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平面向量的数量积导学案


河北孟村回民中学高一数学导学纲 年级 课题 高一 作者

编号 温静 时间 课型

班级

姓名

2.4 平面向量的数量积
2.了解并掌握平面向量数量积的重要性质及运算律;

新授

【课程标准】1.掌握平面向量的数量积及其几何意义;

r />【重点】重点是数量积的定义、几何意义及运算律,. 【难点】难点是夹角公式和求模公式的应用. 【导学流程】 一、了解感知: (一)知识链接:1、向量加法和减法运算的法则_________________________________. 2、向量数乘运算的定义是 .

3、两个非零向量夹角的概念:_________________________________. 思考:通过前面的学习我们知道向量的运算有向量的加法、减法、数乘,那么向量与向量能否“相乘”呢? (二)自主探究: (预习教材 P103-P106)

探究 1:如下图,如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s ,那么力 F 所做的功
W=
请完成下列填空: F(力)是 量;S(位移)是 量; ? 是 ;W(功)是 量; ,其中 ? 是 .

结论:功是一个标量,功是力与位移两个向量的大小及其夹角余弦的乘积 启示:能否把“功”看成是力与位移这两个向量的一种运算的结果呢?

新知 1 向量的数量积(或内积)的定义
? ? ? ? ? ? ? ? 已知两个非零向量 a 和 b ,我们把数量 a b cos ? 叫做 a 和 b 的数量积(或内积) ,记作 a ? b ,即
注:①记法“ a · b ”中间的“· ”不可以省略,也不可以用“ ? ”代替。 ②“规定” :零向量与任何向量的数量积为零,即 0 ? a ? 0 。

? ?

探究 2:向量的数量积运算与向量数乘运算的结果有什么不同?影响数量积大小因素有哪些?
小组讨论,完成下表:

? 的范围

0°≤ ? <90°

? =90°

0°< ? ≤180°

a · b 的符号

新知 2:向量的数量积(或内积)几何意义
? ? ? ? ? ? (1)向量投影的概念:如图,我们把 a cos ? 叫做向量 a 在 b 方向上的投影; b cos ? 叫做向量 b 在 a 方向

上的投影.

? 说明:如图, OB1 ? b cos? .

向量投影也是一个数量,不是向量;

当 ? 为锐角时投影为_______值;当 ? 为钝角时投影为_______值; 当当? = 0?时投影为 ________;当?=90?时投影为__________; 当? = 180?时投影为__________. (2)向量的数量积的几何意义:数量积 a · b 等于 a 的长度︱ a ︱与 b 在 a 的方向上的投影 积。 的乘

新知 3:由定义得到的数量积的结论
? ? 设 a 和 b 都是非零向量, ? 是 a 与 b 的夹角,则

? ? ? ? (1)当 a 与 b 垂直时, ? ? 90? ,即 a ? b ? a ? b ?
? ? (2)当 a 与 b 同向时, ? ? 0? , a ? b = ? ? ? ? ? 特别的当 a ? b ,即 a ? a = ,则 a ?

; (向量垂直的条件) ;

? ? ;当 a 与 b 反向时, ? ? 180? , a ? b =
; (向量的求模公式)

? ? a ?b (3) cos ? ? ? ? (向量的夹角公式) | a || b |
(4)因为

cos? ? 1

? ? ,所以 a ? b

? ? a b .

二、深入学习 ? ? ? ? ? ? 1.已知 a ? 5 , b ? 4 , a 和 b 的夹角为 120? ,则 a ? b =__________

? ? ? ? ? ? ? 2.(2010 江西) 已知向量 a , b 满足 | b |? 2 , a 与 b 的夹角为 60 ? ,则 b 在 a 上的投影是
? ?



3.设 a ? 12 , b ? 9 , a ? b ? ?54 2 ,则 a 与 b 的夹角 ? 为( A. 45?
三、迁移运用

? ?

?

?



B. 135?

C. 60?

D. 120?

1.已知正方形 ABCD 的边长为 2, E 为 CD 的中点,则 AE.BD ? ____________.

