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上海市徐汇、松江、金山区2011-2012学年高三二模数学试卷(理科)


上海市徐汇区 2011-2012 学年高三第二学期质量调研试卷
数学(理科)2012.4
考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚,并在规定的区域内贴上条形码. 2.本试卷共有 23 道试题,满分 150 分 .考试时间 20 分钟. 一.真空题(本大题满分 56 分)本大题有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果,每个空 格填对得 4 分,否则一律得零分 .

2
1.已知 an ?

n 1 ,则 lim an ? ____________. n ?? n

1 n ?1

2.已知集合 A ? {x |

x ?7 ? 0} ,函数 y ? lg( ? x 2 ? 6 x ? 8) 的定义域为集合 B ,则 A ? B ? _______. 3? x

3.某区有 200 名学生参加数学竞赛,随机抽取 10 名学生成绩如下: 成绩 人数 40 1 50 1 60 2 70 2 80 1 90 3

则总体标准差的点估计值是___________.(精确到 0.01) 4.若函数 y ? g ( x ) 图像与函数 y ? ( x ? 1)2 ( x ? 1) 的图像关于直线 y ? x 对称,则 g (4) ? _________. 5. 若

a ? 1 ? bi ,其中 a, b 都是实数, i 是虚数单位,则 a ? bi ? ______. 1? i

6. (3x 2 ?

2 5 ) 的二项式展开式中,常数项的值是____________. x3

7.某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 2 人作为志愿者,若用随机变量 ? 表示选出的志愿者中女生的人 数,则数学期望 E? ? _____________.(结果用最简分数表示) 8.已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 2an ? 1 ,则数列 {an } 的通项公式为 an ? _________. (n ?? ) 9.函数 f ( x) ? 2sin x sin(

?
3

? x) 的值域是___________.

10.如图:底面直径为 2 的圆柱被与底面成 30? 二面角的平面所截,截面是一个椭圆,则此椭圆 的焦距为____. 11.在极坐标系中,若过点 (3,0) 且与极轴垂直的直线交曲线 ? ? 4cos? 与 A、B 两点,则 AB ? ______. 12.若函数 y ? f ( x)( x ?? ) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且 x ? [?1,1] 时, f ( x ) ? 1 ? x 2 ,函数

?lg( x ? 1), ? 1 ? g ( x) ? ?? , ? x ?0, ?

x ?1 x?0 0 ? x ?1
,则函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在区间 [?5,6] 内的零点个数为_________.

1

? a11 a12 ?a x ? 21 a22 13.已知函数 f ( x ) ? , 9 行 9 列的矩阵 ? 在 1? x ?? ? ?a91 a92 ?
则这个矩阵所有数之和为______________. 14.如图,点 P( x, y ) ( x ? 0, y ? 0) 是双曲线

a13 a23 ? a93

? ? ? a94

a19 ? a29 ? i ? 第 ? 中, i 行第 j 列的元素 aij ? f ( ) , ?? j ? a95 ?

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上的动点, F1 , F2 是双曲线的焦点, M a 2 b2

????? ???? 是 ?F1PF2 的平分线上一点,且 F2 M ? MP ? 0 ,某同学用以下方法研究 OM :延长 F2 M 交 PF1 于点 N,可
知 ? PNF2 为等腰三角形,且 M 为 F2 N 的中点,得 OM ? 是椭圆

1 NF1 ? ? ? a ,类似地:点 P( x, y)( x ? 0, y ? 0) 2

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的点, F1 , F2 是椭圆的焦点, M 是 ?F1PF2 的角平分线上一点,且 a 2 b2 ????? ???? F2 M ? MP ? 0 ,则 OM 的取值范围是___________.

y

N
F1

P M
F2

y P M F2

O

x

F1

O

x

二.选择题(本大题满分 2=0 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应 编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 4 分,否则一律得零分. 15.条件甲:函数 f ( x ) 满足 A.充分非必要条件

f (? x) ? 1 ;条件乙:函数 f ( x ) 是偶函数,则甲是乙的( f ( x)
B.必要非从分条件 C.充要条件



D.既非充分也非必要条件

??? ??? ??? ? ? ? 16.设 A(a,1) 、 B(2, b) 、 C(4,5) 为坐标平面上三点,O 为坐标原点.若 OA 与 OB 在 OC 上的投影相同,则 a
与 b 满足的关系式为( A. 5a ? 4b ? 3 ) B. 4a ? 5b ? 3 C. 4a ? 5b ? 14 D. 5a ? 4b ? 14 )

