? 0 ,代入 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) 2分

得: f (0) ? 2 f (0)

令 y ? ? x 代入上式得: f ( x ? x) ? f ( x) ? f (? x) ,又 f (0) ? 0 ∴ 0 ? f ( x) ? f ( ? x) ∴ f ( x) 是奇函数 (2) f (3) ? log2 3 ? 0 ,
R 上的增函数,

即 f (? x) ? ? f ( x) 对任意 x ? R 成立, 6分

5分

又 f ( x) 在 R 上单调且 f (0) ? 0 , f (3) ? f (0) , 故 f ( x) 是 8分

又由(1)知 f ( x) 为奇函数 ∴ f (k ? 3x ) ? ? f (3x ? 9x ? 2) ? f (?3x ? 9x ? 2),?k ? 3x ? ?3x ? 9x ? 2, 10 分 11 分

即k ? ?1 ? 3x ?

2 ? h( x) 恒成立, 3x
12 分 14 分

只需 k ? h( x)min ,

易求h( x)min ? 2 2 ?1,

13 分

? k ? 2 2 ? 1.

20.解: (I)因为 a1 ? 0 , m ? 1 ,所以 a2 ? f (0) ? m ? 1,

a3 ? f (m) ? m2 ? m ? 2 , a4 ? f ? a3 ? ? m2 ? m ? m ? 5 .

?

?

2

4分

(II)方法一:假设存在实数 m ,使得 a2 , a3 , a4 构成公差不为 0 的等差数列. 由(I)得到 a2 ? f (0) ? m , a3 ? f (m) ? m2 ? m ,

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a4 ? f ? a3 ? ? m2 ? m ? m .因为 a2 , a3 , a4 成等差数列,所以 2a3 ? a2 ? a4 , 6 分
所以, 2 m2 ? m ? m ? m2 ? m ? m , 解得 m ? 0 (舍), m ? ?1 ? 2 . 经检验,此时 a2 , a3 , a4 的公差不为 0, 所以存在 m ? ?1 ? 2 ,使 a2 , a3 , a4 构成公差不为 0 的等差数列. 方法二:因为 a2 , a3 , a4 成等差数列,所以 a3 ? a2 ? a4 ? a3 , 即
2 2 a2 ? m ? a2 ? a3 ? m ? a3

?

?

2

?

?

?

?

2

化简得 m2 m2 ? 2m ? 1 ? 0 , 8分

?

?

9分 6分 , 即







?a

2 3

2 ? a2 ? ? a3 ? a2 ? ? 0

?

? a3 ? a ??2a

?a ? 3 1? ? 0 . 2
8分

因为 a3 ? a2 ? 0 ,所以 a3 ? a2 ? 1 ? 0 解得 m ? ?1 ? 2 . 经检验,此时 a2 , a3 , a4 的公差不为 0.

所以存在 m ? ?1 ? 2 ,使 a2 , a3 , a4 构成公差不为 0 的等差数列.

9分

1? ? 1? 1 ? 2 (III)因为 an?1 ? an ? an ? m ? an ? ? an ? ? ? ? m ? ? ? m ? , 2? ? 4? 4 ?
又 m?
1 , 4 1 ? 0 . 由 an ? an?1 ? d , 4

2

所以令 d ? m ?

an?1 ? an?2 ? d ,
…… 将上述不等式全部相加得 an ? a1 ? (n ?1)d , a2 ? a1 ? d , 即 an ? (n ? 1)d , 因此只需取正整数 k ?
2010 2010 ? 1,就有 ak ? (k ? 1)d ? d ? ( ) ? 2010 . d d

14 分

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