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走向高考数学3-1


第三章 三角函数与三角形

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第三章 三角函数与三角形

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第三章 三角函数与三角形

一、任意角的三角函数 1.任意角、弧度 了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互
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>化.

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2.三角函数 ①借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切) 的定义. π ②借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式(2±α, π±α 的正弦、余弦、正切),能画出 y=sinx,y=cosx,y=tanx 的 图象,了解三角函数的周期性. ③借助图象理解正弦函数、 余弦函数在[0,2π], 正切函数
? π π? 在?-2,2?上的性质(如单调性、最大和最小值、图象与 ? ?
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x轴

交点等).

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④理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1, sinx =tanx. cosx ⑤结合具体实例,了解 y=Asin(ωx+φ)的实际意义; 能借助计算器或计算机画出 y=Asin(ωx+φ)的图象,观察 参数 A,ω,φ 对函数图象变化的影响. ⑥会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三角函 数是描述周期变化现象的重要函数模型.
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二、三角恒等变换
1.能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余 弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它 们的内在联系. 2.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积
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化和差、和差化积、半角公式,但不要求记忆).

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三、解三角形
1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正 弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问

题.
2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一 些与测量和几何计算有关的实际问题.

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●命题趋势
从近几年的全国高考试卷看,试题内容主要有两个方 面:一是重点考查三角函数的图象和性质,尤其是图象变 换、周期、最值,题型多为选择题、填空题,但也出现中 档的解答题;二是考查三角函数式的恒等变形,利用公式 求值,解决简单综合问题,难度为中等;三是简单的应用
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正、余弦定理判断三角形的形状的选择、填空题,一般为
容易题;四是将三角函数的图象与性质,三角恒等变换, 平面向量及不等式等融合在一起,有一定的综合性的大 题.

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角的概念的考查多结合三角函数的基础知识进行.对
求角的集合的交、并等计算技能的考查,有一定综合性, 涉及的知识点较多,不过多比较浅显.三角函数的意义与 三角函数的符号一般在最基本的层面上用选择、填空题的 形式考查.
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三角函数的性质和图象主要考查三角函数的概念、周
期性、单调性、有界性、对称性及图象的平移和伸缩变换 等,多以小而活的选择题和填空题的形式出现,有时也会 出现以函数性质为主 、结合图象的综合题.尤其是y= Asin(ωx+φ)的图象与性质考查较多.

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三角函数的化简求值及最值问题,主要考查同角三角

函数的基本关系式,三角函数的诱导公式,和、差、倍、
半、和积互化公式在求三角函数值时的应用,考查利用三 角公式进行恒等变形的技能,以及基本运算的能力,特别

突出算理方法的考查.
解三角形主要考查应用正、余弦定理对已知式进行变 形、求值或判定三角形的形状. 近年高考命题强调以能力立意,加强对知识综合性和 应用性的考查,跨学科应用是三角函数的一个鲜明特点、

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与不等式、平面向量、数列、解析几何、立体几何等都可
能结合起来,重点仍是与平面向量的结合.

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●备考指南 1.任意角的三角函数和三角恒等变换的复习,要立足

于教材,弄清公式的来龙去脉及适用条件,掌握基本的三
角变换,要注意对公式的正用、逆用、变形应用的训练, 以增强变换的意识;同时,要归纳解题思路及解题规律, 如在三角函数求值问题中,一般是用基本公式,把未知角 变换为已知角来解;在求最值、周期问题中,其思路是合
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理运用公式把已知表达式化为一个角的一种三角函数式来
求解,由于新课标对三角变换的要求降低了很多,因此复 习时选题不宜太难,注重通性通法,要重视对有关结论的 掌握,不要刻意追求特别技巧.

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2.解三角形的复习应弄清应用正弦定理和余弦定理解
决三角形问题的基本题型与思路,会应用面积公式,注意 解的讨论. 体会如何用代数方法解决几何问题,学习将实际问题 中的长度、角度看成三角形中的边和角,将实际问题转化
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为解斜三角形的问题,并注意边角关系与解析几何、立体
几何的联系问题. 注意加强化简、求值或判断三角形的形状等问题的训 练和立体几何中的计算、与向量的结合等方面的练习.

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3.本章试题多以选择题、填空题的形式出现,因此复 习中要重视选择题、填空题的一些特殊解题方法训练,如:

数形结合法、代入检验法、特殊值法、待定系数法、排除
法等.另外,在求有关三角函数的最值问题时,有时可用 换元法将问题转化为一元二次函数的最值来解决,这也是 常用的方法 4.三角函数是以实数为自变量的函数,复习时要注意
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函数思想的应用,新教材突出了应用问题的地位,今后的
高考会继续体现,而对三角的综合考查将继续向三角形问 题中伸展及与平面向量综合,或与不等式、复数、解析几 何、立体几何相联系,故应注意这方面的训练.

