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【金版教程】2014届高考数学总复习 第2讲 直线与圆的位置关系课件 理 新人教A版选修4-1


第2讲

直线与圆的位置关系

不同寻常的一本书,不可不读哟!

1.会证明并应用圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质 定理.

2. 会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与
判定定理、切割线定理.

5种必会作法 与圆有关的辅助线的五种作法:①有弦,作弦

心距;②有 直径,作直径所对的圆周角;③有切点,作过切点的半径;④ 两圆相交,作公共弦;⑤两圆相切,作公切线.

2项必须注意 1. 应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容:如 线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相

似三角形等.
2. 圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时,要注意找相等 的角,找相似三角形,从而得出线段的比.由于圆幂定理 涉及 圆中线段的数量计算,所以应注意代数法在解题中的应用.

3个必记结论 1. 切点与圆心的连线与圆的切线垂直;过切点且与圆的切 线垂直的直线过圆心.

2. 相离两圆的内公切线夹在公切线间的线段长等于两圆外
公切线的长. 3. 若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等,则此两点 与线段两个端点共圆,特别地, 对定线段张角为直角的点共 圆.

课前自主导学

1. 圆周角定理、圆心角定理、弦切角定理 (1)圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的________的一半.

(2)圆心角定理
圆心角的度数等于它所对弧的________. 推论1:同圆或等圆中同弧或等弧所对的________相等, 相等的________所对的弧也相等. 推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是________;90°的圆

周角所对的弦是________.

(3)弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的________.

推论:弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的________.

“相等的圆周角所对的弧相等”对吗?

(1)如图,在⊙O中,

所对的圆

周角和圆心角分别是∠BAC,∠BOC, 且∠BAC=50° ,则∠BOC=________.

(2)如图,CD是⊙O的直径,AE 切 圆 O 于 点 B , 连 接 DB , 若 ∠ D =

20°,则∠DBE的大小为________.

2.圆内接四边形的判定定理和性质定理 定理(或推论) 判定定理 判定定理 的推论 性质定理 内容

如果一个四边形的对角________,那么这 个四边形的四个顶点共圆 如果四边形的一个外角等于它的______, 那么这个四边形的四个顶点共圆 圆的内接四边形的对角________ 圆内接四边形的外角等于它的内角的 ________

任意一个四边形是否有外接圆,三角形呢?

如图,在⊙O中,∠CBE是圆内接四边形ABCD的一个外 角 , ∠ ADC = 120° , 则 ∠ CBE = ________ , ∠ ABC = ________.

3. 圆的切线 定义、定理 及推论 内容 如果一条直线与一个圆有唯一公共点,那么这 条直线叫做这个圆的________,公共点叫做 ________ 经过半径的________并且垂直于这条半径的直 线是圆的________ 圆的切线________经过切点的半径 经过圆心且垂直于切线的直线必经过________ 经过切点且垂直于切线的直线必经过________

定义
判定定理 性质定理 性质定理 的推论

如图,在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦BC与小 圆相切于点A,若BC=6,则由这两个同心圆所构成的圆环的面 积为________.

4.直线与圆位置关系的有关定理 定理 内容 切割线 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到 定理 割线与圆交点的两条线段长的______ 相交弦 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的 定理 ________相等 割线定 从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线 理 与圆的交点的两条线段长的________相等 切线长 从圆外一点引圆的两条切线,它们的________相 定理 等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

(1)如图,弦AB与CD相交于P点,PA=4,PB=2,则

PC·PD=________.
(2)如图,PE是⊙O的切线,PAB与PCD是⊙O的割线, PA=AB=1,则PE=________,PC·PD=________.

1. 圆心角 一半

度数

圆周角

圆周角

直角

直径

圆周角

想一想:提示:只有同圆或等圆中,相等的圆周角所对的 弧才相等.

填一填:(1)100° (2)70°
2.互补 内角对角 互补 对角 想一想:提示:任意一个四边形不一定有外接圆,但一个 三角形一定有外接圆,并且外接圆唯一.

