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苏教版必修4第3章《3.3几个三角恒等式》作业练习含答案解析


[学业水平训练] 1.已知函数 f(x)=(sin x-cos x)sin x,x∈R,则 f(x)的最小正周期是__________. 1-cos 2x 1 2 π 1 解析:f(x)=sin2x-sin xcos x= - sin 2x=- cos(2x- )+ ,故函数的最小 2 2 2 4 2 2π 正周期 T= =π. 2 答案:π 1-sin θ θ 2.若 θ 是第二象限的角,且 cos <0,则 的值是__________. 2 θ θ sin -cos 2 2 θ 解析:∵θ 是第二象限的角,且 cos <0, 2 5 θ 3 ∴2kπ+ π< <2kπ+ π,k∈Z, 4 2 2 1-sin θ ∴ θ θ sin -cos 2 2 θ θ θ θ cos2 -2sin cos +sin2 2 2 2 2 = θ θ sin -cos 2 2 θ θ cos -sin 2 2 = =-1. θ θ sin -cos 2 2 答案:-1 cos 2α 2 3.若 =- ,则 cos α+sin α 的值为__________. π 2 sin(α- ) 4 cos2α-sin2α 2 解析:原式可化为 =- ,化简, 2 2 (sin α-cos α) 2 1 可得 sin α+cos α= . 2 1 答案: 2 π 4.函数 f(x)=sin(2x- )-2 2· sin2x 的最小正周期是__________. 4 1-cos 2x 2 2 解析:f(x)= sin 2x- cos 2x-2 2· 2 2 2 2 2 π = sin 2x+ cos 2x- 2=sin(2x+ )- 2. 2 2 4 故最小正周期为 π. 答案:π π 5.y=cos x+cos(x+ )的最大值是__________. 3 1 3 解析:原式=cos x+ cos x- sin x 2 2 3 3 = cos x- sin x 2 2

3 1 π cos x- sin x)= 3cos(x+ ), 2 2 6 ∴ymax= 3. 答案: 3 = 3( 3π 1 6.设 sin α= ( <α<π),tan(π-β)= ,则 tan(α-2β)的值等于__________. 52 2 3π 解析:∵sin α= ( <α<π), 52 4 3 ∴cos α=- ,tan α=- . 5 4 1 1 4 ∵tan(π-β)= ,∴tan β=- ,tan 2β=- , 2 2 3 3 4 - + 4 3 7 tan α-tan 2β ∴tan(α-2β)= = = . 24 1+tan αtan 2β 1+1 7 答案: 24 7.求值:sin 40° (tan 10° - 3). sin 10° - 3cos 10° 解:原式=sin 40° · cos 10° -2sin 50° -sin 80° =sin 40° · = =-1. cos 10° cos 10° 1+sin 2α α 1 8.已知 tan = ,求 的值. 2 2 1+sin 2α+cos 2α 1+sin 2α (sin α+cos α)2 解: = 1+sin 2α+cos 2α 2cos2α+2sin αcos α α 2tan 2 sin α+cos α 1 1 α 1 4 7 = = tan α+ ,由 tan = 得,tan α= = ,代入上式可得原式= . 2cos α 2 2 2 2 α 3 6 1-tan2 2 [高考水平训练] π 3 5 π 1.已知 cos( -α)= ,则 cos( π+α)-sin2(α- )的值是__________. 6 3 6 6 π 5 ? 解析:∵cos( π+α)=cos? ?π-(6-α)?= 6 π 3 π π 1 2 3 2 - cos( - α) =- . 而 sin2(α - ) = 1 - cos2(α - ) = 1 - = . ∴ 原式=- - =- 6 3 6 6 3 3 3 3 2+ 3 . 3 2+ 3 答案:- 3 3 2.已知 sin α= ,α 是第二象限角,且 tan(α+β)=1,则 tan β 的值是__________. 5 3 4 3 解析:∵sin α= ,α 是第二象限角,∴cos α=- ,∴tan α=- .又 tan(α+β)=1,∴tan 5 5 4 3 1-(- ) 4 tan(α+β)-tan α β=tan [(α+β)-α]= = =7. 3 1+tan(α+β)tan α 1+1× (- ) 4 答案:7

1 1 3.已知 cos α-cos β= ,sin α-sin β=- ,求 sin(α+β)的值. 2 3 α+β α-β 1 1 解:∵cos α-cos β= ,∴-2sin sin = .① 2 2 2 2 α+β α-β 1 1 ∵sin α-sin β=- ,∴2cos sin =- .② 3 2 2 3 α+β 3 ①÷ ②,得-tan =- . 2 2 α+β 3 ∴tan = . 2 2 α+β 3 2tan 2× 2 2 12 ∴sin(α+β)= = = . 9 13 2α+β 1 + 1+tan 4 2 4.已知函数 f(x)=sin x+cos x. cos2x-sin xcos x (1)若 f(x)=2f(-x),求 的值; 1+sin2x (2)求函数 F(x)=f(x)· f(-x)+f2(x)的最大值和单调递增区间. 解:(1)∵f(x)=sin x+cos x,∴f(-x)=cos x-sin x. 又∵f(x)=2f(-x), ∴sin x+cos x=2(cos x-sin x),且 cos x≠0, 1 ∴tan x= , 3 cos2x-sin xcos x cos2x-sin xcos x ∴ = 1+sin2x 2sin2x+cos2x 1-tan x 6 = = . 2tan2x+1 11 (2)由题知 F(x)=cos2x-sin2x+1+2sin xcos x, ∴F(x)=cos 2x+sin 2x+1, π ∴F(x)= 2sin(2x+ )+1. 4 π ∴当 sin(2x+ )=1 时,F(x)max= 2+1. 4 π π π 由- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z, 2 4 2 3π π 得- +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z. 8 8 3π π 故所求函数 F(x)的单调递增区间为[- +kπ, +kπ](k∈Z). 8 8


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