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高中数学必修一教案--集合与函数概念(人教新课标)


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湖南省省级示范性高中……洞口三中高一数学第一学期授课讲义 湖南省省级示范性高中……洞口三中高一数学第一学期授课讲义 集合的含义与表示( 课时) 集合的含义与表示(2 课时) 、基本概念及知识体系 (Ⅰ) 基本概念及知识体系: 、基本概念及知识体系: 1、了解集合的含义、领会集合中元素与集合的∈、?关系;元素:用小写的字母 a,b,c,…表示;元素之间 、 用逗号隔开。集合:用大写字母 A,B,C,…表示; 2 2、能准确把握集合语言的描述与意义:列举法和描述法:注意以下表示的集合之区别: 注意以下表示的集合之区别: ; 注意以下表示的集合之区别 {y=x +1} 2 2 2 2 2 2 {x -x-2=0}{x| x -x-2=0},{x|y=x +1}{t|y=t +1}{y|y=x +1}{(x,y)|y=x +1} ?; , ; ; ; ; {?},{0} 3、特殊的集合:N、Z、Q、R;N*、?; 与课堂讲授过程: (Ⅱ) 典例剖析与课堂讲授过程: 、典例剖析与课堂讲授过程 集合的概念以及元素与集合的关系: 一、集合的概念以及元素与集合的关系: 集合的概念以及元素与集合的关系 1、 元素:用小写的字母 a,b,c,…表示;元素之间用逗号隔开。 、 集合:用大写字母 A,B,C,…表示;元素与集合的关系:∈、? ②、特殊的集合:N、Z、Q、R;N*、?; ③、集合中的元素具有确定性、互异性、无序性: ★【例题 1】 、已知集合 A={a-2,2a2+5a,10},又-3∈A,求出 a 之值。 ●解析:分类讨论思想;a=-1(舍去) ,a= -3 2

▲★课堂练习 课堂练习: 课堂练习 1、书本 P5:练习题 1;P11:习题 1.1:题 1、2、5:①② 2、已知集合 A={1,0,x},又 x2∈A,求出 x 之值。(解:x=-1) 3、已知集合 A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},又 1∈A,求出 a 之值。 (解:a=0) 集合的表示---------列举法和描述法 二、集合的表示 列举法和描述法 ★【例题 2】 、书本 P3:例题 1、P4:例题 2 ★【例题 3】 、已知下列集合: 、 A1 ={n | n = 2k+1,k ∈ N,k ≤ 5}(2) A2 ={x | x = 2k, k ∈ N, k ≤ 3}(3) A3 = (1) ; 、 ; 、 {x | x = 4k+1,或 x = 4k-1,k ∈ N , k ≤ 3} ; 问: (Ⅰ) 、用列举法表示上述各集合; (Ⅱ) 、对集合 A1 , A2 , A3 ,如果使 k ∈ Z,那么 A1 , A2 , A3 所 表示的集合分别是什么?并说明 A3 与 A1 的关系。 ● 解:(Ⅰ)、⑴ A1 ={n | n = 2k+1,k ∈ N ,k ≤ 5}={1,3,5,7,9,11} ; ⑵、 A2 ={x | x = 2k, k ∈ N, k ≤ 3}={0,2,4,6} ; ⑶、 A3 ={x | x = 4k ± 1,k ∈ N , k ≤ 3}={-1,1,3,5,7,9,11,13} ; (Ⅱ) 、对集合 A1 , A2 , A3 ,如果使 k ∈ Z,那么 A1 、 A3 所表示的集合都是奇数集; A2 所表示的集合都是 偶数集。 ▲点评: (1)通过对上述集合的识别,进一步巩固对描述法中代表元素及其性质的表述的理解; (2)掌握奇数集.偶数集的描述法表示和集合的图示法表示。 ★【例题 4】 、已知某数集 A 满足条件:若 a ∈ A, a ≠ 1 ,则

①、若 2 ∈ A ,则在 A 中还有两个元素是什么;②、若 A 为单元素集,求出 A 和 a 之值. ● 解:① ?

1 ∈ A. 1+ a

1 1 和 ; 2 3

②A ={

?1+ 5 ?1+ 5 ?1? 5 ?1? 5 }(此时 a = )或 A = { }(此时 a = ) 。 2 2 2 2

▲●课堂练习:
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1、书本 P5:练习题 2;P12:题 3、4 2、设集合 M={x|x= 4m+2,m∈Z},N={y|y= 4n+3,n∈Z} ,若 x0∈M,y0∈N,则 x0·y0 与集合 M、N 的关系 是( A) :A、x0·y0∈M B、x0·y0?M C、x0·y0∈N D、无法确定 ●解:x0·y0= 4(4mn+3m+2n+1)+2,则 x0·y0∈M 今日作业: 三、今日作业: ,若 求出 a 的取值范围。 (解: a=0 或 a≥9/8) 1、 已知集合 B= {x|ax2-3x+2=0,a∈R} B 中的元素至多只有一个, 2、已知集合 M={x∈N| 6 ∈Z} ,求出集合 M。 (解:M={0,1,2,5} 1+x

6 3、已知集合 N={ ∈Z | x∈N} ,求出集合 N。 (解:N={1,2,3,6} 1+x 四、提高练习: 提高练习: ★【题 1】 、(2006 年?·辽宁·T5·5 分)设⊕是 R 上的一个运算,A 是 R 上的非空子集,若对任意的 a、b∈A, 有 a⊕b∈A,则称 A 对运算⊕封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于 0)四则运 算都封闭的是( C ) A 自然数集 B 整数集 C 有理数集 D 无理数集 ★【题 2】 (2006 年·山东·T1·5 分)定义集合运算:A⊙B={z︳z= xy(x+y),z∈A,y∈B} ,设集合 A={0, 1} ,B={2,3} ,则集合 A⊙B 的所有元素之和为( D ) (A)0 (B)6 (C)12 (D)18 ★【题 3】 (2005 年·湖北·T1·5 分)设 P、Q 为两个非空实数集合,定义集合 P+Q= {a + b | a ∈ P, b ∈ Q}, 若P = {0,2,5}, Q = {1,2,6} ,则 P+Q 中元素的个数是( B ) A.9 B.8 C.7 D.6 ★【题 4】 (广东 2007 年理科·8 题)设 S 是至少含有两个元素的集合,在 S 上定义了一个二元运算“*” (即 ,在 S 中有唯一确定的元素 a * b 与之对应) .若对任意 对任意的 a,b ∈ S ,对于有序元素对( a,b ) 的 a,b ∈ S ,有 a * (b * a ) = b ,则对任意的 a,b ∈ S ,下列等式中不恒成立的是( A A. ( a * b) * a = a C. b * (b * b) = b 、课堂回顾与小结: (Ⅲ) 课堂回顾与小结: 、课堂回顾与小结 1、 记准 N、Z、Q、R;? 2、 分清列举法和描述法,注意集合中的元素是否满足互异。?◆ B. [ a * (b * a )] * ( a * b) = a D. (a * b) * [b * ( a * b)] = b )

?

湖南省省级示范性高中……洞口三中高一数学第一学期授课讲义 湖南省省级示范性高中……洞口三中高一数学第一学期授课讲义 义二: 集合之间的基本关系( 课时) 讲义二: 集合之间的基本关系(2 课时)
撰稿: 方锦昌 电子邮箱 fangjingchang2 007@163.com 手机号码 13975987411

、基本概念及知识体系: (Ⅰ) 基本概念及知识体系: 、基本概念及知识体系 1、集合之间的基本关系:包含关系------子集?、真子集 、空集?;集合的相等。 、 2、注意韦恩图、利用数轴的数形结合思想以及分类讨论的数学思想的培养与应用。

、典例剖析与课堂讲授过程: (Ⅱ) 典例剖析与课堂讲授过程: 与课堂讲授过程 2 ;集合的相等。 、集合之间的基本关系 集合之间的基本关系: (一) 集合之间的基本关系:子集?、真子集 、空集?(如方程 x +1=0 的根) (二) 含有 n 个元素的集合 A 的子集个数是 、含有 的子集个数是_____2n,,真子集个数是 2n-1,非空真子集:2n-2 真子集个数是___2 1,非空真子集 非空真子集: 2 真子集个数是
n n n

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★【例题 1】 、已知集合 P={x|x -5x+4≤0},Q={x|x -(b+2)x+2b≤0}且有 P?Q,求实数 b 的取值范围。 ●解:{b|1≤b≤4};注意利用数轴去加以判断。
2 2

★【例题 2】(2007 年湖南·10 题) 、 .设集合 M = {1, 3, 5, , S1,S 2,...,S k 都是 M 的含两个元素的 2, 4, 6}

2, L 子 集 , 且 满 足 : 对 任 意 的 Si = {ai,bi } , S j = {a j,b j } ( i ≠ j , i、j ∈ {1, 3, ,k } ), 都 有

? a j bj ? ?a b ? ? ? ,则 min ? i ,i ? ≠ min ? , ? ( min{x,y} 表示两个数 x,y 中的较小者) k 的最大值是( B ) ? bj a j ? ? bi ai ? ? ?
A.10 B.11 C.12 D.13

★【例题 3】(2007 年北京文科·15 题·12 分)记关于 x 的不等式 、 解集为 Q . (I)若 a = 3 ,求 P ; ●解: (I)由

x?a < 0 的解集为 P ,不等式 x ? 1 ≤ 1 的 x +1

(II)若 Q ? P ,求正数 a 的取值范围.

x?3 < 0 ,得 P = { x ?1 < x < 3} . x +1

(II) Q = x x ? 1 ≤ 1 = x 0 ≤ x ≤ 2 .

{

} {
}

}

+ 由 a > 0 ,得 P = x ?1 < x < a ,又 Q ? P ,所以 a > 2 ,即 a 的取值范围是 (2, ∞ ) .