填一填:120° 60° 3. 切线 切点 外端 切线 垂直于 切点 圆心 填一填:9π 4.比例中项 积 积 切线长 填一填:(1)8 (2) 2 2

核心要点研究

例1

[2011·辽宁高考]如图,A,B,C,D四点在同一圆

上,AD的延长线与BC的延长线交于E点,且EC=ED.
(1)证明:CD∥AB; (2)延长CD到F,延长DC到G,使得EF=EG, 证明:A,B,G,F四点共圆.

[审题视点]

(1) 结 合 圆 内 接 四 边 形 对 角 互 补 可 证

CD∥AB.(2)证出四边形ABGF对角互补,即可证出四点共圆. [证明] (1)因为EC=ED,

所以∠EDC=∠ECD.
因为A、B、C、D四点在同一圆上, 所以∠EDC=∠EBA. 故∠ECD=∠EBA. 所以CD∥AB.

(2)由(1)知,AE=BE.因为EF=EG, 故∠EFD=∠EGC,从而∠FED=∠GEC. 连接AF,BG,则△EFA≌△EGB,

故∠FAE=∠GBE.
又CD∥AB,∠EDC=∠ECD, 所以∠FAB=∠GBA. 所以∠AFG+∠GBA=180°. 故A,B,G,F四点共圆.

证明四点共圆的主要方法是利用其判定定理及推论,即

通过证明四边形的一组对角互补或一个外角等于它的内角的
对角实现.

[变式探究]

[2013·泰兴模拟]如图,已知AP是⊙O的切

线,P为切点,AC是⊙O的割线,与⊙O交于B、C两点,圆心O
在∠PAC的内部,点M是BC的中点.

(1)证明:A,P,O,M四点共圆;
(2)求∠OAM+∠APM的大小.

解:(1)证明:连接OP,OM,因为AP与⊙O相切于点P, 所以OP⊥AP. 因为M是⊙O的弦BC的中点,

所以OM⊥BC.
于是∠OPA+∠OMA=180°, 由圆心O在∠PAC的内部, 可知四边形APOM的对角互补, 所以A,P,O,M四点共圆.

(2)解:由(1)得A,P,O,M四点共圆, 所以∠OAM=∠OPM.

由(1)得OP⊥AP.
由圆心O在∠PAC的内部,可知∠OPM+∠APM=90°, 所以∠OAM+∠APM=90°.

例2

[2013·银川模拟]如图所示,AB为⊙O的直径,BC、

CD为⊙O的切线,B、D为切点.

(1)求证:AD∥OC;

(2)若⊙O的半径为1,求AD·OC的值.

[解] (1)证明:如图,连接BD、OD.
∵CB、CD是⊙O的两条切线, ∴BD⊥OC. ∴∠2+∠3=90°. 又AB为⊙O直径,

∴AD⊥DB,∠1+∠2=90°.
∴∠1=∠3,∴AD∥OC. (2)∵AO=OD, 则∠1=∠A=∠3, ∴Rt△BAD∽Rt△COD,AD·OC=AB·OD=2.

奇思妙想:在本例中,若AD·OC的值是4,求⊙O的半 径. 解:∵AO=OD,∴∠1=∠A.

∵∠1=∠3,∴∠A=∠3.
∵∠BDA=∠CDO=90°, ∴Rt△BAD∽Rt△COD.

AD AB ∴ = . OD OC ∴AD· OC=AB· OD=2OD2. ∵AD· OC=4, ∴OD= 2,即⊙O的半径为 2.

在解有关切线问题的题目时,从以下几个方面进行思考: (1)见到切线,要想到它垂直于过切点的半(直)径;

(2)若过切点有垂线,则必过圆心;
(3)过切点若有弦,则想弦切角定理; (4)若切线与一条割线相交,则想切割线定理; (5)若有两条切线相交,则想切线长定理,并要熟悉这里存在 一个以交点和圆心连线为对称轴的对称图形.

[变式探究]

如图,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,

BC =3,过点C作圆O的切线l,过点A作l的垂线AD,D为垂 足,且AD与圆O交于点E,求∠DAC的大小与线段AE的长.