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重点难点 重点:①终边相同的角、轴线角和象限角的表示方法; ②角度数与弧度数的换算; ③三角函数的定义; ④各三角函数值在每个象限的符号; ⑤同角三角函数的关系公式; π ⑥-α,π±α,2π-α, ±α 的诱导公式. 2
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难点:①三角函数定义及符号. ②弧度制. ③公式的综合运用.

知识归纳
1.角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转 到另一个位置所成的图形,按 逆 时针方向旋转所形成的 角叫做正角,按 顺 时 针 方 向 旋 转 所 形 成 的 角 叫 做 负

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角.若一条射线没作任何旋转,称它形成了一个零角.

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2.象限角 使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重 合.角的 终边 落在第几象限,就说这个角是第几象限角.

3.终边相同的角
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个 集合{β|β=α+k·360°,k∈Z}或{β|β=α+2kπ,k∈Z},前 者α用角度制表示,后者α用弧度制表示. 4.弧度制

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把长度等于半径 长 的 弧 所 对 的 圆 心 角 叫 1 弧 度 的
角.以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制,它的 单位符号是rad,通常略去不写.

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5.度与弧度的换算关系
∴180°= π rad,1°
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6.弧度制下弧长公式和扇形面积公式 扇形弧长l= |α|·r ,扇形面积S=
7.任意角的三角函数的定义

lr.

直角坐标系中任意大小的角 α 终边上一点 P 的坐标(x, y), y x y P 到原点的距离是 r(r>0),那么 sinα=r ,cosα=r ,tanα=x分 别叫做角 α 的正弦、余弦、正切.

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8.正弦、余弦、正切函数的定义域
三角 函数 sinα cosα tanα 定义域 R R π {α|α≠kπ+ ,k∈Z} 2
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9.各象限内角的三角函数值的符号如下图所示:
三角函数正值口诀:Ⅰ全正,Ⅱ正弦,Ⅲ两切,Ⅳ余 弦.
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10.同角三角函数的基本关系 (1)倒数关系:tanα·cotα=1;
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(2)商数关系:

= tanα ;

= cotα



(3)平方关系:sin2α+cos2α= ; 1

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11.三角函数的诱导公式
(1)诱导公式的内容
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-α

π-α

π+α

2π-α

sin

-sinα

sinα

-sinα

-sinα

sinα

cosα

cos

cosα

-cosα

-cosα

cosα

cosα

sinα

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(2)诱导公式的规律 kπ 诱导公式概括为: ± α(k∈Z)的正弦、余弦值,当 k 2 为偶数时,得角 α 的同名三角函数值;当 k 为奇数时,得 角 α 相应的余函数值,然后放上把角 α 看成锐角时原函数 所在象限的符号; 可概括为“奇变偶不变, 符号看象限. ”
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误区警示
1.引入弧度制后,角的表示要么采用弧度制,要么采 用角度制,两者不可混用. 2.相等的角终边一定相同,但终边相同的角却不一定 相等,终边相同的角有无数个,它们之间相差360°的整数
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倍.
3.在三角函数中,角和三角函数值的对应关系是多对 一,即给定一个角,它的各个三角函数值是惟一确定的(不 存在的情况除外);反过来,给定一个三角函数值,有无穷 多个角和它对应.

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π 4.正切函数 y=tanx 的定义域是{x∈R|x≠kπ+2, k∈Z},不是 R. 5.判断三角函数值的符号时,应特别注意角所在象 限的确定,不要忽略角的终边落在坐标轴上的情况. 6.三角函数定义中,角 α 的三角函数值仅仅与角 α 的终边位置有关,而与终边上点 P 的位置无关.
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7.已知角α的某一种三角函数值,求角α的其余3种三 角函数值时,如果应用平方关系,就要进行分类讨论,先 确定角的终边所在的象限,再确定三角函数值的符号.要 注意公式的合理选择和方法的灵活性.
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8.在利用同角三角函数的基本关系化简、求值时,要
注意用“是否是同角”来区分和选用公式.

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9.在应用诱导公式进行三角式的化简、求值时,应注 意公式中符号的选取.应用公式时把角α看成锐角,如果出 现kπ±α的形式时,常对k值是奇数还是偶数进行分类讨论, 教 以确定角所在的象限.
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10.下列概念应注意区分
小于90°的角;锐角;第一象限的角;0°~90°的 角.

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一、构造思想
[例 1]
? π? 已知:α∈?0,2?,求证:sinα<α<tanα. ? ?
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分析:构造单位圆,利用单位圆中的三角函数线及三 角形和扇形的面积来证明.

