当前位置:首页 >> 数学 >>

2014年高考一轮复习数学教案:2.4 函数的奇偶性


2.4

函数的奇偶性

●知识梳理 1.奇函数:对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x) 〔或 f(x) + f(-x)=0〕 ,则称 f(x)为奇函数. 2.偶函数:对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x) 〔或 f(x) -f(-x)=0〕 ,则称 f(x)为偶函数. 3.奇、

偶函数的性质 (1)具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称(也就是说,函数为奇函数或偶函数 的必要条件是其定义域关于原点对称). (2)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称. (3)若奇函数的定义域包含数 0,则 f(0)=0. (4)奇函数的反函数也为奇函数. (5)定义在(-∞,+∞)上的任意函数 f(x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶 函数之和. ●点击双基 1.下面四个结论中,正确命题的个数是 ①偶函数的图象一定与 y 轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图象关 于 y 轴对称 ④既是奇函数,又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(x∈R) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:①不对;②不对,因为奇函数的定义域可能不包含原点;③正确;④不对,既是 奇函数又是偶函数的函数可以为 f(x)=0〔x∈(-a,a) 〕. 答案:A 2.已知函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,那么 g(x)=ax3+bx2+cx 是 A.奇函数 B.偶函数 C.既奇且偶函数 D.非奇非偶函数 解析:由 f(x)为偶函数,知 b=0,有 g(x)=ax3+cx(a≠0)为奇函数. 答案:A 3.若偶函数 f(x)在区间[-1,0]上是减函数,α 、β 是锐角三角形的两个内角,且 α ≠β ,则下列不等式中正确的是 A.f(cosα )>f(cosβ ) B.f(sinα )>f(cosβ ) C.f(sinα )>f(sinβ ) D.f(cosα )>f(sinβ ) 解析:∵偶函数 f(x)在区间[-1,0]上是减函数,∴f(x)在区间[0,1]上为增 函数.由α 、β 是锐角三角形的两个内角, ∴α +β >90°,α >90°-β .1>sinα >cosβ >0. ∴f(sinα )>f(cosβ ). 答案:B 4.已知 (x) f =ax2+bx+3a+b 是偶函数, 且其定义域为 [a-1, , a=___________, 2a] 则 b=___________. 解析:定义域应关于原点对称, 故有 a-1=-2a,得 a=

1 . 3

又对于所给解析式,要使 f(-x)=f(x)恒成立,应 b=0. 答案:

1 3

0

5.给定函数:①y=

1 (x≠0) ;②y=x2+1;③y=2x;④y=log2x;⑤y=log2(x+ x 2 ? 1 ). x

在 这 五 个 函 数 中 , 奇 函 数 是 _________ , 偶 函 数 是 _________ , 非 奇 非 偶 函 数 是 __________. 答案:①⑤ ② ③④ ●典例剖析 【例 1】 已知函数 y=f(x)是偶函数,y=f(x-2)在[0,2]上是单调减函数,则 A.f(0)<f(-1)<f(2) B.f(-1)<f(0)<f(2) C.f(-1)<f(2)<f(0) D.f(2)<f(-1)<f(0) 剖析:由 f(x-2)在[0,2]上单调递减, ∴f(x)在[-2,0]上单调递减. ∵y=f(x)是偶函数, ∴f(x)在[0,2]上单调递增. 又 f(-1)=f(1) ,故应选 A. 答案:A 【例 2】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=|x+1|-|x-1|; (2)f(x)=(x-1) ?

1? x ; 1? x

(3)f(x)=

1 ? x2 ; | x ? 2 | ?2
( x ? 0), ( x ? 0).

? x(1 ? x) (4)f(x)= ? ? x(1 ? x)

剖析:根据函数奇偶性的定义进行判断. 解: (1)函数的定义域 x∈(-∞,+∞) ,对称于原点. ∵f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x) , ∴f(x)=|x+1|-|x-1|是奇函数. (2)先确定函数的定义域.由

1? x ≥0,得-1≤x<1,其定义域不对称于原点,所以 1? x

f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (3)去掉绝对值符号,根据定义判断.