解:连接OC,因为BC=OB=OC=3,所以∠CBO= 60° ,因为∠DCA=∠CBO,所以∠DCA= 60° ,又AD⊥DC, 故∠DAC=30° . 因为∠ACB= 90° ,所以∠CAB=30° ,则∠EAB= 60° . 1 连接BE,可知∠ABE =30° ,于是AE= AB=3. 2

例3 [2012· 天津高考]如图,已知AB和AC是圆的两条弦, 过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D. 过点C作BD的平

行线与圆相交于点E,与AB相交于点F,AF=3,FB=1,EF 3 =2,则线段CD的长为________.
[审题视点] 本题条件中,直线CD为 圆的切线,故考虑利用切割定理建立等量

关系,再化简证之.

[解析]

在圆中,由相交弦定理:AF· FB=EF· FC,

AF· FB FC AF ∴FC= =2,由三角形相似, = , EF BD AB FC· AB 8 ∴BD= = . AF 3 由切割弦定理:DB2=DC· DA, 64 4 又DA=4CD,∴4DC =DB = 9 .∴DC=3. 4 [答案] 3
2 2

涉及与圆有关的成比例线段或等积线段(有时需转化为成 比例的线段)的证明,①利用相似三角形的性质在相似三角形 中寻找比例线段.②利用相交弦定理、切割线定理证明线段 成比例,在实际应用中,一般涉及两条相交弦应首先考虑相 交弦定理,涉及两条割线就要想到割线定理,见到切线和割 线时要注意应用切割线定理.③利用角平分线对边成比例.

[变式探究]

[2013·揭阳模拟]如图,过△ABC的顶点A的圆

与边BC切于点P,与边AB、AC分别交于点M、N,且CN = 2BM,点N、P分别为AC、BC的中点.求证:AM= 7BM.

解析:由切割线定理,得BP2 =BM·BA,CP2=CN·CA. 因为P是BC的中点,所以BM·BA=CN· CA.

又点N是AC的中点,所以BM·(BM+AM) =2CN2.
又因为CN=2BM,所以BM·(BM+AM)=8BM2, 所以AM=7BM.

经典演练提能

1. [2012·湖北高考]如图,点D在⊙O的弦AB上移动,AB= 4,连接OD,过点D作OD的垂线交⊙O于点C,则CD的最大值 为________.

答案:2 解析:连接OC,则OD⊥CD知,OD2+CD2=OC2.要使CD 最大,则OD最小;当OD⊥AB时,OD最小,此时CD=2.

2. [2012·陕西高考]如图,在圆O中,直径AB与弦CD垂 直, 垂 足 为 E, EF⊥DB,垂足为 F,若AB=6, AE=1 ,则 DF·DB=________.

答案:5 解析:由三角形相似可得DE2 =DF·DB,连接AD,则DE2 =AE·EB=1×5=5.所以DF·DB=5.

3. [2012·广东高考]如下图所示,直线PB与圆O相切于点 B,D是弦AC上的点,∠PBA=∠DBA.若AD=m,AC=n,则 AB=________.

答案: mn

解析:利用弦切角定理得到∠PBA=∠ACB,再利用三角 形相似求出.因为PB是圆的切线,所以∠PBA=∠ACB.又因 为∠PBA=∠DBA,所以∠DBA=∠ACB.又因为∠A=∠A, AB AD 所以△ABD∽△ACB,所以AC= AB ,所以AB2=AD· AC=mn, 所以AB= mn.

4. [2012·江苏高考]如图,AB是圆O的直径,D,E为圆O上 位于AB异侧的两点,连接BD并延长至点C,使BD=DC,连接 AC,AE,DE.

求证:∠E=∠C.

证明:如图,连接OD,因为BD=DC,O为AB的中点,所

以OD∥AC,于是∠ODB=∠C.
因为OB=OD,所以∠ODB=∠B.于是∠B=∠C. 因为点A,E,B,D都在圆O上,且D,E为圆O上位于AB 异侧的两点,所以∠E和∠B为同弧所对的圆周角, 故∠E=∠B.所以∠E=∠C.


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