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2014-2015学年人教A版选修2-1高中数学《2.3.2双曲线的简单几何性质(1)》课件


2.3.2 双曲线的简单几何性质 第1课时 双曲线的简单几何性质

1.双曲线有哪些简单几何性质?什么是等
问题 轴双曲线? 引航 2.如何理解离心率对双曲线开口大小的 影响?

1.双曲线的简单几何性质

标准 方程

x 2 y2 ? 2 ?1 2 a b (a>0,b ? 0)

r />
y2 x 2 ? 2 ?1 2 a b (a>0,b>0)

图象

焦点 焦距

F1(-c,0),F2(c,0) ________________

F1(0,-c),F2(0,c) ________________

|F1F2|=2c _________

标准 方程 范围 对称 性 顶点

x 2 y2 ? 2 ?1 2 a b (a>0,b ? 0)

y2 x 2 ? ?1 a 2 b2 (a>0,b>0)

x≥a x≤-a 或_____ ______

y≤-a y≥a ______或_____

原点 坐标轴 对称中心:_____ 对称轴:_______; A1(-a,0),A2(a,0) ________________ A1(0,-a),A2(0,a) ________________

标准方程

x 2 y2 ? 2 ?1 2 a b (a>0,b ? 0)

y2 x 2 ? 2 ?1 2 a b (a>0,b>0)



A1A2 长:___; B 1B 2 2a 虚轴:线段____, 实轴:线段____, 2b 半实轴长:__, a 半虚轴长:__ b 长:___;
c (1,+∞) a ∈________ e=____ b y?? x a _______ a y?? x b _______

离心率

渐近线

2.等轴双曲线

x2-y2=a2 实轴和虚轴等长的双曲线,标准方程为________.

1.判一判 (正确的打“√”,错误的打“?”)

(1)等轴双曲线的离心率为

2. (

)

2 2 y x (2)方程 (a>0,b>0)的渐近线方程为 y ? ? b x. ( ) ? ? 1 2 2 a a b 2 2 (3)离心率e越大,双曲线 x2 ? y2 ? 1 的渐近线的斜率绝对值越 a b

大.(

)

【解析】(1)正确.因为a=b,所以 c ? 2a, 所以 e ? ? 2.
2 2 a y x (2)错误.由 2 ? 2 ? 0,得 y ? ? x, 所以渐近线方程为 b a b a y ? ? x. b 2 2 b c ? a (3)正确.由 ? ? e2 ? 1 (e>1),所以e越大,渐近线 a a b y ? ? x 斜率的绝对值越大. a

c a

答案:(1)√

(2)〓

(3)√

2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
2 y (1)双曲线 x ? ? 1 的渐近线方程为____________________, 3 2

离心率e=__________. (2)双曲线x2-16y2=1的半实轴长为______,半虚轴长为______. (3)焦点在x轴上,且焦距为4的等轴双曲线方程为___________.

2 y 【解析】(1)由 x ? ? 0, 得 y ? ? 3x, 故渐近线方程为 y ? ? 3x, 3 2 y 2 由 x ? ? 1, 所以a2=1,b2=3,所以c2=a2+b2=4,故a=1,c=2,所以 3 c e ? ? 2. a 2

答案:y ? ? 3x

2

2 y (2)由x2-16y2=1,得 x ? ? 1, 1 16 所以a2=1,b2= 1 , 即a=1,b= 1 . 4 16 1 答案:1 4 2

2 2 x y (3)因为是焦点在x轴上的等轴双曲线,所以方程设为 2 ? 2 ? 1, a a 2 2 则2a2=4,所以a2=2,即双曲线方程为 x ? y ? 1. 2 2 2 2 答案: x ? y ? 1 2 2

【要点探究】 知识点 双曲线的简单几何性质

1.对双曲线渐近线的四点说明 (1)随着x和y趋向于无穷大,双曲线将无限地与渐近线接近, 但永远没有交点. (2)由渐近线方程可确定a与b或b与a的比值,但无法确定焦点

位置.