?1 ? x 2 ? 0, ?? 1 ? x ? 1, 由? 得? ?| x ? 2 | ?2 ? 0, ? x ? 0且x ? ?4.
故 f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1] ,关于原点对称,且有 x+2>0.从而有 f(x)=

1 ? (? x) 2 1? x2 1? x2 1? x2 = ,这时有 f(-x)= =- =-f(x) ,故 f(x)为奇函 x?2?2 x x ?x

数. (4)∵函数 f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞) ,并且当 x>0 时,-x<0, ∴f(-x)=(-x) [1-(-x) ]=-x(1+x)=-f(x) (x>0). 当 x<0 时,-x>0,∴f(-x)=-x(1-x)=-f(x) (x<0). 故函数 f(x)为奇函数. 评述: (1)分段函数的奇偶性应分段证明. (2)判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式. 【例 3】 (2005 年北京东城区模拟题)函数 f(x)的定义域为 D={x|x≠0},且满足对 于任意 x1、x2∈D,有 f(x1?x2)=f(x1)+f(x2). (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明; (3)如果 f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数, 求 x 的取值范围. (1)解:令 x1=x2=1,有 f(1?1)=f(1)+f(1) ,解得 f(1)=0. (2)证明:令 x1=x2=-1,有 f[ (-1)?(-1) ]=f(-1)+f(-1).解得 f(-1) =0. 令 x1=-1,x2=x,有 f(-x)=f(-1)+f(x) ,∴f(-x)=f(x).∴f(x)为偶函数. (3)解:f(4?4)=f(4)+f(4)=2,f(16?4)=f(16)+f(4)=3. ∴f(3x+1)+f(2x-6)≤3 即 f[ (3x+1) (2x-6) ]≤f(64).(*) ∵f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴(*)等价于不等式组

?(3x ? 1)( 2 x ? 6) ? 0, ? ?(3x ? 1)( 2 x ? 6) ? 64 ?(3x ? 1)( 2 x ? 6) ? 0, 或? ?? (3x ? 1)( 2 x ? 6) ? 64,

1 ? ? x ? 3或x ? ? 3 , ?? 1 ? x ? 3, ? ? 或? 或? 3 7 ?x ? R . ?? ? x ? 5 ? ? 3 ?

7 1 1 ≤x<- 或- <x<3. 3 3 3 7 1 1 ∴x 的取值范围为{x|- ≤x<- 或- <x<3 或 3<x≤5}. 3 3 3
∴3<x≤5 或- 评述:解答本题易出现如下思维障碍: (1)无从下手,不知如何脱掉“f”.解决办法:利用函数的单调性. (2)无法得到另一个不等式.解决办法:关于原点对称的两个区间上,奇函数的单调性 相同,偶函数的单调性相反.

深化拓展
已知 f(x) 、g(x)都是奇函数,f(x)>0 的解集是(a2,b) ,g(x)>0 的解集是(

a2 , 2

b b ) , >a2,那么 f(x) ?g(x)>0 的解集是 2 2

a2 b , ) 2 2 b b C.(a2, )∪(- ,-a2) 2 2
A.(

B.(-b,-a2) D.(

a2 ,b)∪(-b2,-a2) 2

? f ( x) ? 0, ? f ( x) ? 0, 提示:f(x) ?g(x)>0 ? ? 或? ? g ( x) ? 0 ? g ( x) ? 0.
∴x∈(a2, 答案:C 【例 4】 (2004 年天津模拟题)已知函数 f(x)=x+

b b )∪(- ,-a2). 2 2
p +m(p≠0)是奇函数. x

(1)求 m 的值. (2) (理)当 x∈[1,2]时,求 f(x)的最大值和最小值. (文)若 p>1,当 x∈[1,2]时,求 f(x)的最大值和最小值. 解: (1)∵f(x)是奇函数, ∴f(-x)=-f(x). ∴-x-

p p +m=-x- -m. x x

∴2m=0.∴m=0. (2) (理) (ⅰ)当 p<0 时,据定义可证明 f(x)在[1,2]上为增函数.∴f(x)max= f(2)=2+

p ,f(x)min=f(1)=1+p. 2
p ]上是减函数,在[ p ,+∞)

(ⅱ)当 p>0 时,据定义可证明 f(x)在(0, 上是增函数. ①当

p <1,即 0<p<1 时,f(x)在[1,2]上为增函数,

∴f(x)max=f(2)=2+ ②当

p ,f(x)min=f(1)=1+p. 2

p ∈[1,2]时,f(x)在[1,p]上是减函数.在[p,2]上是增函数. p )=2 p .