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? 变式练习(1) 、在平行四边形 ABCD 中 ,AP⊥BD,垂足为 P, AP ? 3 ,则 AP. AC =

.

(2) 、已知正方形 ABCD 的边长为 1 ,点 E 是 AB 边上的动点,则 DE ? CB 的值为_______.

??? ? ??? ?

四、达标检测

??? ? ???? 1.在平行四边形 ABCD 中, AB ? 4 , BC ? 2 , ?BAD ? 120? ,则 AB ? AD 为(
B.-4 C.8 D.-8 ??? ? ? ???? ? ? ? 2. 已知 ?ABC , AB ? a , AC ? b ,当 a ? b ? 0 时, ?ABC 为( A.钝角三角形 A.4





B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形 ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? 3.若四边形 ABCD 满足 AB ? CD ? 0 ,且 AB ? BC ? 0 ,则四边形 ABCD 是( A.平行四边形 B. 矩形 C.菱形 D.正方形 ? ? ? ? ? ? 4. 已知 a ? 3 , b ? 5 ,且 a ? b ? 12 ,则向量 a 在向量 b 的方向上的投影为 ★5 判断下列命题的真假,并说明理由. ??? ? ??? ? (1) 、 ?ABC 为直角三角形,则 AB ? BC ? 0 .

).

.

(2) 、 ?ABC 中,若 AB ? AC ? 0 ,则 ?ABC 是钝角三角形;若 AB ? BC ? 0 ,结论还成立吗? (3) 、 ?ABC 中,若 AB ? AC ? 0 ,则 ?ABC 是锐角三角形;
? ?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? |a ?2b| . ★7.已知 a ? 4, b ? 3,(2 a ? 3b).(2 a ? b) ? 61, 求a与b的夹角? 并求
★★8( .2013 全国新课标) 已知两个单位向量 a, b 的夹角为 60 , c ? ta ? (1 ? t )b.若b.c ? 0, 则t ? ______.
0

? ?

?

?

? ? ??

河北孟村回民中学高一数学导学纲 年级 课题 高一 作者

编号 温静 时间 课型

班级

姓名

2.4 平面向量的数量积
2.了解并掌握平面向量数量积的重要性质及运算律;

新授

【课程标准】1.掌握平面向量的数量积及其几何意义;

【重点】重点是数量积的定义、几何意义及运算律,. 【难点】难点是夹角公式和求模公式的应用. 【导学流程】 一、了解感知: (一)知识链接:

1 向量的数量积(或内积)的定义
? ? 2. 向量 a 在 b 方向上的投影


3:向量的数量积(或内积)几何意义
(二)自主探究:

新知 4:数量积的运算律 (1) a ? b ? ________;
(? a) ? b ? ___________=____________; (2)
? ? ? ). c ? _______________. (3) (a +b
二、深入学习

? ?

? ?

例1:我们知道,对任意的 a, b ? R,恒有(a ? b) 2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 , (a ? b)(a ? b) ? a 2 ? b 2 对任意向量a, b, 是否有下面相似的结论 ? ( 1 )(a ? b) 2 ? a ? 2a.b ? b ; (2)(a ? b).(a ? b) ? a ? b
用上面得到的结论求解 下题 已知 a ? 6, b ? 4, 若 a 与 b 的夹角为 60? ,求(a ? 2 b) ? ( a ? 3 b ).
? ? ? ? ? ? ? ?

2

2

2

2

例2、已知 a ? 6, b ? 4, 若 a 与 b 的夹角为 60? ,求 | a ? b |, | a ? b | .
变式练习:
1、 已知 a ? 2, b ? 5, 若 a . b ? ?3, 求 | a ? b |, | a ? b | .
? ? ? ?

?

?

?

?

2、 已知 a ? 4, b ? 3, 若 | a ? b |? 13, 求a与b的夹角? .

?

?

例3、若 a 与 b 不共线, k为何值时,向量 a ? k b 与 a - k b 互相垂直 ?
变式练习:

?

?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? (2011 新课标)已知 a, b 为两个不共线的单位向量, k 为实数,若向量 a ? b 与向量 ka ? b 垂
直,则 k =___________.
三、迁移运用 1、在平行四边形 ABCD 中 ,AP⊥BD,垂足为 P, AP ? 3 ,则 AP. AC =

??? ? ??? ?

