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复数概念说课稿


《普通高中课程标准实验教科书数学(选修2-2)》

数系的扩充和复数的概念

数系的扩充和复数的概念

说课流程


教学过程

数系的扩充和复数的概念

数系的扩充与复数的引入是高中生必备的基础 知识. 在本节中,学生将在问题情境中了解数系扩充

的过程以及引入复数的必要性,学习复数的一些基 本知识,体会人类理性思维在数系扩充中的作用。

数系的扩充和复数的概念

在此前,学生已经对数的扩充史有了 一定的了解。 接受和理解虚数,对学生来 说又是一大挑战和跨越,这是我们这节课 可利用的有利因素和挑战性。

数系的扩充和复数的概念

知识与技能目标:
1.了解数的扩充史,渗透数学文化 ; 2.掌握复数的概念和复数相等的充要条件。

情感目标:
通过了解 数的扩充过程,使学生体会到一种鲜活的数 学思维过程,激发学生对数学的兴趣,培养他们的探索精神。

教学重点:了解数的扩充史,掌握复数的概念和复数相等的充要条件 教学难点:对虚数产生的必要性的理解

数系的扩充和复数的概念

本节运用大量的数学史材料激发学生 的求知欲,使学生主动到参与教学活动中来, 在教师的指导下发现、分析解决问题、总结 方法、总结规律,培养学生积极探索的科学 精神。

数系的扩充和复数的概念

(一)情景引入
五百年前意大利的卡尔丹遇到这样一个问题

设计意图
利用司空见惯 的问题进行悬疑 引入,激发学生 的好奇心。 然后师生一 道回顾数的发展 史来寻求灵感和 答案

将10分成两个部分,使它们的乘积等于40.
解:设其中一个数是 x ,则另一个数为10-x. 则 x (10-x) =40 化简得: x2-10x+40=0 即 (x-5)2= 15 该方程无实数解

-

那么他遇到了什么问题呢?

他想:负数为什么不能开方?
那么他是怎么解决的呢?

卡尔丹
(Cardano,1501--1576)

数系的扩充和复数的概念

(二)悬疑探究

数学文化之旅——数的历史

设计意图

自然数的产生
对真理的追求是 远古的人类,为了统计捕获的野兽和采集的 野果,用手指或石子数个数,历经漫长的岁月, 永无止境的,我们可 创造了自然数1、2、3、4、5、…自然数是现实 能会为自己的梦放弃 世界最基本的数量,是全部数学的发源地. 一切。 ——苏格拉底 古代印度人最早使用了“0” 公元5世纪时,“0”已经传入罗马。 培养学生追求 但罗马教皇凶残而且守旧。他不允许任何 真理的坚定信念和 使用“0”。有一位罗马学者在笔记中记载了关 于使用“0”的一些好处和说明,就被教皇召去, 无畏精神 砍去了双手

数系的扩充和复数的概念

(二)悬疑探究

数学文化之旅——数的历史

设计意图

负数的出现
为了表示各种具有相反意义的量以及满足 记数法的需要,人类引进了负数.负数概念最 早产生于我国,东汉初期的“九章算术”中就 有负数的说法.公元3世纪,刘徽在注解“九 章算术”时,明确定义了正负数:“两算得失 相反,要令正负以名之”.不仅如此,刘徽还 给出了正负数的加减法运算法则.千年之后, 负数概念才经由阿拉伯传人欧洲。 负数的引入, 解决了在自然数集中不够减的矛盾

了解我 国在数学 上的成就, 可激发学 生民族自 豪感。

数系的扩充和复数的概念

(二)悬疑探究

数学文化之旅——数的历史

设计意图

分数的出现
随着生产、生活的需要,人们发现, 仅仅能表示自然数是远远不行的。如果分 配猎获物时,5个人分4件东西,每个人人 该得多少呢?于是分数就产生了。中国对 分数的研究比欧洲早1400多年!自然数、 分数和零,通称为算术数。自然数也称为 正整数 分数的引入 解决了在整数集中不能整除的矛盾