f(x)min=f(

f(x)max=max{f(1) ,f(2)}=max{1+p,2+ 当 1≤p≤2 时,1+p≤2+ ③当

p }. 2

p p ,f(x)max=f(2) ;当 2<p≤4 时,1+p≥2+ ,f(x)max=f(1). 2 2

p >2,即 p>4 时,f(x)在[1,2]上为减函数,∴f(x)max=f(1)=1+p,

f(x)min=f(2)=2+ (文)解答略.

p . 2

评述:f(x)=x+

p (p>0)的单调性是一重要问题,利用单调性求最值是重要方法. x

深化拓展
f(x)=x+

p 的单调性也可根据导函数的符号来判断,本题如何用导数来解? x

●闯关训练 夯实基础 1.定义在区间(-∞,+∞)上的奇函数 f(x)为增函数,偶函数 g(x)在区间 [0,+∞)上的图象与 f(x)的图象重合,设 a<b<0,给出下列不等式,其中成立的是 ①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b) ②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b) ③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a) ④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a) A.①④ B.②③ C.①③ D.②④ 解析:不妨取符合题意的函数 f(x)=x 及 g(x)=|x|进行比较,或一般地 g(x)

? f ( x) x ? 0, =? f(0)=0,f(a)<f(b)<0. ? f (? x) x ? 0,
答案:D 2.(2003 年北京海淀区二模题)函数 f(x)是定义域为 R 的偶函数,又是以 2 为周期 的周期函数.若 f(x)在[-1,0]上是减函数,那么 f(x)在[2,3]上是 A.增函数 B.减函数 C.先增后减的函数 D.先减后增的函数 解析:∵偶函数 f(x)在[-1,0]上是减函数,∴f(x)在[0,1]上是增函数.由周 期为 2 知该函数在[2,3]上为增函数. 答案:A 3.已知 f(x)是奇函数,当 x∈(0,1)时,f(x)=lg f(x)的表达式是__________. 解析:当 x∈(-1,0)时,-x∈(0,1) ,∴f(x)=-f(-x)=-lg 答案:lg(1-x)

1 ,那么当 x∈(-1,0)时, 1? x 1 =lg(1-x). 1? x

x ? ?1, ?x ? 2 ? 4.(2003 年北京)函数 f(x)=lg(1+x ) ,g(x)= ?0 | x |? 1, h(x)=tan2x 中, ?? x ? 2 x ? 1. ?
2

______________是偶函数. 解析:∵f(-x)=lg[1+(-x)2]=lg(1+x2)=f(x) , ∴f(x)为偶函数. 又∵1°当-1≤x≤1 时,-1≤-x≤1, ∴g(-x)=0. 又 g(x)=0,∴g(-x)=g(x). 2°当 x<-1 时,-x>1, ∴g(-x)=-(-x)+2=x+2. 又∵g(x)=x+2,∴g(-x)=g(x). 3°当 x>1 时, -x<-1,

∴g(-x)=(-x)+2=-x+2. 又∵g(x)=-x+2,∴g(-x)=g(x). 综上,对任意 x∈R 都有 g(-x)=g(x). ∴g(x)为偶函数. h(-x)=tan(-2x)=-tan2x=-h(x) , ∴h(x)为奇函数. 答案:f(x) 、g(x) 5.若 f(x)=

a ? 2x ? a ? 2 为奇函数,求实数 a 的值. 2x ?1
2 + 2 ?1
x

解:∵x∈R,∴要使 f(x)为奇函数,必须且只需 f(x)+f(-x)=0,即 a- a-

=0,得 a=1. 2 ?1 6.(理)定义在[-2,2]上的偶函数 g(x) ,当 x≥0 时,g(x)单调递减,若 g(1 -m)<g(m) ,求 m 的取值范围. 解:由 g(1-m)<g(m)及 g(x)为偶函数,可得 g(|1-m|)<g(|m|).又 g(x)
?x

2

在(0,+∞)上单调递减,∴|1-m|>|m|,且|1-m|≤2,|m|≤2,解得-1≤m<

1 . 2

说明:也可以作出 g(x)的示意图,结合图形进行分析. (文) (2005 年北京西城区模拟题)定义在 R 上的奇函数 f(x)在(0,+∞)上是增函 数,又 f(-3)=0,则不等式 xf(x)<0 的解集为 A.(-3,0)∪(0,3) B.(-∞,-3)∪(3,+∞) C.(-3,0)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3) 解析:由奇偶性和单调性的关系结合图象来解. 答案:A 培养能力 1 1 7.已知 f(x)=x( x + ). 2 ?1 2 (1)判断 f(x)的奇偶性; (2)证明 f(x)>0. (1)解:f(x)=x?

