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高一上学期综合测试题(数学)含答案


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青海省重点中学 09-10 学年高一上学期综合测试题 函数
一、选择题(每小题 2 分,共 24 分)
1.下列各函数中,图象完全相同的是( (A)y=2 lg x 和 y=lg x2 ) (B)y=

x2 和 y=x x

(C)y=

?? 1 | x ?1| 和 y= ? x ?1 ?1

当x ? ( ?? , 1) 当x ? (1, ? ? )

(D)y=x-3 和 y= x 2 ? 6 x ? 9
-1

2.设 f(x)= (A)-

5 6

2x ?1 3 (x∈R 且 x≠- ) ,则 f 4x ? 3 4 5 2 (B) (C) 11 5
.

(2)等于( (D)-



2 5


3.设 a=0.32,b=log20.3,c=20 3,这三个函数之间的大小关系是( (A)a <c <b (B)a <b <c(C)b <a <c )

(D)b <c <a

4.若 loga2 <logb2 <0,则( (A)0<a <b <1 (C)a >b >1

(B)0<b <a <1 (D)b >a >1 )

5.将函数 y=f(x-1)的图象作适当的平移,可得到函数 y=f(x+2)的图象,这个平移是( (A)向左平移 3 个单位 (C)向左平移 2 个单位 6.函数 f(x)= (B)向右平移 3 个单位 (D)向右平移 2 个单位 )

ax ? 1 在区间(-2,+∞)上是增函数,那么 a 的取值范围是( x?2 1 1 (A)0<a < (B)a > (C)a <-1 或 a >1 (D)a >-2 2 2

7.已知函数 f(x)的定义域为[a,b ]且 b >-a >0,则函数 F(x)=f ( x)+f (-x)的定义域是 ( ) (B) (-∞,-a) ? [a,+∞ ) (D) (-∞,a) ? [-a,+∞ )
x
-1

(A)[a,-a ] (C)[-a,a ]

8.已知函数 f(x)=a +b 的图象经过点(1,7)其反函数 f 的表达式是( )
x x x

(x)的图象经过点(4,0) ,则 f(x)

(A)f(x)=3 +4 (B)f(x)=4 +3(C)f(x)=2 +5 (D)f(x)=5 +2
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x

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9.已知 f(x)=2 | x|+3,g(x)=4 x-5,若 f [p(x)]=g(x) ,则 p(3)的值为( (A)2 (B)±2 (C)-2 (D)不能确定



10.设 f(x)=ax7+bx3+cx-5 其中 a,b,c 为常数,如 f(-7)=7,则 f(7)等于( (A)-17 (B)-7 (C)14 (C)21 )



11.已知 1< x<d,令 a=(logd x) 2,b=logd (x2 ) ,c=logd (logd x) ,则( (A)c <b <c (C)c <b <a (B)a <c <b (D)c <a <b )

12.下列命题中,正确的命题是(

(A)y=2 lg x 与 y=lg x2 是同一个函数 (B)已知 f(x)是定义在 R 上的一偶函数,且在[a,b ]上递增,则在[-b,-a ]上也递增 (C)f(x)=| log2 x|是偶函数 (D)f(x)=loga ( 1 ? x2 ? x )的奇函数

二、填空题(每小题 3 分, )
13.若(x,y)在一一映射下的象是(x+y,x-y) ,其中 x∈R,y ∈R,则(1,2)的象是_________; (1,-3)的原象是___________. 14.已知函数 y=2 x2+4 (a -4) x+5,在(-∞,-3)上是减函数,则 a 的取值范围是________. 15.函数 f(x)=log2(3-2 x-x2)的值域是___________. 16.函数 y=log0.5(x2+x-6)的单调区间是___________. 17.已知函数 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x∈(0,+∞)时,f(x)=x(1+ 3 x ) ,那么当 x∈(- ∞,0)时,f(x)=__________. 18.若函数 y=

1 ,x∈[-2,-1],则其反函 f x ?6
2

-1

(x)=______.

19.已知函数 f(x)的定义域是[-1,2] 则函数 f(x2)的定义域是________. 20.已知 f(n)= ?

?n ? 3 ? f [ f (n ? 5)]

(n ? 10) n ∈N,则 f(5)的值等于________. (n ? 10)

21.函数 y=2 lg(x-2)-lg(x-3)的最小值为_________. 22.方程 log2(9
x-1

+7)=2+log2(3

x-1

+1)的解为________.

23.对于函数 f(x)=loga x(其中 a >0,a ≠1) ,若 f(3)-f(2)=1,则

f(3.75)+f(0.9)的值等于_________.

三、解答题(共 5 个小题,满分 51 分)
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24. (本题满分 13 分) 已知 f(x)=loga

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1? x (a >0,a ≠1) . 1? x

(1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的单调性,并予以证明; (3)求使 f(x)>0 的 x 取值范围.

25. (本小题共 12 分) 等腰梯形 ABCD 下底 AB=10, 上底 DC=4, 两腰 AD=BC=5, 动点 P 由 B 点沿折线 BCDA 向 A 运 动,设 P 点移动的距离为 x,△ABP 的面积为 y,求函数 y=f(x) .

26. (本题共 13 分) 设 0≤x≤1,x 为变量,a 为常数,求函数 f(x)= (4-3 a) x2-2 x+a 的最大值.

27. (本题共 13 分) 已知函数 f(x)=lg(ax2+2 x+1) , (1)若函数 f(x)的定义域为 R,求实数 a 的取值范围; (2)若函数 f(x)的值域为 R,求实数 a 的取值范围.

