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云南省玉溪市第一中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理


玉溪一中 2015—2016 学年下学期高二年级期中考 理科数学试卷
第一卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共有 12 题,每题 5 分,共 60 分) 1. 已知全集 U ? R ,设集合 A ? ( ) A. ?1,2? B. ?1,2? C. ?1,2? D. ?1,2?

?x | y ? ln?x ?1??,集合 B ? ?x

| x ? 2?,则 A ? ?CU B? ?

2. 某学校组织学生参加数学测试, 成绩的频率分布直方图如图, 数据的分组依次为 ?20,40? , ?40,60? , ?60,80? , ?80,100? , 若低 于 60 分的人数是 15 人,则该班的学生人数是 A. 45 3. 若 ( B. 50 C. 55 ( )

D. 60

p : a ? 2 , q : a?a ? 2? ? 0 ,则 ? p 是 ? q 的
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ( )

)

A. 充分不必要条件 C. 充要条件

4.若 f ?1? ? 1, f ?2? ? 3, f ?3? ? 4, f ?4? ? 7, f ?5? ? 11 ,? ,则 f ?10? ? A.28 5. 复数 B.76 C.123 D.199

1 ? 2i 的共轭复数是 a ? bi(a, b ? R) , i 是虛数单位,则点 ( a, b) 为 i
B. ?2,?1? C. ?2,1? D. ?1,?2? ( )

A. ?1,2? 6. 曲线

y ? x3 ? 2x 在 ?1,?1?处的切线方程为
y?2 ? 0
B. x ? D. x ?

A. x ? C. x ?

y?2?0
y?2 ?0

y?2 ? 0

7. 等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a7 值为 A. 117 B. 118 C. 119

? a8 ? ? ? a11 ? 35 ,则 S17 的
( D. 120 )

1

8. 一个几何体的顶点都在球面上,它们的正视图、侧视图、俯视图都是下图.图中圆内有一 个以圆 心为中心边长为 1 的正方形.则这个四面体的外接球的表面积是 A.2π 9. 已知函数 B.3π C.4π D.5π ( )

f ?x? ? x ? x3 ? x5 , x1, x2 x3 ? R , x1 ? x2 ? 0 , x2 ? x3 ? 0, x3 ? x1 ? 0 ,则
( ) D.正负都有可能

f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? f ?x3 ? 的值
A.一定小于 0

B.一定大于 0 C.等于 0

10.已知在圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 0 内,过点 E ?1,0? 的最长弦和最短弦分别是 AC 和 BD ,则四边形

ABCD 的面积为
A. 3 5 B. 6 5

( C. 2 15

) D. 4 15

11.

在等比数列 ?an ? 中, a1 ? a 2 ? ? ? a6 ? 10 ,

1 1 1 ? ??? ? 5 ,则 a1 a 2 a6

a1 ? a2 ? ?? a6 ?
A. 2 B. 8 C.



) D.

1 2

1 8

? 12. 在 Rt ?ABC 中, ?BCA ? 90 , CA ? CB ? 1 , P 为边 AB 上的点,且

AP ? ? AB ,若

CP ? AB ? PA? PB ,则 ? 的取值范围是
A. ? ,1? 2

( D. ?



?1 ? ? ?

B. ?

?2 ? 2 ? ,1? ? 2 ?

C. ? ,

?1 2 ? 2 ? ? 2 ? ?2

?2 ? 2 2 ? 2 ? , ? 2 ? ? 2

第二卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共有 4 题,每题 5 分,共 20 分) 13. 已知 x ? 0, y ? 0 ,且

2 1 ? ? 1 ,则 x ? 2 y 的最小值为 x y

.

14. 在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P , 则 方形与曲线 为

点 P 恰好落在正 概率

y ? x 围成的区域内(阴影部分)的


2

15. 已知定义在 R 上的奇函数 f ?x ? ,满足 f ?x ? 4? ? ? f ?x ? 且在区间 ?0,??? 上是增函数,则

f ?? 25?, f ?11?, f ?80? 的大小关系为
16. 已知 F1 , F2 分别是双曲线

。 (用符号“<”连接)

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左,右焦点,点 F1 关于渐近线的对称点恰 a 2 b2
.