2x ?1 2?x ? 1 ,其定义域为 x≠0 的实数.又 f(-x)=-x? 2( 2 x ? 1) 2(2 ? x ? 1)

=-x?

1? 2x 2x ?1 =x? =f(x) , 2(1 ? 2 x ) 2( 2 x ? 1)

∴f(x)为偶函数. (2)证明:由解析式易见,当 x>0 时,有 f(x)>0. 又 f(x)是偶函数,且当 x<0 时-x>0, ∴当 x<0 时 f(x)=f(-x)>0, 即对于 x≠0 的任何实数 x,均有 f(x)>0.

探究创新 8.设 f(x)=log 1 (
2

1 ? ax )为奇函数,a 为常数, x ?1

(1)求 a 的值; (2)证明 f(x)在(1,+∞)内单调递增; (3)若对于[3,4]上的每一个 x 的值,不等式 f(x)>( m 的取值范围. (1)解:f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x). ∴log 1
2

1 x ) +m 恒成立,求实数 2

1 ? ax 1 ? ax 1 ? ax x ?1 =-log 1 = >0 ? 1-a2x2=1-x2 ? a=±1.检验 ? ? x ?1 x ?1 ? x ? 1 1 ? ax 2

a=1(舍) ,∴a=-1. (2)证明:任取 x1>x2>1,∴x1-1>x2-1>0. ∴0<

x ?1 x ?1 x ?1 2 2 2 2 < <1+ < 2 ? 0<1+ ? 0< 1 ? log 1 1 x1 ? 1 x1 ? 1 x1 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 x2 ? 1 x2 ? 1 2

>log 1
2

x2 ? 1 ,即 f(x1)>f(x2).∴f(x)在(1,+∞)内单调递增. x2 ? 1

1 x ) >m 恒成立. 2 1 令 g(x)=f(x)-( )x.只需 g(x)min>m,用定义可以证 g(x)在[3,4]上是 2 9 9 增函数,∴g(x)min=g(3)=- .∴m<- 时原式恒成立. 8 8
(3)解:f(x)-( ●思悟小结 1.函数的奇偶性是函数的整体性质,即自变量 x 在整个定义域内任意取值. 2.有时可直接根据图象的对称性来判断函数的奇偶性. ●教师下载中心 教学点睛 1.函数的奇偶性经常与函数的其他性质, 如单调性、 周期性、 对称性结合起来考查.因此, 在复习过程中应加强知识横向间的联系. 2.数形结合,以形助数是解决本节问题常用的思想方法. 3.在教学过程中应强调函数的奇偶性是函数的整体性质,而单调性是其局部性质. 拓展题例 【例 1】 已知函数 f(x)=

ax 2 ? 1 (a、b、c∈Z)是奇函数,又 f(1)=2,f(2)<3, bx ? c

求 a、b、c 的值. 解:由 f(-x)=-f(x) ,得-bx+c=-(bx+c). ∴c=0. 由 f(1)=2,得 a+1=2b.