{

▲★课堂练习 课堂练习: 课堂练习 1、书本 P7:练习题 1、2、3;P12: 5:①②③;B 组第 2 题。 2、已知集合 A={2,8,a}, B={2,a2-3a+4},又 A B,求出 a 之值。(解:a= -1 或 4) 3、已知集合 A={x|-3≤x≤4}B={x|2m-1≤x≤m+1},当 B?A 时,求出 m 之取值范围。 (解:m≥-1) 特别注意:当 B?A 时,B 一定包括有两种情形:B=?或 B≠?,解题时极易漏掉 B=?这一情况从而出错! 特别注意

、今日作业: (三) 今日作业: ●1、判断下列集合 A 与 B 之间有怎样的包含或相等关系: ①、已知集合 A={x|x=2k-1,k∈Z}B={x|x=2m+1,m∈Z}(解:A=B) ②、已知集合 A={x|x=2k,k∈Z}B={x|x=4m,m∈Z}(解:B ? A) ●2、已知集合 M={x|-2≤x≤5},N={x|m+1≤x≤2m-1} ①、若 N?M,求实数 m 的取值范围; (解:m≤3,注意 N 为?的情况!) ②、若 x∈Z,则 M 的非空真子集的个数是多少个?(解:28-2=254 个) ③、 (选做)当 x∈R 时,没有元素使得 x∈M 与 x∈N 同时成立,求实数 m 的取值范围(解:m<2 或 m>4)

、提高练习: (四) 提高练习:
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★【题 1】 、设集合 S={a,b,c,d,e},则包含{a,b}的 S 的子集共有(D )个 A 2 B 3 C 5 D 8 ★【题 2】 、集合 A={ (x,y)|2x+y=5,x∈N,y∈N},则 A 的非空真子集的个数为(C ) A 4 B 5 C 6 D 7 ★【题 3】 、对于两个非空数集 A、B,定义点集如下:A×B={(x,y)|x∈A, 则点集 A×B 的非空真子集的个数是___14_个 ★【题 4】 、集合 A = {x | 0 ≤ x < 3且x ∈ N } 的真子集个数是 (A)16 (B)8 (C)7

y∈B} ,若 A= {1, , {2, , 3} B= 4}

( A ) (D)4

●解答、 A = {0,1, 2} ,A 的真子集有: ?,{0},{1},{2},{0,1},{0, 2},{1, 2} ,共 7 个,选 C

则有 ★ 【题 5】 、 (2004 湖北) 已知集合 P= {m|-1<m<0},Q={m∈R|mx2+4mx-4<0 对任意的 x∈R 恒成立}, ( B ) A P=Q B P Q C P Q D P∩Q=Q

★【题 6】 、设集合 M={x|x= A M=N

k 1 k 1 + ,k∈Z},N={x|x= + ,k∈Z},则( B) 2 4 4 2 C M N D M∩N=?

B M N

、课堂回顾与小结: (Ⅲ) 课堂回顾与小结: 、课堂回顾与小结 3、 分清子集?、真子集 、空集?;注意?的特殊性。 4、 利用韦恩图,利用数轴,注意分类讨论思想的培养与应用。

湖南省省级示范性高中……洞口三中高一数学第一学期授课讲义 湖南省省级示范性高中……洞口三中高一数学第一学期授课讲义 义三: 集合之间的基本运算( 课时) 讲义三: 集合之间的基本运算(2 课时)
撰稿: 方锦昌 电子邮箱 fangjingchang2 007@163.com 手机号码 13975987411

、基本概念及知识体系: (Ⅰ) 基本概念及知识体系: 、基本概念及知识体系 1、集合之间的基本运算:①、交集 A∩B={x|x∈A 且 x∈B}; 、 ②、并集 A∪B={x|x∈A 或 x∈B} ; ③、全集和补集:CUA={x|x∈U 且 x?A} 2、注意韦恩图、利用数轴的数形结合思想以及分类讨论的数学思想的培养与应用。

、典例剖析与课堂讲授过程: (Ⅱ) 典例剖析与课堂讲授过程: 与课堂讲授过程 、集合之间的基本运算 集合之间的基本运算: (一) 集合之间的基本运算: A∩B={x|x∈A 且 x∈B}; A∪B={x|x∈A 或 x∈B} UA={x|x∈U 且 x?A} ;C 、A∪B=A ?B?A,要特别注意 B 是否为?的情况的讨论。 (二) 、 ★【例题 1】 、已知集合 A={x|x -2x-8=0},B={x|x +ax+a -12=0}且有 A∪B=A ,求实数 a 的取值集合。 ●解:{a|a<-4,或 a=-2,或 a≥4};注意?,注意分类讨论。
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★【例题 2】 、已知全集 U={x|x≤4},集合 A={x|-2<x<3}, 集合 B={x|-3<x≤3},求①、CUA,②、A∩B, ③、CU(A∩B) ,④、 UA)∩B,⑤、CU(A∪B) (C ●解:{a|a<-4,或 a=-2,或 a≥4};注意?,注意分类讨论。

★【例题 3】 、已知集合 A={x|x -4mx+2m+6=0},B={x|x<0},且有 A∩B≠?,求实数 m 的取值范围。 ●解: (正难则反,补集的思想) {m|m≤-1}
2

▲★课堂练习 课堂练习: 课堂练习 ◆1、书本 P11:练习题 1、2、3、4;P12: 6、7、8、9;B 组第 3、题。 ,则满足 A∪B={1,2,3}的集合 B 的个数为( C ) ◆2、 、(2006 年·辽宁·T1·5 分)设集合 A={1,2} A 1 B3 C 4 D 8

◆3、(2005 年·全国Ⅰ·T2·5 分)设 I 为全集,S1、S2、S3 是 I 上的三个非空子集,且 S1∪S2∪S3=I,则下列论 断正确的是( C ) A CIS1∩(S2∪S3)=? B S1?(CIS2∩CIS3) C CIS1∩CIS2∩CIS3=? D S1?(CIS2∪CIS3) ◆ 4、已知集合 A={x|-3≤x≤4}B={x|2m-1≤x≤m+1},当 A∪B=A 时,求出 m 之取值范围。 (解:m≥-1) 特别注意:当 B?A 时,B 一定包括有两种情形:B=?或 B≠?,解题时极易漏掉 B=?这一情况从而出错! 特别注意

、今日作业: (三) 今日作业: ●1、已知集合 A={x|x+2>0},B={x|ax-3<0}且有 A∪B=A,求 a 的取值范围。 (解: {a|a≤-3/2} ) ●2、书本 P12:10 题、B 组 4 题。

、提高练习: (四) 提高练习: ●★【题 1】 、设全集 U=R,A={x| 是( C ) A {x|x>0} B {x|-3<x<0} x <0},B={x|x<-1},则图中阴影部分所表示的集合 x+3

C {x|-3<x<-1}

D

{x|x<-1}

●★【题 2】 、集合 A={ (x,y)|2x+y=5,x∈N,y∈N},则 A 的非空真子集的个数为(C ) A 4 B 5 C 6 D 7 ★【题 3】 、集合 M={x||x-3|≤4},N={y|y= x-2 + 2-x },则 M∩N=____{0} ★【题 4】 、(2004 年·上海·T3·4 分)设集合 A={5,log2(a+3)} ,集合 B={a,b}若满足 A∩B={2} ,则 A ∪B=____{1,2,5} ★ 【题 5】 、①已知集合 A={y|y= 2x -3x+1 },B={y|y=x -2x-3,x∈R},则 A∩B=____{y|y≥0}
2 2

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-1 1 2 2 ②已知集合 A={x|y= 2x -3x+1 },B={y|y=x -2x-3,x∈R},则 A∩B=____{x|x≥1 或 ≤x≤ } 4 2 ★【题 6】 、已知集合 P={x|x -5x+4≤0},Q={x|x -(b+2)x+2b≤0}且有 P?Q,求实数 b 的取值范围。 解:(答案:{b|1≤b≤4})
2 2

★ 【题 7】 若全集 I=R, 、 ?(x),g(x)均为 x 的二次函数, P= x|?(x)<0} {x| g(x)≥0,} 且 { ,Q= 则不等式组 ? 的解集可用 P、Q 表示为___( P∩CRQ)

? f ( x) < 0 ? g ( x) < 0

★【题 8】.如右图所示,I 为全集,M、P、S 为 I 的子集,则阴影部分所表示的集 、 合为( C ) A.(M∩P)∪S B.(M∩P)∩S C.(M∩P)∩(CI S) D.(M∩P)∪(CI S) ●题 9、 (2007 年江苏第 2 题) .已知全集 U = Z , A = {?1 0,2} , B = x x = x ,则 A∩(CRB)为( A ) ,1,
2

{

}

A. {?1 2} ,

B. {?1 0} ,

C. {0, 1}

D. {1, 2}

★题 10、 (07 北京)已知集合 A = x x ? a ≤ 1 , B = x x 2 ? 5 x + 4 ≥ 0 ,若 A I B = φ ,则实数 a 的取值范 围是 .