17.如果命题“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f ( x, y) ? 0 的解”是正确的,则下列命题中正确的是( A.曲线 C 是方程 f ( x, y) ? 0 的曲线; B.方程 f ( x, y) ? 0 的每一组解对应的点都在曲线 C 上; C.不满足方程 f ( x, y) ? 0 的点 ( x, y ) 不在曲线 C 上; D.方程 f ( x, y) ? 0 是曲线 C 的方程. 18.若框图所给的程序运行的结果为 S ? 90 ,那么判断框中应填入的关于 k 的 判断条件错误的是( A. k ? 8 ) C. k ? 9
2

B. k ? 8

D. k ? 9

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出 必要的步骤 19.(本题满分 12 分=4+8) 在 ? ABC 中,角 A, B, C 所对应边的长分别为 a, b, c ,且 a ? 5 , b ? 3 , sin C ? 2sin A . (1)求 c 的值; (2)求 sin(2 A ?

?
3

).

20.(满分 14 分=6+8)

???? ? ??? ? 如图:在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, O 是 AC 的中点, E 是线段 D1O 上一点,且 D1E ? ? ? EO .
(1)求证: DB1 ? 平面 CD1O ; (2)若平面 CDE ? 平面 CD1O ,求 ? 的值. A1 E D O A B C D1 B1 C1

3

21.(满分 14 分=6+8) 由于浓酸泄露对河流形成了污染,现决定向河中央投入固体碱.1 个单位的固体碱在水中逐步溶化,水中的

? 16 ? x ? 8, 0 ? x ? 2 ?? 碱浓度 y 与时间 x 的关系,可以近似地表示为 y ? ? x ? 2 .只有当河流中碱的浓度不低 ? 4 ? x, 2? x?4 ?
于 1 时,才能对污染产生有效的抑制作用. (1)如果只投放 1 个单位的固体碱,则能够维持有效抑制作用的时间有多长; (2)当河流中的碱浓度开始下降时,即刻第二次投放 1 个单位的固体碱,此后,每一时刻河流中的碱浓 度认为是各次投放的碱在该时刻相应的碱的浓度的和,求河流中碱浓度可能取得的最大值.

22.(满分 16 分=4+6+6) 已知点 F1 , F2 为双曲线 C : x 2 ?

y2 ? 1(b ? 0) 的左、右焦点,过 F2 作垂直于 x 轴的直线,在 x 轴上方交双 b2

曲线于点 M ,且 ?MF1F2 ? 30? ,圆 O 的方程为 x 2 ? y 2 ? b2 . (1)求双曲线 C 的方程; (2)过圆 O 上任意一点 Q( x0 , y0 ) 作切线 l 交双曲线 C 于 A, B 两个不同点,设 M 为 AB 中点,求证:

AB ? 2 OM ; ??? ???? ? (3)过双曲线 C 上一点 P 作两条渐近线的垂线,垂足分别是 P1 和 P2 ,求 PP ? PP2 的值. 1

4

23.(满分 18 分=4+6+8) 如果存在常数 a 使得数列 {an } 满足:若 x 是数列 {an } 中的一项,则 a ? x 也是数列 {an } 中的一项,称数列 ,常数 a 是它的“兑换系数”. {an } 为“兑换数列” (1)若数列:1,2,3,m( m ? 4 )是“兑换系数”为 a 的“兑换数列” ,求 m 和 a 的值; (2)已知有穷等差数列 {bn } 的项数是 n0 (n0 ? 3) ,所有项之和是 B ,求证:数列 {bn } 是“兑换数列” ,并 用 n0 和 B 表示它的“兑换系数” ; (3)对于一个不少于 3 项,且各项皆为正整数的递增数列 {cn } ,是否有可能它既是等比数列,又是“兑 换数列”?给出你的结论并说明理由.

5

2011 学年第二学期徐汇区高三年级数学学科
学_习_能_力_诊_断_卷__________ 理科试卷参考答案及评分标准(2012.4) 填空题: 1. ?1 ___2._ ? 3, 4 ? _____3._ 17.64 ____4._ ?1 _______5. 5 __ 6. 1080 ________7._

4 ? 3 1? 2 3 _______ 8. 2n?1 _____9. ? ? , ? ______1 0._ 2 2? 7 ? 3

81 2 2 _________14. 0, a ? b _ 2 二.选择题:______15.A____16.B____17.C____18.D
_11. 2 3 ______12. 9 ______13. 三.解答题: 19.解: (1)由正弦定理

?

?

c a sin C ,得 c ? ? a ? 2a ? 2 5 ---- ---------------4 分 ? sin A sin C sin A
c 2 ? b2 ? a 2 2 5 --------------- ----6 分 ? 2bc 5

(2)由余弦定理,得 cos A ? 所以 sin A ? 1 ? cos2 A ?

5 -------------------7 分 5

4 3 故 sin 2 A ? 2sin A cos A ? ,cos2 A ? cos2 A ? sin 2 A ? -------------------9 分 5 5
所以 sin(2 A ?

?
3

) ? sin 2 A cos

?
3

? cos2 Asin

?
3

?

4?3 3 -------------------12 分 10

20.解: (1)不妨设正方体的棱长为 1,如图建立空间直角坐标系,

z
D1 A1 E D O C B B1 C1

1 1 则 D(0,0,0), B1 (1,1,1), O( , ,0), C (0,1,0), D1 (0,0,1) -------------------2 分 2 2 ???? ? ???? ? ??? ? 1 1 于是: DB1 ? (1,1,1),, CD1 ? (0, ?1,1), OC ? ( ? , ,0) -------------------4 分 2 2 ???? ???? ? ? ???? ??? ? ? 因为 DB1 ? CD1 ? 0, DB1 ? OC ? 0 ,所以 DB1 ? CD1 , DB1 ? OC ------------5 分
故: DB1 ? 平面CD1O -------------------6 分

y

?? ???? ? (2)由(1)可知平面 CD1O 的法向量取 m ? DB1 ? (1,1,1) _-----------------8 分

x

A

1 ) -------------------10 分 2(1 ? ? ) 2(1 ? ? ) 1 ? ? ? ? ??? ? ? ??? ? 又设平面 CDE 的法向量为 n ? ( x, y , z ) 由 n ? CD ? 0, n ? DE ? 0
由 D1E ? ? ? EO ,则 E (

?

,

?

,

?y ? 0 ? ? ?y z 得 ? ?x ,取 x ? ?2, 得 z ? ? ,即 n ? ( ?2,0, ? ) -------------------12 分 ? 2(1 ? ? ) ? 2(1 ? ? ) ? 1 ? ? ? 0 ? ?? ? 因为平面 CDE ? 平面 CD1O ,所以 m ? n ? 0 ,得 ? ? 2 --- ----------------14 分
? 5 ? 17 ? 16 5 ? 17 ? x ?8 ?1 ? 5 ? 17 ?x? ?? ?? 2 ? ? x ? 2 --------2 分 21.解:_(1) ? x ? 2 2 2 ?0 ? x ? 2 ?0 ? x ? 2 ? ?
6

?4 ? x ? 1 ? 2 ? x ? 3 -------------4 分 ? ?2 ? x ? 4
综上,得

5 ? 17 ? x ? 3 -------------5 分 2

即若 1 个单位的固体碱只投放一次,则能够维持有效抑制作用的时间为 3 ? (2)当 0 ? x ? 2 时, y ? ?

5 ? 17 1 ? 17 -----6 分 ? 2 2

16 ? x ? 8 单调递增-------------8 分[来源:学科网 ZXXK] x?2 当 2 ? x ? 4 时, y ? 4 ? x 单调递减-------------9 分[来源:学.科.网 Z.X.X.K]
所以当河中的碱浓度开始下降时,即刻第二次投放 1 个单位的固体碱,

? ? 16 16 ? ( x ? 2) ? 8? ? 14 ? (2 x ? ) ------------------12 分 即 2 ? x ? 4 时, y ? 4 ? x ? ? ? x ? ( x ? 2) ? 2 ?
故当且仅当 2 x ?

16 ,即x ? 2 2 时, y 有最大值 14 ? 8 2 .-------------------14 分 x

22.解: (1)设 F2 , M 的坐标分别为 ( 1 ? b2 ,0),( 1 ? b2 , y0 ) ( y0 ? 0) -------------------1 分 _____因为点 M 在双曲线 C 上,所以 1 ? b2 ?

y0 2 2 2 ? 1 ,即 y0 ? b ,所以 MF2 ? b ------------2 分 b2

2 2 在 Rt?MF2 F1 中, ?MF1F2 ? 300 , MF2 ? b ,所以 MF1 ? 2b ------------3 分 2 由双曲线的定义可知: MF1 ? MF2 ? b ? 2 [来源:Zxxk.Com]

_____故双曲线 C 的方程为: x 2 ? (2)①当切线 l 的斜率存在

y2 ? 1 -------------------4 分 2

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,切线 l 的方程为 : y ? kx ? n (k ? ? 2) _
2 2 2 代入双曲线 C 中,化简得: (2 ? k ) x ? 2knx ? (n ? 2) ? 0 _

所以 AB ? 1 ? k 2 ? x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ?

8n 2 ? 8k 2 ? 16 -------------------6 分 (2 ? k 2 ) 2

因为直线 l 与圆 O 相切,所以

n 1? k2

? 2 ,代入上式,得 AB ?

2 2 1? k2 ? k 2 ? 4 -----------7 分 2 2?k

设点 M 的坐标为 ( xM , yM ) ,则 xM ? 所以 OM ? (

x1 ? x2 kn 2n ? , yM ? kxM ? n ? 2 2 2?k 2 ? k2
2 ? 1? k2 ? k 2 ? 4 -------------------8 分 2 2?k

kn 2 2n 2 ) ?( ) ? 2 ? k2 2 ? k2

即 AB ? 2 OM 成立 ②当切线 l 的斜率不存在时, A( 2, ? 2), B( 2, 2)或A( ? 2, ? 2), B( ? 2, 2) 此时 AB ? 2 2, OM ? 2 ,即 AB ? 2 OM 成立-------------------10 分 (3)由条件可知:两条渐近线 分别为 l1 : 2 x ? y ? 0; l2 : 2 x ? y ? 0 -------------------11 分 设双曲线 C 上的点 P( x0 , y0 ) ,
7

??? ? 则点 P 到两条渐近线的距离分别为 PP ? 1 ??? ???? ? 所以 PP ? PP2 ? 1 2 x0 ? y0 3 ? 2 x0 ? y0 3 ?

2 x0 ? y0 ???? , PP2 ? 3 2 x0 2 ? y0 2 3

2 x0 ? y0 3

_

-------------------13 分

因为 P( x0 , y0 ) 在双曲线 C : x 2 ?

y2 2 2 ? 1 上,所以 2 x0 ? y0 ? 2 _[来源:Z_xx_k.Com] 2

??? ???? 2 x02 ? y02 2 ? 故 PP ? PP2 ? ? -------------------14 分 1 3 3
???? ???? 设 PF1和PF2 的夹角为 ? ,则 cos ? ?
2 ? 2 ? 1 ? ( ?1) 3? 3 ? 1 -------------------15 分 3

???? ???? ???? ???? 2 1 2 所以 PF1 ? PF2 ? PF1 ? PF2 ? cos? ? ? ? -------------------16 分 3 3 9
23.解: (1)因为数列: 1,2,4, m (m ? 4) 是“兑换系数”为 a 的“兑换数列”[来源:学科网 ZXXK] 所以 a ? m, a ? 4, a ? 2, a ? 1也是该数列的项,且 a ? m ? a ? 4 ? a ? 2 ? a ? 1 -------------------1 分 故 a ? m ? 1, a ? 4 ? 2 -------------------3 分 即 a ? 6, m ? 5 ._-------------------4 分 (2)设数列 ?bn ? 的公差为 d ,因为数列 ?bn ? 是项数为 n0 项的有穷等差数列 若 b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn0 ,则 a ? b1 ? a ? b2 ? a ? b3 ? ? ? a ? bn0 即对数列 ?bn ? 中的任意一项 bi (1 ? i ? n0 )

a ? bi ? b1 ? (n0 ? i )d ? bn0 ?1?i ? ?bn ? -------------------6 分
同理可得:若 b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn0 , a ? bi ? b1 ? (n0 ? i )d ? bn0 ?1?i ? ?bn ? 也成立, 由“兑换数列”的定义可知,数列 ?bn ? 是_“兑 换数列” ;-------------------8 分 又因为数列 ?bn ? 所有项之和是 B ,所以 B ?

(b1 ? bn0 ) ? n0 2

?

2B a ? n0 -------------------10 分 ,即 a ? n0 2

(3)假设存在这样的等比数列 ?cn ? ,设它的公比为 q( q ? 1) , 因为数列 ?cn ? 为递增数列,所以 c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn ? ? 则 a ? c1 ? a ? c2 ? a ? c3 ? ? ? a ? cn ? ? 又因为数列 ?cn ? 为“兑换数列” ,则 a ? ci ??cn ?(i ? 1,2,?) ,所以 a ? ci 是正整数[来源:学科网 ZXXK] 故数列 ?cn ? 必为有穷数列,不妨设项数为 n 项,------------------12 分 则 ci ? cn ?1?i ? a(1 ? i ? n) ----------14 分 ①若 n ? 3, 则有 c1 ? c3 ? a, c2 ?

a 2 ,又 c2 ? c1 ? c3 ,由此得 q ? 1 ,与 q ? 1 矛盾;-------------------15 分 2

n ?1 n ?2 ②若 n ? 4 .由 c1 ? cn ? c2 ? cn ?1 ,得 c1 ? c1q ? c1q ? c1q ? 0

即 ( q ? 1)(1 ? q

n ?2

) ? 0 ,故 q ? 1 ,与 q ? 1 矛盾;-------------------17 分

综合①②得,不存在满足条件的数列 ?cn ? .-------------------18 分[来源:Zxxk.Com]

8

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