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证明:设角 α 与单位圆交于 P,则 MP=sinα,AT=tanα, 如图所示, PA 的长 l=α.连结 AP. 1 1 △POA 的面积=2OA· MP=2sinα. 1 1 扇形 OAP 的面积=2l· OA=2α. 1 1 △OAT 的面积= OA· AT= tanα. 2 2 1 1 1 ∵S△POA<S 扇形 OAP<S△OAT,即2sinα<2α<2tanα. ∴sinα<α<tanα.
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二、解题技巧
1.怎样计算任意角的三角函数值 计算任意角的三角函数值,主要是运用诱导公式化任 意角三角函数为锐角三角函数,其一般步骤是: (1)负化正:当已知角为负角时,先利用-α的诱导公
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式把这个角的三角函数值化为正角的三角函数值;
(2) 正 化 主 : 当 已 知 角 是 大 于 360° 的 角 时 , 可 用 k·360°+α 的诱导公式把这个角的三角函数值化为主区间 (0°,360°)上的角的三角函数值;

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(3)主化锐:当已知角是90°到360°间的角时,可利 用180°±α,360°-α的诱导公式把这个角的三角函数值 化为0°到90°间的角的三角函数值(对于非特殊角用查表
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或用计算器求出结果).

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2.证明三角恒等式的常用方法 证明三角恒等式的主要方法有: (1)化繁为简,即从等式较繁的一边出发,利用三角公 式及变形技巧,逐步变形到等式的另一边.
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(2)左右归一,当欲证式两边都比较复杂时,把两边分
别变形化简,得到同一个式子. (3)转换命题,即把原命题转化为它的等价命题,简化 证明过程.

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3.“1”的代换
在求值、化简、证明时,常把数1表示为三角函数式或 特殊角的三角函数值参与运算,使问题得以简化.常见的 代换如下: 1=sin2α+cos2α
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1=sec2α-tan2α=csc2α-cot2α
1=cosα·secα=sinα·cscα 1=tan45°=tanα·cotα=cot45° 1=(sinα+cosα)2-2sinαcosα等等.

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4.三角函数求值中直角三角形的运用 先根据所给三角函数值,把角看成锐角构造相应的直 角三角形.,求出该锐角的各三角函数值,再添上符号即
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可.

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[例 2]

1 3π 已知 tanα= ,且 α∈(π, )则 sinα 的值是( 2 2

)

-2 5 5 5 2 5 A.- B. C. D. 5 5 5 5 3π 解析:解法 1:∵α∈(π, ),sinα<0,排除 B、C. 2 sinα 1 5 2 2 由 tanα=cosα=2,sin α+cos α=1,得 sinα=- 5 故选

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A. 解法
? 3π? 2:∵α∈?π, 2 ?,∴sinα<0, ? ?

1 又 tanα= ,对应的锐角为 α1, 2 在 Rt△ABC 中,设 BC=1,AC=2,则 AB= 5, 5 5 ∴sinα1= ,从而 sinα=- . 5 5

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? 3π? 1 解法 3:∵tanα= ,且 α∈?π, 2 ?, 2 ? ?

∴在角 α 终边上必有一点 |OP|=
? 1? ?- ?2+(-1)2= ? 2?

? 1? P?-1,-2?, ? ?

5 , 2

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1 -2 5 ∴sinα= =- 5 . 5 2

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α α 5.利用单位圆判断 2α、3α、2、3所在象限问题. [例 3] α 已知角 α 是第 n(n=1、2、3、4)象限的角,问 是 2

第几象限的角?

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α 解析:如图:把单位圆在各象限的圆弧都 2 等分(2 是 的 2 分母),从∠AOB 开始逆时针依次标上 1、2、3、4,再循环一 α 遍,直到填满为止,则有标号 n 的就是 所在象限数. 2 α 如 n=4,2是第二或第四象限的角.用同样的方法也可求 α α 3,4所在象限.
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α α 上图左是求 的方法,上图右是求 的方法. 3 4 θ 一般地,要确定n所在的象限,可以把各个象限都 n 等分,人 教 从 x 轴的非负半轴起,按逆时针方向把这 4n 个区域依次循环 标上号码 1、2、3、4,则标号是几的区域,就是 θ 为第几象 θ θ 限的角时, 终边落在的区域, 所在的象限就可直观地看出. n n
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[例 1]

π 已知 α 角的终边与3的终边相同,在[0,2π)内哪些

α 角的终边与3角的终边相同?

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π 解析:∵α 角的终边与 的终边相同, 3 π α 2kπ π ∴α=2kπ+3(k∈Z).∴3= 3 +9(k∈Z). α 2kπ π 又 0≤3<2π,∴0≤ 3 +9<2π(k∈Z). α π 7π 13π 当 k=0、1、2 时,有 = 、 、 ,它们满足条件. 3 9 9 9 π 7π 13π ∴9、 9 、 9 为所求.
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已知角α与3α的终边相同,α∈(0,2π),则α=______ 解析:由条件知,3α=α+2kπ,∴α=kπ (k∈Z).

