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静安区2016年高三数学理科一模试卷(含答案)


静安区 2015 学年高三年级第一学期期末教学质量检测 理科数学试卷
(试卷满分 150 分
考生注意: 本试卷共有 23 道题,答题前,请在答题纸上将学校、班级、姓名、检测编号等填涂清楚.

考试时间 120 分钟)

2016.1

一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内 直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.
1.已知抛物线 y ? ax2 的准线方程是 y ? ?

1 ,则 a ? 4

. .

2.在等差数列 ?an ? ( n? N? ) 中 , 已知公差 d ? 2 , 则 a2016 ? a2007 ? 2007 , 3. 设 x ? cos? ,且 ? ?[?

? 3?

, ] ,则 arcsin x 的取值范围是 4 4

.

4. 已知球的半径为 24cm, 一个圆锥的高等于这个球的直径, 而且球的表面积等于圆锥的表 面积,则这个圆锥的体积是 cm3.

5.方程 log( x?1) ( x3 ? 9x ? 8) ? log( x?1) ( x ?1) ? 3 的解为
6.直线 x ? y ? 2 ? 0 关于直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 对称的直线方程是

.

.

7.已知复数 z 满足 z ? z ? 2 ? 8i ,其中 i 为虚数单位,则 z ?
8. ( x ? y ? z) 的展开式中项 x yz 的系数等于
8 3 4

.

.(用数值作答)

9.在产品检验时, 常采用抽样检查的方法.现在从 100 件产品(已知其中有 3 件不合格品) 中任意抽出 4 件检查,恰好有 2 件是不合格品的抽法有 种. (用数值作答)

10.经过直线 2 x ? y ? 3 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 的两个交点, 且面积最小的圆的方 程是 .

11.在平面直角坐标系 xOy 中,坐标原点 O (0, 0) 、点 P(1,2) ,将向量

绕点 O 按逆时

针方向旋转

5? 后得向量 6

,则点 Q 的横坐标是

.

12.在△ABC 中,∠A、∠B、∠C 所对的边分别为 a、b、c,若△ABC 的面积

S ? a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc ,则 sin A ?

. (用数值作答)

13. 已知各项皆为正数的等比数列 ?an ? ( n? N? ) , 满足 a7 ? a6 ? 2a5 , 若存在两项 am 、

an 使得 am an ? 4a1 ,则

1 4 ? 的最小值为 m n

.

14. 在平面直角坐标系 xOy 中,将直线 l 沿 x 轴正方向平移 3 个单位, 沿 y 轴正方向平

移 5 个单位,得到直线 l1 .再将直线 l1 沿 x 轴正方向平移 1 个单位, 沿 y 轴负方向平移 2 个单位,又与直线 l 重合.若直线 l 与直线 l1 关于点 (2, 3) 对称,则直线 l 的方程是 .

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生 应在答题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分.
r 15.组合数 Cn (n ? r ? 1, n, r ? N ) 恒等于(

)

A.

r ? 1 r ?1 Cn ?1 n ?1
2

B.

n ? 1 r ?1 Cn ?1 r ?1

C.

r r ?1 C n ?1 n
)

D.

n r ?1 C n ?1 r

16.函数 y ? 3x

?1

(?1 ? x ? 0) 的反函数是 (
1 3

A. y ? ? 1 ? log 3 x ( x ? ) C. y ? 1 ? log 3 x ( ? x ? 1)

B. y ? ? 1 ? log 3 x ( ? x ? 1) D. y ? 1 ? log 3 x ( x ? )

1 3

1 3

1 3

17.已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ? A. ?2

? ??n,

n?4

2 ? ? n ? 4n ? n, n ? 4

i l an ? ( 则m (n ? N *) ,
n? ? ?

)

B.0

C.2

D.不存在

18.下列四个命题中,真命题是 (

)

A.和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线; B.和两条异面直线都垂直的直线是异面直线的公垂线; C.和两条异面直线都相交于不同点的两条直线是异面直线; D.若 a、b 是异面直线, b、c 是异面直线,则 a、c 是异面直线. 三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号 的规定区域内写出必要的步骤. 19.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E 为 AB 的中点. 求: (1)异面直线 BD1 与 CE 所成角的余弦值; (2)点 A 到平面 A 1EC 的距离.

