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含参一元二次不等式


含参数的一元二次不等式的解法
解含参数的一元二次不等式,通常情况下,均需分类讨论,那么如何讨论呢?对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种: 一、按 x 项的系数 a 的符号分类,即 a ? 0 , a ? 0 , a ? 0 ;
2

例 1 解不等式: ax

2

? ?a ? 2 ?x ? 1 ? 0
2 2

分析:本题二次项系数含有参数, ? ? ? a ? 2 ? ? 4 a ? a ? 4 ? 0 ,故只需对二次项 系数进行分类讨论。 解:∵ ? ? ? a ? 2 ? ? 4 a ? a ? 4 ? 0
2 2

解得方程 ax

2

? ? a ? 2 ? x ? 1 ? 0 两根 x 1 ?
? ? ? ? ?a?2? 2a
? ?

?a?2? 2a
2

a

2

?4

, x2 ?

?a?2? 2a
2

a ?4
2

∴当 a ? 0 时,解集为 ? x | x ?

a

?4

或x ?

?a?2? 2a

a

?4? ? ? ? ?

当 a ? 0 时,不等式为 2 x ? 1 ? 0 ,解集为 ? x | x ?
? ? ? ? ?a?2? 2a
2

1? ? 2?

当 a ? 0 时, 解集为 ? x |

a

?4

? x ?

?a?2? 2a

a

2

?4? ? ? ? ?

例 2 解不等式 ax

2

? 5 ax ? 6 a ? 0 ? a ? 0 ?

分析 因为 a ? 0 , ? ? 0 ,所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解
? a ( x ? 5 x ? 6 ) ? a ? x ? 2 ?? x ? 3 ? ? 0
2

? 当 a ? 0 时,解集为 ?x | x ? 2 或 x ? 3? ;当 a ? 0 时,解集为 ?x | 2 ? x ? 3?

二、按判别式 ? 的符号分类,即 ? ? 0 , ? ? 0 , ? ? 0 ; 例 3 解不等式 x ? ax ? 4 ? 0
2

分析 本题中由于 x 的系数大于 0,故只需考虑 ? 与根的情况。
2

解:∵ ? ? a ? 16
2

∴当 a ? ? ? 4 , 4 ? 即 ? ? 0 时,解集为 R ;

当 a ? ? 4 即Δ =0 时,解集为 ? x x ? R 且 x ?
?

?

a? ?; 2?

当 a ? 4 或 a ? ? 4 即 ? ? 0 ,此时两根分别为 x 1 ?

?a?

a 2

2

? 16

, x2 ?

?a?

a 2

2

? 16

,显然 x 1 ? x 2 ,

2 2 ? ? a ? a ? 16 ? a ? a ? 16 ? 或 x〈 ∴不等式的解集为 ? x x ? 2 2 ? ?

? ? ? ? ?

例 4 解不等式 ?m ? 1 ?x ? 4 x ? 1 ? 0 ? m ? R ?
2 2

解 因 m ? 1 ? 0 , ? ? ( ? 4 ) ? 4 ?m ? 1 ? ? 4 ?3 ? m
2 2 2

2

?

所以当 m ? ? 3 ,即 ? ? 0 时,解集为 ? x | x ?
?

?

1? ?; 2?

当?

3 ? m ?

2 2 ? 2? 3?m 2? 3?m ? 或 x〈 3 ,即 ? ? 0 时,解集为 ? x x ? 2 2 m ?1 m ?1 ? ?

? ? ?; ? ?

当 m ? ? 3或 m ? 三、按方程 ax 例5
2

3 ,即 ? ? 0 时,解集为 R。
? bx ? c ? 0 的根 x 1 , x 2 的大小来分类,即 x 1 ? x 2 , x 1 ? x 2 , x 1 ? x 2 ;
2

解不等式 x ? ( a ?

1 a

) x ? 1 ? 0 (a ? 0) 1 a ) ? 0 ,故对应的方程必有两解。本题

分析:此不等式可以分解为: ? x ? a ?( x ? 只需讨论两根的大小即可。 解:原不等式可化为: ? x ? a ?( x ? ∴当 a ? ? 1 或 0 ? a ? 1 时, a ?
1 a 1 a

1 a

) ? 0 ,令 a ?

1 a

,可得: a ? ? 1
? ? 1? ?; a?

,故原不等式的解集为 ? x | a ? x ?

当 a ? 1 或 a ? ? 1 时, a ?

,可得其解集为 ? ;
1 a

当 ? 1 ? a ? 0 或 a ? 1 时, a ?

,解集为 ? x |
?

?

? ? x ? a? 。 a ? 1

例 6 解不等式 x ? 5 ax ? 6 a ? 0 , a ? 0
2 2

分析 此不等式 ? ? ? ? 5 a ? ? 24 a ? a ? 0 ,又不等式可分解为 ? x ? 2 a ?( x ? 3 a ) ? 0 ,故只需比较两根
2 2 2

2 a 与 3 a 的大小.

解 原不等式可化为: ? x ? 2 a ?( x ? 3 a ) ? 0 ,对应方程 ? x ? 2 a ?( x ? 3 a ) ? 0 的两根为
x 1 ? 2 a , x 2 ? 3 a ,当 a ? 0 时,即 2 a ? 3 a ,解集为 ?x | x ? 3 a 或 x ? 2 a ? ;当 a ? 0 时,即 2 a ? 3 a ,解集为

? x | x ? 2 a或 x ? 3a?


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