∵α∈(0,2π),∴α=π.
答案:π

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[例2] 若α是第二象限角,则是第________象限角. 解析:解法 1:∵α 是第二象限角,
∴k· +90° 360° <α<k· +180° 360° ,k∈Z, k α k ∴3· +30° 3<3· +60° 360° < 360° ,k∈Z. α 当 k=3n 时,有 n· +30° <n· +60° 360° < 360° ,n∈Z, 3 α 此时 是第一象限角. 3 α 当 k=3n+1 时,n· +150° 3<n· +180° 360° < 360° ,n∈Z, α ∴3是第二象限角.
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α 当 k=3n+2 时,n· +270° <n· +300° 360° < 360° ,n∈Z, 2 α ∴3是第四象限角. α 综上所述知,3为第一、二、四象限角. 解法 2:如图可知 α α 为第二象限角时,3位于第一、二、四象限.
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答案:一、二或四

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总结评述:除象限角、终边相同的角以外,还要注意 理解区间角的概念,并能掌握好α角的取值范围与2α、 角 的取值范围间的相互关系.
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(文)已知cosθ·tanθ<0,那么角θ是( A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角

)
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C.第三或第四象限角
D.第一或第四象限角 解析:∵cosθ·tanθ=sinθ<0,cosθ≠0. ∴θ为第三、四象限角,故选C. 答案:C

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(理)若sinθ<cosθ,且sinθ·cosθ<0,则θ在( A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限

)
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解析:由条件可知:cosθ>0>sinθ,则θ为第四象限角,

故选D.
答案:D

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[例 3]

已知角 α 的顶点与直角坐标系的原点重合,始边
? π? cos?2α-3?的值 ? ?

在 x 轴的正半轴上,终边经过点 P(1,-2).则 为________.

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解析:∵P(1,-2)是角 α 终边上一点,由此求得 r=|OP|= 5, 2 5 5 ∴sinα=- 5 ,cosα= 5 . 4 ∵sin2α=2sinαcosα=-5, 3 cos2α=cos α-sin α=-5.
2 2
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? π? π π ∴cos?2α-3?=cos2αcos3+sin2αsin3 ? ? ? 3? 1 ? 4? 3 3+4 ?- ?·+?- ?· =- = 5 10 ? ? 2 ? 5? 2

3 .

3+4 3 答案:- 10

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(文)(2010· 河南新乡市模拟)设角 α 终边上一点 P(-4a, 3a)(a<0),则 sinα 的值为 3 A. 5 3 B.- 5 ( )
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4 4 C.5 D.-5 解析:∵a<0,∴r= (-4a)2+(3a)2=-5a,

3a 3 ∴sinα= r =-5,故选 B.

答案:B

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(理)α 是第二象限角,P(x, 5)为其终边上一点,且 cosα 2 = 4 x,则 sinα 的值为 10 A. 4 2 C. 4
2

(

)
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6 B. 4 10 D.- 4

x 2 解析:∵OP= x +5,∴cosα= 2 = x x +5 4 又因为 α 是第二象限角,∴x<0,得 x=- 3 5 10 ∴sinα= 2 = ,故选 A. 4 x +5

答案:A

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[例4] 已知一扇形的中心角是α,所在圆的半径是R (1)若α=60°,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在 的弓形面积.
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(2)若扇形的周长是一定值C(C>0),当α为多少弧度时,
该扇形有最大面积?

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π 解析:(1)设弧长为 l,弓形面积为 S 弓,因为 α=60° , = 3 10 R=10,所以 l= 3 π(cm), 1 10 1 S 弓=S 扇-S△=2× 3 π×10-2×102· sin60° π 3 =50(3- 2 )(cm2)
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C (2)∵扇形周长 C=2R+l=2R+αR,∴R= , 2+α 1 2 1 C 2 C2 α ∴S 扇=2α· =2α( R ) =2· 2+α 4+4α+α2 C2 1 C2 = · ≤ . 2 4 16 4+α+ α 4 所以当且仅当 α=α,即 α=2(α=-2 舍去)时, C2 扇形面积有最大值16.
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总结评述:涉及弧长和扇形面积的计算,可用的公式 有,角度和弧度表示的两种,其中弧度表示的公式结构简

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单,易记好用,在使用前,应将圆心角用弧度表示.

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已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2,那么这个圆心角所 对弧长是 ( A.2 2 C. sin1 B.sin2 D.2sin1 )
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解析:如图,∠AOB=2 弧度,过 O 点作 OC⊥AB 于 C, 1 并延长 OC 交 A B 于 D.∠AOD=∠BOD=1 弧度, AC=2AB 且 AC 1 =1,在 Rt△AOC 中,AO= = ,从而弧 AB 的长 sin1 sin∠AOC 2 为 l=|α|· sin1.∴选 C. r=
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答案:C 点评:本题是据弧长公式l=|α|r求弧长,需先求半径.