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 10 分,第 2 小题满分 4 分. 李克强总理在很多重大场合都提出“大众创业,万众创新”. 某创客,白手起家,2015 年一月初向银行贷款十万元做创业资金,每月获得的利润是该月初投入资金的 20%.每月月 底需要交纳房租和所得税共为该月全部金额(包括本金和利润)的 10%,每月的生活费等 开支为 3000 元,余款全部投入创业再经营.如此每月循环继续. (1)问到 2015 年年底(按照 12 个月计算),该创客有余款多少元?(结果保留至整数元) (2)如果银行贷款的年利率为 5%,问该创客一年(12 个月)能否还清银行贷款?

21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 设 P1 和 P2 是双曲线 坐标原点 O.
b2 (1)若直线 P1P2 和直线 OM 的斜率都存在且分别为 k1 和 k2,求证:k1k2= 2 ; a
x2 y2 ? ? 1 上的两点,线段 P1P2 的中点为 M,直线 P1P2 不经过 a2 b2

(2)若双曲线的焦点分别为 F1 (? 3,0) 、 F2 ( 3,0) ,点 P1 的坐标为(2,1) ,直线
OM 的斜率为

3 ,求由四点 P1、 F1、P2、F2 所围成四边形 P1 F1P2F2 的面积. 2

22.(本题满分 16 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 10 分. 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 在 y 轴正半轴上,点 P n 在 x 轴上,其横坐标为 xn ,
? 且 {xn } 是首项为 1、公比为 2 的等比数列,记 ?P n AP n ?1 ? ?n , n ? N .

1 (1)若 ?3 ? arctan ,求点 A 的坐标; 3
(2)若点 A 的坐标为 (0, 8 2) ,求 ?n 的最大值及相应 n 的值.

y A

0 P1 P2 P3

P4 …… x

23.(本小题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分, 第 3 小题满分 8 分. 已知定义在实数集 R 上的偶函数 f ?x ? 和奇函数 g ?x ? 满足 f ? x ? ? g ? x ? ? 2x?1 . (1)求 f ? x ? 与 g ? x ? 的解析式; (2)若定义在实数集 R 上的以 2 为最小正周期的周期函数 ? ( x) ,当 ?1 ? x ? 1 时, ? ( x) ? f ( x) ,试求 ? ( x) 在闭区间 [2015, 2016] 上的表达式,并证明 ? ( x) 在闭区间 [2015, 2016] 上单调递减; (3)设 h( x) ? x2 ? 2mx ? m2 ? m ? 1(其中 m 为常数),若 h( g ( x)) ? m2 ? m ?1 对于 x ? [1, 2] 恒成立,求 m 的取值范围.

静安区 2015 学年高三年级第一学期期末教学质量检测 理科数学试卷参考答案及评分标准
说明 1.本解答列出试题一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答 中评分标准的精神进行评分. 2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题 的评阅.当考生的解答在某一步出现错误,影响了后续部分,但该步以后的解答未改变 这一题的内容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,但是原则上不应超出后面 部分应给分数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分. 3.第 19 题至第 23 题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题分数. 4.给分或扣分均以 1 分为单位. 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内 直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.
1. a ? 1

2016.01

2.2025 5. x ? 3

3. [? , ] .

? ?

4 2

4. 12288?

6. x ? 7 y ? 22 ? 0

7. z ? 17

8. 280

9. 13968

10. 5x2 ? 5 y 2 ? 6x ? 18 y ? 1 ? 0

11. ?

3 ?1 2

12.

8 17

13. (

1 4 m?n 1 4m n 3 ? ) ? (5 ? ? )? m n 6 6 n m 2

14. l : 6 x ? 8 y ? 1 ? 0 .

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生 应在答题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.D 16.B 17.A 18.C

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号 的规定区域内写出必要的步骤 . 19. 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E 为 AB 的中点。 (1)求异面直线 BD1 与 CE 所成角的余弦值; (2)求点 A 到平面 A 1EC 的距离。

解(1)延长 DC 至 G,使 CG=

1 DC,连结 BG、 D1G 2

?CG/ /EB ,∴ 四边形 EBGC 是平行四边形.
∴ BG∥EC. ∴

?D1BG就是异面直线BD1与CE所成的角.