{

}

{

}

、课堂回顾与小结: (Ⅲ) 课堂回顾与小结: 、课堂回顾与小结 5、 注意集合之间的运算:交、并、补; 6、 利用韦恩图,利用数轴,注意分类讨论思想的培养与应用。 湖南省省级示范性高中……洞口三中高一数学第一学期授课讲义 湖南省省级示范性高中……洞口三中高一数学第一学期授课讲义 义四: 函数及其表示( ) 讲义四: 函数及其表示(1)
撰稿: 方锦昌 电子邮箱 fangjingchang2 007@163.com 手机号码 13975987411

、基本概念及知识体系: (Ⅰ) 基本概念及知识体系: 、基本概念及知识体系 1、 函数概念:书本:P15 实例 1、炮弹的发射——解析法;实例 2、臭氧问题——图象法;实例 3、恩格尔系 数——列表法; 2、 函数的定义:P16 定义:设 A、B 是非空数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一 个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x) 和它对应,那么称 f: A → B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 (function) ,记作: y = f ( x), x ∈ A . 其中,x 叫自变量,x 的取值范围 A 叫作定义域(domain) ,与 x 的 值对应的 y 值叫函数值,函数值的集合 { f ( x) | x ∈ A} 叫值域(range) ;注意记为 y=f(x),x∈A; 3、 构成函数的三要素是:定义域、值域、对应法则。 4、函数 y=f(x)的定义域和值域:已学的一次函数 y = ax + b (a ≠ 0) 、二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0) 的定义 域与值域? ●练习:题 1、 f ( x) = x2 ? 2x + 3 ,求 f(0)、f(1)、f(2)、f(-1)的值。 → 题 2、求 y = x2 ? 2x + 3, x ∈{?1,0,1,2}值域. 5、 区间的概念: ●练习:1、用区间表示:R、{x|x≥a}、{x|x>a}、{x|x≤b}、{x|x<b} 2、 用区间表示:函数 y= x 的定义域 ,值域是 。
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●作业: 已知函数 f(x)=3x 2 +5x-2,求 f(3)、f(- 2 )、f(a)、f(a+1) (Ⅱ) 典例剖析与课堂讲授过程: 、典例剖析与课堂讲授过程 、典例剖析与课堂讲授过程 (一) 、函数的概念: (二) 、函数的定义域的常见求法: ★【例题 1】 、书本 P17 例题 1、例题 2 ★ 【例题 2】 如果函数?(x)满足: 、 对任意的实数 m、 都有?(m)+ ?(n)= ?(m+n)且?(1003)=2, n 则?(1)+ ?(3)+ ?(5)+… +?(2005)=____(2006) ★【例题 3】 、(06·重庆·T21·12 分)已知定义域为 R 的函数 f(x)满足?(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x. (Ⅰ) f(2)=3,求 f(1);又若 f(0)=a,求 f(a); 若 (Ⅱ) 设有且仅有一个实数 x0,使得 f(x0)= x0,求函数 f(x)的解析表达式. 2 ▲解: (Ⅰ)因为对任意 x∈R,有 f(f(x)- x + x)=f(x)- x2 +x,所以 f(f(2)- 22+2)=f(2)- 22+2. 又由 f(2)=3,得 f(3-22+2)-3-22+2,即 f(1)=1.;若 f(0)=a,则 f(a-02+0)=a-02+0,即 f(a)=a. (Ⅱ)因为对任意 xεR,有 f(f(x))- x2 +x)=f(x)- x2 +x.;又因为有且只有一个实数 x0,使得 f(x0)- x0. 所以对任意 x∈R,有 f(x)- x2 +x= x0.;在上式中令 x= x0,有 f(x0)-x 0 + x0= x0, 又因为 f(x0)- x0,所以 x0- x 0 =0,故 x0=0 或 x0=1.;若 x0=0,则 f(x)- x2 +x=0,即 f(x)= x2 –x. 但方程 x2 –x=x 有两上不同实根,与题设条件矛质,故 x2≠0. 若 x2=1,则有 f(x)- x2 +x=1,即 f(x)= x2 –x+1.易验证该函数满足题设条件. 综上,所求函数为 f(x)= x2 –x+1(x ∈ R). ▲★课堂练习: ●练习题:书本 P19 题 1、2、3;书本 P24:习题 1、2、3、4、5 ●思考题:已知函数?(x)对一切实数 x、y 均有?(x+y)-?(y)=(x+2y+1) 成立,且?(1)=0 ·x 1 ①求?(0)之值;②当?(x)+3<2x+a 且 0<x< 恒成立时,求 a 的取值范围 2 1 3 ) 解、①?(0)=-2; ②化为 a>(x- )2+ 从而有{a| a≥1}为所求(函数的恒成立问题——函数思想去处理! 2 4 (三) 、今日作业:
2 2

?| x ? 1 | ?2,| x |≤ 1, 1 ? ●1、设 f(x)= ? 1 ,则 f[f( )]=( B ) 2 ?1 + x 2 , | x |> 1 ?
4 9 25 (C)- (D) 13 5 41 1 1 3 1 1 4 解:f[f( )]=f[| -1|-2]=f[- ]= = = ,选(B) 2 2 2 1 + (? 3 ) 2 13 13 2 4
(A) (B) (四) 、提高练习: ★【题 1】 、已知函数 f (x)=2x-1, g ( x) = ?

1 2

? x 2 (当x ≥ 0时)
,求 f[g(x)]和 g[f(x)]之值。

?-1(当x<0时)

★【题 2】 、书本:P25:6 题。 ★【题 3】 、已知函数 f(x+1)=x2-3x+2,求 f(x)之表达式 ★【题 4】 、已知函数 f( x +4)=x+8 x +2,求 f(x2)之表达式(学习高手 P44) ★思考题: 【题 5】 、二次函数?(x)=ax2+bx (a,b 为常数且 a≠0)满足?(-x+5)=?(x-3)且方程?(x)=x 有等 根;①求?(x)的解析式;②是否存在实数 m、n(m <n)使?(x)定义域为[m,n],值域为[3m,3n],若存在,
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求出 m、n 之值,若不存在,说明理由 1 解、①?(x)=- x2+x 2 1 1 1 ②由于?(x)的值域是?(x)≤ ,则 3n≤ ,即 n≤ ,所以有?(m)=3m 且?(n)=3n 2 2 6

∴存在实数 m=-4,n=0 使?(x)定义域为[-4,0],值域为[-12,0]

(Ⅲ) 、课堂回顾与小结: 1、注意函数的表示和定义域问题。 2.已知函数 f ( x ) , g ( x ) 分别由下表给出

x
f ( x)

1 1

2 3

3 则 1 则

x
g ( x)

1 3

2 2

3 1

f [ g (1)] 的值


2

;满足 f [ g ( x )] > g[ f ( x )] 的 x 的值是
?1 3

2. 1 . 20076 2.

3.设函数 f1 ( x) = x ,f 2 ( x ) = x ,f 3 ( x ) = x ,则 f1 ( f 2 ( f 3 (2007))) =

4、已知 a,b 为常数,若 f ( x ) = x 2 + 4 x + 3, f ( ax + b) = x 2 + 10 x + 24, 则 5a ? b = 5.函数 f ( x ) =

x2 ?1 f (2) , 则 =( B 2 1 x +1 f( ) 2
B.-2



A.2

C.

3 5

D. ?

3 5

湖南省省级示范性高中……洞口三中高一数学第一学期授课讲义 湖南省省级示范性高中……洞口三中高一数学第一学期授课讲义 …… 义五: 函数及其表示( ) 讲义五: 函数及其表示(2)
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、基本概念及知识体系: (Ⅰ) 基本概念及知识体系: 、基本概念及知识体系 函数的概念、函数的定义域、值域,注意充分利用函数的图象,培养基本的数形结合的思想方法。 1 -1 1 【★例题 1】设?(x+1)的定义域为[-2,3)则?( +2)的定义域为___({x|x≤ 或 x> } 3 2 x

【★ 例题 2】、将进货单价为 80 元的商品 400 个,按 90 元一个售出时全部卖出,已知这种商品每个涨价 1
元,其销售个数就减少 20 个,为了获得最大利润,售价应定为每个多少元。

★●练习题: 1、下面可能表示函数的图象的是( )

★1、 广东)客车从甲地以 60km/h 的速度匀速行驶 1 小时到达乙地,在乙地停留了半小时,然后以 80km/h 的速度匀速行驶 (07
1 小时到达丙地, 下列描述客车从甲地出发.经过乙地, 最后到达丙地所经过的路程 s 与时间 t 之间关系的图象中, 正确的是 ( 数学题 http://dayi.dezhi.com/shuxue ) 8

数学题 http://dayi.dezhi.com/shuxue

A.

B.

C.

D.

B.

、典例剖析与课堂讲授过程: (Ⅱ) 典例剖析与课堂讲授过程: 与课堂讲授过程 ●例题 1: (2000 年全国高考题)某种蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从 2 月 1 日起的 300 天内, 西红柿市场售价 p 与上市时间 t 的关系图是一条折线(如图(1)) ,种植成本 Q 与上市时间 t 的关系是一条抛物 线(如图(2))①、写出西红柿的市场售价与时间的函数解析式 p=f(t). ②、写出西红柿的种植成本与时间的函数解析式 Q=g(t). ③、认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大?

p 300 200 100 O 100 200 (图 1) 300 t

Q 300 250 200 150 100 50 O

50

100 150 200 250 300 (图 2)

t

? ? t + 300,0 ≤ t ≤ 200, ●解:(1)f(t)= ? ?2t ? 300,200 < t ≤ 300. (2)g(t)=
1 (t ? 150) 2 + 100, (0 ≤ t ≤ 300) . 200

(3)纯收益 h(t)=f(t)-g(t) 1 ? 2 ? ? 200 (t ? 50) + 100,0 ≤ t ≤ 200, =? 1 ?? (t ? 350) 2 + 100,200 < t ≤ 300. ? 200 当 t=50 时,h(t)的最大值为 100,即从 2 月 1 日开始的第 50 天西红柿的纯收益最大.

★【题 2】如右图,已知底角 45?为的等腰梯形 ABCD,底边 BC 长为 7,腰长为 2 2 ,当一条垂直于底 边 BC(垂足为 E)的直线 l 从左至右移动(与梯形 ABCD 有公共点)时,直线 l 把梯形分成两部分,令 BE=x,试写出图中阴影部分的面积 y 与 x 的函数关系式.

解:

1 2 ? x , x ∈ (0,2], ? 2 ? y=? 2 x ? 2, x ∈ (2,5], ? 1 2 ?? 2 ( x ? 7) + 10, x ∈ (5,7]. ?
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●【题 3】 、有一种密英文的明文(真实文)按字母分解,其中英文的 a,b,c,…,z 的 26 个字母(不分大小写),依次对应 1,2,3,…,26 这 26 个自然数,见如下表格: a b c d e f g h i j k l m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 n o p q r s t u v w x y z 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 给出如下一个的变换公式: x′= x+1 (x∈N,1≤x≤26,x 不能被 2 整除) 2 x 8 5+1 +13(x∈N,1≤x≤26,x 能被 2 整除) 将明文转换成密文,如 8→ +13=17,即 h 变成 q;5→ =3,即 e 2 2 2 变成 c。①按上述规定,将明文 good 译成的密文是什么?②按上述规定,若将某明文译成的密文是 shxc,那么 原来的明文是什么? 15+1 7+1 ●解:①g→7→ =4→d;o→15→ =8→h;d→o;则明文 good 的密文为 dhho 2 2 ②逆变换公式为 x= 2x′-1 (x′∈N, 1≤x′≤13) 2x′-26 (x′∈N,14≤x′≤26),则有 s→19→2×19-26=12→l;h→8→2×8-1=15→o,x→24→ 2×24-26=22→v;c→3→2×3-1=5→e;故密文 shxc 的明文为 love.