好在以 F2 为圆心, OF2 ( O 为坐标原点)为半径的圆上,则该双曲线的离心率为

三、解答题(本大题共有 6 题,共 70 分. 解答应写出文字说 明,证明过程或演算步骤.) 17. (12 分) 已知函数

f ?x? ? cos2 x ? 2 3 sin x cosx ? sin 2 x 。

(Ⅰ)求 f ?x ? 的最小正周期和值域; (Ⅱ)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,若 f ? 状。

? A? 2 ? ? 2 且 a ? bc ,试判断 ?ABC 的形 ?2?

18. (12 分)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? a, an ?1 ? (Ⅰ)求 a2 , a3 , a4 ;

1 。 2 ? an

(Ⅱ)猜想数列 ?an ? 的通项公式,并用数学归纳法证明。

19.(12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, PA ? 底面 ABCD , M 是 棱 PD 的中点,且 PA ? AB ? AC ? 2 , BC ? 2 2 . (Ⅰ)求证: CD ? 平面 PAC ; (Ⅱ)如果 N 是棱 AB 上一点,且直线 CN 与平面 MAB 所成角的正弦值为

AN 10 ,求 的值. NB 5

3

x2 y 2 20. (12 分) 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点与抛物线 y 2 ? 4 3x 的焦点 F 重合,且 a b
椭圆短轴的两个端点与 F 构成正三角形. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若过点 (1,0) 的直线 l 与椭圆交于不同两点 P, Q ,试问在 x 轴上是否存在定点 E(m,0) ,使

PE ? QE 恒为定值?若存在,求出 E 的坐标及定值;若不存在,请说明理由.

21. (12 分) 已知 a ? R ,函数 (Ⅰ)若 f ?x ? 在 x

f ?x? ? x ln?? x? ? ?a ? 1?x 。

? ?e 处取得极值,求函数 f ?x ? 的单调区间;

(Ⅱ)求函数 f ?x ? 在区间 ? e2 ,?e?1 上的最大值 g ?a ? 。 22. (10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点, x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲

?

?

线 C 的极坐标方程为

? sin ? ? 4 cos?
2

? ? x ? ?2 ? ? ,直线 l 的参数方程为: ? ? y ? ?4 ? ? ?

2 t 2 ( 为参数) , t 2 t 2

两曲线相交于 M , N 两点. (Ⅰ)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; (Ⅱ)若 P?? 2,?4? ,求 PM ? PN 的值.

参考答案 一、选择题: (每题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 B 2 B 3 A 4 C 5 C 6 A 7 C 8 B 9 A 10 C 11 B 12 B 二、 填空 题 :

4

(每题 5 分,共 20 分) 13、 8 14、 16、

2 3
2

15、 f ?? 25? ? f ?80? ? f ?11?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (1) f ?x? ? cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? sin 2 x ?

3 sin 2x ? cos2x

?? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? 6? ?
所以 T ? ? , f ?x ? ? ?? 2,2? (Ⅱ)由 f ?

?? ? A? ? A? ? ? ? 2 ,得 f ? ? ? 2 sin? A ? ? ? 2 6? ?2? ? ?2?
??
? ?1 6?

所以 sin ? A ?

? ?

因为 0 ? A ? ? ,所以 A ?

?
6

?

?
2

,即 A ?

?
3
2

2 2 2 2 由余弦定理 a ? b ? c ? 2bccos A 及 a ? bc ,得 ?b ? c? ? 0 ,所以 b ? c ,所以 B ? C ?

?
3



所以 ?ABC 为等边三角形。 18. (1)由 an ?1 ?

1 1 1 可得 a2 ? ? 2 ? an 2 ? a1 2 ? a

a3 ? a4 ?

1 2?a ? 2 ? a2 3 ? 2a 1 3 ? 2a ? 2 ? a3 4 ? 3a
(2 )猜想 an ?

?n ? 1? ? ?n ? 2?a n ? ?n ? 1?a ?1 ? 1? ? ?1 ? 2?a ? a 1 ? ?1 ? 1?a

下面用数学归纳法证明: ①当 n ? 1 时,左边 ? a1 ? a ,右边 ? 所以等式成立
* ②假设当 n ? k k ? N 时,有 ak ?

?

?

?k ? 1? ? ?k ? 2?a 成立, k ? ?k ? 1?a
5

则当 n ? k ? 1 时,

ak ?1 ?