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[例 5] 1 A. 5

5 α 是第二象限角,tanα=-12,则 sinα 等于( 1 B.- 5 5 C. 13 5 D.- 13


)
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?sin2α+cos2α=1 ? 解析:解法 1:∵? sinα 5 ?cosα=-12 ?

5 解得 sinα=± .又∵α 为第二象限角, 13 5 ∴sinα>0,∴sinα= .故选 C. 13

第三章 三角函数与三角形

5 解法 2:设 tanα1=12,α1 为锐角, 5 如图在 Rt△ABC 中,由 tanα1=12, 设 AC=5,BC=12,则 AB=13, 5 ∴sinα1= , 13 5 ∵α 为第二象限角,∴sinα>0,从而 sinα= . 13 解法 3:∵α 是第二象限角,∴sinα>0,排除 B、D, sinα 5 又 tanα=cosα=-12,由勾股数组 5,12,13 知排除 A, ∴选 C.
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答案:C 点评:记住常用的勾股数组非常方便.常用的有:① 3,4,5 ②5,12,13 ③7,24,25 ④8,15,17以及它们的倍数,
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如3k,4k,5k k∈N+.

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(2010· 新乡市模考)已知 等于

? π ? 4 ?- ,0?,cosα= ,则 α∈ 2 5 ? ?

tan2α
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( 24 A.- 7 7 C.-24 24 B. 7 7 D.24

)

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π 4 解析:∵- <α<0,cosα= , 2 5 3 sinα 3 ∴sinα=- 1-cos α=-5,∴tanα=cosα=-4,
2
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2tanα 24 ∴tan2α= ,故选 A. 2 =- 7 1-tan α

答案:A

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[例 6]
? ? ? ?

化简: 1-sinα? ? ?? ?· 1+sinα? ? ? 1+cosα - 1-cosα 1-cosα? ? 1+cosα? ?

1+sinα - 1-sinα

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分析:“脱”去根号是我们的目标,这就希望根号下 能成为完全平方式,注意到同角三角函数的平方关系式, 利用分式的性质可以达到目标.

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? 解析:原式=? ? ? ? ? ? ?

(1+sinα)2 - cos2α (1-cosα)2? ? 2 sin α ? ?

(1-sinα)2? ? 2 ?· cos α ?
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(1+cosα)2 sin2α -

?1+sinα 1-sinα??1+cosα 1-cosα? ?? ? =? ? |cosα| - |cosα| ?? |sinα| - |sinα| ? ? ?? ?

2sinα 2cosα =|cosα|· |sinα|
?4 ? =? ?-4 ?

(α在第一、三象限时), (α在第二、四象限时).

第三章 三角函数与三角形

点评:注意变形的技巧,对于

1+sinα 人 .我们可以分子、 教 A 1-sinα
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分母同乘以 1+sinα,也可以分子、分母同乘以 1-sinα,但分 母变为“单项式”更方便些,故选择同乘以 1+sinα.

第三章 三角函数与三角形

2(cosα-sinα) cosα sinα (文)证明: = - . 1+sinα+cosα 1+sinα 1+cosα cosα+cos2α-sinα-sin2α 解析:证法 1:右边= (1+sinα)(1+cosα) (cosα-sinα)(1+cosα+sinα) = 1+sinαcosα+sinα+cosα 2(cosα-sinα)(1+sinα+cosα) = 2(1+sinα+cosα+sinα· cosα) 2(cosα-sinα)(1+sinα+cosα) = 1+sin2α+cos2α+2sinα+2cosα+2sinαcosα 2(cosα-sinα)(1+sinα+cosα) = =左边. (1+sinα+cosα)2

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第三章 三角函数与三角形

证法 2:要证原等式成立 2(cosα-sinα) 即证: 1+sinα+cosα (cosα-sinα)(1+sinα+cosα) = 成立 (1+sinα)(1+cosα) 只需证:2(1+sinα)(1+cosα)=(1+sinα+cosα)2 即证:2+2sinα+2cosα+2sinαcosα=1+sin2α+cos2α+ 2sinα+2cosα+2sinαcosα 即 1=sin2α+cos2α 显然成立 ∴原式得证.
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第三章 三角函数与三角形

(理)已知 sinα· cosα<0,sinαtanα>0,化简 α cos2· α 1-sin2 α α+sin2· 1+sin2 α 1+cos2 α=________. 1-cos2

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第三章 三角函数与三角形

解析:∵sinα· cosα<0,∴α 为第二或第四象限角, 又∵sinα· tanα>0,∴α 为第四象限角, α ∴ 为第二或四象限角. 2 α α 1-sin 1+cos 2 2 α α ∴原式=cos · +sin ·? 2 ? α? 2 α? ?cos ? ?sin ? 2? 2? ? ? ?α ? α ? α ? 为第二象限角? ?sin2+cos2 ?2 ? =? ? ? ?-sinα-cosα ?α为第四象限角? 2 2 ?2 ? ? ?α π ? ?α π ? 答案:± 2sin?2+4? ? + ?. ∴原式=± 2sin 2 4 ? ? ? ?