了解我国 在数学上 的成就, 可激发学 生民族自 豪感。

数系的扩充和复数的概念

(二)悬疑探究

数学文化之旅——数的历史

关于无理数的发现 2500年古希腊的毕达哥拉斯学派认为, 世间 任何数都可以用整数或分数表示,并将此作为他 们的一条信条.有一天,这个学派中的一个成员希 伯斯突然发现边长为1的正方形的对角线是个奇 怪的数,于是努力研究,终于证明出它不能用整数 或分数表示.但这打破了毕达哥拉斯学派的信条, 于是毕达哥拉斯命令他不许外传.但希伯斯却将 这一秘密透露了出去.毕达哥拉斯大怒, 将他扔 入了大海. 希伯斯发现的这类数,被称为无理数.

毕达哥拉斯 约公元前 560—480年

无理数的引入 解决了开方开不尽的矛盾

数系的扩充和复数的概念

(二)悬疑探究

数学文化之旅——数的历史

设计意图

对前面的探究过程进行整理
①负数的引入,解决了在自然数集中不够减的矛盾。 ②分数的引入,解决了在整数集中不能整除的矛盾。 ③无理数的引入,解决了开方开不尽的矛盾。

重新引 导学生回 到引题, 转入难点 突破环节

④那么我们引入什么样的数, 才能解决负数不能开平方的矛盾呢?

数系的扩充和复数的概念

(三)建构新知
历史回顾

设计意图
从1545~1777

1545年,卡尔丹在《大衍术》中写道:“要 把10分成两部分,使二者乘积为40,这是不可能 232年,人们终于 的,不过我却用下列方式解决了.” 认可了虚数,但让
10 ?

?5 ? 40 ? ? 5 ?

?15

? ? ? 5 ? ?15 ? ?15 ?? 5 ? ?15 ?

?15 能作为“数”吗?
1637年,法国数学家笛卡尔把这样的数叫做“虚 数” 1777年,瑞士数学家欧拉在其论文中首次用符号 “i ” 规定: i2=-1 称i为虚数单位

学生在几分钟之内 认可,他们一定有 好多想法。在适当 的时刻给予学生讨 论的机会,这是化 解难点的关键步骤

讨论

你对虚数是怎么看呢?

数系的扩充和复数的概念

(三)建构新知
1.新数 i 叫做虚数单位,并规定:

设计意图

(1) 复 数 的 概 念

( 1 ) i 2 ? ?1 ; (2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则运 算时,原有的加法与乘法的运算律仍然成立

2.复 数 的 概 念 (1)形如a+bi的数叫复数, 用字母 z 表示.

(2)

z ? a ? bi (a ? R, b ? R)
实部 其中 称 虚部

难点突破 了,接下来 就是本节课 的而重点内 容,本环节 分四个部分

i 为虚数单位.

(3)全体复数所形成的集合叫做复数集, 一般用字母 C 表示.

数系的扩充和复数的概念

(三)建构新知
1、对于复数z= a+bi(a∈R,b∈R)

设计意图

(2) 复 数 的 分 类

当b= 0 时,z 为 实 数

1? 3

0.63
2 i 5

0

当a= 0 且b ≠0时,z为纯虚数

解决复数 的分类问题

? 3i

i
3 ? 2i
时,z=0

非纯虚数的虚数:a ≠ 0,b ≠ 0

5i+4

当b ≠0 时,z为虚数 特别的,当a= 0 且b= 0

数系的扩充和复数的概念

(三)建构新知

设计意图
复数相等的定义 1、复数问题 实数化的基本 方法 2、解决复数 的相等问题

( ) 复 数 相 等 的 定 义

3

复数a+bi和 c+di 相等规定 为 : a+bi = c+di

?a ? c ?? ?b ? d

*复数问题可转化为实数范围内的代数问题.

数系的扩充和复数的概念

(三)建构新知

设计意图
本环节是本节课的重 点部分,但不是难点, 给学生八分钟时间自学 整理,教师进行补充。 目的:培养学生独立 思考的良好习惯和品质。 课堂不是教师一个人表 演的舞台,要体现学生 的主体地位

( ) 复 数 的 定 位
复数 虚数

4

自然数集 有理数集

整数集 实数集

复数集
有理数 无理数

整数
分数

自然数

实数

负整数

数系的扩充和复数的概念

(四) 练习巩固
1.说明下列复数的实部和虚部,并指出哪 些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数.