四、今日作业: 今日作业: ★1、 .某航空公司规定,乘机所携带行李的重量(kg) 与其运费(元)由如图的一次函数图像确定,那 么乘客免费可携带行李的最大重量为 ______ _____19 kg _.

★2.某校校长暑假将带领该校市级“三好生”去北京旅游。甲旅行社说: “如果校长买全票一张,则其余学生 可享受半价优待。 ”乙旅行社说: “包括校长在内,全部按全票价的 6 折(即按全票价的 60%收费)优惠。 ”若全票 价为 240 元.; (I)设学生数为 x,甲旅行社收费为 y甲 ,乙旅行社收费为 y乙 ,分别计算两家旅行社的收费(建立 表达式); (II)当学生数是多少时,两家旅行社的收费一样; (III)就学生数 x 讨论哪家旅行社更优惠. ★解: (I) y甲 =120x+240,

y乙 =240·60%(x+1)=144x+144.

(II)根据题意,得 120x+240=144x+144, 解得 x=4. 答:当学生人数为 4 人时,两家旅行社的收费一样多.
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(III)当 y甲 > y乙 ,120x+240>144x+144, 解得 当 y甲 < y乙 , 120x+240<144x+144, 解得

x<4;

x>4.

答:当学生人数少于 4 人时,乙旅行社更优惠;当学生人数多于 4 人时,甲旅行社更优惠.

湖南省省级示范性高中……洞口三中高一数学第一学期授课讲义 湖南省省级示范性高中……洞口三中高一数学第一学期授课讲义 …… 义六: 函数的值域和映射概念 讲义六: 函数的值域和映射概念
撰稿: 方锦昌 电子邮箱 fangjingchang2007@163.com 手机号码 13975987411

、基本概念及知识体系: (Ⅰ) 基本概念及知识体系: 、基本概念及知识体系 函数的概念、函数的定义域、值域,注意充分利用函数的图象,培养基本的数形结合的思想方法。 【★例题 1】 1 -1 1 ■①、设?(x+1)的定义域为[-2,3)则?( +2)的定义域为___({x|x≤ 或 x> } 3 2 x ■②、求下列函数的定义域(用区间表示) f(x)=
x?3 x ?2
2



f(x)= 2 x ? 9 ;

f(x)= x + 1 -

x 2? x

、教学:函数值域的求法: (Ⅱ) 教学:函数值域的求法: 、教学 1、常见函数的值域:①、一次函数 y= kx+b (k≠0)的值域: ③、反比例函数 y= k (k≠0)的值域: x

②、二次函数 y= ax2+bx+c (a≠0)的值域:

●例 2:求值域(用区间表示) :y=x 2 -2x+4;f(x)= x2-3x+2 ;y=

?5 x?2 ;f(x)= ; x+3 x+3

▲★:小结求值域的方法: 观察法、配方法、拆分法、基本函数法

、巩固练习: (Ⅲ) 巩固练习: 、巩固练习 ▲1、求下列函数的值域: 、求下列函数的值域: ①、y= 4- 3+2x-x2 :配方及图象法: ②、y= 1-2x +x 的值域 (换元法答案:y≤1); ③、y= 1-x 2x+5

分离常数法:

④、y=

3x 判别式法或均值不等式法: x2+4

●2.求函数 y=-x 2 +4x-1 ,x∈[-1,3) 在值域。 解、 (数形结合法) :画出二次函数图像 → 找出区间 → 观察值域(注意描成阴影部分)

◆3.已知函数 f(x)的定义域是[0,1],则函数 f(x+a)的定义域是



#●4.课堂作业:书 P24: 1、2、3 题。 、综合提高部分: (Ⅳ) 综合提高部分 、综合提高部分 【★例题 1】设函数?(x)=x2-2x+2,x∈[t,t+1]的最小值为 g(t),写出 g(t)的表达式。 解:注意利用图形去处理问题,培养一种数形结合的思想方法.
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【★题 2】 设函数?(x)表示-2x+2 与-2x2 +4x+2 中的最小值,则?(x)的最大值为( B ) A 1 B 2 C 3 D0

、典例剖析与课堂讲授: (Ⅴ) 典例剖析与课堂讲授: 与课堂讲授 ●★【例题 3】 、二次函数?(x)=ax2+bx(a,b 为常数且 a≠0)满足?(-x+5)=?(x-3)且方程?(x)=x 有等根; ①求?(x)的解析式;②是否存在实数 m、n(m <n)使?(x)定义域为[m,n],值域为[3m,3n],若存在,求出 m、n 之值,若不存在,说明理由 1 ▲解、①?(x)= - x2+x 2 =3n 1 1 1 ②由于?(x)的值域是?(x)≤ ,则 3n≤ ,即 n≤ ,所以有?(m)=3m 且?(n) 2 2 6

∴存在实数 m=-4,n=0 使?(x)定义域为[-4,0],值域为[-12,0]

a+b ●注意:若函数满足有:?(a+x)=?(b-x)则此函数必有对称轴:x= 2

(Ⅵ). 教学映射概念: Ⅵ 教学映射概念: ① 先看几个例子,两个集合 A、B 的元素之间的一些对应关系,并用图示意 A = {1, 4,9} , B = {?3, ?2, ?1,1, 2,3} ,对应法则:开平方; A = {?3, ?2, ?1,1, 2,3} , B = {1, 4,9} ,对应法则:平方;

A = {30°,45°,60°} , B = {1,

2 3 1 , , } , 对应法则:求正弦; 2 2 2

② 定义映射:一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的任意 一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f : A → B 为从集合 A 到集合 B 的一个 映射(mapping) .记作“ f : A → B ” 关键: A 中任意,B 中唯一;对应法则 f.

口诀:看原象,要求每元必有象,且象唯一。对应方式:一对一;多对一;不允许一对多!
2.教学例题: 教学例题: 教学例题 ① 出示书本例题 7: 探究从集合 A 到集合 B 一些对应法则,哪些是映射,哪些是一一映射? A={P | P 是数轴上的点},B=R; A={三角形},B={圆}; A={ P | P 是平面直角体系中的点}, B = {( x, y ) | x ∈ R, y ∈ R} ; A={高一某班学生},B= ? ③ 练习:判断下列两个对应是否是集合 A 到集合 B 的映射? A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9},对应法则 f : x → 2 x + 1 ;

A = N * , B = {0,1} ,对应法则 f : x → x除以2得的余数 ; A = N , B = {0,1, 2} , f : x → x被3除所得的余数 ; 1 1 1 设 X = {1,2,3,4}, Y = {1, , , } f : x → x取倒数 ; 2 3 4 A = {x | x > 2, x ∈ N }, B = N , f : x → 小于x的最大质数

三、巩固练习: 1、练习:书 P23、 2、3、4 题; 巩固练习

2.课堂作业:书 P28 10 题.

、课堂回顾与小结: (Ⅲ) 课堂回顾与小结: 、课堂回顾与小结 1、 函数的定义域、值域的求解————特别是图形结合的应用; 、 2、映射的概念及注意之处。

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湖南省省级示范性高中……洞口三中高一数学第一学期授课讲义 湖南省省级示范性高中……洞口三中高一数学第一学期授课讲义 …… 义七: 函数图象的基本变换 讲义七: 函数图象的基本变换
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、基本概念及知识体系: (一) 基本概念及知识体系: 、基本概念及知识体系 1、常见函数的图象 、常见函数的图象:①、一次函数 y= kx+b (k≠0): ③、反比例函数 y= k (k≠0): x

②、二次函数 y= ax2+bx+c (a≠0):

2、基本的图象变换: 、基本的图象变换 特别要求注意函数 y=f(|x|)和函数 y=|f(x)|的图象的作图方法. ①、平移变化:y=?(x)左移 m:?_______;y=?(x)右移 m:?_______;y=?(x)上移 h:?_______;y=? (x)下移 h:?_______; ③、对称变化: y=?(-x)的图象为:_____;y=-?(x)的图象为:_____; y= -?(-x)的图象为:_____; y=? (|x|)的图象为:_____ ;y=|?(x)|的图象为:_____; a+b 3、几个常用结论:①、若函数 y=?(x)满足?(x+a)= ?(b-x)恒成立,则函数 y=?(x)的对称轴为直线 x= 2 ; 几个常用结论: ②、若两个函数 y=?(a+x) 与函数 y=?(b-x),则它们的图象关于直线 x= (二)、典例剖析和教学过程: 二 、典例剖析和教学过程: 【★例题 1】P21、例题 5、画出函数 y=|x|的图象 b-a 对称。 2

●练习题 ★1、书本第 P23、练习题 3 题:画出函数 y=|x-2|的图象; ★题 2:画出函数 y=| x2-2x-3|的图象。 ★3、函数 y=?(x)=x+3/x+4 的图象是由函数 y=?(x)=1 /x 经过怎样的变换而得到的? 、关于分段函数的图象问题 (三) 关于分段函数的图象问题 、关于分段函数的图象问题: 书本例题:第 P21 题 1:招手即停的应用问题 ★练习题: ※【题 1】给出两个命题,甲:不等式|x|+|x-2|<m 有解 乙:方程 4x2+4(m-2)x+1=0 无实根,若甲真乙假,则 m 的取值范围为____ ●解、①甲真,则不等式|x|+|x-2|<m 有解?m>2 ②乙假,则方程 4x2+4(m-2)x+1=0 有实根, 即△=[4(m-2)]2-4×4×1≥0?m≤1 或 m≥3 ∴{m|m≥3}为所求 ※【★题 2】不等式 x+|x-2c|>1 的解集为R(c>0),则 c 的取值范围为_ 1 ●解、 {c|c> } 2 a2

、函数图象的应用: (四) 函数图象的应用: 、函数图象的应用 ★ 【★题 1】 已知函数? x) 2-2(2a+1)x +a2(a∈R), x∈[0,1]时, ( =x 当 求出函数? x) ( 的最小值 g(a) -1 (a≤ ) 2 ●解、g(a) = -3a2-3a-1 a2-4a-1 , 【★题 2】对 a, b ∈ R ,记 max{a, b} = ? -1 ( ≤a≤0) 2 (a>0)

?a , a ≥ b ;函数 f ( x ) = max{ x + 1 , x ? 2 }(x ∈ R ) 的最小值是 ?b, a<b

.