在 ?D1 BG中D1 B ? 3,

BG ?

5 3 2 13 ,D1G ? 12 ? ( ) ? 2 2 2
2 2 2

5 13 ? D1 B ? BG ? D1G 4 4 ? 15 ? cos?D1 BG ? ? 2 D1 B ? BG 15 15 2? 2 3?
即异面直线BD1 与 CE 所成角的余弦值是 (2)过

15 . 15
底面 ABCD 如图所示.

A1 作 A1 H ? CE 交 CE 的延长线于 H.连结 AH.
1?

1 AH AE 5 1 CB ? AE 1 ? ? ? CE ? , AE ? ,? AH ? ? 2? CB CE 2 2 CE 5 5 2 1 6 在Rt ?A1 AH中,A1 A ? 1, AH ? ? A1 H ? . 5 5

由于∠AHE=∠B=90°,∠AEH=∠CEB,则△AHE∽ △CBE

d, 设点 A 到平面 A 则由三棱锥体积公式可得: AA1 ? S ?ACE ? 1EC 的距离为
即 ?1 ? ? ? 1 ?

1 3

1 d ? S ?A1CE , 3

1 3

1 1 2 2

1 1 1 6 6 d? ? ?1? 。所以 d ? , 6 3 2 4 5
6 。 6

即点 A 到平面 A 1EC 的距离为

20. 李克强总理在很多重大场合都提出“大众创业,万众创新”. 某创客,白手起家,2015 年一月初向银行贷款十万元做创业资金,每月获得的利润是该月初投入资金的 20%.每月月 底需要交纳房租和所得税共为该月全部金额(包括本金和利润)的 10%,每月的生活费等 开支为 3000 元,余款全部投入创业再经营.如此每月循环继续. (1)问到 2015 年年底(按照 12 个月计算),该创客有余款多少元?(结果保留至整数元) (2)如果银行贷款的年利率为 5%,问该创客一年(12 个月)能否还清银行贷款? 解法 1:(1)设 n 个月的余款为 an ,则

a1 ? 100000 ?1.2 ? 0.9 ? 3000 ? 105000 ,

a2 ? 100000 ?1.22 ? 0.92 ? 3000 ?1.2 ? 0.9 ? 3000 ? 110400 ,
。。。。。。

a12 ? 100000 ?1.212 ? 0.912 ? 3000 ?1.211 ? 0.911 ??? 3000 ,
[1 ? (1.2 ? 0.9)12 ] ? 194890 (元), 1 ? 1.2 ? 0.9

= 100000 ?1.212 ? 0.912 ? 3000 ?

法 2: a1 ? 100000 ?1.2 ? 0.9 ? 3000 ? 105000 , 一般的, an ? an?1 ?1.2 ? 0.9 ? 3000 , 构造 an ? c ? 1.2 ? 0.9(an?1 ? c) , c ? ?37500

an ? 37500 ? (105000 ? 37500)(1.2 ? 0.9)n?1

an ? 37500 ? 67500 ?1.08n?1 ,
a12 ? 194890 。
(2)194890-100000?1.05=89890(元), 能还清银行贷款。 21.设 P1 和 P2 是双曲线 标原点 O. (1)若直线 P1P2 和直线 OM 的斜率都存在且分别为 k1 和 k2,求证:k1k2=
b2 ; a2
x2 y2 ? ? 1 上的两点,线段 P1P2 的中点为 M,直线 P1P2 不经过坐 a2 b2

(2)若双曲线的焦点分别为 F1 (? 3,0) 、 F2 ( 3,0) ,点 P1 的坐标为(2,1) ,直线
OM 的斜率为

3 ,求由四点 P1、 F1、P2、F2 所围成四边形 P1 F1P2F2 的面积. 2
x2 y2 ? ? 1 方程得: a2 b2

(1)解法 1:设不经过点 O 的直线 P1P2 方程为 y ? k1 x ? l ,代入双曲线

(b2 ? a2 k12 ) x2 ? 2a2 k1lx ? a2b2 ? a2l 2 ? 0 .
设 P1 坐标为 ( x1 , y1 ) , P2 坐标为 ( x2 , y2 ) , 中点坐标为 M (x,y),则 x ?

x1 ? x2 y ? y2 ,y? 1 , 2 2

2a 2 k1l , x1 ? x2 ? 2 b ? a 2 k12
b2 y1 ? y2 b2 ? a 2 k12 2 2 2 2 2 2 ,所以, , k k = 。 ? k1 ? a k k ? a k ? b ? a k 1 2 1 2 1 1 a2 x1 ? x2 a 2 k1
x1 ? x2 y ? y2 ,y? 1 且 2 2

k2 ?