设计意图
这里我们 设置了一般习 题和挑战习 题 ,以满足 不同学生多层 次的学习需求, 使他们得到最 全面的发展

4, 2 ? 3i, 0,3 ? 9 2i, 6i,i 2 .
2
已知 其中

(2 x ? 1) ? i ? y ? (3 ? y)i
x, y ? R 求x与y?
*

3 计算 n ? Z

i

4n

? 1

i 4 n ? 2 ? -1
A. -1 B. 0 C. 1

i 4 n ?1 ? i i 4 n ?3 ? ? i
) B
D.

4 (湖南卷)Z=i+i 2+i 3+i 4 的值是(

i

数系的扩充和复数的概念

(五)课堂拓展——数的发展展望
数的概念发展到虚和复数以后,在很长一段 时间内,连某些数学家也认为数的概念已经十分 完善了,数学家族的成员已经都到齐了。可是 1843年10月16日,英国数学家哈密尔顿又提出了 “四元数”的概念。四元数的数论、群论、量子 理论以及相对论等方面有广泛的应用。与此同时, 人们还开展了对“多元数”理论的研究。多元数 已超出了复数的范畴,人们称其为超复数。 由于科学技术发展的需要,向量、张量、矩 阵、群、环、域等概念不断产生,把数学研究推 向新的高峰。这些概念也都应列入数字计算的范 畴,但若归入超复数中不太合适,所以,人们将 复数和超复数称为狭义数,把向量、张量、矩阿 等概念称为广义数。 尽管人们对数的归类法还有某些分歧,但在 承认数的概念还会不断发展这一点上意见是一致 的。到目前为止,数的家庭已发展得十分庞大。

设计意图
从自然数到复数,高中 阶段我们对数的 认识 已经结束,但数的发展 已经到了尽头了吗? 本环节的设置,就是要 让学生明白:科学探索 的道路是无止境的
我们的教育更需要 要给学生启发出巨大的 想象空间,吸引他们不 断地向前探索。

数系的扩充和复数的概念

(六)

课 堂 小 结

设计意图
小结方式

( 1)扩充原因:① 满足实际问题解决的需要;② 满足数学

自身完善和发展的需要. ( 2)扩充特征:① 引入新的数;② 原数集中的运算规则在 新数集中得到保留和扩展. 2 x (3)提出新的问题:如何对实数集进行扩充,使方程 ? 1 ? 0 在新的数集中的解? (4)引入虚数单位 i (5)学习复数的概念. (6)规定复数相等的意义. (7)研究复数的分类. a ? bi ? c ? di ? a ? c , b ? d (8) ①两个复数只能说相等

学生整理
教师补充 既是对整节 课堂教学的 回顾,又能 对教学效果 起到及时反 馈的目的

② 如果两个复数都是实数,则可以比较大小;
否则,不能比较大小.

数系的扩充和复数的概念

(七)













一、课后练习4、5、6 二 撰写小论文(题目自拟)
完成一个学习总结报告。 对数发展的历史轨迹、自己 感兴趣的历史事件与人物, 写出自己的研究报告

这里我们特意安排了一个撰 写小论文的环节。 目的:加深理解,也许他们 会写的不好,但只要他们思考, 我们的目的就达到了。只要我 们坚持让学生多写,谁能说其 中就没有思想的金子呢? 这就是教育的本质:以智慧 启迪智慧 ,而不仅仅是以知识 武装头脑。

如《如果世界没了数》 《数 的 历 史》 《数 的 未 来》 可参考书籍资料 、 网络资源等

数系的扩充和复数的概念

板书设计与时间安排
1、板书设计
数系的扩充和复数的概念
投影屏幕

卡尔丹 (Cardano,1501--1576)

教学目标 (X-5)2=-15 数的历史

复数的概念 i 2 ? ?1 复数相等的定义

小结:……… 作业:……

2、时间安排
课题引入约3分钟,数的扩充史约7分钟,复数概

念形成及复数相等约10分钟,实践应用约15分钟,小
结约5分钟,作业约5分钟.


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