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●解析:由 x + 1 ≥ x ? 2 ? ( x + 1) ≥ ( x ? 2 ) ? x ≥
2 2

1 ,故 2

? ? x +1 ? f (x ) = ? ?x?2 ? ?

1? ? ?x ≥ ? 2? ? ,其图象如右, 1? ? ?x < ? 2? ?
?1? ?2? 1 3 +1 = 。 2 2

y = x?2

y = x+

则 f min ( x ) = f ? ? =

、利用函数的图象去观察函数的单调性和最值的问题 (五) 利用函数的图象去观察函数的单调性和最值的问题: 、利用函数的图象去观察函数的单调性和最值的问题 ★书本第 P29 例题 1: 、今日作业: (六) 今日作业 、今日作业 ●画出下列函数的图象:《学习高手》第 P62 的例题 4

、课堂回顾与小结: (七) 课堂回顾与小结: 、课堂回顾与小结 注意利用函数图象的基本初等变换去处理问题(上下平移、左右平移之规律) 。

湖南省省级示范性高中……洞口三中高一数学第一学期授课讲义 湖南省省级示范性高中……洞口三中高一数学第一学期授课讲义 …… 讲义八: 函数的的基本性质 单调性和最值(1) 性质----单调性和最值 讲义八: 函数的的基本性质 单调性和最值
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、基本概念及知识体系: (一) 基本概念及知识体系: 、基本概念及知识体系 1、教学要求:理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念,掌握增(减)函数的证明和判别, 学会运用函 、教学要求: 数图象理解和研究函数的性质。 2、教学重点:掌握运用定义或图象进行函数的单调性的证明和判别。 3、教学难点:理解概念。 (二) 、教学过程与典例剖析: ●、复习准备: 、复习准备: 1.引言:函数是描述事物运动变化规律的数学模型,那么能否发现变化中保持不变的特征呢? 2. 观察下列各个函数的图象,并探讨下列变化规律: ①随 x 的增大,y 的值有什么变化? ②能否看出函数的最大、最小值? ③函数图象是否具有某种对称性? ★题 3. 画出函数 f(x)= x+2、f(x)= x 2 的图像。 (小结描点法的步骤:列表→描点→连线) 讲授新课: 二、讲授新课: 1.教学增函数、减函数、单调性、单调区间等概念: 教学增函数、 教学增函数 减函数、单调性、单调区间等概念: ①根据 f(x)=3x+2、 f(x)=x 2 (x>0)的图象进行讨论: 随 x 的增大,函数值怎样变化? 当 x 1 >x 2 时,f(x 1 )与 f(x 2 )的大小关系怎样? ②.一次函数、二次函数和反比例函数,在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质? ③定义增函数:设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2, 当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数(increasing function) ④探讨:仿照增函数的定义说出减函数的定义;→ 区间局部性、取值任意性 ⑤定义:如果函数 f(x)在某个区间 D 上是增函数或减函数,就说 f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区 间 D 叫 f(x)的单调区间。 ⑥讨论:图像如何表示单调增、单调减?所有函数是不是都具有单调性?单调性与单调区间有什么关系?y= x 的单调区间怎样? ③练习(口答) :如图,定义在[-4,4]上的 f(x),根据图像说出单调区间及单调性。
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2.教学增函数、减函数的证明: 教学增函数、减函数的证明: 教学增函数 ①出示 ★例 1:指出函数 f(x)=- +2、g(x)= =-3x+ 、 : =- =
1 的单调区间及单调性,并给出证明。 的单调区间及单调性,并给出证明。 x

(由图像指出单调性→示例 f(x)=-3x+2 的证明格式→练习完成。 ) k ②出示例 2:物理学中的玻意耳定律 p = (k 为正常数) ,告诉我们对于一定量的气体,当其体积 V 增大时, V 压强 p 如何变化?试用单调性定义证明. (学生口答→ 演练证明) ③小结:比较函数值的大小问题,运用比较法而变成判别代数式的符号。 判断单调性的步骤:设 x 1 、x 2 ∈给定区间,且 x 1 <x 2 ; →计算 f(x 1 )-f(x 2 )至最简→判断差的符号→下结 论。 巩固练习: 三、巩固练习: 1.求证 f(x)=x+
1 的(0,1]上是减函数,在[1,+∞)上是增函数。 x

2.判断 f(x)=|x|、y=x 3 的单调性并证明。 3.讨论 f(x)=x 2 -2x 的单调性。 推广:二次函数的单调性 4.课堂作业:书 P43 1、2、3 题。 本堂课之备选例题和习题: 四、本堂课之备选例题和习题: ★例题 1、证明函数 y=x3-b(b 为常数)是 R 上的增函数。 (见教案 P40 面题 1) ★例题 2、定义(-1,1)上的函数 f(x)是↘,且满足 f(1-a)<f(a),求实数 a 的取值范围。 ● 解:0<a<1/2. (见教案 P40 面题 2) x-1 ★例题 3、求函数 y= (当-2≤x≤1 时),求出其最大值和最小值 x-2 3 ●解:最大值为 ,最小值为 0。见教案 P44 面题补充练习题) 4 ●★例题 4、已知 f ( x ) = 五、备选之练习题: 备选之练习题: 练习题 x2+2x+3 (x∈[2,+∞),证明该函数为↗,并求出其最小值。 x 11 解: (见教案 P45 面题 2)(为 ) ; 2 ★题 2、已知函数 f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0)在[2,3]上的最大值为 5 和最小值为 2,求出 a 和 b 之值。 ●解:a=-1,b=3 或 a=1,b=0 见教案 P45 面题 1。 ★题 3、已知函数 f(x)= x2+bx+c,对任意的实数 t,都有 f(2=t)=f(2-t),试比较 f(1)、f(2)、f(4)之大小。 ●解:见教材全解 P108 例题 4;注意函数满足 f(a+x)=f(b-x)时,其对称轴为 x=a+b/2;同时要注意利用对称性, 将所比较的数值对应的自娈量转化到同一个单调区间之上,才能利用函数的单调性得出相应结果。 ★题 4、已知函数 f(x)= x2-2(1-a)x+2,在(-∞,4)上是减函数,求出实数 a 之取值范围。 解;见教材全解 P109 例题 5;a≤-3;二次函数的问题要特别注意三点:开 y 口方向,对称轴,顶点坐标。 ★题 4、图中的图象所表示的函数的解析式为( B ) ★题 1、已知函数 f(x)= A. y =

{

1, (当x ≥ 0时), 则不等式 xf ( x ) + x ≤ 2 ≤5 的解集是 ?1, (当x? 0时),

.x≤3/2

3 x ?1 2 3 3 B y = ? x ?1 2 2 3 C. y = ? x ? 1 2
D. y = 1 ? x ? 1

(0 ≤ x ≤ 2) (0 ≤ x ≤ 2) (0 ≤ x ≤ 2) (0 ≤ x ≤ 2)

3 2

O

1

2

x

第 7 题图

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? 2 ★题 6.设函数 f ( x) = ? x + bx + c, x ≤ 0, x ≤ 0, 若f (?4) = f (0), f (?2) = ?2, 则关于 x 的方程 x > 0. ?2,
f ( x) = x 解的个数为 (

C )A.1

B.2

C.3

D.4

★题 7.若不等式 x2+ax+1≥0 对于一切 x∈(0, A.0 B. –2 C.-

1 )成立,则 a 的取值范围是( C 2
D.-3



5 2

a a 1 1 ;若 - ≥ ,即 a≤-1 时,则 f(x)在〔0, 〕上 2 2 2 2 1 5 a 1 是减函数,应有 f( )≥0?- ≤x≤-1 若 - ≤0,即 a≥0 时,则 f(x)在〔0, 〕上是增函数,应有 2 2 2 2
●解:设 f(x)=x2+ax+1,则对称轴为 x= - f(0)=1>0 恒成立,故 a≥0 若 0≤ -

a 1 a a2 a2 a2 ≤ ,即-1≤a≤0,则应有 f( - )= - +1= - 1 ≥0恒 2 2 2 4 2 4

成立,故-1≤a≤0,综上,有-

5 ≤a 故选 C 2

★例题 1、设函数 f(x)= x2+1 -ax,其中 a≥1,证明:函数 f(x)为区间[0,+∞)的↘ ●解:注意分子有理化。 ★ 例题 2、 定义于 R 上的函数 y=f(x), f(0)≠0, 当 x>0 时 f(x)>1, 有 , 且对任意的 a、 b∈R, f(a+b)=f(a)· 有 f(b); 2 (1)证明: 、 f(0)=1; 、 (2)对任意的 x∈R,恒有 f(x)>0; 、 (3)证明: f(x)是 R 上的增函数; 若 f(x)· (4) f(2x-x )>1, 求 x 的取值范围。 ●解:①、抽象函数的单调性的证明,注意利用 f(x2)=f(x2-x1+x1)或令 f(x2)=f(x1+t)(其中 t>0)去灵活变形。 ②、 注意转化为函数的单调性去处理不等式:x∈(0,3)

●今日作业: 【★题 1】已知函数:①、y=x2+2x+5; ②y=-x2-4x+3 (1)、分别写出它们的单调区间; (2)分别求出它们在[0,5)上的值域;

【★题 2】设?(x+1)的定义域为[-2,3)则?(

1 -1 1 +2)的定义域为___({x|x≤ 或 x> } 3 2 x

【★ 例题 3】、将进货单价为 80 元的商品 400 个,按 90 元一个售出时全部卖出,已知这种商品每个涨价 1
元,其销售个数就减少 20 个,为了获得最大利润,售价应定为每个多少元。

★【题 4】如右图,已知底角 45?为的等腰梯形 ABCD,底边 BC 长为 7,腰长为 2 2 ,当一条垂直于底 边 BC(垂足为 E)的直线 l 从左至右移动(与梯形 ABCD 有公共点)时,直线 l 把梯形分成两部分,令 BE=x,试写出图中阴影部分的面积 y 与 x 的函数关系式.

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解:

1 2 ? x , x ∈ (0,2], ? 2 ? y=? 2 x ? 2, x ∈ (2,5], ? 1 2 ?? 2 ( x ? 7) + 10, x ∈ (5,7]. ?

湖南省省级示范性高中……洞口三中高一数学第一学期授课讲义 湖南省省级示范性高中……洞口三中高一数学第一学期授课讲义 …… 义九: 函数的基本性质 单调性和最值(2) 的基本性质----单调性和最值 讲义九: 函数的基本性质 单调性和最值
撰稿: 方锦昌 电子邮箱 fangjingchang2 007@163.com 手机号码 13975987411

、基本概念及知识体系: (一) 基本概念及知识体系: 、基本概念及知识体系 教学要求:更进一步理解函数单调性的概念及证明方法、判别方法,理解函数的最大(小)值及其几何意义. 教学重点:熟练求函数的最大(小)值。 教学难点:理解函数的最大(小)值,能利用单调性求函数的最大(小)值。 教学过程: 复习准备: 一、复习准备: 1.指出函数 f(x)=ax 2 +bx+c (a>0)的单调区间及单调性,并进行证明。 2. f(x)=ax 2 +bx+c 的最小值的情况是怎样的? 3.知识回顾:增函数、减函数的定义。 讲授新课: 二、讲授新课: 1.教学函数最大(小)值的概念: 教学函数最大( 值的概念: 教学函数最大 ① 指出下列函数图象的最高点或最低点,→ 能体现函数值有什么特征? f ( x ) = ?2 x + 3 , f ( x ) = ?2 x + 3 x ∈ [ ?1, 2] ; f ( x) = x 2 + 2 x + 1 , f ( x) = x 2 + 2 x + 1 x ∈ [ ?2, 2] ② 定义最大值:设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M;存在 x0∈I,使得 f(x0) = M. 那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值(Maximum Value) ③ 探讨:仿照最大值定义,给出最小值(Minimum Value)的定义. → 一些什么方法可以求最大(小)值?(配方法、图象法、单调法) → 试举例说明方法. 2.教学例题: 教学例题: 教学例题 ① 出示 ★例题 1:一枚炮弹发射,炮弹距地面高度 h(米)与时间 t(秒)的变化规律是 h = 130t ? 5t 2 ,那么什么时刻 距离达到最高?射高是多少? (学生讨论方法 → 师生共练:配方、分析结果 → 探究:经过多少秒落地?) ② 练习:一段竹篱笆长 20 米,围成一面靠墙的矩形菜地,如何设计使菜地面积最大? (引导:审题→设变量→建立函数模型→研究函数最大值; →小结:数学建模) ③ 出示 在区间[3, 上的最大值和最小值 ★例 2:求函数 y = 3 在区间 ,6]上的最大值和最小值. : x?2 3 分析:函数 y = , x ∈ [3,6] 的图象 → 方法:单调性求最大值和最小值. x?2 → 板演 → 小结步骤:先按定义证明单调性,再应用单调性得到最大(小)值. 3+ x → 变式练习: y = , x ∈ [3,6] x?2 3 3 ④ 探究: y = 的图象与 y = 的关系? x?2 x

的最小值. ⑤ 练习:求函数 y = 2 x + x ? 1 的最小值 (解法一:单调法; 解法二:换元法) 3. 看书 P34 例题 → 口答 P36 练习 →小结:最大(小)值定义 ;三种求法.
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三、巩固练习: 巩固练习: 1. 求下列函数的最大值和最小值: 5 3 (1) y = 3 ? 2 x ? x 2 , x ∈ [ ? , ] ; (2) y =| x + 1| ? | x ? 2 | 2 2 2.一个星级旅馆有 150 个标准房,经过一段时间的经营,经理得到一些定价和住 房率的数据如右: 欲使每天的的营业额最高,应如何定价? (分析变化规律→建立函数模型→求解最大值) 3. 课堂作业:书 P43 A 组 5 题;B 组 1、2 题.

房价(元) 住房率(%) 160 55 140 65 120 75 100 85

四、备选用思考题: 备选用思考题: 思考题
【题 1】 、二次函数?(x)=ax2+bx (a,b 为常数且 a≠0)满足?(-x+5)=?(x-3)且方程?(x)=x 有等根;①求? (x)的解析式;②是否存在实数 m、n(m <n)使?(x)定义域为[m,n],值域为[3m,3n],若存在,求出 m、n 之值,若不存在,说明理由 1 解、①?(x)=- x2+x 2 1 1 1 ②由于?(x)的值域是?(x)≤ ,则 3n≤ ,即 n≤ ,所以有?(m)=3m 且?(n)=3n 2 2 6

∴存在实数 m=-4,n=0 使?(x)定义域为[-4,0],值域为[-12,0] ★例 2:某产品单价是

120 元,可销售 80 万件。市场调查后发现规律为降价 x 元后 万件。 万件, 万元)与 的函数关系式, 可多销售 2x 万件,写出销售金额 y(万元 与 x 的函数关系式,并求当降价多少个元 万元 销售金额最大? 时,销售金额最大?最大是多少
分析:此题的数量关系是怎样的?函数呢?如何求函数的最大值?? 小结:利用函数的单调性(主要是二次函数)解决有关最大值和最大值问题。

★题 3:①、求函数 y=x+ 2 x ? 1 的值域。 ②、判断函数 y=
x+2 cx + d 单调区间并证明。 (定义法、图象法; 推广: 的单调性) x +1 ax + b

③、讨论 y= 1 ? x 2 在[-1,1]上的单调性。

(思路:先计算差,再讨论符号情况。 )

2

★ 【例题 4】某村计划建造一个室内面积为 800m 的矩形蔬菜温室,在温室内,沿左、右两侧与后侧内墙 各保留 1m 宽的通道,沿前侧内墙保留 3m 宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最 大?最大种植面积是多少? ★【例题 5】 、(06·重庆·T21·12 分)已知定义域为 R 的函数 f(x)满足?(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x. (Ⅰ) f(2)=3,求 f(1);又若 f(0)=a,求 f(a); 若 (Ⅱ) 设有且仅有一个实数 x0,使得 f(x0)= x0,求函数 f(x)的解析表达式. 2 ▲解: (Ⅰ)因为对任意 x∈R,有 f(f(x)- x + x)=f(x)- x2 +x,所以 f(f(2)- 22+2)=f(2)- 22+2. 又由 f(2)=3,得 f(3-22+2)-3-22+2,即 f(1)=1.;若 f(0)=a,则 f(a-02+0)=a-02+0,即 f(a)=a. (Ⅱ)因为对任意 xεR,有 f(f(x))- x2 +x)=f(x)- x2 +x.;又因为有且只有一个实数 x0,使得 f(x0)- x0. 所以对任意 x∈R,有 f(x)- x2 +x= x0.;在上式中令 x= x0,有 f(x0)-x 0 + x0= x0, 又因为 f(x0)- x0,所以 x0- x 0 =0,故 x0=0 或 x0=1.;若 x0=0,则 f(x)- x2 +x=0,即 f(x)= x2 –x. 但方程 x2 –x=x 有两上不同实根,与题设条件矛质,故 x2≠0. 若 x2=1,则有 f(x)- x2 +x=1,即 f(x)= x2 –x+1.易验证该函数满足题设条件. 综上,所求函数为 f(x)= x2 –x+1(x ∈ R). ★
2 2

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讲义十: 义十:
撰稿: 方锦昌

函数的基本性质 函数的基本性质-----奇偶性 奇偶性 的基本性质
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、基本概念及知识体系: (一) 基本概念及知识体系: 、基本概念及知识体系 教学要求:理解奇函数、偶函数的概念及几何意义,能熟练判别函数的奇偶性。 教学重点:熟练判别函数的奇偶性。 教学难点:理解奇偶性。 教学过程: 复习准备: 一、复习准备: 1.提问:什么叫增函数、减函数?
2 2 ★2.指出 f(x)=2x -1 的单调区间及单调性。 →变题:|2x -1|的单调区间

★3.对于 f(x)=x、f(x)=x 、f(x)=x 、f(x)=x ,分别比较 f(x)与 f(-x)。 讲授新课: 二、讲授新课: 1.教学奇函数、偶函数的概念: 教学奇函数、 教学奇函数 偶函数的概念: 1 ①给出两组图象: f ( x) = x 、 f ( x) = 、 f ( x) = x3 ; f ( x) = x 2 、 f ( x) =| x | . x 发现各组图象的共同特征 → 探究函数解析式在函数值方面的特征 ② 定义偶函数:一般地,对于函数 f ( x) 定义域内的任意一个 x,都有 f (? x) = f ( x) ,那么函数 f ( x) 叫偶函数 (even function). ③ 探究:仿照偶函数的定义给出奇函数(odd function)的定义. (如果对于函数定义域内的任意一个 x,都有 f (? x) = ? f ( x) ) ,那么函数 f ( x) 叫奇函数。 ④ 讨论:定义域特点?与单调性定义的区别?图象特点?(定义域关于原点对称;整体性) ⑤ 练习:已知 f(x)是偶函数,它在 y 轴左边的图像如图所示,画出它右边的图像。 2.教学奇偶性判别: 教学奇偶性判别: 教学奇偶性判别 ●例 1:判别下列函数的奇偶性: :判别下列函数的奇偶性: f(x)= 3 x 4 、f(x)= 4 x 3 、f(x)=-4x 6 +5x 2 、f(x)= 3 x +
1 x3

2

3

4

、f(x)=2x ?4 +3。

★ 判别下列函数的奇偶性: 判别下列函数的奇偶性:
f(x)=|x+1|+|x-1| f(x)=
3 x
2

、f(x)=x+

1 x 、 f(x)= 、f(x)=x 2 ,x∈[-2,3] x 1 + x2

③ 小结奇偶性判别方法:先考察定义域是否关于原点对称,再用比较法、计算和差、比商法判别 f(x)与 f(-x) 的关系。 →思考:f(x)=0 的奇偶性? 3.教学奇偶性与单调性综合的问题: 教学奇偶性与单调性综合的问题: 教学奇偶性与单调性综合的问题

★例 3:已知 f(x)是奇函数,且在 是奇函数, 上是减函数, : 是奇函数 且在(0,+∞)上是减函数,问 f(x)的(-∞,0)上的单调性。 ∞ 上是减函数 的 ∞ 上的单调性
②找一例子说明判别结果 (特例法) → 按定义求单调性, 注意利用奇偶性和已知单调区间上的单调性。 (小 结:设→转化→单调应用→奇偶应用→结论) ③变题:已知 f(x)是偶函数,且在 是偶函数, 上是减函数, 上的单调性, 是偶函数 且在[a,b]上是减函数,试判断 f(x)在[-b,-a]上的单调性,并给出证明。 上是减函数 在 上的单调性 并给出证明。 巩固练习: 三、巩固练习: 1.设 f(x)=ax 7 +bx+5,已知 f(-7)=-17,求 f(7)的值。(答案为 27) 2.已知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(x)-g(x)=
1 ,求 f(x)、g(x)。 x +1

3.已知函数 f(x),对任意实数 x、y,都有 f(x+y)=f(x)+f(y),试判别 f(x)的奇偶性。(特值代入) 4.已知 f(x)是奇函数,且在[3,7]是增函数且最大值为 4,那么 f(x)在[-7,-3]上是( )函数,且最 。 是



四、巩固提高练习: 巩固提高练习:
★【题 1】▲①已知函数 y = f (2 x + 1) 是偶函数,则一定是函数 y = f (2 x ) 图象的对称轴的直线是(C )A、 题

x=?

1 2

B、 x = 0

C、 x =

1 2

D、 x = 1

▲②函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象如所示: 则函数 y=f(x)·g(x)的图象可能为( D )
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【★题 2】 设定义于[-2,2]上的偶函数在区间[0,2] 增,若?(1-m)<?(m) ,求实数 m 的取值 1 <m≤2) 2

上单调递 范围(解、

【★题 3】 ①设函数? x)是 R 上的偶函数, ( 且当 x∈[0,+ ∞)时, 2 ?(x)=sinx+x ,求出函数?(x)的表达式;②已知?(x)是 R 上的奇函数,且当 x∈(-∞,0)时,有?(x)=2x+cosx, 求出函数?(x)的表达式 【★题 4】已知函数?(x)的定义域为 R,且满足?(x+2)=-?(x) ; 1 -1 ①求证: x) ? ( 是周期函数; ②设? x) ( 为奇函数, 0≤x≤1 时? x) x, ? x) 且 ( = 求 ( = 的所有 x 之值 2 2 周期为 4,在一个周期上的根为 x=-1,则所有的根为 x=4n-1;(n∈z) 【★题 5】设 a 为实数,函数?(x)= x2+|x-a|+1 ( x∈R) ①讨论函数?(x)的奇偶性;②求函数?(x)的最小值 ★【题 6】 (2006 年辽宁文科 T2)设 f ( x ) 是 R 上的任意函数,下列叙述正确的是( C ) A、 f ( x ) f ( ? x ) 是奇函数; C、 f ( x ) + f ( ? x ) 是偶函数; B、 f ( x) f (? x) 是奇函数; D、 f ( x ) ? f ( ? x ) 是偶函数 解、

●解:A 中: F ( x ) = f ( x ) f ( ? x) 则 F ( ? x) = f ( ? x) f ( x ) = F ( x ) ,即函数 F ( x ) = f ( x ) f ( ? x) 为偶函数;B 中 : F ( x ) = f ( x ) f ( ? x ) , F ( ? x) = f ( ? x) f ( x ) 此 时 F ( x ) 与 F ( ? x ) 的 关 系 不 能 确 定 , 即 函 数

F ( x) = f ( x) f (? x) 的奇偶性不确定;C 中: F ( x) = f ( x) ? f (? x) , F (? x) = f (? x) ? f ( x) = ? F ( x) ,即
函数 F ( x ) = f ( x ) ? f ( ? x ) 为奇函数;D 中 F ( x ) = f ( x ) + f ( ? x ) , F ( ? x ) = f ( ? x ) + f ( x ) = F ( x ) ,即函数

F ( x) = f ( x) + f (? x) 为偶函数,故选择答案 C。
★ 【题 7】 ①已知函数 y=?(x)是最小正周期为 2 的偶函 区间[0,1]上的图象如所示为线段 AB,求出它在区间 的表达式 ②已知定义于[-π,π]上的函数?(x) 、g(x)分别是偶 函数,且它们在[0,π]上的图象如图所示,则不等式 数,它在 [1,2]上

函数、奇 ?(x) <0 g(x)

π
的解集是_____(答案:(-

3

,0)∪(

π
3

,π))

【★题 8】 (2006 年重庆文科 T21 题· 分) 12 已知定义域为 R 的函数 f ( x) =

?2 x + b 是奇函数。 (Ⅰ) a, b 的 求 2 x +1 + a
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值; (Ⅱ)若对任意的 t ∈ R ,不等式 f (t 2 ? 2t ) + f (2t 2 ? k ) < 0 恒成立,求 k 的取值范围;

解: (Ⅰ)因为 f ( x ) 是奇函数,所以 f ( x ) =0,即

b ?1 1 ? 2x = 0 ? b = 1∴ f ( x) = 又由 f(1)= -f(-1) a+2 a + 2 x +1

1 1? 2 1 ? 2x 1 1 2 ? a = 2. ; 知 =? + x =? (Ⅱ) 解法一: (Ⅰ) f ( x ) = 由 知 , 易知 f ( x ) 在 ( ?∞, +∞ ) x +1 a+4 a +1 2+2 2 2 +1 1?
上为减函数。又因 f ( x ) 是奇函数,从而不等式:

f (t 2 ? 2t ) + f (2t 2 ? k ) < 0 等价于

2 2 f (t 2 ? 2t ) < ? f (2t 2 ? k ) = f (k ? 2t 2 ) , f ( x) 为减函数, 因 由上式推得:t ? 2t > k ? 2t . 即对一切 t ∈ R 有:

3t 2 ? 2t ? k > 0 ,分离变量可得 k<-3

1

五、备选例题: 备选例题:
-1 13 ★●例题 1、已知函数 f(x)= x2+ 在区间[a,b]上的最小值为 2a,最大值为 2b,求出适合条件的区间[a,b] 2 2 13 解: (见教案 P56 面题 1)[1,3]或[-2- 17 , ] 4 ★例题 2、已知函数 f(x)的定义域为 R,且对于任意的 x 和 y,都有 f(x+y)=f(x)+f(y),又当 x>0 时,f(x)<0,f(1)=-2, (1) 、证明函数 f(x)为奇函数, 、求函数 f(x)在[-3,3]上的最值。 (2) ●解: (见教案 P56 面题 2)最大值为 6,最小值为-6 x ★例题 3、已知函数 f(x)是定义于(0,+∞)上的增函数,且 f( )=f(x)-f(y), y 1 (1)、求出 f(1)之值; 、若 f(6)=1,解不等式 f(x+3)+f( )≤2 (2) x 3 解: (见教案 P63 面题 2)x≥ 35 ●

●例题:已知集合 A={x|x2-3x-10≤0},B={x|m+1≤x≤2m-1},若 A∪B=A,求出实数 m 的取值范围。 解: (见教案 P63 面题 1)m≤3 ★例题 1、已知定义于区间(-1,1)上的奇函数 f(x)是其定义域上的减函数,且满足 f(1-m)+f(1-m2)<0,试求 m 的取值范围。 (见教案 P50 面题 1;m∈(0,1)) ★例题 2、已知函数 f(x)对一切的实数 x、y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y),(1) 、求证:函数 f(x)是奇函数; 、若已 (2) 知 f(-3)=a,试用 a 表示出 f(24)。((见教案 P51 面题 2;f(24)=-8a)

六、课堂回顾: 课堂回顾:
1、 奇函数、偶函数:?(x)为奇函数??(-x)= -?(x);?(x)为偶函数??(-x)= ?(x) (定义法) 2、 图象性质:奇函数的图象关于原点成中心对称; (注意:若?(0)存在,则必有?(0)=0?处理填空或选择题 的法宝) ;偶函数的图象关于 y 轴成轴对称图形。 (图象法) 3、 函数的奇偶性的判断方法:①定义法,②图象法。 应用题例选: 七、应用题例选: ★某租赁公司拥有汽车 100 辆,当每辆月租金 3000 元时,可全部租出,当每辆车的 月租金增加 50 元时,末租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费 150 元,末租出的车每辆每 月需要保管费 50 元。问: 、当每辆车的月租金定为 3600 元时,能租出去多少辆车?(2) (1) 、每辆车的月 租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大的月收益可达多少? ●解:(1)100-12=88;(2)、y= -1 50

