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空间几何体的表面积与体积 课件


1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积

人教A版高中数学必修二第一章

学习目标

(1)通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、 台的表面积和体积的求法。

(2)能运用公式求解,柱体、锥体和台全的全 积,并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。
(3)培养学生空间想象能力和思维能力。



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2

创设情景,揭示课题

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3

“鸟巢(nest)”

38.9亿

?30亿

赫尔佐格
Page 4

德梅隆

1.对于空间几何体,我们分别从结构特征和视图两个方面进 行了研究,为了度量一个几何体的大小,我们还须进一步学习几 何体的表面积和体积.

2.柱、锥、台、球是最基本、最简单的几何体,研究空间几何 体的表面积和体积,应以柱、锥、台、球的表面积和体积为基础. 那么如何求柱、锥、台、球的表面积和体积呢?

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5

S ? ab 。 ? (1)矩形面积公式: __________ 1 S ? ah ? (2)三角形面积公式:_________ 。 2
3 2 S? a ? 正三角形面积公式:_______ 。 4 2 S ? ?r。 ? (3)圆面积公式:_________

? (4)圆周长公式:

C ? 2? r _________ 。 1 S ? rl ? (5)扇形面积公式: __________ 。 2

1 S ? ( a ? b) h 2 ? (6)梯形面积公式: __________ 1 S ? (l ? l ' )( r ? r ' ) 2 ? (7)扇环面积公式: ______________ 。
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互动交流 研讨新知
(一)柱体、锥体、台体的表面积
思考1:面积是相对于平面图形而言的,体积是相对于空间几何体而 言的.你知道面积和体积的含义吗? 面积:平面图形所占平面的大小

体积:几何体所占空间的大小

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表面积,是指几何体表面的面积.怎样理解棱柱、棱锥、棱台的表 面积?

各个侧面和底面的面积之和或展开图的面积.

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8

棱柱、棱台、棱锥的表面积 ? 用空间几何体的展开图来求它的面积 几何体的展开图 侧面展开图的构成

一组平行四边形

一组三角形

一组梯形

表面积=侧面积+底面积
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练习
? 1.已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面体S-ABC(即 三棱锥),求它的表面积。

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10

圆柱、圆锥、圆台表面积 侧面展开图 侧面积 表面积

S侧 ? 2?r ? l ? 2?rl

S ? 2?r (r ? l )

1 S侧 ? ? 2?r ? l 2 ? ?rl

S ? ?r (r ? l )

1 S侧 ? (2? r '? 2? r ) ? l S ? ? (r '2 ?r 2 ? r ' l ? rl ) 2 ? (r '? r )? l

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11

思考1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别和矩形、三角形、梯形 的面积有什么相似的地方?
空间体侧面展开图 空间体的侧面积 平面图形面积

S侧 ? 2?r ? l ? 2?rl
1 S侧 ? ? 2?r ? l 2 ? ?rl


形 三

S ? ab

1 角 S ? 2 ah


1 S侧 ? (2? r '? 2? r ) ? l 梯 2 形 ? (r '? r )? l
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1 S ? ( a ? b) h 2

思考2. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式有什么联系?
侧面展开图 侧面积

S侧 ? 2? rl S侧 ? ? rl
r? ? 0

r'? r

S侧 ? (r '? r )? l

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13

(二)柱体、锥体、台体的体积

思考1:你还记得正方体、长方体和圆柱的体积公式吗?它们可以统 一为一个什么公式?
思考2:推广到一般的棱柱和圆柱,你猜想柱体的体积公式是什么?

V ? Sh

高h

底面积S

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思考3:关于体积有如下几个原理: (1)相同的几何体的体积相等; (2)一个几何体的体积等于它的各部分体积之和; (3)等底面积等高的两个同类几何体的体积相等; (4)体积相等的两个几何体叫做等积体.
那么将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥,那么这三个三棱 锥的体积有什么关系?它们与三棱柱的体积有什么关系? 3 1 2

3 2

1

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15

思考4:推广到一般的棱锥和圆锥,猜想锥体的体积公式是什么?

1 V ? Sh 3

高h 底面积S

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16

思考5:根据棱台和圆台的定义,如何计算台体的体积? 设台体的上、下底面面积分别为S′、S,高为h,那么台体的 体积公式是什么? 上底面积S′

高h

1 V ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3
下底面积S

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17

思考6:在台体的体积公式中,若S′=S,S′=0,则公式分别变形 为什么?

1 V ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3
S′=S
S′=0

V ? Sh
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1 V ? Sh 3

质疑答辩,排难解惑,发展思维
例1 已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面体S-ABC ,求它的表面积 .
分析:四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成. 解:先求 ?ABC 的面积,过点作 S 交BC于点D.
A B D C

, ? BC SD

因为BC=a, SD ? SB ? sin 60? ? 所以: S?ABC ?

1 1 3 3 2 BC ? SD ? a ? a? a 2 2 2 4

3 a 2

因此,四面体S-ABC 的表面积

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3 2 S ? 4? a ? 4

3a 2 .

例2 如图,一个圆台形花盆盆口直径20 cm,盆 底直径为15cm,底部渗水圆孔直径为1.5 cm,盆壁长 15cm.那么花盆的表面积约是多少平方厘米( ? 取 3.14,结果精确到1 cm2 )? 20cm 解:由圆台的表面积公式得 花盆的表面积:
2 15 cm ?? 15 ? 2 15 ? 20 ? 1.5 ? S ? ? ?? ? ? ?15 ? ?15? ? ? ? ? 2 2 ? 2 ? ? ? ?? 2 ? ?

15 cm

? 999(cm2 )

答:花盆的表面积约是999
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cm2 .

例3 有一堆规格相同的铁制(铁的密度是 7.8g / cm3 )六角螺帽共重5.8kg,已知底面是正六边 形,边长为12mm,内孔直径为10mm,高为10mm, 问这堆螺帽大约有多少个( ? 取3.14)? 解:六角螺帽的体积是六棱柱 的体积与圆柱体积之差,即:
3 10 2 2 V? ?12 ? 6 ?10 ? 3.14? ( ) ?10 4 2 ? 2956 (mm3 )

? 2.956(cm3 )

所以螺帽的个数为 5.8 ?1000? (7.8 ? 2.956) ? 252 (个) 答:这堆螺帽大约有252个.
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归纳整理,整体认识
圆柱

S ? 2?r (r ? l ) r ? r?

柱体、锥体、台体的表面积

圆台 S ? ? (r?2 ? r 2 ? r?l ? rl )

r? ? 0
展开图 圆锥

S ? ?r (r ? l )

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各面面积之和

柱体 V ? Sh

S ? S'
柱体、锥体、台体的体积
1 台体 V ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3

S'? 0

锥体 V ? 1 Sh 3

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布置作业:
习题1.3 A组1.3

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