由 f(2)<3,得

4a ? 1 <3, a ?1 1 ,与 b∈Z 矛盾.∴a=1,b=1,c=0. 2

解得-1<a<2.又 a∈Z, ∴a=0 或 a=1.若 a=0,则 b=

【例 2】 已知函数 y=f(x)的定义域为 R,对任意 x、x′∈R 均有 f(x+x′)=f(x) +f(x′) ,且对任意 x>0,都有 f(x)<0,f(3)=-3. (1)试证明:函数 y=f(x)是 R 上的单调减函数; (2)试证明:函数 y=f(x)是奇函数; (3)试求函数 y=f(x)在[m,n] (m、n∈Z,且 mn<0)上的值域. 分析: (1)可根据函数单调性的定义进行论证,考虑证明过程中如何利用题设条件. (2)可根据函数奇偶性的定义进行证明,应由条件先得到 f(0)=0 后,再利用条 件 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)中 x1、x2 的任意性,可使结论得证. (3)由(1)的结论可知 f(m) 、f(n)分别是函数 y=f(x)在[m、n]上的最大值与 最小值,故求出 f(m)与 f(n)就可得所求值域. (1)证明:任取 x1、x2∈R,且 x1<x2,f(x2)=f[x1+(x2-x1), ] 于是由题设条件 f(x+x′)=f(x)+f(x′)可知 f(x2)=f(x1)+f(x2-x1). ∵x2>x1,∴x2-x1>0.∴f(x2-x1)<0. ∴f(x2)=f(x1)+f(x2-x1)<f(x1). 故函数 y=f(x)是单调减函数. (2)证明:∵对任意 x、x′∈R 均有 f(x+x′)=f(x)+f(x′) , ∴若令 x=x′=0,则 f(0)=f(0)+f(0). ∴f(0)=0. 再令 x′=-x,则可得 f(0)=f(x)+f(-x). ∵f(0)=0,∴f(-x)=-f(x).故 y=f(x)是奇函数. (3)解:由函数 y=f(x)是 R 上的单调减函数, ∴y=f(x)在[m,n]上也为单调减函数. ∴y=f(x)在[m,n]上的最大值为 f(m) ,最小值为 f(n). ∴f(n)=f[1+(n-1) ]=f(1)+f(n-1)=2f(1)+f(n-2)=?=nf(1). 同理,f(m)=mf(1). ∵f(3)=-3,∴f(3)=3f(1)=-3. ∴f(1)=-1.∴f(m)=-m,f(n)=-n. 因此,函数 y=f(x)在[m,n]上的值域为[-n,-m]. 评述: (1)满足题设条件 f(x+x′)=f(x)+f(x′)的函数,只要其定义域是关于原 点对称的,它就为奇函数. (2)若将题设条件中的 x>0,均有 f(x)<0 改成均有 f(x)>0,则函数 f(x)就是 R 上的单调增函数. (3)若题设条件中的 m、n∈Z 去掉,则我们就无法求出 f(m)与 f(n)的值,故 m、 n∈Z 不可少.


相关文章:
2015年高考第一轮复习数学:2.4 函数的奇偶性
2015年高考一轮复习数学:2.4 函数的奇偶性_高考_高中教育_教育专区。2.4 函数的奇偶性 ●知识梳理 1.奇函数:对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f...
高考第一轮复习数学:2.4-函数的奇偶性
高考一轮复习数学:2.4-函数的奇偶性_小学作文_小学教育_教育专区。2.4 函数的奇偶性 ●知识梳理 1.奇函数:对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-...
2006年高考第一轮复习数学:2.4 函数的奇偶性
2006年高考一轮复习数学:2.4 函数的奇偶性_数学_高中教育_教育专区。2.4 函数的奇偶性 ●知识梳理 1.奇函数:对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f...
2014届高三数学一轮复习课时跟踪检测 2.4函数的奇偶性与周期性 Word版含解析]
2014高三数学一轮复习课时跟踪检测 2.4函数的奇偶性与周期性 Word版含解析]_高中教育_教育专区。2014高三数学一轮复习课时跟踪检测 2.4函数的奇偶性与周期性 Wo...
2014届高三人教A版数学一轮复习精练 2.4 函数的奇偶性与周期性 Word版含解析]
2014高三人教A版数学一轮复习精练 2.4 函数的奇偶性与周期性 Word版含解析]_高中教育_教育专区。2014高三人教A版数学一轮复习精练 2.4 函数的奇偶性与周期性...
2006年高考第一轮复习数学:2.4_函数的奇偶性
2006年高考一轮复习数学:2.4_函数的奇偶性_数学_高中教育_教育专区。2.4 函数的奇偶性 ●知识梳理 1.奇函数:对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f...
2014届高考数学一轮复习教学案函数的奇偶性及周期性
2014届高考数学一轮复习教学案函数的奇偶性及周期性_高考_高中教育_教育专区。今日推荐 160份文档 2014年各行业从业资格考试 2014年国家司法考试案例分析模拟题 2014...
《2.4函数的奇偶性与周期性》 教案
2.4函数的奇偶性与周期性》 教案_数学_高中教育_教育专区。一轮复习标准教案...函数周期性的应用 适用年级 课时时长(分钟) 高三 60 知识点 教学目标 1.结合...
2014届高三数学一轮复习专讲专练:2.4 函数的奇偶性与周期性
2014高三数学一轮复习专讲专练:2.4 函数的奇偶性与周期性 隐藏>> 双基限时练? 巩固双基,提升能力 一、选择题 lg?1-x2? 1.函数 f(x)=是( |x+3|-3...
更多相关标签: