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第六章 不等式、推理与证明


第六章 不等式、推理与证明

第一节

不等关系与不等式

1.实数大小顺序与运算性质之间的关系 a-b>0?a>b;a-b=0?a=b;a-b<0?a<b. 2.不等式的基本性质 性质 对称性 传递性 可加性 性质内容 a>b?b<a a>b,b>c?a>c a>b?a+c>b+c a>b? ??ac>bc c>0 ? a>b? ??ac<bc c<0 ? 同向可加性 a>b? ??a+c>b+d c> d ? a>b>0? ??ac>bd c>d>0 ? a>b>0?an>bn(n∈N,n≥2) a>b>0? a> b(n∈N, n≥2) n n 同正 注意 ? ? ?

可乘性

c 的符号

?

同向同正可乘性 可乘方性 可开方性

?

1.在应用传递性时,注意等号是否传递下去,如 a≤b,b<c?a<c. 2.在乘法法则中,要特别注意“乘数 c 的符号”,例如当 c≠0 时,有 a>b?ac2>bc2; 若无 c≠0 这个条件,a>b?ac2>bc2 就是错误结论(当 c=0 时,取“=”). [试一试] 1.(2013· 北京高考)设 a,b,c∈R,且 a>b,则( A.ac>bc C.a2>b2 1 1 B. < a b D. a3>b3 )

解析:选 D 由性质知选 D. 2. 1 ________ 3+1(填“>”或“<”). 2-1 1 = 2+1< 3+1. 2-1

解析: 答案:<

1.不等式的倒数性质 1 1 (1)a>b,ab>0? < ; a b 1 1 (2)a<0<b? < ; a b a b (3)a>b>0,0<c<d? > ; c d 1 1 1 (4)0<a<x<b 或 a<x<b<0? < < . b x a 2.不等式的分数性质 (1)真分数的性质: b b+m b b-m < ; > (b-m>0); a a+m a a-m (2)假分数的性质: a a+m a a-m > ; < (b-m>0). b b+m b b-m [练一练] b+c a+c 若 0<a<b,c>0,则 与 的大小关系为________. a+c b+c b+c a+c 答案: > a+c b+c

考点一

比较两个数(式)的大小 )

1.已知 a1,a2∈(0,1),记 M=a1a2,N=a1+a2-1,则 M 与 N 的大小关系是( A.M<N C.M=N 解析:选 B M-N=a1a2-(a1+a2-1) B.M>N D.不确定

=a1a2-a1-a2+1 =a1(a2-1)-(a2-1)=(a1-1)(a2-1),

又∵a1∈(0,1),a2∈(0,1), ∴a1-1<0,a2-1<0. ∴(a1-1)(a2-1)>0,即 M-N>0. ∴M>N. 3 2.若实数 a≠1,比较 a+2 与 的大小. 1-a 解:a+2- -a2-a-1 a2+a+1 3 = = 1-a 1-a a-1

3 ∴当 a>1 时,a+2> ; 1-a 3 当 a<1 时,a+2< . 1-a [类题通法] 比较大小的常用方法 (1)作差法: 一般步骤是:①作差;②变形;③定号;④结论.其中关键是变形,常采用配方、因式 分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时,有时也可以 先平方再作差. (2)作商法: 一般步骤是:①作商;②变形;③判断商与 1 的大小;④结论. (3)特值法: 若是选择题、填空题可以用特值法比较大小;若是解答题,可先用特值探究思路,再用 作差或作商法判断. 注意:用作商法时要注意商式中分母的正负,否则极易得出相反的结论. 考点二 不等式的性质 )

[典例] (1)(2014· 太原诊断)“a+c>b+d”是“a>b 且 c>d”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.既不充分也不必要条件 D.必要不充分条件

a b (2)若 a>0>b>-a,c<d<0,则下列结论:①ad>bc;② + <0;③a-c>b-d;④ d c a· (d-c)>b(d-c)中成立的个数是( A.1 C.3 ) B.2 D.4

[解析] (1)由“a+c>b+d”不能得知“a>b 且 c>d”, 反过来, 由“a>b 且 c>d”可得知 “a+c>b+d”,因此“a+c>b+d”是“a>b 且 c>d”的必要不充分条件,选 D.

(2)法一:∵a>0>b,c<d<0,∴ad<0,bc>0, ∴ad<bc,故①错误. ∵a>0>b>-a,∴a>-b>0, ∵c<d<0,∴-c>-d>0, ∴a(-c)>(-b)(-d), a b ac+bd ∴ac+bd<0,∴ + = <0, d c cd 故②正确. ∵c<d,∴-c>-d, ∵a>b,∴a+(-c)>b+(-d), a-c>b-d,故③正确. ∵a>b,d-c>0,∴a(d-c)>b(d-c), 故④正确,故选 C. 法二:取特殊值. [答案] (1)D (2)C [类题通法] 判断多个不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利 用不等式的性质,常见的反例构成方式可从以下几个方面思考: (1)不等式两边都乘以一个代数式时,考察所乘的代数式是正数、负数或 0; (2)不等式左边是正数,右边是负数,当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变; (3)不等式左边是正数,右边是负数,当两边同时取倒数后不等号方向不变等. [针对训练] 若 a>b>0,则下列不等式不成立的是( 1 1 A. < a b C.a+b<2 ab ) B.|a|>|b| 1?a ?1?b D.? ?2? <?2?

1?a ?1?b 1 1 解析:选 C ∵a>b>0,∴ < ,且|a|>|b|,a+b>2 ab,又 2a>2b,∴? ?2? <?2? ,选 C. a b 考点三 不等式性质的应用

[典例] 已知函数 f(x)=ax2+bx,且 1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4.求 f(-2)的取值范围. [解] f(-1)=a-b,f(1)=a+b.

f(-2)=4a-2b. 设 m(a+b)+n(a-b)=4a-2b.

? ? ?m+n=4, ?m=1, 则? 解得? ?m-n=-2, ?n=3. ? ?

∴f(-2)=(a+b)+3(a-b)=f(1)+3f(-1). ∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, ∴5≤f(-2)≤10. 即 f(-2)的取值范围为[5,10]. 若本例中条件变为:已知函数 f(x)=ax2+bx,且 1<f(-1)≤2,2≤ f(1)<4,求 f(-2)的取值范围. 解:由本例知 f(-2)=f(1)+3f(-1). 又∵1<f(-1)≤2,2≤f(1)<4, ∴5<3f(-1)+f(1)<10, 故 5<f(-2)<10. 故 f(-2)的取值范围为(5,10). [类题通法] 利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围,但应注意两点:一是必须严格运用不等 式的性质;二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先 建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,最后通过“一次性”不等关系的运算求 解范围. [针对训练]
?-1≤α+β ≤1, ? 若 α,β 满足? 试求 α+3β 的取值范围. ?1≤α+2β ≤3, ?

解:设 α+3β=x(α+β)+y(α+2β)=(x+y)α+(x+2y)β.
? ? ?x+y=1, ?x=-1, 则? 解得? ?x+2y=3, ?y=2. ? ?

∵-1≤-(α+β)≤1,2≤2(α+2β)≤6, 两式相加,得 1≤α+3β≤7. ∴α+3β 的取值范围为[1,7].

[课堂练通考点] 1.“1≤x≤4”是“1≤x2≤16”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:选 A 由 1≤x≤4 可得 1≤x2≤16,但由 1≤x2≤16 可得 1≤x≤4 或-4≤x≤-1, 所以“1≤x≤4”是“1≤x2≤16”的充分不必要条件. 2.(2013· 昆明质检)若 a<b<0,则下列不等式一定成立的是( 1 1 A. > a-b b |b| |b|+1 C. < |a| |a|+1 B.a2<ab D.an>bn )

解析:选 C 取 a=-2,b=-1,逐个检验选项可知,仅 C 选项成立. 1 1 3.在所给的四个条件:①b>0>a;②0>a>b;③a>0>b;④a>b>0 中,能推出 < 成立的 a b 有( ) A.1 个 C.3 个 解析:选 C B.2 个 D.4 个 b-a 1 1 < 成立,即 <0 成立,逐个验证可得,①②④满足题意. a b ab )

4.设 a,b 是非零实数,若 a<b,则下列不等式成立的是( A.a2<b2 1 1 C. 2< 2 ab a b B.ab2<a2b b a D. < a b

解析:选 C 当 a<0 时,a2<b2 不一定成立,故 A 错. 因为 ab2-a2b=ab(b-a),b-a>0,ab 符号不确定, 所以 ab2 与 a2b 的大小不能确定,故 B 错. 1 1 a-b 1 1 因为 2- 2 = 2 2 <0,所以 2< 2 ,故 C 正确. ab a b a b ab a b b a D 项中 与 的大小不能确定. a b 5.已知 a,b,c∈R,有以下命题: ①若 a>b,则 ac2>bc2;②若 ac2>bc2,则 a>b; ③若 a>b,则 a· 2c>b· 2c. 其中正确的是__________(请把正确命题的序号都填上). 解析:①若 c=0 则命题不成立.②正确.③中由 2c>0 知成立. 答案:②③ a b 1 1 6.已知 a+b>0,则 2+ 2与 + 的大小关系是________. b a a b 1 1 ? ?a+b??a-b?2 a b ?1 1? a-b b-a ? + 解析: 2+ 2-?a b?= 2 + 2 =(a-b)· . ?b2-a2?= b a b a a2b2 ∵a+b>0,(a-b)2≥0,



?a+b??a-b?2 ≥0. a2b2

a b 1 1 ∴ 2+ 2≥ + . b a a b a b 1 1 答案: 2+ 2≥ + b a a b [课下提升考能] 第Ⅰ组:全员必做题 1.若 m<0,n>0 且 m+n<0,则下列不等式中成立的是( A.-n<m<n<-m C.m<-n<-m<n B.-n<m<-m<n D.m<-n<n<-m )

解析:选 D 法一:(取特殊值法)令 m=-3,n=2 分别代入各选项检验即可. 法二:m+n<0?m<-n?n<-m,又由于 m<0<n,故 m<-n<n<-m 成立. 2.(2014· 黄冈质检)已知 x>y>z,x+y+z=0,则下列不等式中成立的是( A.xy>yz C.xy>xz B.xz>yz D.x|y|>z|y| )

解析:选 C 因为 x>y>z,x+y+z=0,所以 3x>x+y+z=0,3z<x+y+z=0,所以 x>0,
?x>0, ? z<0.所以由? 可得 xy>xz. ?y>z, ?

π π β 0, ?,β∈?0, ?,那么 2α- 的取值范围是( 3.(2013· 西安模拟)设 α∈? 2 2 ? ? ? ? 3 5π 0, ? A.? 6? ? C.(0,π) π 5π - , ? B.? ? 6 6? π - ,π? D.? ? 6 ?

)

β π 解析:选 D 由题设得 0<2α<π,0≤ ≤ , 3 6 π β ∴- ≤- ≤0, 6 3 π β ∴- <2α- <π. 6 3 1 1 4.若 < <0,则下列结论不正确的是( a b A.a2<b2 C.a+b<0 1 1 解析:选 D ∵ < <0,∴0>a>b. a b ∴a2<b2,ab<b2,a+b<0,|a|+|b|=|a+b|. ) B.ab<b2 D.|a|+|b|>|a+b|

1 1 5. (2014· 上海十三校联考)已知 < <0, 给出下面四个不等式: ①|a|>|b|; ②a<b; ③a+b<ab; a b ④a3>b3.其中不正确的不等式的个数是( A.0 C.2 ) B.1 D.3

1 1 解析:选 C 由 < <0 可得 b<a<0,从而|a|<|b|,①不正确;a>b,②不正确;a+b<0, a b ab>0,则 a+b<ab 成立,③正确;a3>b3,④正确.故不正确的不等式的个数为 2. 6.(2014· 扬州期末)若 a1<a2,b1<b2,则 a1b1+a2b2 与 a1b2+a2b1 的大小关系是________. 解析:作差可得(a1b1+a2b2)-(a1b2+a2b1)=(a1-a2)· (b1-b2), ∵a1<a2,b1<b2, ∴(a1-a2)(b1-b2)>0, 即 a1b1+a2b2>a1b2+a2b1. 答案:a1b1+a2b2>a1b2+a2b1 7.若 1<α<3,-4<β <2,则 α-|β|的取值范围是________. 解析:∵-4<β <2,∴0≤|β|<4.∴-4<-|β|≤0. ∴-3<α-|β|<3. 答案:(-3,3) 8.已知存在实数 a 满足 ab2>a>ab,则实数 b 的取值范围是________. 解析:∵ab2>a>ab,∴a≠0, 当 a>0,b2>1>b,
2 ? ?b >1, ? 即 解得 b<-1; ?b<1, ?

当 a<0 时,b2<1<b,
? ?b <1, 即? 无解. ?b>1 ?
2

综上可得 b<-1. 答案:(-∞,-1) e e 9.若 a>b>0,c<d<0,e<0.求证: > . ?a-c?2 ?b-d?2 证明:∵c<d<0,∴-c>-d>0. 又∵a>b>0,∴a-c>b-d>0. ∴(a-c)2>(b-d)2>0. ∴0< 1 1 < . ?a-c?2 ?b-d?2

e e 又∵e<0,∴ > . ?a-c?2 ?b-d?2 10.某企业去年年底给全部的 800 名员工共发放 2 000 万元年终奖,该企业计划从今年 起,10 年内每年发放的年终奖都比上一年增加 60 万元,企业员工每年净增 a 人. (1)若 a=10,在计划时间内,该企业的人均年终奖是否会超过 3 万元? (2)为使人均年终奖年年有增长,该企业每年员工的净增量不能超过多少人? 解:(1)设从今年起的第 x 年(今年为第 1 年)该企业人均发放年终奖为 y 万元. 2 000+60x 则 y= (a∈N*,1≤x≤10). 800+ax 2 000+60x 假设会超过 3 万元,则 >3, 800+10x 40 解得 x> >10. 3 所以,10 年内该企业的人均年终奖不会超过 3 万元. (2)设 1≤x1<x2≤10, 则 f(x2)-f(x1)= 2 000+60x2 2 000+60x1 ?60×800-2 000a??x2-x1? - = >0, 800+ax2 800+ax1 ?800+ax2??800+ax1?

所以 60×800-2 000a>0,得 a<24. 所以,为使人均年终奖年年有增长,该企业每年员工的净增量不能超过 23 人. 第Ⅱ组:重点选做题 1.(2014· 济南调研)设 a>1,且 m=loga(a2+1),n=loga(a-1),p=loga(2a),则 m,n,p 的大小关系为( A.n>m>p C.m>n>p ) B.m>p>n D.p>m>n

解析:选 B 因为 a>1,所以 a2+1-2a=(a-1)2>0,即 a2+1>2a,又 2a>a-1,所以由 对数函数的单调性可知 loga(a2+1)>loga(2a)>loga(a-1),即 m>p>n. 2.(2014· 北京西城区期末)已知 a>b>0,给出下列四个不等式:①a2>b2;②2a>2b 1;③


a-b> a- b;④a3+b3>2a2b. 其中一定成立的不等式为( A.①②③ C.①③④ ) B.①②④ D.②③④

解析:选 A 由 a>b>0 可得 a2>b2,①正确;由 a>b>0 可得 a>b-1,而函数 f(x)=2x 在 R 上是增函数,∴2a>2b 1,②正确;∵a>b>0,∴ a> b,∴( a-b)2-( a- b)2=2 ab-2b


=2 b( a- b)>0,∴ a-b> a- b,③正确;若 a=3,b=2,则 a3+b3=35,2a2b=36, a3+b3<2a2b,④错误.

第二节

一元二次不等式及其解法

一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式 Δ=b 2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图像 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 ax2+bx+c<0(a>0)的解集 有两相异实根 x1,x2(x1<x2) {x|x<x1 或 x>x2} {x|x1<x<x2} 有两相等实根 x1=x2=- {x|x≠- ? b 2a 没有实数根 Δ >0 Δ =0 Δ<0

b } 2a

R ?

1.二次项系数中含有参数时,则应先考虑二次项是否为零,然后再讨论二次项系数不为 零时的情形,以便确定解集的形式. 2.当 Δ<0 时,易混 ax2+bx+c>0(a>0)的解集为 R 还是?. [试一试] 1.(2013· 浙江高考)设集合 S={x|x>-2},T={x|x2+3x-4≤0},则(?RS)∪T=( A.(-2,1] C.(-∞,1] B.(-∞,-4] D.[1,+∞) )

解析:选 C T= {x|-4≤x≤1},根据补集定义, ?RS={x|x≤-2},所以(?RS)∪T={x|x≤1},选 C. 1 1? 2.不等式 ax2+bx+2>0 的解集是? ?-2,3?,则 a+b 的值是( A.10 C.14 B.-10 D.-14 )

1 1 解析:选 D 由题意知- 、 是 ax2+bx+2=0 的两根. 2 3 则 a=-12,b=-2.a+b=-14.故选 D.

3.不等式 x2+ax+4<0 的解集不是空集,则实数 a 的取值范围是________. 解析:∵不等式 x2+ax+4<0 的解集不是空集, ∴Δ=a2-4×4>0,即 a2>16. ∴a>4 或 a<-4. 答案:(-∞,-4)∪(4,+∞)

1.由二次函数图像与一元二次不等式的关系得到的两个常用结论
?a=b=0, ? ? ?a>0, (1)不等式 ax2+bx+c>0 对任意实数 x 恒成立?? 或? ? ? ?Δ<0. ?c>0, ? ? ?a=b=0, ?a<0, (2)不等式 ax2+bx+c<0 对任意实数 x 恒成立?? 或? ?Δ<0. ?c<0, ? ?

2.分类讨论思想 解含参数的一元二次不等式,可先考虑因式分解,再对根的大小进行分类讨论;若不能 因式分解,则可对判别式进行分类讨论,分类要不重不漏. [练一练] 若不等式 mx2+2mx+1>0 的解集为 R,则 m 的取值范围是________. 解析:①当 m=0 时,1>0 显然成立. ②当 m≠0 时,由条件知
? ?m>0, ? 2 ?Δ=4m -4m<0. ?

得 0<m<1, 由①②知 0≤m<1. 答案:[0,1)

考点一 [典例] 解下列不等式: (1)0<x2-x-2≤4; (2)x2-4ax-5a2>0(a≠0). [解] (1)原不等式等价于

一元二次不等式的解法

?x2-x-2>0, ?x2-x-2>0, ? ? ? 2 ?? 2 ? ? ?x -x-2≤4 ?x -x-6≤0

? ? ??x-2??x+1?>0, ?x>2或x<-1, ?? ?? ??x-3??x+2?≤0 ?-2≤x≤3. ? ?

借助于数轴,如图所示,

原不等式的解集为{x|-2≤x<-1或2<x≤3}. (2)由 x2-4ax-5a2>0 知(x-5a)(x+a)>0. 由于 a≠0 故分 a>0 与 a<0 讨论. 当 a<0 时,x<5a 或 x>-a; 当 a>0 时,x<-a 或 x>5a. 综上,a<0 时,解集为{x|x<5a或x>-a};a>0 时,解集为{x|x>5a或x<-a}. [类题通法] 1.解一元二次不等式的一般步骤: (1)对不等式变形,使一端为 0 且二次项系数大于 0,即 ax2+bx+c>0(a>0),ax2+bx+ c<0(a>0); (2)计算相应的判别式; (3)当 Δ≥0 时,求出相应的一元二次方程的根; (4)根据对应二次函数的图像,写出不等式的解集. 2.解含参数的一元二次不等式,要把握好分类讨论的层次,一般按下面次序进行讨论: 首先根据二次项系数的符号进行分类,其次根据根是否存在,即 Δ 的符号进行分类,最后在 根存在时,根据根的大小进行分类. [针对训练] 解下列不等式: (1)-3x2-2x+8≥0; (2)ax2-(a+1)x+1<0(a>0). 解:(1)原不等式可化为 3x2+2x-8≤0, 即(3x-4)(x+2)≤0. 4 解得-2 ≤x≤ , 3
? 4 ? -2≤x≤ ?. 所以原不等式的解集为?x? 3 ? ? ?

(2)原不等式变为(ax-1)(x-1)<0, 1? 因为 a>0,所以 a? ?x-a?(x-1)<0. 1 所以当 a>1 时,解为 <x<1; a

当 a=1 时,解集为?; 1 当 0<a<1 时,解为 1<x< . a
? 1 ? ? 综上,当 0<a<1 时,不等式的解集为?x? ?1<x<a ; ? ?

当 a=1 时,不等式的解集为?;
? 1 ? ? 当 a>1 时,不等式的解集为?x? ?a<x<1 . ? ?

考点二

一元二次不等式恒成立问题

一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系.在解决具体的数学问题时, 要注意三者之间的相互联系,并在一定条件下相互转换.对于一元二次不等式恒成立问题,常根 据二次函数图像与 x 轴的交点情况确定判别式的符号, 进而求出参数的取值范围.归纳起来常见 的命题角度有: ?1?形如 f?x?≥0?x∈R?确定参数的范围; ?2?形如 f?x?≥0?x∈[a,b]?确定参数范围; ?3?形如 f?x?≥0?参数 m∈[a,b]?确定 x 的范围.

角度一 形如 f(x)≥0(x∈R)确定参数的范围. 1.(2013· 重庆高考)设 0≤α≤π,不等式 8x2-(8sin α)x+cos 2α≥0 对 x∈R 恒成立,则 α 的取值范围为________. 解析:根据题意可得(8sin α)2-4×8cos 2α≤0,即 2sin2α-cos 2α≤0,2sin2α-(1-2sin2 π 5π 1 1 0, ?∪? ,π?. α)≤0,即- ≤sin α≤ .因为 0≤α≤π,故 α∈? ? 6? ? 6 ? 2 2 π? ?5π ? 答案:? ?0,6?∪? 6 ,π? 角度二 形如 f(x)≥0(x∈[a,b])确定参数范围 2.对任意 x∈[-1,1],函数 f(x)=x2+(a-4)x+4-2a 的值恒大于零,求 a 的取值范围. a-4 4-a 解:函数 f(x)=x2+(a-4)x+4-2a 的对称轴为 x=- = . 2 2 4-a ①当 <-1,即 a>6 时, 2 f(x)的值恒大于零等价于 f(-1)=1+(a-4)×(-1)+4-2a>0, 解得 a<3,故有 a∈?; 4-a ②当-1≤ ≤1,即 2≤a≤6 时, 2

只要 f?

4-a 4-a? ?4-a?2 ? 2 ?=? 2 ? +(a-4)× 2 +4-2a>0,

即 a2<0,故有 a∈?; 4-a ③当 >1,即 a<2 时, 2 只要 f(1)=1+(a-4)+4-2a>0, 即 a<1,故有 a<1. 综上可知,当 a<1 时,对任意 x∈[-1,1],函数 f(x)=x2+(a-4)x+4-2a 的值恒大于零. 角度三 形如 f(x)≥0(参数 m∈[a,b])确定 x 的范围 3.对任意 a∈[-1,1],函数 f(x)=x2+(a-4)x+4-2a 的值恒大于零,求 x 的取值范围. 解:由 f(x)=x2+(a-4)x+4-2a=(x-2)a+x2-4x+4, 令 g(a)=(x-2)a+x2-4x+4. 由题意知在[-1,1]上,g(a)的值恒大于零,
2 ? ?g?-1?=?x-2?×?-1?+x -4x+4>0, ? ∴ 2 ?g?1?=?x-2?+x -4x+4>0, ?

解得 x<1 或 x>3. 故当 x<1 或 x>3 时,对任意的 a∈[-1,1],函数 f(x)的值恒大于零. [类题通法] 恒成立问题及二次不等式恒成立的条件 (1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元,谁是参数.一般地,知道谁的范围,就选谁 当主元,求谁的范围,谁就是参数. (2)对于二次不等式恒成立问题,恒大于 0 就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全 部在 x 轴上方;恒小于 0 就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在 x 轴下方. 考点三 一元二次不等式的应用

[典例] 某小商品 2013 年的价格为 8 元/件,年销量是 a 件.现经销商计划在 2014 年将 该商品的价格降至 5.5 元/件到 7.5 元/件之间,经调查,顾客的期望价格是 4 元/件.经测算, 该商品价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比,比例系数为 k.该商 品的成本价为 3 元/件. (1)写出该商品价格下降后,经销商的年收益 y 与实际价格 x 的函数关系式; (2)设 k=2a,当实际价格最低定为多少时,仍然可以保证经销商 2014 年的收益比 2013 年至少增长 20%? [解] (1)设该商品价格下降后为 x 元/件,

k 则由题意可知年销量增加到?x-4+a?件,

?

?

k 故经销商的年收益 y=?x-4+a?(x-3),5.5≤x≤7.5.

?

?

2a (2)当 k=2a 时,依题意有?x-4+a?(x-3)≥(8-3)a×(1+20%),

?

?

x2-11x+30 化简得 ≥0, x-4 解得 x≥6 或 4<x≤5. 又 5.5≤x≤7.5,故 6≤x≤7.5, 即当实际价格最低定为 6 元/件时, 仍然可以保证经销商 2014 年的收益比 2013 年至少增 长 20%. [类题通法] 构建不等式模型解决实际问题 不等式的应用问题常常以函数为背景,多是解决实际生活、生产中的最优化问题等,解 题时,要仔细审题,认清题目的条件以及要解决的问题,理清题目中各量之间的关系,建立 恰当的不等式模型进行求解. [针对训练] 某商品每件成本价为 80 元,售价为 100 元,每天售出 100 件.若售价降低 x 成(1 成= 8 10%),售出商品数量就增加 x 成.要求售价不能低于成本价. 5 (1)设该商店一天的营业额为 y,试求 y 与 x 之间的函数关系式 y=f(x),并写出定义域; (2)若再要求该商品一天营业额至少为 10 260 元,求 x 的取值范围. x? 8 ? 解:(1)由题意得 y=100? 100? ?1-10?· ?1+50x?. 因为售价不能低于成本价, x? 所以 100? ?1-10?-80≥0. 所以 y=f(x)=20(10-x)(50+8x),定义域为[0,2]. (2)由题意得 20(10-x)(50+8x)≥10 260, 化简得 8x2-30x+13≤0. 1 13 解得 ≤x≤ . 2 4 1 ? 所以 x 的取值范围是? ?2,2?.

[课堂练通考点] 1.(2013· 广东高考)不等式|x2-2|<2 的解集是( )

A.(-1,1) C.(-1,0)∪(0,1)

B.(-2,2) D.(-2,0)∪(0,2)

解析:选 D 由|x2-2|<2 得-2<x2-2<2,即 0<x2<4,所以-2<x<0 或 0<x<2. 2.设 a>0,不等式-c<ax+b<c 的解集是{x|-2<x<1},则 a∶b∶c=( A.1∶2∶3 C.3∶1∶2 解析:选 B ∵-c<ax+b<c,又 a>0, b+c c-b ∴- < x< . a a ∵不等式的解集为{x|-2<x<1}, c =-2, ?-b+ a ∴? c-b ? a =1, B.2∶1∶3 D.3∶2∶1 )

?b=2, ∴? 3 ?c=2a,

a

a 3a ∴a∶b∶c=a∶ ∶ =2∶1∶3. 2 2 3. (2013· 重庆高考)关于 x 的不等式 x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1, x2), 且 x2-x1=15, 则 a=( 5 A. 2 15 C. 4 ) 7 B. 2 D. 15 2

解析:选 A 由条件知 x1,x2 为方程 x2-2ax-8a2=0 的两根,则 x1+x2=2a,x1x2=- 5 8a2,故(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=(2a)2-4×(-8a2)=36a2=152,得 a= . 2 4.(2014· 皖南八校联考)不等式 x2-2x+5≥a2-3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取 值范围为( ) B.(-∞,-2]∪[5,+∞) D.[-2,5]

A.[-1,4] C.(-∞,-1]∪[4,+∞)

解析:选 A x2-2x+5=(x-1)2+4 的最小值为 4,所以 x2-2x+5≥a2-3a 对任意实数 x 恒成立,只需 a2-3a≤4,解得-1≤a≤4.
2 ? ?x +1,x>0, ? 5.(2013· 温州调研)若函数 f(x)= 则不等式 f(x)<4 的解集是________. ?-x,x≤0, ?

?x>0, ?x≤0, ? ? 解析:不等式 f(x)<4 等价于? 2 或? ?x +1<4, ?-x<4, ? ?

即 0<x< 3或-4<x≤0.因此,不等式 f(x)<4 的解集是(-4, 3).

答案:(-4, 3) 6.(2012· 天津高考)已知集合 A={x∈R||x+2|<3},集合 B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且 A∩B=(-1,n),则 m=__________,n=________. 解析:因为|x+2|<3,即-5<x<1,所以 A=(-5,1),又 A∩B≠?,所以 m<1,B=(m,2), 由 A∩B=(-1,n)得 m=-1,n=1. 答案:-1 1 [课下提升考能] 第Ⅰ组:全员必做题 4 1.(2014· 潍坊质检)不等式 ≤x-2 的解集是( x-2 A.(-∞,0]∪(2,4] C.[2,4) )

B.[0,2)∪[4,+∞) D.(-∞,2]∪(4,+∞)

解析:选 B ①当 x-2>0,即 x>2 时,不等式可化为(x-2)2≥4,所以 x≥4;②当 x- 2<0,即 x<2 时,不等式可化为(x-2)2≤4,所以 0≤x<2. 1? ? 2.(2013· 安徽高考)已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为?x|x<-1或x>2?,则 f(10x)>0 的
? ?

解集为(

)

A.{x|x<-1 或 x>lg 2} B.{x|-1<x<lg 2} C.{x|x>-lg 2} D.{x|x<-lg 2} 1? ? 解析:选 D 因为一元二次不等式 f(x)<0 的解集为?x|x<-1或x>2?,所以可设 f(x)=a(x
? ?

?x-1?(a<0),由 f(10x)>0 可得(10x+1)· ?10x-1?<0,即 10x<1,x<-lg 2. +1)· 2? ? 2? ? 2
3.(2014· 湖北八校联考)“0<a<1”是“ax2+2ax+1>0 的解集是实数集 R”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
? ?a>0, 解析:选 A 当 a=0 时,1>0,显然成立;当 a≠0 时,? 故 ax2+2ax+ 2 ?Δ=4a -4a<0. ?

)

1>0 的解集是实数集 R 等价于 0≤a<1.因此, “0<a<1”是“ax2+2ax+1>0 的解集是实数集 R” 的充分而不必要条件. 4. 关于 x 的不等式 x2-(a+1)x+a<0 的解集中, 恰有 3 个整数, 则 a 的取值范围是( )

A.(4,5) C.(4,5]

B.(-3,-2)∪(4,5) D.[-3,-2)∪(4,5]

解析:选 D 原不等式可能为(x-1)(x-a)<0,当 a>1 时得 1<x<a,此时解集中的整 数为 2,3,4,则 4<a≤5,当 a<1 时得 a<x<1,则-3≤a<-2,故 a∈[-3,-2)∪(4,5] 5.(2013· 洛阳诊断)若不等式 x2+ax-2>0 在区间[1,5]上有解,则 a 的取值范围是( 23 ? A.? ?- 5 ,+∞? C.(1,+∞) 23 ? B.? ?- 5 ,1? 23? D.? ?-∞,- 5 ? )

解析:选 B 由 Δ=a2+8>0,知方程恒有两个不等实根,又知两根之积为负, 所以方程必有一正根、一负根. 23 于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是 f(5)≥0,f(1)≤0,解得 a≥- ,且 a≤1, 5 23 ? 故 a 的取值范围为? ?- 5 ,1?. 6.不等式|x(x-2)|>x(x-2)的解集是________. 解析:不等式|x(x-2)|>x(x-2)的解集即 x(x-2)<0 的解集,解得 0<x<2. 答案:{x|0<x<2} 7.在 R 上定义运算:x*y=x(1-y).若不等式(x-y)*(x+y)<1 对一切实数 x 恒成立,则 实数 y 的取值范围是________. 解析:由题意,知(x-y)*(x+y)=(x-y)· [1-(x+y)]<1 对一切实数 x 恒成立,所以-x2+ x+y2-y-1<0 对于 x∈R 恒成立.故 Δ=12-4×(-1)×(y2-y-1)<0,所以 4y2-4y-3<0, 1 3 解得- <y< . 2 2 1 3? 答案:? ?-2,2? 8.不等式 x2-2x+3 ≤a2-2a-1 在 R 上的解集是?,则实数 a 的取值范围是________. 解析:原不等式即 x2-2x-a2+2a+4≤0,在 R 上解集为?, ∴Δ=4-4(-a2+2a+4)<0, 即 a2-2a-3<0,解得-1<a<3. 答案:(-1,3) 9.设函数 f(x)=mx2-mx-1. (1)若对于一切实数 x,f(x)<0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)若对于 x∈[1,3],f(x)<-m+5 恒成立,求 m 的取值范围. 解:(1)要使 mx2-mx-1<0 恒成立, 若 m=0,显然-1<0;

? ?m<0, 若 m≠0,则? ?-4<m<0. 2 ?Δ=m +4m<0 ?

所以-4<m≤0. (2)要使 f(x)<-m+5 在[1,3]上恒成立,即 1?2 3 m? ?x-2? +4m-6<0 在 x∈[1,3]上恒成立. 有以下两种方法: 1?2 3 法一:令 g(x)=m? ?x-2? +4m-6,x∈[1,3]. 当 m>0 时,g(x)在[1,3]上是增函数, 所以 g(x)max=g(3)?7m-6<0, 6 6 所以 m< ,则 0<m< ; 7 7 当 m=0 时,-6<0 恒成立; 当 m<0 时,g(x)在[1,3]上是减函数, 所以 g(x)max=g(1)?m-6<0,所以 m<6,所以 m<0.
? 6 ? m< ?. 综上所述:m 的取值范围是?m? ? 7 ? ?

1?2 3 法二:因为 x2-x+1=? ?x-2? +4>0, 又因为 m(x2-x+1)-6<0,所以 m< 6 因为函数 y= 2 = x -x+1 ? 6 . x2-x+1

6 6 6 在[1,3]上的最小值为 ,所以只需 m< 即可. 1?2 3 7 7 ?x-2? +4
?

? 6 ? ? 所以,m 的取值范围是?m? ?m<7 . ?

10.设二次函数 f(x)=ax +bx+c,函数 F(x)=f(x)-x 的两个零点为 m,n(m<n). (1)若 m=-1,n=2,求不等式 F(x)>0 的解集; 1 (2)若 a>0,且 0<x<m<n< ,比较 f(x)与 m 的大小. a 解:(1)由题意知,F(x)=f(x)-x=a(x-m)(x-n), 当 m=-1,n=2 时,不等式 F(x)>0, 即 a(x+1)(x-2)>0. 那么当 a>0 时,不等式 F(x)>0 的解集为{x|x<-1,或 x>2}; 当 a<0 时,不等式 F(x)>0 的解集为{x|-1<x<2}. (2)f(x)-m=a(x-m)(x-n)+x-m=(x-m)(ax-an+1),

2

1 ∵a>0,且 0<x<m<n< ,∴x-m<0,1-an+ax>0. a ∴f(x)-m<0,即 f(x)<m. 第Ⅱ组:重点选做题 1.若函数 f(x)=(a2+4a-5)x2-4(a-1)x+3 的图像恒在 x 轴上方,则 a 的取值范围是 ( ) A.[1,19] C.[1,19) B.(1,19) D.(1,19]

解析:选 C 函数图像恒在 x 轴上方,即不等式 (a2+4a-5)x2-4(a-1)x+3>0 对于一切 x∈R 恒成立. (1)当 a2+4a-5=0 时,有 a=-5 或 a=1.若 a=-5,不等式化为 24x+3>0,不满足题 意;若 a=1,不等式化为 3>0,满足题意. (2)当 a2+4a-5≠0 时,应有
2 ? ?a +4a-5>0, ? 2 2 ?16?a-1? -12?a +4a-5?<0. ?

解得 1<a<19. 综上可知,a 的取值范围是 1≤a<19. 2.(2013· 江苏高考)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=x2-4x,则不等式 f(x)>x 的解集用区间表示为________. 解析:由于 f(x)为 R 上的奇函数,所以当 x=0 时,f(0)=0;当 x<0 时,-x>0,所以 f(- x -4x,x>0, ? ? 2 2 x)=x +4x=-f(x),即 f(x)=-x -4x,所以 f(x)=?0,x=0, ? ?-x2-4x,x<0.
2 ?-x2-4x>x, ?x -4x>x, ? ? 由 f(x)>x,可得? 或? ?x>0 ? ? ?x<0, 2

解得 x>5 或-5<x<0, 所以原不等式的解集为(-5,0)∪(5,+∞). 答案:(-5,0)∪(5,+∞)

第三节

二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题

1.二元一次不等式(组)表示的平面区域

不等式 Ax+By+C>0 Ax+By+C≥0 不等式组 2.线性规划中的基本概念 名称 约束条件 线性约束条件 目标函数 线性目标函数 可行解 可行域 最优解 线性规划问题

表示区域 直线 Ax+By+C=0 某一侧的所 有点组成的平面区域 不包括边界直线 包括边界直线

各个不等式所表示平面区域的公共部分

意义 由变量 x,y 组成的不等式(组) 由 x,y 的一次不等式(或方程)组成的不等式(组) 关于 x,y 的函数解析式,如 z=2x+3y 等 关于 x,y 的一次解析式 满足线性约束条件的解(x,y) 所有可行解组成的集合 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

1 .画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为 ax + by + c>0(a>0). 2. 线性规划问题中的最优解不一定是唯一的, 即可行域内使目标函数取得最值的点不一 定只有一个,也可能有无数多个,也可能没有. [试一试] x-y+1≥0, ? ? 1.(2013· 全国卷Ⅱ)设 x,y 满足约束条件?x+y-1≥0, ? ?x≤3, 则 z=2x-3y 的最小值是( A.-7 C.-5 ) B.-6 D.-3

解析:选 B 作出不等式组表示的可行域,如图(阴影部分).

易知直线 z=2x-3y 过点 C 时,z 取得最小值.
? ? ?x=3, ?x=3, 由? 得? ?x-y+1=0, ?y=4, ? ?

∴zmin=2×3-3×4=-6,故选 B. 2.如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式________.

答案:x+y-1>0

1.确定二元一次不等式表示平面区域的方法 二元一次不等式所表示的平面区域的确定,一般是取不在直线上的点(x0,y0)作为测试点 来进行判定,满足不等式的则平面区域在测试点所在的直线的一侧,反之在直线的另一侧. 2.求二元一次函数 z=ax+by(ab≠0)的最值的方法 a z z 将函数 z=ax+by 转化为直线的斜截式:y=- x+ ,通过求直线的截距 的最值间接求 b b b 出 z 的最值. z z (1)当 b>0 时,截距 取最大值时,z 也取最大值;截距 取最小值时,z 也取最小值; b b z z (2)当 b<0 时,截距 取最大值时,z 取最小值;截距 取最小值时,z 取最大值. b b [练一练] (2013· 陕西高考)若点(x,y)位于曲线 y=|x|与 y=2 所围成的封闭区域, 则 2x-y 的最小 值是( ) B.-2 D.2

A.-6 C.0

? ?x?x≥0? 解析:选 A 作出函数 y=|x|=? 和 y=2 围成的等腰直角三 ?-x?x<0? ?

角形的可行域(如图阴影部分所示),则可得过交点 A(-2,2)时,2x-y 取得 最小值-6.

考点一

二元一次不等式(组)表示平面区域

x≥0, ? ? 1.不等式组?x+3y≥4, ? ?3x+y≤4 3 A. 2 4 C. 3

所表示的平面区域的面积等于(

)

2 B. 3 3 D. 4

解析:选 C 平面区域如图所示.
? ?x+3y=4, 解? 得 A(1,1), ?3x+y=4 ?

4? 易得 B(0,4),C? ?0,3?, 4 8 |BC|=4- = . 3 3 1 8 4 ∴S△ABC= × ×1= . 2 3 3 x-y≥0, ? ? 2.若满足条件?x+y-2≤0, ? ?y≥a 整数的点,则整数 a 的值为( A.-3 C.-1 ) B.-2 D.0

的整点(x,y)恰有 9 个,其中整点是指横、纵坐标都是

解析: 选 C 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分,当 a=0 时,只有 4 个整点(1,1),(0,0),(1,0),(2,0);当 a=-1 时,正好增加(- 1,-1),(0,-1),(1,-1),(2,-1),(3,-1)5 个整点,故选 C. 3.如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________.

解析:两直线方程分别为 x-2y+2=0 与 x+y-1=0. 由(0,0)点在直线 x-2y+2=0 右下方可知 x-2y+2≥0, 又(0,0)点在直线 x+y-1=0 左下方可知 x+y-1≥0,
?x+y-1≥0, ? 即? 为所表示的可行域. ?x-2y+2≥0 ? ?x+y-1≥0, ? 答案:? ? ?x-2y+2≥0

[类题通法] 二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法:直线定界,测试点定域. 注意不等式中不等号有无等号,无等号时直线画成虚线,有等号时直线画成实线.测试 点可以选一个,也可以选多个,若直线不过原点,测试点常选取原点. 考点二 求目标函数的最值

线性规则问题是高考的重点,而线性规划问题具有代数和几何的双重形式,多与函 数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透,自然地融合在一起,使 数学问题的解答变得更加新颖别致.归纳起来常见的命题角度有: ?1?求线性目标函数的最值; ?2?求非线性目标的最值; ?3?求线性规划中的参数.

角度一 求线性目标函数的最值 y≤2x, ? ? 1. (1)(2013· 湖南高考)若变量 x, y 满足约束条件?x+y≤1, ? ?y≥-1, 5 A.- 2 5 C. 3 B.0 5 D. 2

则 x+2y 的最大值是(

)

x-y+1≥0, ? ? (2)如果函数 x、y 满足条件?y+1≥0, ? ?x+y+1≤0, A.2 C.-2

那么 z=2x-y 的最大值为(

)

B.1 D.-3

解析:(1)选 C 不等式组表示的平面区域为图中阴影部分.平行移动 y 1 2? 1 1 =- x+ z,可知该直线经过 y=2x 与 x+y=1 的交点 A? ?3,3?时,z 有最大 2 2 1 4 5 值为 + = . 3 3 3 (2)选 B 如图作出可行域,当 z 经过直线 y+1=0 与 x+y+1=0 的交点(0,-1)时,zmax =1.

角度二 求非线性目标的最值 2x+3y-6≤0, ? ? 2.(1)(2013· 山东高考)在平面直角坐标系 xOy 中,M 为不等式组?x+y-2≥0, ? ?y≥0 示的区域上一动点,则|OM|的最小值是________. 解析:作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,因此 |OM|的最 小值为点 O 到直线 x+y-2=0 的距离,所以|OM|min= 答案: 2 x-y+2≤0, ? ? (2)(2014· 深圳调研 ) 已知变量 x , y 满足约束条件 ?x≥1, ? ?2x+y-8≤0, ________. 解析:如图,画出可行域,易得 A(2,4),B(1,6), ∴它们与原点连线的斜率分别为 k1=2,k2=6, y y-0 y y 又 = ,∴k1≤ ≤k2,即 2≤ ≤6. x x-0 x x y 则 的取值范围是 x |-2| = 2. 2

所表

答案:[2,6] 角度三 求线性规划中的参数 x≥2, ? ? 3.(1)(2013· 浙江高考)设 z=kx+y,其中实数 x,y 满足?x-2y+4≥0, ? ?2x-y-4≤0. 为 12,则实数 k=________.

若 z 的最大值

1 解析:已知不等式组可表示成如图的可行域,当 0≤-k< 时,直 2 线 y=-kx+z 经过点 M(4,4)时 z 最大, 所以 4k+4=12, 解得 k=2(舍 1 去);当-k≥ 时,直线 y=-kx+z 经过点 N(2,3)时 z 最大,所以 2k 2 9 +3=12, 解得 k= (舍去); 当-k<0 时, 直线 y=-kx+z 经过点 M(4,4) 2 时 z 最大,所以 4k+4=12,解得 k=2,符合条件,综上可知,k=2. 答案:2 x-y+1≥0, ? ? (2)(2014· 江西七校联考)已知实数 x, y 满足?x+2y-8≤0, ? ?x≤3. 最小值的唯一的可行解,则实数 a 的取值范围为________. 解析:记 z=ax-y,注意到当 x=0 时,y=-z,即直线 z=ax-y 在 y 轴上的截距是-z.在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域,结合 1 图形可知,满足题意的实数 a 的取值范围为 a<- . 2 1? 答案:? ?-∞,-2? [类题通法] 1.求目标函数的最值的一般步骤为:一画二移三求.其关键是准确作出可行域,理解目 标函数的意义. 2.常见的目标函数有: (1)截距型:形如 z=ax+by. a z 求这类目标函数的最值常将函数 z=ax+by 转化为直线的斜截式:y=- x+ ,通过求 b b z 直线的截距 的最值间接求出 z 的最值. b (2)距离型:形如 z=(x-a)2+(y-b)2. y-b (3)斜率型:形如 z= . x-a 注意:转化的等价性及几何意义. 考点三 线性规划的实际应用 5? 若点? ?3,2?是使 ax-y 取得

[典例] (2013· 湖北高考)某旅行社租用 A,B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行,A,B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人, 租金分别为 1 600 元/辆和 2 400 元/辆, 旅行社要求 租车总数不超过 21 辆,且 B 型车不多于 A 型车 7 辆,则租金最少为( A.31 200 元 B.36 000 元 )

C.36 800 元

D.38 400 元

[解析] 设租用 A 型车 x 辆,B 型车 y 辆,目标函数为 z=1 600x+2 400y,则约束条件为 36x+60y≥900, ? ?y-x≤7, ?y+x≤21, ? ?x,y∈N, 作出可行域,如图中阴影部分所示,可知目标函数过点 (5,12) 时,有最小值 zmin = 36 800(元). [答案] C [类题通法] 求解线性规划应用题的注意点 (1)明确问题中的所有约束条件,并根据题意判断约束条件中是否能够取到等号. (2)注意结合实际问题的实际意义,判断所设未知数 x,y 的取值范围,特别注意分析 x, y 是否是整数、非负数等. (3)正确地写出目标函数,一般地,目标函数是等式的形式. [针对训练] 某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、B 原料 2 千 克;生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克,B 原料 1 千克.每桶甲产品的利润是 300 元,每桶 乙产品的利润是 400 元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗 A、B 原料都不超 过 12 千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大 利润是( ) B.2 400 元 D.3 100 元

A.1 800 元 C.2 800 元

解析:选 C 设每天分别生产甲产品 x 桶,乙产品 y 桶,相应的利润 x+2y≤12, ? ? 为 z 元,则?2x+y≤12, ? ?x≥0,y≥0,

z=300x+400y,在坐标平面内画出该不等式

组表示的平面区域及直线 300x+400y=0, 平移该直线, 当平移到经过该平面区域内的点 A(4,4) 时, 相应直线在 y 轴上的截距达到最大, 此时 z=300x+400y 取得最大值, 最大值是 z=300×4 +400×4=2 800,即该公司可获得的最大利润是 2 800 元.

[课堂练通考点]

? ?x-3y+6≥0, 1.(2014· 长春模拟)不等式组? 表示的平面区域是( ?x-y+2<0 ?

)

解析:选 B x-3y+6≥0 表示直线 x-3y+6=0 以及该直线下方的区域,x-y+2<0 表 示直线 x-y+2=0 上方的区域,故选 B. x≥1 ? ? 2.(2013· 北京市海淀区期中练习)不等式组?x+y-4≤0 ? ?kx-y≤0 域,则 k 的值为( A.-2 C.0 ) B.-1 D.1

表示面积为 1 的直角三角形区

解析:选 D 注意到直线 kx-y=0 恒过原点,在坐标平面内画出题中的不等式组表示的 平面区域,结合题意得直线 kx-y=0 与直线 x+y-4=0 垂直时满足题意,于是有 k×(-1) =-1,由此解得 k=1,选 D. 3 . (2014· 泉州质检 ) 已知 O 为坐标原点, A(1,2) ,点 P 的坐标 (x , y) 满足约束条件
?x+|y|≤1, ? ? OP 的最大值为( 则 z= OA · ?x≥0, ?

) B.-1 D.2

A.-2 C.1 解析:选 D 如图作可行域,

OP = x + 2y,显然在 B(0,1) z = OA ·

处 zmax=2.故选 D. x+y≤8, ? ?2y-x≤4, 约束条件? x≥0, ? ?y≥0, )

4.(2013· 四川高考)若变量 x,y 满足

且 z=5y-x 的最大值为 a,最小值为 b,则 a-b 的值是( A.48 C.24 x+y≤8, ? ?2y-x≤4, 约束条件? x≥0, ? ?y≥0 B.30 D.16

解析:选 C

表示以(0,0),(0,2),(4,4),(8,0)为顶点的四边形

区域,检验四个顶点的坐标可知,当 x=4,y=4 时,a=zmax=5×4-4=16;当 x=8,y=0 时,b=zmin=5×0-8=-8,∴a-b=24.
? x-y≥-1, ? 5.(2013· 安徽高考)若非负变量 x,y 满足约束条件? 则 x+y 的最大值为 ?x+2y≤4, ?

________. 解析:画出可行域是如图所示的四边形 OABC 的边界及内部,令 z=x+y,易知当直线 y=-x+z 经过点 C(4,0)时,直线在 y 轴上截距 最大,目标函数 z 取得最大值,即 zmax=4. 答案:4 x≥0, ? ? 6. (2013· 北京高考)设 D 为不等式组?2x-y≤0, ? ?x+y-3≤0 点(1,0)之间的距离的最小值为________. 解析:作出可行域,如图中阴影部分所示,则根据图形可知,点 B(1,0) |2×1-0| 2 5 2 5 到直线 2x-y=0 的距离最小,d= = ,故最小距离为 . 2 5 5 2 +1 2 5 答案: 5 [课下提升考能] 第Ⅰ组:全员必做题 1. 已知点(-3, -1)和点(4, -6)在直线 3x-2y-a=0 的两侧, 则 a 的取值范围为( A.(-24,7) C.(-∞,-7)∪(24,+∞) B.(-7,24) D.(-∞,-24)∪(7,+∞) )

所表示的平面区域, 区域 D 上的点与

解析:选 B 根据题意知(-9+2-a)· (12+12-a)<0. 即(a+7)(a-24)<0,解得-7<a<24. x≤2, ? ? 2.已知实数对(x,y)满足?y≥1, ? ?x-y≥0, A.6 C.(2,2)

则 2x+y 取最小值时的最优解是(

)

B.3 D.(1,1)

解析:选 D 约束条件表示的可行域如图中阴影三角形,令 z=2x+y, y=-2x+z,作初始直线 l0:y=-2x,作与 l0 平行的直线 l,则直线经过点 (1,1)时,(2x+y)min=3.

x+2y≥2, ? ? 3.(2012· 山东高考)设变量 x,y 满足约束条件?2x+y≤4, ? ?4x-y≥-1, 取值范围是( 3 ? A.? ?-2,6? C.[-1,6] ) 3 ? B.? ?-2,-1? 3? D.? ?-6,2?

则目标函数 z=3x-y 的

解析: 选 A 不等式组表示的平面区域如图所示,目标函数的 几何意义是直线在 y 轴上截距的相反数,其最大值在点 A(2,0)处取 1 ? 3 得,最小值在点 B? ?2,3?处取得,即最大值为 6,最小值为-2. y≥1, ? ? 4.(2013· 北京西城一模)实数 x,y 满足?y≤2x-1, ? ?x+y≤m, 函数 z=x-y 的最小值为-2,则实数 m 的值为( A.5 C.7 B.6 D.8 )

如果目标

?y≥1, ? 解析:选 D 先作出满足不等式组? 的区域如图. ?y≤2x-1 ?

由 z=x-y 得 y=x-z 可知,直线的截距最大时,z 取得最小值,此时直线 y=x-(-2)
?y=2x-1, ?x=3, ? ? =x+2,作出直线 y=x+2,交 y=2x-1 于 A 点,由? 得? 代入 x+y=m ?y=x+2, ? ? ?y=5,

得 m=3+5=8,故选 D. x+y≤a ? ? 5.(2014· 辽宁六校联考)设变量 x,y 满足约束条件?x+y≥8, ? ?x≥6 成立,则实数 a 的取值范围是( A.[8,10] C.[6,9] ) B.[8,9] D.[6,10]

且不等式 x+2y≤14 恒

解析:选 A 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,显然 a≥8,否则可行域无

意义.由图可知 x+2y 在点(6,a-6)处取得最大值 2a-6,由 2a-6≤14 得,a≤10,故选 A.

x-y+2≥0 ? ? 6.(2014· 江南十校联考)若不等式组?ax+y-2≤0表示 ? ?y≥0 a 的值是________.

的平面区域的面积为 3,则实数

1 2 ? +2 ×2 解析: 作出可行域, 如图中阴影部分所示, 区域面积 S= ×? 2 ?a ? =3,解得 a=2. 答案:2 x+4y≥4, ? ? 7.(2013· 广东高考)给定区域 D:?x+y≤4, ? ?x≥0,

令点集 T={(x0,y0)∈D|x0,y0∈Z,(x0,

y0)是 z=x+y 在 D 上取得最大值或最小值的点},则 T 中的点共确定________条不同的直线. 解析:解决本题的关键是要读懂数学语言,x0,y0∈Z,说明 x0,y0 是整数,作出图形可 知,△ABF 所围成的区域即为区域 D,其中 A(0,1)是 z 在 D 上取得最小值的点,B,C,D, E,F 是 z 在 D 上取得最大值的点,则 T 中的点共确定 AB,AC,AD,AE,AF,BF 共 6 条 不同的直线.

答案:6 3x-5y+6≥0, ? ? 8.(2014· 郑州质检)若 x,y 满足条件?2x+3y-15≤0, ? ?y≥0 y 取得最小值,则实数 a 的取值范围是________. 解析:画出可行域,如图,直线 3x-5y+6=0 与 2x+3y-15=0 交于点 M(3,3),由目标函数 z=ax-y,得 y=ax-z,纵截距为-z,当

当且仅当 x=y=3 时,z=ax-

2 3 z 最小时,-z 最大.欲使纵截距-z 最大,则- <a< . 3 5 2 3? 答案:? ?-3,5? x-4y+3≤0, ? ? 9.变量 x,y 满足?3x+5y-25≤0, ? ?x≥1, (1)设 z=4x-3y,求 z 的最大值; y (2)设 z= ,求 z 的最小值. x x-4y+3≤0, ? ? 解:(1)由约束条件?3x+5y-25≤0, ? ?x≥1,

作出(x,y)的可行域如图所示. 4 z 由 z=4x-3y,得 y= x- . 3 3 4 z z 求 z=4x-3y 的最大值,相当于求直线 y= x- 在 y 轴上的截距- 的最小值. 3 3 3 4 4 z z 平移直线 y= x 知,当直线 y= x- 过点 B 时,- 最小,z 最大. 3 3 3 3
?x-4y+3=0, ? 由? 解得 B(5,2). ?3x+5y-25=0, ?

故 zmax=4×5-3×2=14. y y-0 (2)∵z= = . x x-0 2 ∴z 的值即是可行域中的点与原点 O 连线的斜率.观察图形可知 zmin=kOB= . 5 10.某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共 100 个,生产一个卫 兵需 5 分钟,生产一个骑兵需 7 分钟,生产一个伞兵需 4 分钟,已知总生产时间不超过 10 小时.若生产一个卫兵可获利润 5 元,生产一个骑兵可获利润 6 元,生产一个伞兵可获利润 3 元. (1)试用每天生产的卫兵个数 x 与骑兵个数 y 表示每天的利润 w(元); (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大,最大利润是多少? 解:(1)依题意每天生产的伞兵个数为 100-x-y, 所以利润 w=5x+6y+3(100-x-y)=2x+3y+300.

5x+7y+4?100-x-y?≤600, ? ? (2)约束条件为?100-x-y≥0, ? ?x≥0,y≥0,x,y∈N. x+3y≤200, ? ? 整理得?x+y≤100, ? ?x≥0,y≥0,x,y∈N. 目标函数为 w=2x+3y+300. 作出可行域.如图所示:

初始直线 l0:2x+3y=0,平移初始直线经过点 A 时,w 有最大值.
? ? ?x+3y=200, ?x=50, 由? 得? ?x+y=100, ?y=50. ? ?

最优解为 A(50,50),所以 wmax=550 元. 所以每天生产卫兵 50 个,骑兵 50 个,伞兵 0 个时利润最,最大为利润 550 元. 第Ⅱ组:重点选做题 2x-y+1>0, ? ? 1. (2013· 北京高考)设关于 x, y 的不等式组?x+m<0, ? ?y-m>0 P(x0,y0),满足 x0-2y0=2.求得 m 的取值范围是( 4? A.? ?-∞,3? 2? C.? ?-∞,-3? )

表示的平面区域内存在点

1? B.? ?-∞,3? 5? D. ? ?-∞,-3?

解析:选 C 问题等价于直线 x-2y=2 与不等式组所表示的平面区域 存在公共点,由于点(-m,m)不可能在第一和第三象限,而直线 x-2y=2 经过第一、三、四象限,则点(-m,m)只能在第四象限,可得 m<0,不等 式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,要使直线 x-2y=2 与阴影部 分有公共点,则点(-m,m)在直线 x-2y-2=0 的下方,由于坐标原点使得 x-2y-2<0, 2 故-m-2m-2>0,即 m<- . 3

x≥0, ? ? 2. 记不等式组?x+3y≥4, ? ?3x+y≤4 则 a 的取值范围是________.

所表示的平面区域为 D, 若直线 y=a(x+1)与 D 有公共点,

解析:画出可行域,易知直线 y=a(x+1)过定点(-1,0),当直线 y= 1 a(x+1)经过 x+3y=4 与 3x+y=4 的交点(1,1)时, a 取得最小值 ; 当直线 2 y=a(x+1)经过 x=0 与 3x+y=4 的交点(0,4)时,a 取得最大值 4,故 a 的 1 ? 取值范围是? ?2,4?. 1 ? 答案:? ?2,4?

第四节

基本不等式

a+b 1.基本不等式 ab≤ 2 (1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0. (2)等号成立的条件:当且仅当 a=b 时取等号. 2.算术平均数与几何平均数 a+b 设 a>0,b>0,则 a,b 的算术平均数为 ,几何平均数为 ab,基本不等式可叙述为: 2 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 3.利用基本不等式求最值问题 已知 x>0,y>0,则: (1)如果积 xy 是定值 p, 那么当且仅当 x=y 时, x+y 有最小值是 2 p.(简记: 积定和最小) p2 (2)如果和 x+y 是定值 p,那么当且仅当 x=y 时,xy 有最大值是 .(简记:和定积最大) 4

1.求最值时要注意三点:一是各项为正;二是寻求定值;三是考虑等号成立的条件. 2.多次使用基本不等式时,易忽视取等号的条件的一致性. [试一试] a+b 1.“a>0 且 b>0”是“ ≥ ab”成立的( 2 )

A.充分不必要条件 C.充要条件 答案:A

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2.已知 0<x<1,则 x(3-3x)取得最大值时 x 的值为( 1 A. 3 3 C. 4 1 B. 2 2 D. 3

)

1 1 9 3 解析:选 B 由 0<x<1,故 3-3x>0,则 x(3-3x)= ×3x(3-3x)≤ × = ,当且仅当 3 3 4 4 1 3x=3-3x,即 x= 时等号成立. 2

1.活用几个重要的不等式 b a a2+b2≥2ab(a,b∈R); + ≥2(a,b 同号). a b ab≤? a+b?2 a+b?2 a2+b2 (a,b∈R);? ? 2 ? ? 2 ? ≤ 2 (a,b∈R).

2.巧用“拆”“拼”“凑” 在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中 “正”“定”“等”的条件. [练一练] 若 x>1,则 x+ 4 的最小值为________. x-1

4 4 解析:x+ =x-1+ +1≥4+1=5. x-1 x-1 4 当且仅当 x-1= ,即 x=3 时等号成立. x-1 答案:5

考点一

利用基本不等式证明不等式

[典例] 已知 a>0,b>0,a+b=1, 1?? 1? 求证:? ?1+a??1+b?≥9. [证明] 法一:∵a>0,b>0,a+b=1, a+b 1 b 1 a ∴1+ =1+ =2+ .同理,1+ =2+ . a a a b b

1?? 1? ? b?? a? ∴? ?1+a??1+b?=?2+a??2+b? b a? b a =5+2? ?a+b?≥5+4=9,当且仅当a=b, 1 即 a=b= 时取“=”. 2 1?? 1? 1 ∴? ?1+a??1+b?≥9,当且仅当 a=b=2时等号成立. 1?? 1? 1 1 1 法二:? ?1+a??1+b?=1+a+b+ab a+b 1 2 =1+ + =1+ , ab ab ab ∵a,b 为正数,a+b=1, ∴ab≤? a+b?2 1 1 ? 2 ? =4,当且仅当 a=b=2时取“=”.

1 2 1 于是 ≥4, ≥8,当且仅当 a=b= 时取“=”. ab ab 2 1?? 1? ∴? ?1+a??1+b?≥1+8=9, 1 当且仅当 a=b= 时等号成立. 2 [类题通法] 利用基本不等式证明不等式的方法技巧 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,要从整体上把握运用基本 不等式,对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换,常见的变形技巧有:拆项, 并项,也可乘上一个数或加上一个数,“1”的代换法等. [针对训练] 1 1 设 a,b 均为正实数,求证: 2+ 2+ab≥2 2. a b 证明:由于 a、b 均为正实数, 1 1 所以 2+ 2≥2 a b 1 1 2 ·= , a2 b2 ab

1 1 当且仅当 2= 2,即 a=b 时等号成立, a b 2 又因为 +ab≥2 ab 2 · ab=2 2, ab

2 当且仅当 =ab 时等号成立, ab 1 1 2 所以 2+ 2+ab≥ +ab≥2 2, a b ab

?a =b , 当且仅当? 2 ?ab=ab,
2 2

1

1

4 即 a=b= 2时取等号.

考点二

利用基本不等式求最值

a [典例] (1)(2013· 四川高考)已知函数 f(x)=4x+ (x>0,a>0)在 x=3 时取得最小值,则 x a=________. a [解析] f(x)=4x+ ≥2 x 则由题意知 a=4×32=36. [答案] 36 2 1 (2)(2014· 长春调研)若两个正实数 x,y 满足 + =1,并且 x+2y>m2+2m 恒成立,则实 x y 数 m 的取值范围是________. 2 1? 4y x 4y x [解析] x+2y=(x+2y)? ?x+y?=2+ x +y+2≥8,当且仅当 x =y, 即 x=2y=4 时等号成立.由 x+2y>m2+2m 恒成立, 可知 m2+2m<8,m2+2m-8<0,解得-4<m<2. [答案] (-4,2) z (3)(2013· 山东高考改编)设正实数 x,y,z 满足 x2-3xy+4y2-z=0,则 的最小值为 xy ________. [解析] z=x2-3xy+4y2(x,y,z∈R ),


a a 4x·=4 a(x>0,a>0),当且仅当 4x= ,即 a=4x2 时取等号, x x

2 2 z x -3xy+4y x 4y ∴ = = + -3≥2 xy xy y x

x 4y · -3=1. y x

x 4y 当且仅当 = ,即 x=2y=4 时“=”成立. y x [答案] 1

z 在(3)的条件中,当 取最小值时,求 x+2y-z 的最大值. xy z 解:由(3)知当 取最小值时 x=2y. xy ∴z=x2-3xy+4y2=4y2-6y2+4y2=2y2, ∴x+2y-z=2y+2y-2y2=-2y2+4y=-2(y-1)2+2. ∴当 y=1 时,x+2y-z 取最大值 2. [类题通法]

两个正数的和与积的转化 基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能, 因此可以用在一些不等式的证明中,还可以用于求代数式的最值或取值范围.如果条件等式 中,同时含有两个变量的和与积的形式,就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进 行转化,然后通过解不等式进行求解. a 注意:形如 y=x+ (a>0)的函数求最值时,首先考虑用基本不等式,若等号取不到,再 x 利用该函数的单调性求解. [针对训练] 2x (1)当 x>0 时,则 f(x)= 2 的最大值为________. x +1 (2)已知 log2a+log2b≥1,则 3a+9b 的最小值为________. (3)已知 x>0,y>0,xy=x+2y,若 xy≥m-2 恒成立,则实数 m 的最大值是________. 解析:(1)∵x>0, 2x 2 2 ∴f(x)= 2 = ≤ =1, 1 2 x +1 x+ x 1 当且仅当 x= ,即 x=1 时取等号. x (2)由 log2a+log2b≥1 得 log2(ab)≥1, a+2b 即 ab≥2,∴3a+9b=3a+32b≥2×3 (当且仅当 3a=32b,即 a=2b 时取等号). 2 又∵a+2b≥2 2ab≥4(当且仅当 a=2b 时取等号), ∴3a+9b≥2×32=18. 即当 a=2b 时,3a+9b 有最小值 18. (3)由 x>0,y>0,xy=x+2y≥2 2xy,得 xy≥8,于是由 m-2≤xy 恒成立,得 m-2≤8, 即 m≤10.故 m 的最大值为 10. 答案:(1)1 (2)18 考点三 (3)10 基本不等式的实际应用

[典例] 某厂家拟在 2013 年举行促销活动, 经调查测算, 该产品的年销售量(即该厂的年 k 产量)x 万件与年促销费用 m 万元(m≥0)满足 x=3- (k 为常数),如果不搞促销活动,则 m+1 该产品的年销售量只能是 1 万件. 已知 2013 年生产该产品的固定投入为 8 万元. 每生产一万 件该产品需要再投入 16 万元, 厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍 (产品成本包括固定投入和再投入两部分资金). (1)将 2013 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数;

(2)该厂家 2013 年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大? [解] (1)由题意知,当 m=0 时,x=1(万件), 2 , m+1 8+16x (元), x

∴1=3-k?k=2,∴x=3-

每件产品的销售价格为 1.5×

8+16x ∴2013 年的利润 y=1.5x× -8-16x-m x 16 =-?m+1+?m+1??+29(m≥0).

?

?

(2)∵m≥0 时,

16 +(m+1)≥2 16=8, m+1

∴y≤-8+29=21, 16 当且仅当 =m+1?m=3(万元)时,ymax=21(万元). m+1 故该厂家 2013 年的促销费用投入 3 万元时,厂家的利润最大为 21 万元. [类题通法] 利用基本不等式求解实际应用题的方法 (1)问题的背景是人们关心的社会热点问题,如“物价、销售、税收、原材料”等,题目 往往较长,解题时需认真阅读,从中提炼出有用信息,建立数学模型,转化为数学问题求解. (2)当运用基本不等式求最值时,若等号成立的自变量不在定义域内时,就不能使用基本 不等式求解,此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解. [针对训练] (2013· 湖南省五市十校联合检测)某化工企业 2012 年底投入 100 万元, 购入一套污水处理 设备.该设备每年的运转费用是 0.5 万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护 费为 2 万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加 2 万元.设该企业使用该设 备 x 年的年平均污水处理费用为 y(单位:万元). (1)用 x 表示 y; (2)当该企业的年平均污水处理费用最低时,企业需重新更换新的污水处理设备.则该企 业几年后需要重新更换新的污水处理设备. 100+0.5x+?2+4+6+?+2x? 解:(1)由题意得,y= , x 100 即 y=x+ +1.5(x∈N*). x (2)由基本不等式得: 100 y=x+ +1.5≥2 x 100 x· +1.5=21.5, x

100 当且仅当 x= ,即 x=10 时取等号. x 故该企业 10 年后需要重新更换新的污水处理设备.

[课堂练通考点] 1 1.已知 f(x)=x+ -2(x<0),则 f(x)有 ( x A.最大值为 0 C.最大值为-4 ) B.最小值为 0 D.最小值为-4

1 1 解析:选 C ∵x<0,∴f(x)=- ??-x?+?-x??-2≤-2-2=-4,当且仅当-x= , ? ? -x 即 x=-1 时取等号. 2.(2013· 重庆高考改编) ?3-a??a+6?(-6<a<3)的最大值为( A.9 C.3 9 B. 2 3 2 D. 2 )

解析:选 B ∵-6<a<3,∴3-a>0,a+6>0, ∴ ?3-a??a+6?≤

?3-a+a+6?2=9, 2 ? ? 2

3 当且仅当 3-a=a+6,即 a=- 时取等号, 2 3 9 ∴当 a=- 时, ?3-a??a+6?有最大值 . 2 2 3.(2013· 福建高考)若 2x+2y=1,则 x+y 的取值范围是( A.[0,2] C.[-2,+∞) B.[-2,0] D.(-∞,-2] )

1 + + 解析:选 D ∵2x+2y≥2 2x· 2y=2 2x y(当且仅当 2x=2y 时等号成立),∴ 2x y≤ ,∴ 2 1 + 2x y≤ ,得 x+y≤-2. 4 4.?创新题?已知各项为正的等比数列{an}中,a4 与 a14 的等比中项为 2 2,则 2a7+a11 的 最小值为________. 解析:由已知 a4a14=(2 2)2=8. 再由等比数列的性质有 a4a14=a7a11=8. 又∵a7>0,a11>0, ∴2a7+a11≥2 2a7a11=8.

当且仅当 2a7=a11 时等号成立. 答案:8 1 1 5.(2014· 济南模拟)若点 A(1,1)在直线 mx+ny-2=0 上,其中 mn>0,则 + 的最小值 m n 为________. 1 1 1 ? 1 +1?=1?2+ n +m?≥2,当且仅当 m 解析:由已知得 m+n=2,所以 + = (m+n)· ?m n? 2? m n ? m n 2 =n=1 时取等号. 答案:2 p 6.已知函数 f(x)=x+ (p 为常数,且 p>0)若 f(x)在(1,+∞)上的最小值为 4,则实 x-1 数 p 的值为________. 解析: 由题意得 x-1>0, f(x)=x-1+ p +1≥2 p+1, 当且仅当 x= p+1 时取等号, x-1

9 因为 f(x)在(1,+∞)上的最小值为 4,所以 2 p+1=4,解得 p= . 4 9 答案: 4 [课下提升考能] 第Ⅰ组:全员必做题 1.下列不等式一定成立的是( 1 A.lg(x2+ )>lg x(x>0) 4 1 B.sin x+ ≥2(x≠kπ,k∈Z) sin x C.x2+1≥2|x|(x∈R) 1 D. 2 >1(x∈R) x +1 1 3 2 1? 解析:选 C 取 x= ,则 lg? ?x +4?=lg x,故排除 A;取 x=2π,则 sin x=-1,故排除 2 1 B;取 x=0,则 2 =1,故排除 D. x +1 2.(2014· 宁波模拟)若 a>0,b>0,且 a+2b-2=0,则 ab 的最大值为( 1 A. 2 C.2 B.1 D.4 ) )

1 解析:选 A ∵a>0,b>0,a+2b=2,∴a+2b=2≥2 2ab,即 ab≤ .当且仅当 a=1, 2

1 b= 时等号成立. 2 3.若 a,b 均为大于 1 的正数,且 ab=100,则 lg a· lg b 的最大值是( A.0 C.2 解析:选 B ∵a>1,b>1. ∴lg a>0,lg b>0. ?lg a+lg b?2 ?lg ab?2 lg a· lg b≤ = =1. 4 4 当且仅当 a=b=10 时取等号. x2+2 4.函数 y= (x>1)的最小值是( x-1 A.2 3+2 C.2 3 解析:选 A ∵x>1,∴x-1>0. x2+2 x2-2x+2x+2 x2-2x+1+2?x-1?+3 ∴y= = = x-1 x-1 x-1 = ?x-1?2+2?x-1?+3 3 =x-1+ +2 x-1 x-1 3 ?x-1??x-1?+2=2 3+2. ) B.2 3-2 D.2 B.1 5 D. 2 )

≥2

?

?

3 当且仅当 x-1= ,即 x=1+ 3时,取等号. x-1 1 1 k 5.设 a>0,b>0,且不等式 + + ≥0 恒成立,则实数 k 的最小值等于( a b a+b A.0 C.-4 B.4 D.-2 )

?a+b?2 ?a+b?2 b a 1 1 k 解析: 选C 由 + + ≥0 得 k≥- , 而 = + +2≥4(a=b 时取等号), a b a+b ab ab a b ?a+b?2 ?a+b?2 所以- ≤-4,因此要使 k≥- 恒成立,应有 k≥-4,即实数 k 的最小值等于- ab ab 4. 6.(2013· 临沂二模)已知 x>0,y>0,x,a,b,y 成等差数列,x,c,d,y 成等比数列, ?a+b?2 则 的最小值是________. cd 解析:∵x,a,b,y 成等差数列, ∴a+b=x+y.

∵x,c,d,y 成等比数列,∴cd=xy, 则 ?a+b?2 ?x+y?2 y x y x = = + +2≥4(x>0,y>0),当且仅当 = 时,取等号. cd xy x y x y

答案:4 7.某公司租地建仓库,每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货 物的运费 y2 与仓库到车站的距离成正比,如果在距车站 10 公里处建仓库,这两项费用 y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站________公里 处. 20 20 解析: 设 x 为仓库与车站距离, 由已知 y1= ; y =0.8x 费用之和 y=y1+y2=0.8x+ ≥2 x 2 x 20 20 0.8x· =8,当且仅当 0.8x= ,即 x=5 时“=”成立. x x 答案:5 8.?创新题?规定记号“?”表示一种运算, 即 a?b= ab+a+b(a, b 为正实数). 若 1?k=3, k?x 则 k 的值为________,此时函数 f(x)= 的最小值为________. x 解析:1?k= k+1+k=3,即 k+ k-2=0, ∴ k=1 或 k=-2(舍),∴k=1. f(x)= 1?x x+x+1 = x x 1 ≥1+2=3, x 1 即 x=1 时等号成立. x

=1+ x+

当且仅当 x= 答案:1 3

1 9 9.正数 x,y 满足 + =1. x y (1)求 xy 的最小值; (2)求 x+2y 的最小值. 1 9 解:(1)由 1= + ≥2 x y 的最小值为 36. 1 9? 2y 9x (2)由题意可得 x+2y=(x+2y)? ?x+y?=19+ x + y ≥19+2 2y 9x 当 = ,即 9x2=2y2 时取等号,故 x+2y 的最小值为 19+6 2. x y 10.为了响应国家号召,某地决定分批建设保障性住房供给社会.首批计划用 100 万元 购得一块土地,该土地可以建造每层 1 000 平方米的楼房,楼房的每平方米建筑费用与建筑 2y 9x · =19+6 2,当且仅 x y 19 1 9 ·得 xy≥36,当且仅当 = ,即 y=9x=18 时取等号,故 xy xy x y

高度有关,楼房每升高一层,整层楼每平方米建筑费用提高 20 元.已知建筑第 5 层楼房时, 每平方米建筑费用为 800 元. (1)若建筑第 x 层楼时, 该楼房综合费用为 y 万元(综合费用是建筑费用与购地费用之和), 写出 y=f(x)的表达式; (2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低,应把楼层建成几层?此时平均综合费用 为每平方米多少元? 解:(1)由题意知建筑第 1 层楼房每平方米建筑费用为 720 元, 建筑第 1 层楼房建筑费用为 720×1 000=720 000(元)=72 (万元), 楼房每升高一层,整层楼建筑费用提高 20×1 000=20 000(元)=2(万元), 建筑第 x 层楼房的建筑费用为 72+(x-1)×2=2x+70(万元), 建筑第 x 层楼时,该楼房综合费用为 x?x-1? y=f(x)=72x+ ×2+100=x2+71x+100, 2 综上可知 y=f(x)=x2+71x+100(x≥1,x∈Z). (2) 设 该 楼 房 每 平 方 米 的 平 均 综 合 费 用 为 g(x) , 则 g(x) = 10?x2+71x+100? 1 000 =10x+ +710≥2 x x 1 000 10x· +710=910. x f?x?×10 000 10f?x? = = 1 000x x

1 000 当且仅当 10x= ,即 x=10 时等号成立. x 综上可知应把楼层建成 10 层,此时平均综合费用最低,为每平方米 910 元. 第Ⅱ组:重点选做题 3 3 1.(2013· 台州一模)设 x,y 均为正实数,且 + =1,则 xy 的最小值为( 2+x 2+y A.4 C.9 B.4 3 D.16 )

3 3 解析:选 D 由 + =1 可化为 xy=8+x+y,∵x,y 均为正实数,∴xy=8+x+ 2+x 2+y y≥8+2 xy(当且仅当 x=y 时等号成立),即 xy-2 xy-8≥0,解得 xy≥4,即 xy≥16,故 xy 的最小值为 16. 2.(2013· 北京海淀模拟)已知 f(x)=32x-(k+1)3x+2,当 x∈R 时,f(x)恒为正值,则 k 的 取值范围是( ) B.(-∞,2 2-1) D.(-2 2-1,2 2-1)

A.(-∞,-1) C.(-1,2 2-1)

解析:选 B 由 f(x)>0 得 32x-(k+1)3x+2>0,

2 2 则 k+1<3x+ x,而 3x+ x≥2 2. 3 3

?当且仅当3x= 2x,即x=log3 2时,等号成立?, 3 ? ?
∴k+1<2 2,k<2 2-1.

第五节

合情推理与演绎推理

1.合情推理 (1)归纳推理: ①定义:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特 征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理. ②特点:是由部分到整体、由个别到一般的推理. (2)类比推理 ①定义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对 象也具有这些特征的推理. ②特点:类比推理是由特殊到特殊的推理. 2.演绎推理 (1)模式:三段论 ①大前提——已知的一般原理; ②小前提——所研究的特殊情况; ③结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断. (2)特点:演绎推理是由一般到特殊的推理.

演绎推理是由一般到特殊的证明,它常用来证明和推理数学问题,注意推理过程的严密 性,书写格式的规范性. [试一试] 1.数列 2,5,11,20,x,47,?中的 x 等于( A.28 C.33 ) B.32 D.27

解析:选 B 由 5-2=3,11-5=6,20-11=9. 则 x-20=12,因此 x=32.

1?x 1? 2. “因为指数函数 y=ax 是增函数(大前提), 而 y=? 所以 y=? ?3? 是指数函数(小前提), ?3?
x

是增函数(结论)”,上面推理的错误是( A.大前提错导致结论错 B.小前提错导致结论错 C.推理形式错导致结论错 D.大前提和小前提都导致结论错

)

解析:选 A y=ax 是增函数这个大前提是错误的,从而导致结论错误.

归纳推理与类比推理的步骤 (1)归纳推理的一般步骤: ①通过观察个别情况发现某些相同性质; ②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想); ③检验猜想. 实验、观察 → 概括、推广 → 猜测一般性结论 (2)类比推理的一般步骤: ①找出两类事物之间的相似性或一致性; ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想); ③检验猜想. 观察、比较 → 联想、类推 → 猜想新结论 [练一练] 在平面上,若两个正三角形的边长的比为 1∶2,则它们的面积比为 1∶4.类似地,在空 间中,若两个正四面体的棱长的比为 1∶2,则它们的体积比为________. 1 Sh V1 3 1 1 ?S1? h1 1 1 1 解析: = =?S ?· = × = . V2 1 4 2 8 2 h2 S2h2 3 答案:1∶8

考点一

类比推理

1.给出下面类比推理(其中 Q 为有理数集,R 为实数集,C 为复数集): ①“若 a,b∈R,则 a-b=0?a=b”类比推出“a,c∈C,则 a-c=0?a=c”; ②“若 a,b,c,d∈R,则复数 a+bi=c+di?a=c,b=d”类比推出“a,b,c,d∈Q,

则 a+b 2=c+d 2?a=c,b=d ”; ③“a,b∈R,则 a-b>0?a>b”类比推出“若 a,b∈C,则 a-b>0?a>b”; ④“若 x∈R,则|x|<1?-1<x<1”类比推出“若 z∈C,则|z|<1?-1<z<1”. 其中类比结论正确的个数为( A.1 C.3 解析:选 B 类比结论正确的有①②. 2.在平面几何里,有“若△ABC 的三边长分别为 a,b,c 内切圆半径为 r,则三角形面 1 积为 S△ABC= (a+b+c)r”,拓展到空间,类比上述结论,“若四面体 ABCD 的四个面的面 2 积分别为 S1,S2,S3,S4,内切球的半径为 r,则四面体的体积为____________”. 解析:三角形的面积类比为四面体的体积,三角形的边长类比为四面体四个面的面积, 1 1 内切圆半径类比为内切球的半径.二维图形中 类比为三维图形中的 ,得 V 2 3 +S2+S3+S4)r. 1 答案:V 四面体 ABCD= (S1+S2+S3+S4)r 3 [类题通法] 类比推理的分类 类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法 (1)类比定义:在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时,可以借助原定义来求 解; (2)类比性质: 从一个特殊式子的性质、 一个特殊图形的性质入手, 提出类比推理型问题, 求解时要认真分析两者之间的联系与区别,深入思考两者的转化过程是求解的关键; (3)类比方法:有一些处理问题的方法具有类比性,我们可以把这种方法类比应用到其他 问题的求解中,注意知识的迁移. 考点二 归纳推理
四面体

) B.2 D.4

ABCD=

1 (S 3 1

[典例] (1)(2013· 陕西高考)观察下列等式 (1+1)=2×1 (2+1)(2+2)=22×1×3 (3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5 ? 照此规律, 第 n 个等式可为________. (2) 已知函数 f(x) = x (x > 0) .如下定义一列函数: f1(x) = f(x) , f2(x) = f(f1(x)) , f3(x) = x+2

f(f2(x)),?,fn(x)=f(fn-1(x)),?,n∈N*,那么由归纳推理可得函数 fn(x)的解析式是 fn(x)= ________. [解析] (1)观察规律可知,左边为 n 项的积,最小项和最大项依次为(n+1),(n+n),右 边 为 连 续 奇 数 之 积 乘 以 2n , 则 第 n 个 等 式 为 : (n + 1)(n + 2)(n + 3)· ?· (n + n) = 2n×1×3×5×?×(2n-1). (2)依题意得,f1(x)= x , x+2

x x+2 x x f2(x)= = = , x 3x+4 ?22-1?x+22 +2 x+2 x 3x+4 x x f3(x)= = = 3 ,?, x 7x+8 ?2 -1?x+23 +2 3x+4 x 由此归纳可得 fn(x)= n (x>0). ?2 -1?x+2n [答案] (1)(n+1)(n+2)(n+3)· ?· (n+n)=2n×1×3×5×?×(2n-1) x (2) n (x>0) ?2 -1?x+2n [类题通法] 归纳推理的分类 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类 (1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳,解决此类问题时,需要细心观察,寻求相邻项及 项与序号之间的关系,同时还要联系相关的知识,如等差数列、等比数列等; (2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳. [针对训练] 下面图形由小正方形组成,请观察图 1 至图 4 的规律,并依此规律,写出第 n 个图形中 小正方形的个数是________.

解析:由图知第 n 个图形的小正方形个数为 1+2+3+?+n. n?n+1? ∴总个数为 . 2 n?n+1? 答案: 2

考点三

演绎推理 n+ 2 S (n∈N*).证明: n n

[典例] 数列{an}的前 n 项和记为 Sn,已知 a1=1,an+1=
?Sn? (1)数列? n ?是等比数列; ? ?

(2)Sn+1=4an. n+2 [证明] (1)∵an+1=Sn+1-Sn,an+1= S, n n ∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),即 nSn+1=2(n+1)Sn. 故 Sn+1 Sn =2· ,(小前提) n n+1
? ?

? Sn ? 故?n ?是以 2 为公比,1 为首项的等比数列.(结论)

(大前提是等比数列的定义) (2)由(1)可知 Sn+1 Sn-1 =4· (n≥2), n+1 n-1

Sn-1 n-1+2 ∴Sn+1=4(n+1)· =4· · S - =4an(n≥2).(小前提) n-1 n-1 n 1 又∵a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,(小前提) ∴对于任意正整数 n,都有 Sn+1=4an.(结论) [类题通法] 演绎推理的结构特点 (1)演绎推理是由一般到特殊的推理, 其最常见的形式是三段论, 它是由大前提、 小前提、 结论三部分组成的.三段论推理中包含三个判断:第一个判断称为大前提,它提供了一个一 般的原理;第二个判断叫小前提,它指出了一个特殊情况.这两个判断联合起来,提示了一 般原理和特殊情况的内在联系,从而产生了第三个判断:结论. (2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系, 解题时要找准正确的大前提. 一般地, 若大前提不明确时,一般可找一个使结论成立的充分条件作为大前提. [针对训练] 如图所示,D,E,F 分别是 BC,CA,AB 上的点,∠BFD=∠A,且 DE ∥BA.求证:ED=AF(要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论,并最终 把推理过程用简略的形式表示出来). 证明:(1)同位角相等,两条直线平行, (大前提) ∠BFD 与∠A 是同位角,且∠BFD=∠A, (小前提) 所以 DF∥EA. (结论) (2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形, (大前提)

DE∥BA 且 DF∥EA, (小前提) 所以四边形 AFDE 为平行四边形.(结论) (3)平行四边形的对边相等, (大前提) ED 和 AF 为平行四边形的对边, (小前提) 所以 ED=AF. (结论) 上面的证明可简略地写成: ∠BFD=∠A?DF∥EA? ? ?? ? DE∥BA ? 四边形 AFDE 是平行四边形?ED=AF.

[课堂练通考点] 1.(2014· 合肥模拟)正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此 f(x)=sin(x2+ 1)是奇函数,以上推理( A.结论正确 C.小前提不正确 ) B.大前提不正确 D.全不正确

解析:选 C 因为 f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数,所以小前提不正确. 2.给出下列三个类比结论. ①(ab)n=anbn 与(a+b)n 类比,则有(a+b)n=an+bn; ②loga(xy)=logax+logay 与 sin(α+β)类比,则有 sin(α+β)=sin αsin β; ③(a+b)2=a2+2ab+b2 与(a+b)2 类比,则有(a+b)2=a2+2a· b+b2. 其中结论正确的个数是( A.0 C.2 解析:选 B 只有③正确. 3.观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,?,则 a10 +b10=( A.28 C.123
n n

) B.1 D.3

) B.76 D.199

解析:选 C 记 a +b =f(n),则 f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4;f(4)=f(2)+f(3)=3+4=7; f(5)=f(3)+f(4)=11.通过观察不难发现 f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n∈N*, n≥3), 则 f(6)=f(4)+f(5) =18;f(7)=f(5)+f(6)=29;f(8)=f(6)+f(7)=47;f(9)=f(7)+f(8)=76;f(10)=f(8)+f(9)=123. 所以 a10+b10=123. 4.(2013· 青岛期末)如果函数 f(x)在区间 D 上是凸函数,那么对于区间 D 内的任意 x1,

f?x1?+f?x2?+?+f?xn? ?x1+x2+?+xn? x2,?,xn,都有 ≤f n n ? ?.若 y=sin x 在区间(0,π)上是凸函 数,那么在△ABC 中,sin A+sin B+sin C 的最大值是________. 解析:由题意知,凸函数满足 f?x1?+f?x2?+?+f?xn? ?x1+x2+?+xn? ≤f n n ? ?, A+B+C π 3 3 sin A+sin B+sin C≤3sin =3sin = . 3 3 2 3 3 答案: 2 5.设等差数列{bn}的前 n 项和为 Sn,则 S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12 成等差数列.类 T16 比以上结论.设等比数列{an}的前 n 项积为 Tn,则 T4,________,________, 成等比数列. T12 解析:对于等比数列,通过类比等差数列,有等比数列{an}的前 n 项积为 Tn,则 T4= T8 T12 a1a2a3a4,T8=a1a2?a8,T12=a1a2?a12,T16=a1a2?a16,所以 =a5a6a7a8, =a9a10a11a12, T4 T8 T16 T8 T12 T16 T8 T12 T16 =a a a a ,所以 T4, , , 的公比为 q16,因此 T4, , , 成等比数列. T12 13 14 15 16 T4 T8 T12 T4 T8 T12 T8 T12 答案: T4 T8 1 4 x x 4 6. (2014· 山西四校联考)已知 x∈(0, +∞), 观察下列各式: x+ ≥2, x+ 2= + + 2≥3, x x 2 2 x 27 x x x 27 a x+ 3 = + + + 3 ≥4,?,类比得 x+ n≥n+1(n∈N*),则 a=________. x 3 3 3 x x 解析:第一个式子是 n=1 的情况,此时 a=11=1;第二个式子是 n=2 的情况,此时 a =22=4;第三个式子是 n=3 的情况,此时 a=33=27,归纳可知 a=nn. 答案:nn [课下提升考能] 第Ⅰ组:全员必做题 1.推理“①矩形是平行四边形;②三角形不是平行四边形;③三角形不是矩形”中的小 前提是( A.① C.③ ) B.② D.①和②

解析:选 B 由演绎推理三段论可知,①是大前提;②是小前提;③是结论.故选 B. 2.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则: ①“mn=nm”类比得到“a· b=b· a”; ②“(m+n)t=mt+nt”类比得到“(a+b)· c=a· c+b· c”; ③“(m· n)t=m(n· t)”类比得到“(a· b)· c=a· (b· c)”;

④“t≠0,mt=xt?m=x”类比得到“p≠0,a· p=x· p?a=x”; ⑤“|m· n|=|m|· |n|”类比得到“|a· b|=|a|· |b|”; ac a a· c a ⑥“ = ”类比得到“ = ”. bc b b· c b 以上的式子中,类比得到的结论正确的个数是( A.1 C.3 B.2 D.4 )

解析:选 B ①②正确,③④⑤⑥错误. 3.在平面几何中有如下结论:正三角形 ABC 的内切圆面积为 S1,外接圆面积为 S2,则 S1 1 = ,推广到空间可以得到类似结论;已知正四面体 P-ABC 的内切球体积为 V1,外接球 S2 4 V1 体积为 V2,则 =( V2 1 A. 8 1 C. 64 ) 1 B. 9 1 D. 27

V1 1 解析:选 D 正四面体的内切球与外接球的半径之比为 1∶3,故 = . V2 27 4.下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )

A.设数列{an}的前 n 项和为 Sn.由 an=2n-1,求出 S1=12,S2=22,S3=32,?,推断: Sn=n2 B.由 f(x)=xcos x 满足 f(-x)=-f(x)对?x∈R 都成立,推断:f(x)=xcos x 为奇函数 x2 y2 C.由圆 x2+y2=r2 的面积 S=πr2,推断:椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的面积 S=πab a b D.由(1+1)2>21,(2+1)2>22,(3+1)2>23,?,推断:对一切 n∈N*,(n+1)2>2n 解析:选 A 选项 A 由一些特殊事例得出一般性结论,且注意到数列{an}是等差数列, n?1+2n-1? 2 其前 n 项和等于 Sn= =n ,选项 D 中的推理属于归纳推理,但结论不正确. 2 5.将正奇数按如图所示的规律排列,则第 21 行从左向右的第 5 个数为( 1 3 9 ? A.809 C.786 5 7 11 13 15 17 ? ? B.852 D.893 )

19 21 23 25 27 29 31

解析:选 A 前 20 行共有正奇数 1+3+5+?+39=202=400 个,则第 21 行从左向右

的第 5 个数是第 405 个正奇数,所以这个数是 2×405-1=809. 6.在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下的一个直角三角形, 按下图所标边长,由勾股定理有:c2=a2+b2.设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截 面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 O-LMN,如果用 S1,S2,S3 表示三个 侧面面积,S4 表示截面面积,那么类比得到的结论是________.

解析:将侧面面积类比为直角三角形的直角边,截面面积类比为直角三角形的斜边,可
2 2 2 得 S2 1+S2+S3=S4. 2 2 2 答案:S2 1+S2+S3=S4

7.若{an}是等差数列,m,n,p 是互不相等的正整数,则有:(m-n)ap+(n-p)am+(p -m)an=0,类比上述性质,相应地,对等比数列{bn},有__________________.
n n p p 解析:设{bn}的首项为 b1,公比为 q,则 bm · bm · bn p
- - -m

=(b1qp 1)m n· (b1qm 1)n p· (b1qn 1)p
- - - - -

-m

=b0 q0=1. 1·
n n p p 答案:bm · bm · bn p
- - -m

=1

8.(2013· 湖北高考)在平面直角坐标系中,若点 P(x,y)的坐标 x,y 均为整数,则称点 P 为格点.若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记 为 S,其内部的格点数记为 N,边界上的格点数记为 L.例如图中△ABC 是格点三角形,对应 的 S=1,N=0,L=4.

(1)图中格点四边形 DEFG 对应的 S,N,L 分别是________; (2)已知格点多边形的面积可表示为 S=aN+bL+c,其中 a,b,c 为常数.若某格点多 边形对应的 N=71,L=18,则 S=________(用数值作答). 解析:(1)由定义知,四边形 DEFG 由一个等腰直角三角形和一个平行四边形构成,其内

部格点有 1 个, 边界上格点有 6 个, S 四边形 DEFG

0+b· 3+c, ? ?2=a· =3.(2)由待定系数法可得, ?1=a· 0+b· 4+c, ?3=a· ? 1+b· 6+c,

1

a=1, ? ? 1 ??b=2, ? ?c=-1,

1 当 N=71,L=18 时,S=1×71+ ×18-1=79. 2

答案:(1)3,1,6 (2)79 9.平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质,例如在三角形中:(1)三角 1 形两边之和大于第三边;(2)三角形的面积 S= ×底×高;(3)三角形的中位线平行于第三边 2 1 且等于第三边的 ;?? 2 请类比上述性质,写出空间中四面体的相关结论. 解:由三角形的性质,可类比得空间四面体的相关性质为: (1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积; 1 (2)四面体的体积 V= ×底面积×高; 3 1 (3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的 . 4 10.(2012· 福建高考)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个 常数: (1)sin213° +cos217° -sin 13° cos 17° ; (2)sin215° +cos215° -sin 15° cos 15° ; (3)sin218° +cos212° -sin 18° cos 12° ; (4)sin2(-18° )+cos248° -sin(-18° )cos 48° ; (5)sin2(-25° )+cos255° -sin(-25° )cos 55° . (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. 解:(1)选择(2)式,计算如下: 1 1 3 sin215° +cos215° -sin 15° cos 15° =1- sin 30° =1- = . 2 4 4 3 (2)三角恒等式为 sin2α+cos2(30° -α)-sin α· cos(30° -α)= . 4 证明如下: 法一:sin2α+cos2(30° -α)-sin αcos(30° -α)

=sin2α+(cos 30° cos α+sin 30° sin α)2-sin α(cos 30° · cos α+sin 30° sin α) 3 3 1 3 1 =sin2α+ cos2α+ sin αcos α+ sin2α- sin αcos α- sin2α 4 2 4 2 2 3 3 3 = sin2α+ cos2α= . 4 4 4 法二:sin2α+cos2(30° -α)-sin αcos(30° -α) = 1-cos 2α 1+cos?60° -2α? + -sin α(cos 30° cos α+sin 30° sin α) 2 2

1 1 1 1 3 1 = - cos 2α+ + (cos 60° cos 2α+sin 60° sin 2α)- sin αcos α- sin2α 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 3 3 1 = - cos 2α+ + cos 2α+ sin 2α- sin 2α- (1-cos 2α) 2 2 2 4 4 4 4 1 1 1 3 =1- cos 2α- + cos 2α= . 4 4 4 4 第Ⅱ组:重点选做题 1.观察下列算式: 13=1, 23=3+5, 33=7+9+11, 43=13+15+17+19, ?? 若某数 m3 按上述规律展开后,发现等式右边含有“2 013”这个数,则 m=________. 解析:某数 m3 按上述规律展开后,等式右边为 m 个连续奇数的和,观察可知每行的最 后一个数为 1=12+0,5=22+1,11=32+2,19=42+3,?,所以第 m 行的最后一个数为 m2+ (m-1).因为当 m=44 时,m2+(m-1)=1 979,当 m=45 时,m2+(m-1)=2 069,所以要 使等式右边含有“2 013”这个数,则 m=45. 答案:45 2.(2014· 东北三校联考)在数列{an}中,a1=1,a2=2,an=(-1)n· 2an-2(n≥3,n∈N*), 其前 n 项和为 Sn. (1)a2n+1 关于 n 的表达式为________; (2)观察 S1,S2,S3,S4,?Sn,在数列{Sn}的前 100 项中相等的项有________对. a2n+1 a3 a5 解析:(1) = =?= =-2,又 a1=1,从而 a2n+1=(-2)n. a1 a3 a2n-1 (2)由(1)及条件知,数列{an}为 1,2,-2,22,(-2)2,23,(-2)3,24,?,从而可知 S1=S3, S5=S7,S9=S11,?,故在{Sn}的前 100 项中相等的项有 25 对. 答案:(1)a2n+1=(-2)n (2)25

第六节

直接证明和间接证明

1.直接证明 (1)综合法: 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所 要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法. (2)分析法: 从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结 为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这种证明方法叫做分析 法. 2.间接证明 反证法:假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从 而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.

1.用分析法证明数学问题时,要注意书写格式的规范性,常常用“要证(欲证)?”“即 要证?”“就要证?”等分析到一个明显成立的结论 P,再说明所要证明的数学问题成立. 2.利用反证法证明数学问题时,没有用假设命题推理而推出矛盾结果,其推理过程是错 误的. [试一试] 1.要证明 3+ 7<2 5,可选择的方法有以下几种,其中最合理的是( A.综合法 C.反证法 B.分析法 D.归纳法 )

解析:选 B 要证明 3+ 7<2 5成立,可采用分析法对不等式两边平方后再证明. 3 3 2.用反证法证明“如果 a>b,那么 a> b”假设内容应是( 3 3 A. a= b 3 3 3 3 C. a= b且 a< b 3 3 B. a< b 3 3 3 3 D. a= b或 a< b )

3 3 3 3 解析:选 D 假设结论不成立,即 a> b的否定为 a≤ b.

明晰三种证题的一般规律 (1)综合法证题的一般规律: 用综合法证明命题时,必须首先找到正确的出发点,也就是能想到从哪里起步,我们一 般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质,逐层推进,从而由已知逐步推出结 论. (2)分析法证题的一般规律: 分析法的思路是逆向思维,用分析法证题必须从结论出发,倒着分析,寻找结论成立的 充分条件. 应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达, 下一步是上一步的充分条件. (3)反证法证题的一般规律: 反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立.反证法的主要依据是逻辑中的排中律,排 中律的一般形式是:或者是 A,或者是非 A.即在同一讨论过程中,A 和非 A 有且仅有一个是 正确的,不能有第三种情况出现. [练一练] 在不等边三角形中,a 为最大边,要想得到∠A 为钝角的结论,三边 a,b,c 应满足 ________. b2+c2-a2 解析:由余弦定理 cos A= <0,所以 b2+c2-a2<0,即 a2>b2+c2. 2bc 答案:a2>b2+c2

考点一

综合法

1.(2013· 江苏高考节选)设{an}是首项为 a,公差为 d 的等差数列(d≠0),Sn 是其前 n 项的 和.记 bn= nSn ,n∈N*,其中 c 为实数.若 c=0,且 b1,b2,b4 成等比数列,证明:Sn n2+c
k

=n2Sk(k,n∈N*). 证明:由题意得,Sn=na+ n?n-1? d. 2

n-1 d?2 Sn 2 由 c=0,得 bn= =a+ d.又因为 b1,b2,b4 成等比数列,所以 b2 =b1b4,即? ?a+2? n 2 3 ? 2 =a? ?a+2d?,化简得 d -2ad=0.因为 d≠0,所以 d=2a. 因此,对于所有的 m∈N*,有 Sm=m2a. 从而对于所有的 k,n∈N*,有 Sn k=(nk)2a=n2k2a=n2Sk. 1 1 2.已知函数 f(x)=ln(1+x),g(x)=a+bx- x2+ x3,函数 y=f(x)与函数 y=g(x)的图像 2 3

在交点(0,0)处有公共切线. (1)求 a,b; (2)证明:f(x)≤g(x). 1 解:(1)f′(x)= , 1+x g′(x)=b-x+x2,
? ?g?0?=f?0?, 由题意得? 解得 a=0,b=1. ?f′?0?=g′?0?, ?