(3)求渐近线的方程,常把双曲线方程右边的常数写成0,分解 因式即得渐近线方程,若已知渐近线方程mx+ny=0,求双曲线
2 2 x y 方程,常将双曲线方程设为 2 ? 2 ? ? 求解. n m 2 2 (4)与双曲线 x2 ? y2 ? 1 (a>0,b>0)共渐近线的双曲线系方程 a b 2 2 x y 可设为 ? 2 ? ? (λ ≠0,a>0,b>0). 2 a b

2.离心率对双曲线开口大小的影响
2 2 x y 以双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)为例. a b

c a 2 ? b2 b 2 故当 b 的值越大,渐近线 b e? ? ? 1? 2 , y? x 的 a a a a a

斜率越大,双曲线的开口越大,e也越大,所以e反映了双曲线 开口的大小,即双曲线的离心率越大,它的开口就越大.

【知识拓展】共轭双曲线 以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫做原
2 2 y2 x 2 x y 双曲线的共轭双曲线. 2 ? 2 ? 1 与 2 ? 2 ? 1 互为共轭双曲 b a a b

线,其性质如下: (1)双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线. (2)双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距 .
2 2 2 2 x y x y (3)与 2 ? 2 ? 1 具有相同渐近线的双曲线系方程为 2 ? 2 ? k a b a b

(k≠0)

【微思考】 (1)双曲线的渐近线确定时,其标准方程能确定吗? 提示:不能,每条双曲线对应惟一一组渐近线,但当渐近线确 定时,它对应无数条双曲线且焦点可能在x轴上,也可能在y轴 上.

(2)离心率与渐近线的倾斜角之间存在怎样的关系?
2 2 x y 提示:不妨设双曲线的方程为 2 ? 2 ? 1 a b

(a>0,b>0),一条渐近线l方程:
b x, 其倾斜角为θ,过F2(c,0) a bc 作F2M⊥l于M,则 F2 M ? 2 2 ? b, a ?b 所以OM=a,因此 e ? c ? 1 . a cos ? y?

【即时练】 求双曲线9x2-4y2=36的实轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率、 渐近线方程. 【解析】将已知的方程先化为标准式,即由9x2-4y2=36得
x 2 y2 然后 ? ? 1, 可知a=2,b=3,利用a,c,b的关系,得到 c ? 13, 4 9

得到实轴长2a=4、虚轴长2b=6、焦点坐标 ? 13,0 , 13,0 、离
心率 e ? 13 、 渐近线方程 y ? ? 3 x.
2
2

?

??

?

【题型示范】
类型一 利用几何性质求双曲线的标准方程

【典例1】
(1)(2013?广东高考)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为

F(3,0),离心率等于 3 , 则C的方程是(
2

)

x 2 y2 A. - ?1 4 5 x 2 y2 C. - ? 1 2 5

x 2 y2 B. - ? 1 4 5 x 2 y2 D. - ?1 2 5

(2)(2014?长春高二检测)已知双曲线过点 P ?3 2, 4 ,它的渐 近线方程为 y ? ? 4 x.
3

?

?

①求双曲线的标准方程; ②设F1和F2是该双曲线的左、右焦点,点P在双曲线上,且 |PF1|?|PF2|=55,求∠F1PF2的余弦值.

【解题探究】1.题(1)由双曲线的离心率,能得到什么等量关

系?
2.题(2)①由渐近线方程求标准方程的一般思路是什么?

②由条件|PF1|?|PF2|=55可想到什么?
【探究提示】1.已知离心率 e ?
c 的值,可根据 c 得出a的值, a a

进而得出b的值.
2.①可分焦点在x轴上,y轴上分别设出方程,再由渐近线方程 建立a,b的关系求解,或利用共渐近线的双曲线方程求解. ②一般考虑双曲线的定义,||PF1|-|PF2||=2a.

2 2 x y 【自主解答】(1)选B.设C的方程为 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0),由 a b 2 c 3 x 2 2 2 题意知 c ? 3,e ? ? ,则a=2,b =c -a =5,所求方程为 - a 2 4 2 y ? 1. 5

(2)①方法一:当焦点在x轴上时,设双曲线的标准方程为
x 2 y2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0), 2 a b ?18 16 ? 2 ? 1, 2 ? ? a b 由题意得 ? 解得a2=9,b2=16. ?b ? 4 , ? ?a 3 2 2 x y 所以双曲线的方程为 ? ? 1. 9 16

当焦点在y轴上时,设双曲线的标准方程为:
y2 x 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0), 2 a b
?16 18 ? 2 ? 1, 2 ? ? a b 由题意得: ? 无解. ?a ? 4 ? ?b 3 2 2 x y 故双曲线的方程为 ? ? 1. 9 16

方法二:因为双曲线的渐近线方程为 y ? ? 4 x.

设所求双曲线的方程为: x ? y ? m, 由于 P(?3 2, 4) 在该双曲
x 2 y2 线上,代入方程解得m=1,所以所求双曲线方程为: ? ? 1. 9 16 9 16

2

2

3

②由双曲线定义:||PF1|-|PF2||=6,在△F1PF2中,由余弦定理
得:
PF1 ? PF2 ? F1F2 cos?F1PF2 ? 2 PF1 | PF2 |
2 2 2 2

?

? PF1 ? | PF2 |? ? 2 PF1 PF2 ? F1F2
2 PF1 PF2
23 . 55

2

?

23 , 55

所以 cos ?F1PF2 ?

【方法技巧】巧设双曲线方程的六种常用方法
2 2 x y (1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为 2 ? 2 ? 1 a b

(a>0,b>0).
2 2 y x (2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为 2 ? 2 ? 1 a b

(a>0,b>0).
2 2 x y x y (3)与双曲线 共焦点的方程可设为 ? ?1 ? 2 ?1 2 2 2 a ?? b ?? a b 2 2

(λ≠0,-b2<λ<a2).

2 2 2 2 x y x y (4)与双曲线 2 ? 2 ? 1 具有相同渐近线的方程可设为 2 ? 2 ? ? a b a b

(λ≠0). (5)渐近线为y=kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0). (6)渐近线为ax〒by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ (λ≠0).

【变式训练】已知双曲线的渐近线方程为2x±3y=0. (1)若双曲线过点 P

?

6, 2 , 求双曲线的标准方程.

?

(2)若双曲线的焦距是 2 13, 求双曲线的标准方程.
x 2 y2 【解题指南】可设出双曲线方程的统一形式 ? ? ? (λ≠ 9 4

0),然后再根据条件建立关于λ的方程求解.

【解析】双曲线的渐近线方程为 y ? ? 2 x, 即 x ? y ? 0. 设双曲线的方程为 x ? y ? ? (λ≠0).
9 4
2 2

3

3

2

(1)因为双曲线过点 P 所以 ? ? ? 1 .
3

?

6 4 所以 ? ? ?, 6, 2 , 9 4

?

2 2 y x 故所求双曲线的标准方程为 ? ? 1. 4 3 3

(2)若λ>0,则a2=9λ,b2=4λ,c2=a2+b2=13λ, 由题设 2c ? 2 13, 则λ=1.
2 2 x y 故所求双曲线的标准方程为 ? ? 1. 9 4

若λ<0,则a2=-4λ,b2=-9λ,c2=a2+b2=-13λ, 由题设 2c ? 2 13, 则λ=-1.
2 2 y x 故所求双曲线的标准方程为 ? ? 1. 4 9

【补偿训练】已知双曲线与椭圆x2+4y2=64共焦点,它的一条 渐近线方程为 x ? 3y ? 0,求双曲线的标准方程. 【解题指南】根据渐近线设出双曲线方程的形式,根据题目条 件代入求解.

【解析】方法一:由于双曲线的一条渐近线方程为 x ? 3y ? 0, 则另一条为 x ? 3y ? 0. 可设双曲线方程为x2-3y2=λ(λ>0),
2 2 x 2 y2 x y 即 ? ? 1, 由椭圆方程 ? ? 1 可知 ? ? 64 16 3 2 2 2

c =a -b =64-16=48.

双曲线与椭圆共焦点,则 ? ? ? ? 48, 所以λ=36. 故所求双曲线方程为 x ? y ? 1.
36 12
2 2

3

方法二:双曲线与椭圆共焦点,
2 2 x y 可设双曲线方程为 ? ? 1. 64 ? ? ? ? 16 由渐近线方程 y ? 1 x 可得 ? ? 16 ? 1 , 所以λ=28. 3 64 ? ? 3 2 2 x y 故所求双曲线方程为 ? ? 1. 36 12

类型二

双曲线的离心率

【典例2】
2 2 x y (1)双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的一条渐近线方程为 y ? 1 x, 2 a b

则该双曲线的离心率为_______.
2 2 x y (2)(2013?湖南高考)设F1,F2是双曲线C: - 2 ? 1 (a>0,b>0) 2 a b

的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最 小内角为30°,则C的离心率为_________.

【解题探究】1.题(1)由渐近线方程如何求离心率? 2.题(2)条件|PF1|+|PF2|=6a的作用是什么? 【探究提示】1.利用渐近线方程可得a,b之间的关系,再由 c2=a2+b2,可得a,c之间的关系,即求得e的值. 2.利用定义得||PF1|-|PF2||=2a,借助于条件|PF1|+|PF2|=6a,

可求得|PF1|,|PF2|的值.

【自主解答】(1)由已知得 b ? 1 ,
a 2
2 2 b 1 a ? b 5 2 所以 ( ) ? , 故 ? , 2 a 4 a 4

2 5 c 即 2 ? 5 , 所以 e ? . 2 a 4

答案: 5
2

(2)不妨设|PF1|>|PF2|,则|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|+|PF2|=6a, 得|PF1|=4a,|PF2|=2a,|F1F2|=2c,则在△PF1F2中,∠PF1F2= 30°,由余弦定理得(2a)2=(4a)2+(2c)2-2(4a)(2c)cos 30°, 整理得 e- 3 ? 0, 所以 e ? 3. 答案: 3

?

?

2

【延伸探究】题(2)条件“若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小
内角为30°”改为“若PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°”结果如何?

【解析】在直角三角形PF1F2中,由题设可知:|F1F2|=2c,|PF2|
=c,|PF1|=
c 又 |PF |-|PF |=2a, 所以 故 e ? ? 1 2 3c, 2a ? 3c ? c, a

2 ? 3 ? 1. 3 ?1

答案: 3 ? 1

【方法技巧】求双曲线离心率的两种方法

(1)直接法:若已知a,c可直接利用 e ? c 求解,若已知a,b,可利
用 e ? 1 ? ( b ) 2 求解.
a
a

(2)方程法:若无法求出a,b,c的具体值,但根据条件可确定a,
b,c之间的关系,可通过b2=c2-a2,将关系式转化为关于a,c的

齐次方程,借助于 e ? c ,转化为关于e的n次方程求解.
a

2 x 【变式训练】(2014?四川高考)双曲线 -y2=1的离心率 4

等于_________. 【解析】 e ? ?
c a 4 ?1 5 ? . 2 2

答案: 5
2

x 2 y2 【补偿训练】已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的左、右焦点 a b

分别为F1,F2,P是双曲线上一点,且PF1⊥PF2,|PF1|?|PF2|=

4ab,则双曲线的离心率是__________.
【解析】因为PF1⊥PF2,
? PF1 2 ? PF2 2 ? 4c 2 , ? 所以由 ? ? PF1 gPF2 ? 4ab, ? ? ? PF1 ? | PF2 | ? 2a,

得4c2-4a2=8ab,所以b=2a,c2=5a2,故 答案: 5

e ? 5.

类型三

双曲线的渐近线及应用

【典例3】
x 2 y2 (1)(2014?双鸭山高二检测)若双曲线 2 ? ? 1 的一条渐近 a 3

线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则该双曲线的实轴长为
( )

A.1

B.2

C.3

D.6

2 2 x y (2)(2014?长春高二检测)若双曲线 ? ? 1 的渐近线l方程 9 m 5 为 y ? ? x, 则双曲线焦点F到渐近线l的距离为( ) 3

A.2

B. 14

C.2 5

D. 5

【解题探究】1.题(1)由双曲线的标准方程如何得出渐近线方
程?

2.题(2)中点到直线的距离公式是什么?
【探究提示】1.可令标准方程中的1为0,然后因式分解即可得

出渐近线方程.
2.点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离 d ? Ax 0 ? By0 ? C . 2 2
A ?B

2 2 x y 【自主解答】(1)选B.由双曲线 2 ? ? 1, 得渐近线方程为 a 3

y??

3 即 3 不妨取渐近线 y? x, x, a a

2 2 3x ? ay ? 0, 圆(x-2) +y

=4的圆心为(2,0),半径r=2.
所以有: ( 2 3 ) 2 ? 12 ? 22 , 解得a=1. 2
3? a

故实轴长为2.

2 2 x y (2)选D.由双曲线 ? ? 1, 9 m

得渐近线方程为 y ? ? m x, 所以
3 2 2 x y 所以双曲线方程为 ? ? 1, 9 5

m 5 即m=5, ? , 3 3

因此c2=9+5=14, c ? 14, 不妨取焦点 F 14,0 , 渐近线方程l: y ? 即 5x ? 3y ? 0, 所以F到l的距离 d ?

?

?

5 x. 3

5 g 14 ? 5. 5?9

【方法技巧】求双曲线渐近线方程的两种方法

2 2 x y 【变式训练】(2014?邢台高二检测)以双曲线 ? ? 1 的右 9 16

焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是( A.x2+y2-10x+9=0 C.x2+y2+10x+16=0 B.x2+y2-10x+16=0 D.x2+y2+10x+9=0

)

x 2 y2 【解析】选A.由双曲线 ? ? 1, 9 16

得双曲线的一条渐近线为 y ? 4 x, 即4x-3y=0,
3

a2=9,b2=16,所以c2=a2+b2=25,c=5, 右焦点为(5,0),右焦点到渐近线的距离为:
4 ? 5 ? 3? 0 4 ? ? ?3?
2 2

? 4,

所以圆的方程为(x-5)2+y2=42,即x2+y2-10x+9=0.

2 2 x y 【补偿训练】已知双曲线C: ? 2 ? 1 的焦距为10,点P(2,1) 2 a b

在C的渐近线上,则C的方程为(
x 2 y2 A. ? ?1 20 5 x 2 y2 C. ? ?1 80 20 x 2 y2 B. ? ?1 5 20 x 2 y2 D. ? ?1 20 80

)

2 2 x y 【解析】选A.设双曲线C: 2 ? 2 ? 1 的半焦距为c, a b

则2c=10,c=5.
又因为C的渐近线为 y ? ? b x, 点P(2,1)在C的渐近线上, 所以 1 ? b g2, 即a=2b,
a a

又c2=a2+b2,所以 a ? 2 5,b ? 5,
2 2 x y 所以C的方程为 ? ? 1. 故选A. 20 5

【易错误区】忽视双曲线焦点位置致误
2 2 4 x y 【典例】已知双曲线 ? ? 1 的一条渐近线方程为 y ? x, 3 m n

则该双曲线的离心率e为________.

【解析】当双曲线的焦点在x轴上时,
4 因为渐近线方程为 y ? x, 所以 b ? 4 , 3 a 3

所以离心率 e ? c ? 1 ? ( b ) 2 ? 1 ? ( 4 ) 2 ? 5 .
a a 3 3

当双曲线的焦点在y轴上时,
b 3 因为渐近线方程为 y ? 4 x,所以 a ? 4 这时 ? . 3 b 3 a 4

所以离心率 e ? c ? 1 ? ( b ) 2 ? 1 ? ( 3 ) 2 ? 5 .
a a 4 4

故双曲线的离心率为 5 或 5 . 答案:
5 或 5 3 4 3 4

【常见误区】 错解
5 3

错因剖析 解答时,若认为焦点在x轴上,即忽视阴影处焦点 在y轴上的情况,导致答案不全的错误

【防范措施】
1.条件要考虑全面

对题目条件的分析要透彻、全面,一般情况下若只给出渐近线
方程、焦距、离心率等条件,要注意焦点位置的讨论,如本例中

分焦点在x轴上或y轴上两种情况讨论.
2.基础知识的掌握要牢固

对基本知识的学习要深入、全面,遇到什么样的条件应如何考
虑,要加强训练.如本例中,应熟悉渐近线方程及离心率与a,b,c 之间的关系.

【类题试解】已知双曲线的渐近线方程为5x±4y=0,实轴长为 8,则双曲线的标准方程为________.
2 2 x y 【解析】(1)若焦点在x轴上,设双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 (a>0, a b ?b 5 ? , 所以a=4,b=5, b>0),则 ? ?a 4 ? ? 2a ? 8, 2 2 x y 所求双曲线的标准方程为 ? ? 1. 16 25

2 2 y x (2)若焦点在y轴上,设双曲线的标准方程为 2 ? 2 ? 1 (a>0,b a b

>0),
2 2 ?a 5 16 y x ? , ? 则 ? b 4 所以 a ? 4, b ? , 所求双曲线的标准方程为 ? 5 16 256 ? ? 2a ? 8, 25

? 1.
2 2 2 2 y x x y 答案: ? ? 1 或 ? ?1 256 16 16 25 25


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