.

2、已知正方形 ABCD 的边长为 1 ,点 E 是 AB 边上的动点,则 DE ? CB 的值为_______. 四、达标检测

??? ? ??? ?

??? ? ???? 1.在平行四边形 ABCD 中, AB ? 4 , BC ? 2 , ?BAD ? 120? ,则 AB ? AD 为(
B.-4 C.8 D.-8 ??? ? ? ???? ? ? ? 2. 已知 ?ABC , AB ? a , AC ? b ,当 a ? b ? 0 时, ?ABC 为( A.钝角三角形 A.4





B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形 ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? 3.若四边形 ABCD 满足 AB ? CD ? 0 ,且 AB ? BC ? 0 ,则四边形 ABCD 是( A.平行四边形 B. 矩形 C.菱形 D.正方形 ? ? ? ? ? ? 4. 已知 a ? 3 , b ? 5 ,且 a ? b ? 12 ,则向量 a 在向量 b 的方向上的投影为 ★5 判断下列命题的真假,并说明理由. ??? ? ??? ? (1) 、 ?ABC 为直角三角形,则 AB ? BC ? 0 .

).

.

(2) 、 ?ABC 中,若 AB ? AC ? 0 ,则 ?ABC 是钝角三角形;若 AB ? BC ? 0 ,结论还成立吗? (3) 、 ?ABC 中,若 AB ? AC ? 0 ,则 ?ABC 是锐角三角形;
? ?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? |a ?2b| . ★7.已知 a ? 4, b ? 3,(2 a ? 3b).(2 a ? b) ? 61, 求a与b的夹角? 并求
★★8( .2013 全国新课标) 已知两个单位向量 a, b 的夹角为 60 , c ? ta ? (1 ? t )b.若b.c ? 0, 则t ? ______.
0

? ?

?

?

? ? ??

河北孟村回民中学高一数学导学纲 年级 课题 高一 作者

编号 温静 时间 课型

班级

姓名

2.4 平面向量的数量积

新授

【课程标准】1. 熟练掌握向量垂直的两种形式的等价条件; 2. 理解模长公式与解析几何中两点之间距 离公式的一致性. 【重点】1. 掌握平面向量数量积的坐标表示方法及其变式(夹角公式) ; 2. 理解模长公式与解析几何中 两点之间距离公式的一致性. 【难点】1. 掌握平面向量数量积的坐标表示方法及其变式(夹角公式) ; 2、熟练掌握向量垂直的两种形 式的等价条件; 【导学流程】 一、了解感知: (一)知识链接: 1、向量数量积的运算律: ⑴向量数量积的交换律: ⑶向量的数量积的分配律: .

? ? ⑵ ?a ?b =

? ?
.



.

?a ? b? ? c ?
.

?

? ?

? ? 2 ⑷ a?b =

?

?

?a ? b? ? ?a ? b? ?

?

?

?

?

.

(二)自主探究: 探究 1:平面向量数量积的坐标表示

? ? ? ? ? ? 已知两个非零向量 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,怎样用 a 与 b 的坐标表示 a ? b 呢?

? ? ? 思考 1:设 i 、 j 是分别与 x 轴、y 轴同向的两个单位向量,若两个非零向量 a =( x1 , y1 ),
? ? ? ? ? b =( x2 , y2 ),则向量 a 与 b 用 i 、 j 分别如何表示?
思考 2:对于上述向量 i 、 j ,则 i

?

?

?

2

=

,j

?

2

=

, i ·j =

?

?

? ? 根据数量积的运算性质, a ? b =
新知 1:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 . 探究 1:由平面向量数量积的坐标表示可以得到哪些结论呢? 思考 1:设向量 a =( x , y ),利用数量积的坐标表示,︱ a ︱= 思考 2:如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ),那么向量 a 的坐标如何 表示?︱ a ︱=

? ?

?

?

?

?

?