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第三章 三角函数与三角形

[例7] 设f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+α),其中a,b, α∈R,且ab≠0,α≠kπ (k∈Z).若f(2009)=5,则f(2010)等 于 ( ) A.4 B.3 C.-5 D.5 解析:∵f(2009)=asin(2009π+α)+bcos(2009π+α)= -asinα-bcosα=5, ∴asinα+bcosα=-5.∴f(2010)=asinα+bcosα=-5. 答案:C

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第三章 三角函数与三角形

已知

?π ? sin?2+θ?-cos(π+θ) ? ? tanθ=2,则 ?π ? =( sin?2-θ?-sin(π-θ) ? ?

)
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A.2 C.0

B.-2 2 D. 3

?π ? sin?2+θ?-cos(π+θ) cosθ+cosθ ? ? 解析: ?π ? = cosθ-sinθ ? -θ?-sin(π-θ) sin 2 ? ?

2 2 = = =-2.故选 B. 1-tanθ 1-2

答案:B

第三章 三角函数与三角形

[例 8]

π 1 已知-2<x<0,sinx+cosx=5.
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(1)求 sinx-cosx 的值; sin2x+2sin2x (2)求 的值. 1-tanx 分析:(1)(sinx± cosx)2=1± sin2x,从而 sinx+cosx 与 sinx

-cosx 通过平方关系可相互转化. (2)由(1)获得 sinx-cosx 的值后, 只须运用 sin2x=2sinxcosx sinx 及 tanx= ,即可化简. cosx

第三章 三角函数与三角形

1 解析: (1)由 sinx+cosx= , 平方得 sin2x+2sinxcosx+cos2x 5 1 24 =25,∴2sinxcosx=-25. 49 ∴(sinx-cosx) =1-2sinxcosx=25.
2
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π ∵- <x<0,∴sinx<0,cosx>0,sinx-cosx<0, 2 7 故 sinx-cosx=-5.

第三章 三角函数与三角形

sin2x+2sin2x 2sinx(cosx+sinx) (2) = sinx 1-tanx 1-cosx 24 1 2sinxcosx(cosx+sinx) -25×5 24 = = =-175. 7 cosx-sinx 5

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第三章 三角函数与三角形

tanα 已知 =-1,求下列各式的值: tanα-1 sinα-3cosα (1) =________; sinα+cosα (2)sin2α+sinαcosα+2=________.
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分析:由已知可以求出tanα,再由同角三角函数关系 式可以求得sinα和cosα,进而求出(1)、(2)的值.但实际操 作中,往往借助题目条件的特殊性来整体考虑使用条件.

第三章 三角函数与三角形

1 解析:由已知得 tanα= , 2 1 sinα-3cosα tanα-3 2-3 5 ∴(1) = = =-3; sinα+cosα tanα+1 1 2+1 (2)sin2α+sinαcosα+2 =sin2α+sinαcosα+2(cos2α+sin2α) 3sin2α+sinαcosα+2cos2α = sin2α+cos2α ?1? 1 ? ?2+ +2 3tan2α+tanα+2 3?2? 2 13 = = ? ? = . 2 12 5 tan α+1 ? ? +1 ?2? 5 13 答案:(1)-3 (2) 5

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第三章 三角函数与三角形

总结评述:形如asinα+bcosα和asin2α+bsinαcosα+ ccos2α的式子分别称为关于sinα、cosα的一次齐次式和二次 齐次式,如已知tanα=m,求涉及它们的三角式的值时,常
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作①1的代换,②sinα=mcosα代入,③选择题常用直角三
角形法求解,④所给式是分式时,常用分子、分母同除以 coskα变形.

第三章 三角函数与三角形

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第三章 三角函数与三角形

一、选择题 sinα 1.(文)若角 α 的终边落在直线 y=-x 上,则 2 + 1-sin α 1-cos2α cosα 的值等于 A.0 B.2 C.-2 ( ) D.2tanα

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[答案] A

第三章 三角函数与三角形

[解析]

∵角 α 的终边落在直线 y=-x 上,
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3π ∴α=kπ+ (k∈Z), 4 ∴sinα 与 cosα 符号相反, 1-cos2α sinα |sinα| sinα ∴ 2 + cosα =|cosα|+ cosα =0. 1-sin α

第三章 三角函数与三角形

(理)已知锐角 α 终边上一点 P 的坐标是(4sin3,-4cos3), 则 α 等于 A.3 π C.3-2 B.-3 π D.2-3 ( )
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[答案] C
[解析] 点 P 位于第一象限,且
?π ? ? π? tanα=-cot3=-tan?2-3?=tan?3-2?, ? ? ? ?