28. (本题共 13 分) 已知函数 f(x)=lg(a -b ) a >1>b >0) ( (1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的单调性,并予以证明; (3)当 a,b 满足什么关系时,f(x)在(1,+∞)内取正值,而不在(1,+∞)上则不取正值.
x x

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参考答案
一.1.C 2.A 3.C 4.B 5.A 6.B 7.A 8.B 9.B 10.A 11.D 12.D 15. (-∞,2 ] .

二.13. (3,-1)(-1,2) ; .

14. a ≤7.

16. 增区间为(-∞,-3) ,减区间为(2,+∞)【点评】复合函数的单调性问题,要注意增增“增” . 、 减增“减” 、增减“减” 、减减“增”等规律.y=log0.5 u 是减函数,因此只要求出 u=x2+x-6 的单调区 间即可,本题容易忽视函数的定义域而导致错误. 17. 【答案】本题中的 f(x)是一个分段函数,要能够正确运用奇函数的性质,利用 x>0 时函数的解析 式,得出 x<0 时的解析式.要注意求谁的解析式以谁为主,设 x<0,则 -x>0, 18. 【答案】f
-1

(x)=-

1 1 6x ?1 (- ≤x≤- ) . 2 5 x

19. 【答案】[- 2 , 2 ]. 【提示】解不等式:-1≤ x2≤2 可得. ∴ 0≤ | x|≤ 2 ,∴ - 2 ≤ x≤ 2 . 20. 【答案】8. 21. 【答案】x=4 时,y min=lg 4.
x-1

22. 【答案】x=1 或 x=2.由 9 3 可解.

+7=4(3

x-1

+1) ,得(3

x -1

) 2-4 · 3

x -1

+3=0,故 3

x-1

=1 或

23. 【略解】由 f(3)-f(2)=loga3-loga 2=loga ∴

3 3 =1,∴ a= . 2 2

f(3.75)+f(0.9)=log a3.75×0.9=log a3.375=loga1.53=3 loga 1.5=3.
1? x >0,∴ f(x)定义域为(-1,1) . 1? x

24. 【略解】 (1)∵

(2)设-1<x1<x2<1,则

f(x1)-f(x2)=loga

(1 ? x1 )(1 ? x2 ) 1 ? x2 1 ? x1 -loga =loga 1 ? x1 (1 ? x1 )(1 ? x2 ) 1 ? x2 (1 ? x1 x2 ) ? ( x2 ? x1 ) (1 ? x1 x2 ) ? ( x2 ? x1 )

=loga ∵ ∴

-1<x1<x2<1,∴ x2-x1>0, (1-x1x2)+(x2-x1)>(1-x1x2)-(x2-x1)

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(1 ? x1 x2 ) ? ( x2 ? x1 ) <1. (1 ? x1 x2 ) ? ( x2 ? x1 )

∴ 当 a >1 时,f(x1)<f(x2) ,在(-1,1)上是增函数. 当 0<a <1 时,f(x1)>f(x2) ,在(-1,1)上是减函数.

1? x >1,解得 0<x<1. 1? x 1? x 当 0<a <1 时,欲 f(x)>0,则有 0< <1,解得-1<x<0. 1? x
(3)当 a >0 时,欲 f(x)>0,则有 【点评】本题综合考查了函数的定义域;用定义证明函数的单调性,对数的有关概念及解不等式的问题. 25. 【略解】如图,可知等腰梯形的高为 4,当 P 点运动到 P1 位置时,△AP1B 的高 P1H1= ∴ 此时 S ?AP1B =

4x . 5

1 4x ×10× , 2 5

当 P 点运动到 P3 位置时,△AP3B 的高 P3H3 满足:

P3 H 3 14 ? x = , 4 5 1 56 ? 4 x 此时 S ?AP3B = ×10× , 2 5 1 1 当 P 点在 CD 上时, S ?AP3B = h×AB= ×4×10=20 2 2

(0 ? x ? 5) ?4 x ? (5 ? x ? 9 ) ∴ y= ?20 ?56 ? 4 x (9 ? x ? 14) ?
【点评】画图,利用图形思考,是一项基本功.本题运用的分类讨论思想,数形结合思想是中学数学中重 要的思想方法. 26. 【略解】若 4-3 a=0,则 f(x)=-2 x+ ∴

4 是单调减函数, 3

4 f(x)最大值为 f(0)=a= ; 3 1 , 4 ? 3a

若 4-3 a ≠0,则 f(x)为二次函数,其对称轴方程为:

x=

f(0)=a,f(1)=2-2 a.
2 时,f(0)>f(1) ; 3 2 当 a < 时,f(0)< f(1) ; 3
当a > ∴

f(x)的最大值为 f(1)=2-2 a ;
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当 a 取其他实数时,f(x)的最大值为 f(0)=a .
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【点评】二次函数是中学数学中的重要函数之一.二次函数的有关性质,特别是在闭区间上求二次函数的 最值问题应该熟练掌握.本题中的二次函数含有参数 a,应注意分类讨论思想的应用. 27. 【略解】 (1)ax2+2 x+1>0 恒成立,只需?=4-4 a <0,且 a >0,即 a >1,满足题意. (2)若 f(x)的值域为 R,则需 u=ax2+2 x+1 能取遍一切正数,需满足 a >0 且 ?=4-4 a ≥0,即 0<a ≤1 为所求. 【点评】 许多同学做此题时,不能理解(2)题的题意,关键是欲使 f(x)的值域为 R,则必需 u=ax2+2 x+ 1 能取遍一切正数,所以抛物线的开口向上,且与 x 轴要有交点. .... 28. 【略解】 (1)a -b >0 ? (
x x

a a x ) >1,而 >1, b b



f(x)的定义域为:x>0,

(2)利用函数单调的定义证明 f(x)在(0,+∞)上是增函数, (略) (3)利用(2)的解法及所给条件应有 f(1)=0.即由 lg(a -b)=0,故 a -b=1 为所求.

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