思考 3:设向量 a =( x1 , y1 ), b =( x2 , y2 ),若 a ⊥ b ,则 x1 , y1 , x2 , y2 之间的关系如何? 反之成立吗? 思考 4:设 a 、 b 是两个非零向量,其夹角为θ ,若 a =( x1 , y1 ), b =( x2 , y2 ),那么 cosθ 如何用坐标表示? 新知 2:

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?2 ? ⑴若 a ? ? x, y ? ,则 a ? x 2 ? y 2 ,或 a ? x 2 ? y 2 .

??? ? ??? ? ⑵若 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) ,则 AB ?
⑶若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .

? x2 ? x1 ?

2

? ? y2 ? y1 ? .
2

?

?

?

?

? ? ? ? ⑷两个非零向量 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ? 是 a 与 b 的夹角,
? ? a ?b 则 cos ? ? ? ? ? a b
二、深入学习

x1 x2 ? y1 y2
2 2 x ? y12 ? x2 ? y2 2 1

? ? ? ? ? ? ? ? 例 1、 (1)已知 a ? ? ?3,4? , b ? ?5,2? ,求 a , b , a ? b 及 a, b 之间夹角 ? 余弦值.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2)已知 a ? ? 2,3? , b ? ? ?2,4? , c ? ? ?1, ?2? ,求 a ? b , (a ? b) ? (a ? b) , a ? (b ? c) , (a ? b)2
变式:在△ABC 中, AB =(1, 1), AC =(2, k),且△ABC 的一个内角为直角,求 k 值。

小结:向量的数量积是否为零,是判断相应的两条线段或直线是否垂直的重要方法之一. ? ? ? ? ? ? 例 3、 已知 a ? ? ?3, ?2 ? , b ? ? ?4, k ? ,若 5a ? b ? b ? 3a ? ?55 ,试求 k 的值.

?

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?

三、迁移运用

? ? ? ? 1. 已知 a ? ? ?3,4 ? , b ? ? 5,2? ,则 a ? b 等于(
A. 23 B. 7 C. ? 23



D. ?7 ? ? ? ? 2. 若 a ? ? ?3,4? , b ? ?5,12? ,则 a 与 b 夹角的余弦为(



63 33 33 63 B. C. ? D. ? 65 65 65 65 ?2 ? ? ? ? 3. 若 a ? ? ?4,3? , b ? ? 5,6? ,则 3 a ? 4a ? b 等于(
A. A. 23 B. 57 C. 63 D. 83



? ? ? ? ? ? 4. a ? ? 2,3? , b ? ? ?2,4? ,则 a ? b ? a ? b =

?

??

?

.

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 5. 已知向量 OA ? ? ?1,2? , OB ? ? 3, m? ,若 OA ? AB ,则 m ?
四、当堂检测 1、若 a =(-3,4), b =(5,2),则 a · b =( A.23 B.7 C. -23

.

?

?

? ?

) D. -7 )

2、若 a =(-3,4), b =(5,12),则 a 与 b 夹角的余弦值为( A.

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1. 已知 a ? ? 3, ?4 ? , b ? ? 2, x ? , c ? ? 2, y ? ,且 a // b , a ? c ,求⑴ b ? c ;⑵ b 、 c 的夹角.
4、已知平面向量 a =(1,-3), b =(4,-2),若 ? a + b 与 a 垂直, ? =

63 65

B.

33 65

C. ?

33 65

D. ?

63 65

?

?

? ?

?



1. 已知点 A?1,2? 和 B ? 4, ?1? ,问能否在 y 轴上找到一点 C ,使 ?ACB ? 90? ,若不能,说 明理由;若能,求 C 点坐标. 3、已知 a ? ? 4,3? , b ? ? ?1, 2? , m ? a ? ?b , n ? 2a ? b ,按下列条件求实数 ? 的值 (1) m ? n ;

?

?

?

?

? ?

?

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新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

?

?

(2) m // n ;

?

?

? ? (3) m ? n

4、已知四点 A?1,0? , B ? 5, ?2? , C ?8,4 ? , D ? 4,6 ? 求证:四边形 ABCD 是直角梯形.

5、已知 a ? ??,2?, b ? ?? 2,5? ,且 a 与 b 的夹角是钝角,求 ? 的取值范围。


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