(2)证明:令 h(x)=f(x)-g(x) 1 1 =ln(x+1)- x3+ x2-x(x>-1). 3 2 -x3 1 h′(x)= -x2+x-1= . x+1 x+1 h(x)在(-1,0)上为增函数,在(0,+∞)上为减函数. h(x)max=h(0)=0,h(x)≤h(0)=0,即 f(x)≤g(x). [类题通法] 综合法证题的思路

考点二

分析法

π π 0, ?,若 x1,x2∈?0, ?,且 x1≠x2, [典例] 已知函数 f(x)=tan x,x∈? ? 2? ? 2? x1+x2? 1 求证: [f(x1)+f(x2)]>f? 2 ? 2 ?. x1+x2? 1 [证明] 要证 [f(x1)+f(x2)]>f? 2 ? 2 ?, x1+x2 1 即证明 (tan x1+tan x2)>tan , 2 2 x1+x2 1 sin x1 sin x2 ? + 只需证明 ? >tan , 2?cos x1 cos x2? 2

sin?x1+x2? sin?x1+x2? 只需证明 > . 2cos x1cos x2 1+cos?x1+x2? π? 由于 x1,x2∈? ?0,2?,故 x1+x2∈(0,π). ∴cos x1cos x2>0,sin(x1+x2)>0, 1+cos(x1+x2)>0, 故只需证明 1+cos(x1+x2)>2cos x1cos x2, 即证 1+cos x1cos x2-sin x1sin x2>2cos x1cos x2, 即证:cos(x1-x2)<1. π? 由 x1,x2∈? ?0,2?,x1≠x2 知上式显然成立, x1+x2? 1 因此, [f(x1)+f(x2)]>f? 2 ? 2 ?. 若本例中 f(x)变为 f(x)=3x-2x,试证:对于任意的 x1,x2∈R,均有 f?x1?+f?x2? ?x1+x2? ≥f 2 ? 2 ?. f?x1?+f?x2? ?x1+x2? 证明:要证明 ≥f 2 ? 2 ?, ?3x1-2x1?+?3x2-2x2? x1+x2 x1+x2 即证明 ≥3 -2· , 2 2 2 3x1+3x2 x1+x2 因此只要证明 -(x1+x2)≥3 -(x1+x2), 2 2 3x1+3x2 x1+x2 即证明 ≥3 , 2 2 3x1+3x2 因此只要证明 ≥ 3x1· 3x2, 2 由于 x1,x2∈R 时,3x1>0,3x2>0, 由基本不等式知 3x1+3x2 ≥ 3x1· 3x2显然成立, 2 故原结论成立. [类题通法] 分析法证题的技巧 (1)逆向思考是用分析法证题的主要思想, 通过反推, 逐步寻找使结论成立的充分条件. 正 确把握转化方向是使问题顺利获解的关键. (2)证明较复杂的问题时, 可以采用两头凑的办法, 即通过分析法找出某个与结论等价(或

充分)的中间结论,然后通过综合法由条件证明这个中间结论,从而使原命题得证. [针对训练] △ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 求证: 1 1 3 + = . a+b b+c a+b+c 1 1 3 + = , a+b b+c a+b+c

证明:要证

a+b+c a+b+c c a 即证 + =3 也就是 + =1, a+b b+c a+b b+c 只需证 c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c), 需证 c2+a2=ac+b2, 又△ABC 三内角 A,B,C 成等差数列,故 B=60° , 由余弦定理,得 b2=c2+a2-2accos 60° ,即 b2=c2+a2-ac, 故 c2+a2=ac+b2 成立. 于是原等式成立. 考点三 反证法

5 [典例] 已知 f(x)=ax2+bx+c,若 a+c=0,f(x)在[-1,1]上的最大值为 2,最小值为- . 2 b? 求证:a≠0 且? ?a?<2. b? [证明] 假设 a=0 或? ?a?≥2. (1)当 a=0 时,由 a+c=0,得 f(x)=bx,显然 b≠0. 由题意得 f(x)=bx 在[-1,1]上是单调函数, 所以 f(x)的最大值为|b|,最小值为-|b|. 5 1 由已知条件,得|b|+(-|b|)=2- =- , 2 2 这与|b|+(-|b|)=0 相矛盾,所以 a≠0. b? b (2)当? ≥ 2 时,由二次函数的对称轴为 x =- , a ? ? 2a 知 f(x)在[-1,1]上是单调函数,故其最值在区间的端点处取得. f?1?=a+b+c=2, ? ? 所以? 5 ? ?f?-1?=a-b+c=-2,

5 ? ?f?1?=a+b+c=-2, 或? ? ?f?-1?=a-b+c=2. b? 又 a+c=0,则此时 b 无解,所以? ?a?<2. b? 由(1)(2),得 a≠0 且? ?a?<2. [类题通法] 反证法证明问题的一般步骤 (1)反设:假定所要证的结论不成立,而设结论的反面(否定命题)成立;(否定结论) (2)归谬:将“反设”作为条件,由此出发经过正确的推理,导出矛盾——与已知条件、 已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾;(推导矛盾) (3)立论:因为推理正确,所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.既然原命题结论的 反面不成立,从而肯定了原命题成立.(命题成立) [针对训练] 实数 a,b,c,d 满足 a+b=c+d=1,ac+bd>1,求证:a,b,c,d 中至少有一个为 负数. 证明:假设 a,b,c,d 都是非负数,则由 a+b=c+d=1, 得 1=(a+b)(c+d)=ac+bd+ad+bc≥ac+bd, 即 ac+bd≤1,这与 ac+bd>1 矛盾, 故假设不成立.即 a,b,c,d 中至少有一个为负数.

[课堂练通考点] 1.命题“如果数列{an}的前 n 项和 Sn=2n2-3n,那么数列{an}一定是等差数列”是否 成立( ) B.成立 D.能断定
2

A.不成立 C.不能断定 解析:选 B ∵Sn=2n -3n, ∴Sn-1=2(n-1)2-3(n-1)(n≥2),

∴an=Sn-Sn-1=4n-5(当 n=1 时,a1=S1=-1 符合上式). ∴an+1-an=4(n≥1),∴{an}是等差数列. 2.要证:a2+b2-1-a2b2≤0,只要证明( A.2ab-1-a2 b2≤0 ) a4+b4 B.a2+b2-1- ≤0 2

?a+b?2 C. -1-a2b2≤0 2

D.(a2-1)(b2-1)≥0

解析:选 D 因为 a2+b2-1-a2b2≤0?(a2-1)(b2-1)≥0. 3.不相等的三个正数 a,b,c 成等差数列,并且 x 是 a,b 的等比中项,y 是 b,c 的等 比中项,则 x2,b2,y2 三数( )

A.成等比数列而非等差数列 B.成等差数列而非等比数列 C.既成等差数列又成等比数列 D.既非等差数列又非等比数列 a+c=2b, ? ?2 解析:选 B 由已知条件,可得?x =ab, ② ? ?y2=bc. ③ ①

?a= b , 由②③得? y ?c= b .
2

x2

x2 y2 代入①,得 + =2b, b b

即 x2+y2=2b2.故 x2,b2,y2 成等差数列. 4.设 a,b 是两个实数,给出下列条件: ①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1. 其中能推出:“a,b 中至少有一个大于 1”的条件是( A.②③ C.③ B.①②③ D.③④⑤ )

1 2 解析:选 C 若 a= ,b= ,则 a+b>1, 2 3 但 a<1,b<1,故①推不出; 若 a=b=1,则 a+b=2,故②推不出; 若 a=-2,b=-3,则 a2+b2>2,故④推不出; 若 a=-2,b=-3,则 ab>1,故⑤推不出; 对于③,即 a+b>2,则 a,b 中至少有一个大于 1, 反证法:假设 a≤1 且 b≤1, 则 a+b≤2 与 a+b>2 矛盾, 因此假设不成立,a,b 中至少有一个大于 1. 2 5.已知数列{an}满足 a1=λ,an+1= an+n-4,n∈N*,其中 λ 为实数.求证:数列{an} 3 不是等比数列.

2 证明:由已知可得 a1=λ,a2= λ-3, 3 4 a3= λ-4.假设存在实数 λ, 9 使{an}是等比数列,则必有 a2 2=a1a3, 2 ? 2 ?4 ? 即? ?3λ-3? =λ?9λ-4?,于是 4 2 4 λ -4λ+9= λ2-4λ, 9 9 可得 9=0,矛盾,所以假设错误, 即数列{an}不是等比数列. [课下提升考能] 1.用反证法证明:若整系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有有理数根,那么 a,b, c 中至少有一个是偶数.用反证法证明时,下列假设正确的是( A.假设 a,b,c 都是偶数 B.假设 a,b,c 都不是偶数 C.假设 a,b,c 至多有一个偶数 D.假设 a,b,c 至多有两个偶数 解析:选 B “至少有一个”的否定为“都不是”.故选 B. 2.(2014· 银川模拟)设 a,b,c 是不全相等的正数,给出下列判断: ①(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0; ②a>b,a<b 及 a=b 中至少有一个成立; ③a≠c,b≠c,a≠b 不能同时成立, 其中正确判断的个数为( A.0 C.2 ) B.1 D.3 )

解析:选 C ①②正确;③中,a≠b,b≠c,a≠c 可以同时成立,如 a=1,b=2,c=3, 故正确的判断有 2 个. 3.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)单调递减,若 x1+x2>0,则 f(x1)+ f(x2)的值( ) B.恒等于零 D.无法确定正负

A.恒为负值 C.恒为正值

解析:选 A 由 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且当 x≥0 时,f(x)单调递减, 可知 f(x)是 R 上的单调递减函数,

由 x1+x2>0,可知 x1>-x2,f(x1)<f(-x2)=-f(x2), 则 f(x1)+f(x2)<0,故选 A. 4.?创新题?在 R 上定义运算:? 恒成立,则实数 a 的最大值为( 1 A.- 2 1 C. 2

?a b?=ad-bc.若不等式?x-1 a-2?≥1 对任意实数 x ? ? ? ?c d ? x ? ? a+ 1
) 3 B.- 2 3 D. 2

解析:选 D 据已知定义可得不等式 x2-x-a2+a+1≥0 恒成立,故 Δ=1-4(-a2+a 1 3 +1)≤0,解得- ≤a≤ , 2 2 3 故 a 的最大值为 . 2 5.如果△A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2 的三个内角的正弦值,则( A.△A1B1C1 和△A2B2C2 都是锐角三角形 B.△A1B1C1 和△A2B2C2 都是钝角三角形 C.△A1B1C1 是钝角三角形,△A2B2C2 是锐角三角形 D.△A1B1C1 是锐角三角形,△A2B2C2 是钝角三角形 解析:选 D 由条件知,△A1B1C1 的三个内角的余弦值均大于 0,则△A1B1C1 是锐角三 角形,假设△A2B2C2 是锐角三角形. )

? ? π ? 由?sin B =cos B =sin? ?2-B ?, ? -C ?, ?sin C =cos C =sin??π 2 ?
2 1 1 2 1 1

π ? sin A2=cos A1=sin? ?2-A1?,

? ? π 得?B =2-B , ? -C . ?C =π 2
2 1 2 1

π A2= -A1, 2

π 那么,A2+B2+C2= ,这与三角形内角和为 180° 相矛盾. 2 所以假设不成立,又显然△A2B2C2 不是直角三角形. 所以△A2B2C2 是钝角三角形. 6.设 a= 3+2 2,b=2+ 7,则 a,b 的大小关系为________. 解析:a= 3+2 2,b=2+ 7两式的两边分别平方,可得 a2=11+4 6,b2=11+4 7,

显然, 6< 7.∴a<b. 答案:a<b 7.某同学准备用反证法证明如下一个问题:函数 f(x)在[0,1]上有意义,且 f(0)=f(1),如 1 果对于不同的 x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|,求证:|f(x1)-f(x2)|< .那么他的反设应 2 该是________. 1 答案:“?x1,x2∈[0,1],使得|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|则|f(x1)-f(x2)|≥ ” 2 8.已知点 An(n,an)为函数 y= x2+1图像上的点,Bn(n,bn)为函数 y=x 图像上的点, 其中 n∈N*,设 cn=an-bn,则 cn 与 cn+1 的大小关系为________. 解析:由条件得 cn=an-bn= n2+1-n= ∴cn 随 n 的增大而减小.∴cn+1<cn. 答案:cn+1<cn 9.若 a>b>c>d>0 且 a+d=b+c, 求证: d+ a< b+ c. 证明:要证 d+ a< b+ c,只需证( d+ a)2<( b+ c)2, 即 a+d+2 ad<b+c+2 bc, 因 a+d=b+c,只需证 ad< bc, 即 ad<bc,设 a+d=b+c=t, 则 ad-bc=(t-d)d-(t-c)c=(c-d)(c+d-t)<0, 故 ad<bc 成立,从而 d+ a< b+ c成立. 10.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图像与 x 轴有两个不同的交点,若 f(c)=0, 且 0<x<c 时,f(x)>0. 1 (1)证明: 是 f(x)=0 的一个根; a 1 (2)试比较 与 c 的大小; a (3)证明:-2<b<-1. 解:(1)证明:∵f(x)的图像与 x 轴有两个不同的交点, ∴f(x)=0 有两个不等实根 x1,x2, ∵f(c)=0, ∴x1=c 是 f(x)=0 的根, c 又 x1x2= , a 1 , n +1+n
2

1 1 ? ≠c , ∴x2= ? a?a ? 1 ∴ 是 f(x)=0 的一个根. a 1 1 (2)假设 <c,又 >0, a a 由 0<x<c 时,f(x)>0, 1? ?1? 知 f? ?a?>0 与 f?a?=0 矛盾, 1 ∴ ≥c, a 1 又∵ ≠c, a 1 ∴ >c. a (3)证明:由 f(c)=0,得 ac+b+1=0, ∴b=-1-ac. 又 a>0,c>0,∴b<-1. 二次函数 f(x)的图像的对称轴方程为 b x1+x2 x2+x2 1 x=- = < =x2= , 2a 2 2 a b 1 即- < . 2a a 又 a>0,∴b>-2, ∴-2<b<-1.


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