π? π ? π ∵3-2∈?0,2?,∴α=3-2. ? ?

第三章 三角函数与三角形

2.(文)(2010·深圳中学)若sin2α>0且cosα<0,则α是
( A.第二象限角 B.第一或第三象限角 C.第三象限角
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)

D.第二或第三象限角
[答案] C [解析] ∵sin2α=2sinαcosα>0,cosα<0,∴sinα<0, ∴α为第三象限角.

第三章 三角函数与三角形

(理)设 0≤θ<2π,如果 sinθ>0 且 cos2θ>0,则 θ 的取值范 围是 ( 3π A.0<θ< 4 3π C. <θ<π 4 π 3π B.0<θ<4或 4 <θ<π 3π 5π D. <θ< 4 4 )
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[答案] B

第三章 三角函数与三角形

[解析]

∵0≤θ<2π,且 sinθ>0,∴0<θ<π.
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π π 又由 cos2θ>0 得,2kπ-2<2θ<2kπ+2, π π 即 kπ-4<θ<kπ+4(k∈Z).∵0<θ<π, π 3π ∴θ 的取值范围是 0<θ< 或 <θ<π. 4 4

第三章 三角函数与三角形
?π π ? 1 3. (文)若 sin2θ=4且 θ∈?4,2?, cosθ-sinθ 的值是( 则 ? ?

)

3 A. 2 3 C.- 2

3 B.4 3 D.- 4

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[答案] C
[解析] 3 (cosθ-sinθ) =1-sin2θ=4,
2

π π 3 ∵4<θ<2,∴cosθ<sinθ,∴cosθ-sinθ=- 2 .

第三章 三角函数与三角形

π π (理)已知 tan2α=-2 2, 且满足4<α<2, 则 的值为 A. 2 C.-3+2 2 B.- 2 D.3-2 2

2cos -sinα-1 2 π 2sin(4+α) ( )
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[答案] C

第三章 三角函数与三角形


2cos -sinα-1 cosα-sinα 1-tanα 2 [解析] = = . π sinα+cosα tanα+1 2sin( +α) 4 2tanα 2 又 tan2α=-2 2= 2 ?2 2tan α-2tanα-2 2=0. 1-tan α 2 解得 tanα=- 或 2. 2 1- 2 π π 又4<α<2,∴tanα= 2.原式= =-3+2 2.故选 C. 2+1

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第三章 三角函数与三角形

π 3 π 4.(文)已知 α∈( ,π),sinα= ,则 tan(α+ )等于( 2 5 4 1 A. 7 1 C.- 7 B.7 D.-7

)

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[答案] A
[解析]

?π ? 3 3 ? ,π?,sinα= ,∴tanα=- , ∵α∈ 2 5 4 ? ?

? π? tanα+1 1 ∴tan?α+4?= = . ? ? 1-tanα 7

第三章 三角函数与三角形

4? 3 ? (理)若 z=sinθ- +i?cosθ-5?是纯虚数,则 tanθ 的值为 5 ? ? ( 3 A.± 4 3 C.- 4 4 B.± 3 3 D. 4
? 3? ? 4? ∵z=?sinθ-5?+i?cosθ-5?为纯虚数, ? ? ? ?

)
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[答案] C
[解析]

3 4 ∴sinθ- =0 且 cosθ- ≠0, 5 5 3 4 sinθ 3 ∴sinθ= ,cosθ=- ,∴tanθ= =- .故选 C. 5 5 cosθ 4

第三章 三角函数与三角形

5.(文)点P(tan2010°,cos2010°)位于(
A.第一象限 C.第三象限 [答案] D [解析] ∵2010°=360°×5+210°, B.第二象限 D.第四象限

)

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∴2010°角的终边在第三象限,
∴tan2010°>0,cos2010°<0, ∴点P在第四象限.

第三章 三角函数与三角形

(理)如图所示的程序框图,运行后输出结果为(

)

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A.1 C.2010

B.2680 D.1340

第三章 三角函数与三角形

[答案] C
[解析]

?nπ π? nπ ? + ?+1=2cos +1.由 ∵f(n)=2sin 3 2 3 ? ?