1 1 k ? ?k ? 1?a ? ? 2 ? ak 2 ? ?k ? 1? ? ?k ? 2?a ?k ? 1? ? ka k ? ?k ? 1?a

故当 n ? k ? 1 时,结论成立 由①②可知,对 n ? N ,都有 an ?
*

?n ? 1? ? ?n ? 2?a 。 n ? ?n ? 1?a

19. 证明: (Ⅰ)连结 AC, ∵在△ABC 中,AB=AC=2, ∴BC =AB +AC ,∴AB⊥AC, ∵AB∥CD,∴AC⊥CD, 又∵PA⊥底面 AB CD,∴PA⊥CD, ∵AC∩PA=A,∴CD⊥平面 PAC; (Ⅱ)如图建立空间直角坐标系, 则 A(0,0,0) ,P(0,0,2) ,B(2,0,0) ,C(0,2,0) ,D(﹣2,2,0) , ∵N 是在棱 AB 上一点, ∴设 N(x,0,0) , =(﹣x,2,0) , .
2 2 2



设直线 CN 与平面 MAB 所成角为 α , 因为平面 MAB 的法向量 =(0,1,﹣1) , ∴ = ,

解得 x=1,即 AN=1,NB=1,



=1

20. 解: (Ⅰ)由题意知抛物线的焦点

,∴

?

又∵椭圆的短轴的两个端点与 F 构成正三角形,∴b=1, ∴椭圆的方程为 ?

(Ⅱ)当直线 l 的斜率存在时,设其斜率为 k,则 l 的方程为:y=k(x﹣1) 代入椭圆方程,消去 y,可得(4k +1)x ﹣8k x+4k ﹣4=0 设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,则 ?
2 2 2 2

6

∵ ∴ +x1x2+y1y2= =m ﹣m(x1+x2) =
2

=

?

= ? 当 ,即 时, 为定值 ?

=

当直线 l 的斜率不存在时, 由 综上所述,当 可得 时, 为定值 ? ,∴

21. 解: (Ⅰ)f'(x)=ln(﹣x)+a, 由题意知 x=﹣e 时,f'(x)=0,即:f'(﹣e)=1+a=0,∴a=﹣1 ∴f(x)=xln(﹣x)﹣2x,f'(x)=ln(﹣x)﹣1 令 f'(x)=ln(﹣x)﹣1=0,可得 x=﹣e 令 f'(x)=ln(﹣x)﹣1>0,可得 x<﹣e 令 f'(x)=ln(﹣x)﹣1<0,可得﹣e<x<0 ∴f(x)在(﹣∞,﹣e)上是增函数,在(﹣e,0)上是减函数, (Ⅱ) f' (x) =ln (﹣x) +a, ∵x∈ ? e ,?e
2

?

?1

?



∴﹣x∈ e ?1 , e 2

?

?
2

, ∴ln (﹣x) ∈ ?? 1,2?
?1



①若 a≥1,则 f'(x)=ln(﹣x)+a≥0 恒成立,此时 f(x)在 ? e ,?e fmax(x)=f(﹣e﹣1)=(2﹣a)e﹣1

?

?上是增函数,
?1

②若 a≤﹣2,则 f'(x)=ln(﹣x)+a≤0 恒成立,此时 f(x)在 ? e ,?e
2

?

?上是减函数,

fmax(x)=f(﹣e2)=﹣(a+1)e2 ③若﹣2<a<1,则令 f'(x)=ln(﹣x)+a=0 可得 x=﹣e﹣a ∴当 ? e2 ? x ? ?e? a 时 f'(x)>0,
a

7

当 ? e? a ? x ? ?e?1 时 f'(x)<0 ∴f(x)在

?? e ,?e ?上递增,在 ?? e
2 ?a

?a

,?e?1 上递减,

?

∴fmax(x)=f(﹣e﹣a)=e﹣a,

??2 ? a ?e?1 , a ? 1 ? 综上: g (a) ? ?? ?a ? 1?e 2 , a ? ?2 ?e ? a ,?2 ? a ? 1 ?

22. (Ⅰ)根据 x=ρ cosθ 、y=ρ sinθ ,求得曲线 C 的直角坐标方程为 y =4x, 用代入法消去参数求得直线 l 的普通方程 x﹣y﹣2=0.

2

(Ⅱ)直线 l 的参数方程为:

(t 为参数) ,

代入 y2=4x,得到 则 t1+t2=12

,设 M,N 对应的参数分别为 t1,t2, .

,t1?t2=48,∴|PM|+|PN|=|t1+t2|=

8


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