另解:设 P1(x1,y1)、P2(x2,y2),中点 M (x,y),则 x ?

? x12 y12 ? ? 1 (1) ? ? a 2 b2 ? 2 2 ? x2 ? y2 ? 1 (2) ? ? a 2 b2
(1)-(2)得:

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? ?0。 a2 b2

因为,直线 P1P2 和直线 OM 的斜率都存在,所以(x1+x2)(x1-x2)?0,

等式两边同除以(x1+x2)(x1-x2),得:

1 y1 ? y2 y1 ? y2 1 ? ? ? ?0 a 2 x1 ? x2 x1 ? x2 b 2



b2 k1k2= 2 。…………6 分 a

? 22 1 x2 ? ? ? 1, (2)由已知得 ? a 2 b 2 ,求得双曲线方程为 ? y 2 ? 1 , 2 ?a 2 ? b 2 ? 3 ?

直线 P1 P2 斜率为

b2 3 1 ? ? , a2 2 3
1 ( x ? 2) , 3 10 1 2 3 , ? ) (中点 M 坐标为 ( , ) . 7 7 7 7

直线 P1 P2 方程为 y ? 1 ?

代入双曲线方程可解得 P2 (?

面积

1 8 8 3 F1F2 ? y1 ? y2 ? 3 ? ? . 2 7 7
3 x 上.所以由中点 M((x,y),可得点 P2 的坐标为 2

另解: 线段 P1 P2 中点 M 在直线 y ?

P 2 (2 x ? 2,3x ?1) ,代入双曲线方程可得
x?

(2 x ? 2) 2 ? (3x ? 1) 2 ? 1 ,即 7 x 2 ? 2 x ? 0 ,解得 2

1 8 8 3 2 3 10 1 ( y ? ),所以 P2 (? , ? ) 。面积 F1 F2 ? y1 ? y2 ? 3 ? ? . 7 7 7 7 2 7 7

22. 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 在 y 轴正半轴上,点 P n 在 x 轴上,其横坐标为 xn ,
? 且 {xn } 是首项为 1、公比为 2 的等比数列,记 ?P n AP n ?1 ? ?n , n ? N .

1 (1)若 ?3 ? arctan ,求点 A 的坐标; 3
(2)若点 A 的坐标为 (0, 8 2) ,求 ?n 的最大值及相应 n 的值.

y A

0 P1 P 2 P3

P4 …… x

t ) ,根据题意, xn ? 2n?1 . 解:(1)设 A(0,
由 ?3 ? arctan

1 1 ,知 tan ? 3 ? , 3 3

x4 x3 ? t t ? t ( x4 ? x3 ) ? 4t , 而 tan ?3 ? tan(?OAP4 ? ?OAP ) ? 3 2 2 x x 1 ? 4 ? 3 t ? x4 ? x3 t ? 32 t t
所以

4t 1 ? ,解得 t ? 4 或 t ? 8 .故点 A 的坐标为 (0, 4) 或 (0, 8) . t ? 32 3
2

2n?1 (2)由题意,点 P . , 0) , tan ?OAPn ? n 的坐标为 (2 8 2
n ?1

2n 2n ?1 ? 2n ?1 1 8 2 8 2 tan ? n ? tan(?OAPn ?1 ? ?OAPn ) ? ? ? . n n ?1 2 n ?1 2 2 2 16 2 2n 1? ? 8 2? ? 8 2 8 2 8 2 2n 8 2

因为

16 2 2n 1 2 , ? ? 2 2 ,所以 tan ?n ? ? n 2 4 8 2 2 2 16 2 2n ,即 n ? 4 时等号成立. ? 2n 8 2

当且仅当

易知 0 ? ? n ?

?

, y ? tan x 在 (0, ) 上为增函数, 2 2

?

因此,当 n ? 4 时, ?n 最大,其最大值为 arctan

2 . 4

23.已知定义在实数集 R 上的偶函数 f ?x ? 和奇函数 g ?x ? 满足 f ? x ? ? g ? x ? ? 2x?1 . (1)求 f ? x ? 与 g ? x ? 的解析式; (2)若定义在实数集 R 上的以 2 为最小正周期的周期函数 ? ( x) ,当 ?1 ? x ? 1 时, ? ( x) ? f ( x) ,试求 ? ( x) 在闭区间 [2015, 2016] 上的表达式,并证明 ? ( x) 在闭区间 [2015, 2016] 上单调递减; (3)设 h( x) ? x2 ? 2mx ? m2 ? m ? 1(其中 m 为常数),若 h( g ( x)) ? m2 ? m ?1 对 于 x ? [1, 2] 恒成立,求 m 的取值范围. 解:(1)假设 f ( x) ? g ( x) ? 2x?1 ①,因为 f ?x ? 是偶函数, g ?x ? 是奇函数 所以有 f (? x) ? g (? x) ? 2? x?1 ,即 f ( x) ? g ( x) ? 2? x?1 ②

∵ f ( x) , g ( x) 定义在实数集 R 上, 由①和②解得,

f ( x) ?

2 x ?1 ? 2? x ?1 1 2 x ?1 ? 2? x ?1 1 ? 2 x ? x , g ( x) ? ? 2x ? x . 2 2 2 2
1 2
x ? 2016

(2) ? ( x) 是 R 上以 2 为正周期的周期函数, 所以当 x ? [2015, 2016] 时,

x ? 2016 ?[?1,0] , ? ( x) ? ? ( x ? 2016) ? f ( x ? 2016) ? 2 x ? 2016 ?
间 [2015, 2016] 上的表达式为 ? ( x) ? 2 x ? 2016 ?

,即 ? ( x) 在闭区

1 2
x ? 2016

.

下面证明 ? ( x) 在闭区间 [2015, 2016] 上递减:

2 2015 ? x1 ? x2 ? 2016 ,

? ( x) ? 2 x ? 2016 ?

1
x ? 2016

? 2 ,当且仅当 2 x ?2016 ? 1 ,即 x ? 2016 时等号成立.对于任意 1 1 2
x2 ? 2016

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 x1 ? 2016 ?

2

x1 ? 2016

? 2 x2 ? 2016 ?

? (2 x1 ? x2 ? 1)(2 x2 ? 2016 ?

1 2
x1 ? 2016

),

因为 2015 ? x1 ? x2 ? 2016 ,所以

2

x1 ? x2

? 1, 2x1 ? x2 ?1 ? 0 , 2 x2 ?2016 ? 20 ? 1 , 2x1 ?2016 ? 20 ? 1 ,
? 1 , 2 x2 ?2016 ? 22016? x1 ? 0 ,

1 2
x1 ? 2016

从而 ? ( x1 ) ? ? ( x2 ) ? 0 ,所以当 2015 ? x1 ? x2 ? 2016 时, ? ( x) 递减.
x (证明 f ( x) ? 2 ?

1 在 [?1, 0] 上递减,再根据周期性或者复合函数单调性得到也可) 2x
3 15 ?t ? . 2 4

(3)∵ t ? g ( x) 在 x ? [1, 2] 单调递增,∴

∴ h(t ) ? t 2 ? 2mt ? m2 ? m ? 1 ? m2 ? m ? 1对于 t ? ? , ∴m ? ?

? 3 15 ? 恒成立, ?2 4 ? ?

t2 ? 2 ? 3 15 ? 对于 t ? ? , ? 恒成立, 2t ?2 4 ?

3 t2 ? 2 t2 ? 2 t 1 ? ? ? 2, , 则 当且仅当 t ? 2 时, 等号成立, 且 2? 2 2t 2t 2 t 2 t ?2 ? 3 15 ? 所以在区间 t ? ? , ? 上 k (t ) ? ? 单调递减, 2t ?2 4 ?
令 k (t ) ? ? ∴ k (t ) max ? k ( ) ? ?

3 2

17 17 ,∴ m ? ? 为 m 的取值范围. 12 12


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