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2018届高三数学一轮复习第十二章复数算法推理与证明第一节数系的扩充与复数的引入课件理


理数
课标版

第一节 数系的扩充与复数的引入

教材研读
1.复数的有关概念
内容 复数的概念 意义 备注

设a,b都是实数,形如① a+bi 的数叫复数,其中 a+bi为实数?④ b=0 , 实部为② a ,虚部为③ b ,i叫做虚数单位 a+bi为虚数?⑤ b≠0 , a+bi为纯虚数?⑥ a=0且b≠0

复数相等 共轭复数 复平面

a+bi=c+di?⑦ a=c且b=d (a,b,c,d∈R) a+bi与c+di共轭?⑧ a=c且b=-d (a,b,c,d∈R) 建立平面直角坐标系来表示复数的平面,叫做复 平面,x轴叫做⑨ 实轴 ,y轴叫做⑩ 虚轴 复数a(a为实数)的共轭复数是a 实轴上的点都表示实数;除了原点外 ,虚轴上的点都表示纯虚数 |z|=|a+bi|=? a 2 ? b2

复数的模

OZ 的模叫做复数z=a+bi(a,b∈R )的模, 向量?

?

记作|z|

2.复数的几何意义
OZ . 复数z=a+bi(a,b∈R)? 复平面内的点Z(a,b)? 向量?
?

3.复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 (i)加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=? (ii)减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=? (iii)乘法:z1· z2=(a+bi)· (c+di)=? (a+c)+(b+d)i ; (a-c)+(b-d)i ; (ac-bd)+(ad+bc)i ;

z1 a ? bi (a ? bi)(c ? di) (iv)除法:? =? =? =? z2 c ? di (c ? di)(c ? di)

? ?

ac ? bd bc ? ad c2 ? d 2 + c2 ? d 2 i

(c+di≠0).

(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=? z2+z1 , (z1+z2)+z3=? z1+(z2+z3) .

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)方程x2+x+1=0没有解.?(×) (2)复数z=a+bi(a,b∈R)中,虚部为bi.?(×)

(3)复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小.?(×)
(4)原点是实轴与虚轴的交点.?(√) (5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是 复数对应的向量的模.?(√)

z =? ( 1.若复数z=? (i是虚数单位),则?

2i 1? i

)

A.-1+i
C.1+i

B.-1-i
D.1-i

答案 B 本小题考查复数的运算以及共轭复数的概念.
2i(1 ? i) 2i =i(1+i)=-1+i, 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) ∴? z =-1-i.

z=? =?

m2 ? i 2.如果复数? 是纯虚数,那么实数m等于? ( 1 ? mi

)

A.-1 C.0或1

B.0 D.0或-1
m 2 ? i (m 2 ? i)(1 ? mi) m 2 ? m ? (1 ? m3 )i ? =? =? ,令m2+m=0,得m=0或-1. 2 2 1 ? mi 1? m 1? m

答案 D

经检验满足题意.故选D.

z· 3.已知复数z=? ,则? i在复平面内对应的点位于? (

1 1? i

)

A.第一象限 C.第三象限

B.第二象限 D.第四象限
1 1? i 1? i 2

答案 B ∵z=? =? ,
1 i 2 2 1 1 ∴? i=-? +? i. z· 2 2 1 1 ? 1 1 ? ,在第二象限,故选B. 实部为-? ,虚部为? ,对应点为? ?? , ? 2 2 ? 2 2?

∴? +? , z =?

2i3 4.i是虚数单位,则? = 1? i

.

答案 -1-i 解析
2i3 ?2i (?2i)(1 ? i) ? =? =? =-1-i. 1 ? i 1 ? i (1 ? i)(1 ? i)

i?2 5.设复数? =a+bi(a,b∈R),则a+b= 1? i

.

答案 1 解析 依题意有? =? =1.
i ? 2 (i ? 2)(1 ? i) 1 3 1 3 1 3 =-? +? i=a+bi,所以a=-? ,b=? ,a+b=-? +? 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 2 2 2 2 2 2

考点突破
考点一 复数的有关概念

典例1 (1)(2016课标全国Ⅰ,2,5分)设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|
=? ( A.1 ) B.?2 C.?3 D.2

(2)(2016福建漳州二模)若复数z满足i· z=1+i,则z的共轭复数的虚部是?
( A.i ) B.1 C.-i D.-1

答案 (1)B (2)B
解析 (1)∵x,y∈R,(1+i)x=1+yi, ∴x+xi=1+yi,
? x ? 1, ∴? ? y ? 1,

?

12 ? 12 =?2 .故选B. ∴|x+yi|=|1+i|=?

(2)z=? =? 2

1 ? i (1 ? i) ? i ?1 ? i z =1+i,其虚部为1.故选B =? =1-i,所以? i i ?1

规律总结
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应 该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的 方程(不等式)组即可. (2)解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚 部. (3)解决复数模的问题可以根据模的性质把积、商的模转化为模的积、

商.

1-1 设复数z=-1-i(i为虚数单位),z的共轭复数为? ?|=?( z ,则|(1-z)· z A.? 10 B.2 C.? 2 D.1

)

答案 A 解法一:∵z=-1-i,
∴? z =-1+i, ∴(1-z)· ? (-1+i)=-3+i, z =(2+i)· ∵|-3+i|=?= ?2 , ? 12 (?3)
z |=? ∴|(1-z)· ? .故选A. 10
10

解法二:|(1-z)· ? |z ?|=|2+i|· |z|=? =?,10 故选A. z |=|1-z|· 5 ×? 2

1-2 设m∈R,复数z=m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则m= . 答案 -2 解析 令m2+m-2=0,得m=-2或1,当m=1时,虚部为0,z为实数,所以m=-2.

考点二 复数的几何意义
典例2
2i (1)(2016河北五校联盟质检)在复平面内与复数z=? 所对应的 1? i

点关于实轴对称的点为A,则A对应的复数为? (

)

A.1+i

B.1-i

C.-1-i

D.-1+i

(2)(2016北京,9,5分)设a∈R,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于 实轴上,则a= 答案 (1)B (2)-1
2i 2i(1 ? i) 解析 (1)因为z=? =? =i(1-i)=1+i, 1 ? i (1 ? i)(1 ? i)

.

所以A点坐标为(1,-1),其对应的复数为1-i. (2)(1+i)(a+i)=(a-1)+(a+1)i,

∵a∈R,该复数在复平面内对应的点位于实轴上,
∴a+1=0,∴a=-1.

方法技巧
OZ (1)复数z、复平面上的点Z及向量? 间的相互联系:z=a+bi(a,b∈R)? OZ Z(a,b)?? .
? ?

(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、 向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题简 单化.

2-1

i 复数z=? 2 (i为虚数单位),z在复平面内所对应的点在? ( (?2 ? i)

)

A.第一象限 C.第三象限

B.第二象限 D.第四象限

答案 A
=? =?

i i 因为z=? 2 =? (?2 ? i) 4 ? 4i ? 1

i i(3 ? 4i) 3 ? 4i 25 4 3 =?+?i, 25 25

所以z在复平面内所对应的点为? ? ,

? 4 3 ? ? ,在第一象限,故选A. ? 25 25 ?

2-2 已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它们在复平面上对应的点分别
OC =λ? OA+μ? OB(λ,μ∈R),则λ+μ的值是 为A,B,C,若?
? ? ?

.

答案 1 解析 由条件得
? OC =(3,-4),? OA =(-1,2),? OB =(1,-1),
OC =λ? OA+μ? OB 得 根据?
? ? ? ? ? ?

(3,-4)=λ(-1,2)+μ(1,-1)=(-λ+μ,2λ-μ),
?? λ ? μ ? 3, ∴? ?2 λ ? μ ? ?4, ? λ ? ?1, 解得 ? ? μ ? 2.

?

?

∴λ+μ=1.

考点三 复数的代数运算
典例3 (1)(2016课标全国Ⅲ,2,5分)若z=1+2i,则? = A.1 B.-1
4i z z ?1
?

(

)

C.i

D.-i

a ? i7 (2)(2016广东3月测试)若z=(a-?2 )+ai为纯虚数,其中a∈R,则? =? ( 1 ? ai

)

A.i
C.-i

B.1
D.-1

? ? (3)已知i是虚数单位, ? 2 ? ?1? i ?

?

2 016

1? i ? = +? ? ? ? 1? i ?

?

6

.

答案

(1)C (2)C (3)0

z =(1+2i)(1-2i)=5, 解析 (1)∵z?

∴?=?=i,故选C. (2)∵z为纯虚数,∴a=?2 ,
2 ? i ( 2 ? i)(1 ? 2i) ?3i a ? i7 ∴?=?= =?=-i. 1 ? ai 1 ? 2i (1 ? 2i)(1 ? 2i) 3

4i 4i z z ?1 4

?

?? 2 ? ? (3)原式= ?? +? ? ? 1? i ? ? ? ?? ? 1 008 6 2 ? ? = ? +i ? ? ?2i ?

?

2 1 008

?1? i ? ? ? ? 1? i ?

6

?

=i1 008+i6 =i4×252+i4+2

=1+i2=0.

方法技巧
(1)复数四则运算的解答策略 复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算,除法的关键是分 子、分母同乘分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式. (2)几个常用结论 在进行复数的代数运算时,记住以下结论,可提高计算速度.
1? i 1? i ①(1±i)2=±2i;? =i;? =-i. 1? i 1? i

②i(a+bi)=-b+ai,a,b∈R. ③i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,n∈N*.

z ,则z· z =? ( 3-1 i为虚数单位,若复数z=? ,z的共轭复数为? ?

1 ? 2i 2?i

)

A.1 C.?
25 9

B.-1 D.-?
(1 ? 2i)(2 ? i) z =i· =i,z· ? (-i)=-i2=1,故选A. (2 ? i)(2 ? i)
25 9

答案 A 依题意得z=? 3-2

z2 ? 2z 已知复数z=1+i,则? = z ?1 z 2 ? 2 z (1 ? i) 2 ? 2(1 ? i) ?2 ? =? =?=2i. z ?1 i i

.

答案 2i 解析

z ,若z=1-i(i为虚数 3-3 (2016辽宁师大附中期中)设复数z的共轭复数为?

单位),则? +z2的虚部为 答案 -1

z z

.

解析 ∵z=1-i(i为虚数单位),
z 1? i 1? i z (1 ? i) 2 =? -2i (1 ? i)(1 ? i) 2i =? -2i=-i, 2

∴? +z2=? +(1-i)2

故其虚部为-1.


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