-1 x2+162x-21000= (x-4050)2+307050(3000≤x<8000),则当 x=4050 时,最大收益为 307050 元。 50 湖南省省级示范性高中……洞口三中高一数学第一学期授课讲义 湖南省省级示范性高中……洞口三中高一数学第一学期授课讲义 示范性高中…… 义十一:函数的基本性质的复习归纳与应用 讲义十一:函数的基本性质的复习归纳与应用
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(一) 基本概念及知识体系: 、基本概念及知识体系: 、基本概念及知识体系 教学要求:掌握函数的基本性质(单调性、最大值或最小值、奇偶性) ,能应用函数的基本性质解决一些 问题。 教学重点:掌握函数的基本性质。 教学难点:应用性质解决问题。 (二)、教学过程: 复习准备: 一、复习准备: 1.讨论:如何从图象特征上得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值? 2.提问:如何从解析式得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值的定义? 教学典型习例: 函数性质综合题型 函数性质综合题型: 二、教学典型习例: 1.函数性质综合题型: ①出示

★例 1:作出函数 y=x 2 -2|x|-3 的图像,指出单调区间和单调性。 : = - 的图像,指出单调区间和单调性。
分析作法:利用偶函数性质,先作 y 轴右边的,再对称作。→学生作 →口答 → 思考:y=|x =

的图像的图像如何作? -2x-3|的图像的图像如何作?→ - 的图像的图像如何作 ②讨论推广:如何由 f ( x) 的图象,得到 f (| x |) 、 | f ( x) | 的图象? 的图象, 的图象? f(x)是奇函数,在(0,+∞)上是增函数,证明:f(x)在(-∞,0)上也 是奇函数, ,+∞ 上是增函数, 是奇函数 ,+ 上是增函数 证明: 在 - 上也

2

③出示 ★例 2:已知

是增函数

分析证法 → 教师板演 → 变式训练

④讨论推广:奇函数或偶函数的单调区间及单调性有何关系? (偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反;奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致) 2. 教学函数性质的应用: 教学函数性质的应用: ①出示例 3 :求函数 f(x)=x+

1 (x>0)的值域。 x

分析:单调性怎样?值域呢?→小结:应用单调性求值域。 → 探究:计算机作图与结论推广 ②出示 2.基本练习题: 基本练习题: 基本练习题 ①判别下列函数的奇偶性:(1)、y= 1 + x + 1 ? x 、 (2) 、y= ?
? 2 ? ? x + x ( x > 0) ? x 2 + x ( x ≤ 0) ?

(变式训练:f(x)偶函数,当 x>0 时,f(x)=….,则 x<0 时,f(x)=? ) 巩固练习: 三、巩固练习: 1.求函数 y=
ax 2 + b 为奇函数的时,a、b、c 所满足的条件。 (c=0) x+c

2.已知函数 f(x)=ax 2 +bx+3a+b 为偶函数,其定义域为[a-1,2a],求函数值域。 3. f(x)是定义在(-1,1)上的减函数,如何 f(2-a)-f(a-3)<0。求 a 的范围。 4. 求二次函数 f(x)=x 2 -2ax+2 在[2,4]上的最大值与最小值。 5. 课堂作业: P43 A 组 6 题, B 组 2、3 题。

四、应用题训练: 应用题训练:

? x(1 ? x)(当x ≥ 0时) ★例题 1、画出下列分段函数 f(x)= ? 的图象: (见教案 P35 面例题 2) ? x(1 + x)(当x < 0时)
?? x 2 + 2 x(当x ≥ 0时) ? ★例题 2、已知函数 f(x)= ? 2 ,确定函数的定义域和值域;判断函数的奇偶 ?? x ? 2 x(当x < 0时) ? 性、单调性。 (见教案 P35 面例题 3) ★ 【例题 3】 某地区上年度电价为 0.8 元/kW ? h , 年用电量为 a kW ? h 。 本年度计划将电价降到 0.55 元/kW ? h 至 0.75 元/kW ? h 之间,而用户期望电价为 0.4 元/kW ? h 经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户 期望电价的差成反比(比例系数为 K) 。该地区电力的成本为 0.3 元/kW ? h 。 (I)写出本年度电价下调后,电力部门的收益 y 与实际电价 x 的函数关系式; (II)设 k = 0.2a ,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长 20%?
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(注:收益=实际用电量×(实际电价-成本价) ) (I) 解: :设下调后的电价为 x 元/ kw ? h ,依题意知用电量增至

k + a ,电力部门的收益为 x ? 0 .4

? k ? y=? + a ?(x ? 0.3)(0.55 ≤ x ≤ 0.75) ? x ? 0 .4 ?

(II)依题意有

?? 0.2a ? + a ?(x ? 0.3) ≥ [a × (0.8 ? 0.3)](1 + 20% ), ?? ? ?? x ? 0.4 ?0.55 ≤ x ≤ 0.75. ?

整理得

? x 2 ? 1.1x + 0.3 ≥ 0 ? ?0.55 ≤ x ≤ 0.75

解此不等式得 0.60 ≤ x ≤ 0.75 答:当电价最低定为 0.6 x 元/ kw ? h 仍可保证电力部门的收益比上年至少增长 20%。 ★【例题 5】某地为促进淡水鱼养殖业的发展,将价格控制在适当范围内,决定对淡水鱼养值提供政府补贴. 设淡水鱼的市场价格为 x 元/千克,政府补贴为 t 元/千克.根据市场调查,当 8≤x≤14 时,淡水鱼的市场日供应量 P

千克与市场日需求量 Q 千克近似地满足关系: 价格称为市场平衡价格. (1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数,并求出函数的定义域; (2)为使市场平衡价格不高于每千克 10 元,政府补贴至少为每千克多少元? ●解:(1)依题设有 5x2+(8t-80)x+(4t2-64t+280)=0.当判别式△=800-16t2≥0 时, 化简得

当 P=Q 时市场

由△≥0,t≥0,8≤x≤14,得不等式

组:

解不等式组①,得

,不等式组②无解.故所求的函数关系

式为

(2)为使 x≤10,应有 ≥1.从而政府补贴至少为每千克 1 元.

化简得 t2+4t-5≥0.解得 t≥1 或 t≤-5,由 t≥0 知 t

、2007 年高考试题摘录: 年高考试题摘录: (五) 、
★题 1、 (07 天津) R 上定义的函数 f ( x ) 是偶函数, f ( x ) = f (2 ? x ) , f ( x ) 在区间 [1,2] 是减函数, 在 且 若 则函数 f ( x ) ( B )A.在区间 [? 2,?1] 上是增函数,区间 [3,4] 上是增函数;B.在区间 [? 2,?1] 上是增函数,

区间 [3,4] 上是减函数;C.在区间 [? 2,?1] 上是减函数,区间 [3,4] 上是增函数;D.在区间 [? 2,?1] 上是减函数,
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区间 [3,4] 上是减函数

?x 2 , ★题 2、(07 浙江)设 f ( x ) = ? ? x,
值域是( C )A. (? ∞,?1] U [1,+∞ )

x ≥1 x <1

,g ( x ) 是二次函数,若 f [g ( x )] 的值域是 [0,+∞ ) ,则 g ( x ) 的 C. [0,+∞ ) D. [1,+∞ )

B. (? ∞,?1] U [0,+∞ )

★题 3、 (07 福建)已知函数 f ( x ) 为 R 上的减函数,则满足 f ? ? < f (1) 的实数 x 的取值范围是(C ?x? ? ? A. (? 1,1) B. (0,1) C. (? 1,0 ) U (0,1) D. (? ∞,?1) U (1,+∞ )

?1?



★题 4、 (07 福建)已知函数 f ( x ) 为 R 上的减函数,则满足 f ? ? < f (1) 的实数 x 的取值范围是(C ?x? ? ? A. (? 1,1) B. (0,1) C. (? 1,0 ) U (0,1) D. (? ∞,?1) U (1,+∞ )

?1?



★题 5、(07 重庆)已知定义域为 R 的函数 f ( x ) 在区间 (8,+∞ ) 上为减函数,且函数 y = f ( x + 8) 为偶函数, 则( D )A. f (6 ) > f (7 ) B. f (6 ) > f (9 ) C. f (7 ) > f (9 ) D. f (7 ) > f (10 )

★题 6、 (07 安徽)若对任意 x ∈ R,不等式 x ≥ax 恒成立,则实数 a 的取值范围是(B) A. a<-1 B. a ≤1 C. a <1 D.a≥1

★题 7、 (07 安徽)定义在 R 上的函数 f (x ) 既是奇函数,又是周期函数, T 是它的一个正周期.若将方程

f ( x ) = 0 在闭区间 [? T , T ] 上的根的个数记为 n ,则 n 可能为(D)
A.0 B.1 C.3 D.5 ★题 8、 (07 安徽)图中的图象所表示的函数的解析式为(B)

3 | x ? 1 | (0≤x≤2) 2 3 3 (B) y = ? | x ? 1 | (0≤x≤2) 2 2 3 (C) y = ? | x ? 1 | (0≤x≤2) 2
(A) y = (D) y = 1? | x ? 1 | ★题 9、 (07 重庆)若函数 f ( x ) = ★题 10、 (07 宁夏)设函数 f ( x ) = (0≤x≤2)

2x

2

? 2 ax ? a

? 1 的定义域为 R,则实数 a 的取值范围
。-1



[? 1,0]

x a 2 ★题 11、(07 上海)已知函数 f ( x ) = x + ( x ≠ 0, a ∈ R ) ; (1)判断函数 f ( x ) 的奇偶性; x
(2)若 f ( x ) 在区间 [2,+∞ ) 是增函数,求实数 a 的取值范围。
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(x + 1)(x + a ) 为奇函数,则实数 a =

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解: (1)当 a = 0 时, f ( x ) = x 2 为偶函数;当 a ≠ 0 时, f ( x ) 既不是奇函数也不是偶函数. (2)设 x 2 > x1 ≥ 2 , f ( x1 ) ? f ( x 2 ) = x1 +
2

x ? x2 a a 2 = 1 [x1 x2 (x1 + x2 ) ? a] , ? x2 ? x1 x 2 x1 x2

由 x 2 > x1 ≥ 2 得 x1 x 2 ( x1 + x 2 ) > 16 , x1 ? x 2 < 0, x1 x 2 > 0 ;要使 f ( x ) 在区间 [2,+∞ ) 是增函数只需

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) < 0 ,即 x1 x 2 ( x1 + x 2 ) ? a > 0 恒成立,则 a ≤ 16 。

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