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导学案1.3.1单调性与最大(小)值第一课时


《高一数学导学案》 1.3.1 单调性与最大(小)值
永康明珠学校 熊伟

第一课时

学习目标:
1、初步理解增函数、减函数、函数的单调性、单调区间的概念; 2、掌握判断一些简单函数单调性的方法:图象法、定义法; 3、能运用函数单调性概念解决简单的问题。

一、自主学习
请观察函数 y=x

+2, y=-x+2, y=x , y=
2

1 的图象: x

思考: 1、上述图象对于自变量的变化,相应的函数值有哪些变化规律?

2、对于 y ? x ,列出 x, y 的对应值表,并体会图象在 y 轴右侧的上升
2

x
y ? x2

?

-3

-2

-1

0

1

2

3

?

3、在数学上规定: y ? x 在区间(0,+ ? )是增函数。请给出增函数的定义。
2

4、增函数定义中“当 x1 ? x 2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ”反映了函数值有什么变化?函数的 图象有什么特点?

1

5、增函数的几何意义是什么?

6、类比增函数的定义,请给出减函数的定义,并说明其几何意义。

7、函数的单调性和单调区间的定义是什么?

二、合作探究
1、定义在闭区间[-5,5]上的函数 y=f(x)的图象如下所示,说出 y=f(x)的单调区间, 以及在每一单调区间上,函数 y=f(x)是增函数还是减函数。

-5

-2

1

3

5

思考:能否说 f ?x ? 在区间 ?? 5,5? 上是增函数或是减函数?

2、观察 y ?

1 的图象,完成下面两个问题: x
⑵这个函数在定义域 I 上的单调区间是什么?

⑴这个函数的定义域 I 是什么?

2

3、运用定义证明函数的单调性。 例题:证明函数 f ( x) ? x2 ? 1 在(- ? ,0)上是减函数。 证明: 设x1、x2 ? (??,0), 且x1 ? x2

f( 1 x) ?

f (2 x? )

2 1

2 2 (2 x1 x? 1 ? 22 ( x ? 1? )1 x = ? x? x2 )( x1 ? x2 )

x1、x2 ? (??,0) x1 ? x2

? x1 ? x2 ? 0

? x1 ? x2 ? 0

?f( 1 x ) ? f ( 2x ) ? 即0 , f 1 x (? ) f2 x (
? ? f ( x)
2

)

x ? 在 1 (- ? ,0)上是减函数。

通过以上例题,你可以总结出证明函数在某区间上是增函数(减函数)的格式和步骤吗? ⑴证明函数 f(x)=1-

1 在(- ? ,0)上是增函数。 x

⑵证明函数 f(x)=-2x+1 在 R 上是减函数。

⑶证明函数 f ( x) ? x ? 4x ? 2在[2,+?) 上单调递增。
2

3

三、巩固练习:
1、画出下列函数的图象,并根据图象说出 y= f(x)的单调区间,以及在各个单调区间上图 象 y=f(x)是增函数还是减函数? (1)y=x -5x-6;
2

(2)y=9-x .

2

四、拓展能力
1、讨论一次函数 y=mx+b(x ? R) 的单调性.

2、(1).画出函数 f(x)=- x +2x+3 的图象。

2

(2) 当函数 f(x)=- x +2x+3 在区间(- ? ,m]上是增函数时,求实数 m 的取值范围.
2

(3) 当函数 f(x)=- x +mx+3 在区间(- ? ,2]上是增函数时,求实数 m 的取值范围.
2

3、 函数 f ( x) ? 4x ? kx ? 8在 [5,20]上具有单调性,则实数k的取值范围是 _________.
2

4、定义 max{a, b} ? ?

?a, a ? b , 函数f ( x) ? max{| x ?1|,| x ?2 |} 的最小值是___________. ?b, a ? b

4

5


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