S=S+f(n)

nπ 及 n=n+1 知此程序框图是计算数列 an=2cos +1 的前 2010 人 3 教 A 项的和. 版 ? ? ? ? ? ? 数 π 2π 3π 即 S = ?2cos3+1? + ?2cos 3 +1? + ?2cos 3 +1? + ? + 学 ? ? ? ? ? ? ? ? 2010π ?2cos +1? 3 ? ? ? π 2π 3π 2010π? = 2 ?cos3+cos 3 +cos 3 +?+cos 3 ? + 2010 = ? ? π 2π 3π 4π 5π 6π 2×335×cos3+cos 3 +cos 3 +cos 3 +cos 3 +cos 3 +2010= 2010.

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第三章 三角函数与三角形

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第三章 三角函数与三角形

1.(2010·福建省福州市)已知sin10°=a,则sin70° 等于 A.1-2a2 C.1-a2 B.1+2a2 D.a2-1 由 题 意 可 知 , sin70° = cos20° = 1 - ( )
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[答案] A
[解析] 2sin210°=1-2a2,故选A.

第三章 三角函数与三角形

2. 2+2cos8+2 1-sin8的化简结果是( A.4cos4-2sin4 C.2sin4-4cos4 B.2sin4 D.-2sin4

)

[答案] D
[解析] 5π 3π ∵ 4 <4< 2 ,∴sin4<cos4<0.

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∴ 2+2cos8+2 1-sin8=2|cos4|+2|sin4-cos4| =-2cos4+2(cos4-sin4)=-2sin4.故选 D.

第三章 三角函数与三角形

α α α 3.设 α 是第二象限角,且|sin2|=-sin2,则2是( A.第一象限角 C.第三象限角 B.第二象限角 D.第四象限角

)

[答案] C
[解析] α ∵α 是第二象限角,∴ 是第一、三象限角, 2

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α α 又∵sin2≤0,∴2是第三象限角,故选 C.

第三章 三角函数与三角形

4.若

?3π 5π? θ∈? 4 , 4 ?,则复数(cosθ+sinθ)+(sinθ-cosθ)i ? ?


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复平面内所对应的点在 ( A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限 )

[答案] B

第三章 三角函数与三角形

[解析]

解法 1:如图,由单位圆中三角函数线可知,当

?3π 5π? θ∈? 4 , 4 ?时, ? ?

sinθ+cosθ<0,sinθ-cosθ>0. ∴复数(cosθ+sinθ)+(sinθ-cosθ)i 在复平面内所对应点在第二象限.

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第三章 三角函数与三角形
? π? 2sin?θ+4?, ? ?

解法 2:∵cosθ+sinθ= sinθ-cosθ=

? π? 2sin?θ-4?, ? ?

?3π 5π? ? π? π 3π 又∵θ∈? 4 , 4 ?.∴π<θ+ < ,∴sin?θ+4?<0. 4 2 ? ? ? ? ? π? π π ∵2<θ+4<π,∴sin?θ-4?>0, ? ?

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∴当

?3π 5π? θ∈? 4 , 4 ?时,cosθ+sinθ<0,sinθ-cosθ>0.故选 ? ?

B.

第三章 三角函数与三角形

5.设 0≤α<2π,若 sinα> 3cosα,则 α 的取值范围是(
?π π ? A.?3,2? ? ? ?π 4π? C.?3, 3 ? ? ? ?π ? B.?3,π? ? ? ?π 3π? D.?3, 2 ? ? ?

)

[答案] C
[解析] 由 sinα> 3cosα 得 sinα-

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? π? 3cosα>0,2sin?α-3?>0. ? ?

π π 5π 又 0≤α<2π,- ≤α- < , 3 3 3 π π 4π 因此 0<α-3<π,3<α< 3 ,选 C.

第三章 三角函数与三角形

6.已知△ABC是锐角三角形,则点P(cosB-sinA,
tanB-cotC),在第________象限. [答案] 二
[解析] π π ∵△ABC 为锐角三角形,∴0<A< 2 ,0<B< 2 ,
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π π π π π π π 0<C<2,且 A+B>2,B+C>2,∴2>A>2-B>0,2>B>2-C>0, ∵y = sinx 与 y = tanx 在
? π? ?0, ? 2? ?

上都是增函数,

?π ? ?π ? ∴sinA>sin?2-B?,tanB>tan?2-C?,∴sinA>cosB,tanB>cotC, ? ? ? ?

∴P 在第二象限.

第三章 三角函数与三角形

π ? ?2cos x x≤2000 3 7. (2010· 深圳市调研)已知函数 f(x)=? , ?x-100 x>2000 ? 则 f[f(2010)]=________.
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[答案] -1
π ? ?2cos x x≤2000 3 由 f(x)=? 得, f(2010)=2010- ?x-100 x>2000 ?

[解析]

?π ? 2π 2π 100=1910,f(1910)=2cos?3×1910?=2cos(636π+ )=2cos 3 3 ? ?

=-1,故 f[f(2010)]=-1.


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