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高中数学人教A版必修三同步测试 第二章:2.3.1、2变量之间的相关关系和两个变量的线性相关(含答案)


2-3-1 变量之间的相关关系 2-3-2 两个变量的线性相关

一、选择题 1.对于给定的两个变量的统计数据,下列说法正确的是( A.都可以分析出两个变量的关系 B.都可以用一条直线近似地表示两者的关系 C.都可以作出散点图 D.都可以用确定的表达式表示两者的关系 [答案] C [解析] 给出一组样本数据,总可以作出相应的散点图,但不一 定分析出两个变量的关

系,更不一定符合线性相关或有函数关系. 2.下列两个变量之间的关系,哪个不是函数关系( A.正方体的棱长和体积 B.圆半径和圆的面积 C.正 n 边形的边数和内角度数之和 D.人的年龄和身高 [答案] D [解析] A、B、C 都是函数关系,对于 A,V=a3;对于 B,S= πr2;对于 C,g(n)=(n-2)π.而对于年龄确定的不同的人可以有不同 的身高,∴选 D. 3.下列变量之间的关系是函数关系的是( ) ) )

A.一次函数 y=ax+b,其中 a,b 是已知常数,取 b 为自变量, 因变量是 b2-4a B.施肥量和小麦亩产量

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C.降雨量和交通事故发生率 D.学习时间和学习成绩 [答案] A [解析] 一般地说,在一定范围内,在其它条件相同的情况下, 施肥量加大,小麦亩产量会增加,它们正相关,但不具有函数关系; 同理 C、D 也没函数关系,而 A 中,∵a,b 为已知常数,当 b 确定 时,b2-4a 也随之确定且有唯一值与之对应,∴A 为函数关系. 4.由一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)得到的回归直 线方程^ y=bx+a,那么下面说法不正确的是( A.直线^ y=bx+a 必经过点(- x ,- y) B.直线^ y=bx+a 至少经过点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)中 的一个点 x - y ?xiyi-n - C.直线^ y=bx+a 的斜率为
i=1 n

)

-2 ? x2 i -n x
i=1

n

D.直线^ y=bx+a 和各点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)的偏差 ?[
i=1

n

yi-(bxi+a)]2 是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的直 线. [答案] B [解析] 由 a= y -b x 知^ y= y -b x +bx,∴必定过( x , y ) 点. 回归直线方程对应的直线是与样本数据距离最小的, 但不一定过
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原始数据点,只须和这些点很接近即可. 5.设有一个回归方程为^ y=2-1.5x,则变量 x 增加一个单位时 ( ) A.y 平均增加 1.5 个单位 B.y 平均增加 2 个单位 C.y 平均减少 1.5 个单位 D.y 平均减少 2 个单位 [答案] C [解析] ^ y2-^ y1=2-1.5(x+1)-2+1.5x=-1.5. 6.如图是具有相关关系的两个变量的一组数据的散点图和回归 直线,去掉哪个点后,剩下的 5 个点数据的相关系数最大?( )

A.D [答案] C

B.E

C.F

D.A

[解析] 第 F 组数据距回归直线最远, 所以去掉第 F 组后剩下的 相关系数最大. 7.以下关于线性回归的判断,正确的有________个.( )

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①若散点图中所有点都在一条直线附近, 则这条直线为回归直线
[来源:学优]

②散点图中的绝大多数点都线性相关, 个别特殊点不影响线性回 归,如图中的 A,B,C 点. ③已知回归直线方程为^ y=0.50x-0.81, 则 x=25 时,y 的估计值 为 11.69 ④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势 A.0 个 C.2 个 [答案] D [解析] 能使所有数据点都在它附近的直线不止一条,而据回归 直线的定义知,只有按最小二乘法求得回归系数 a,b 得到的直线^ y= ax+b 才是回归直线,∴①不对;②正确;将 x=25 代入^ y=0.50x- 0.81,解得^ y=11.69,∴③正确;④正确,∴选 D. 8.为了考察两个变量 x 和 y 之间的线性相关性,甲、乙两个同 学各自独立地作 10 次和 15 次试验,并且利用线性回归方法,求得回 归直线分别为 l1 和 l2.已知在两个人的试验中发现对变量 x 的观测数据 的平均值恰好相等,都为 s,对变量 y 的观测数据的平均值也恰好相 等,都为 t.那么下列说法正确的是(
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B.1 个 D.3 个

)

A.直线 l1 和 l2 有交点(s,t) B.直线 l1 和 l2 相交,但是交点未必是点(s,t) C.直线 l1 和 l2 由于斜率相等,所以必定平行 D.直线 l1 和 l2 必定重合 [答案] A [解析] 由题意,结合回归直线易知只有选项 A 符合已知条件. 9.下表是某同学记录的某地方在 3 月 1 日~3 月 12 日的体检中 的发烧人数,并给出了散点图. 日期 人数 日期 人数 3.1 100 3.7 141 3.2 109 3.8 152 3.3 115 3.9 158 3.4
[来源:学优 GKSTK]

3.5 121 3.11 186

3.6 131 3.12 203

118 3.10 175

下列说法: ①根据此散点图,可以判断日期与发烧人数具有线性相关关系. ②根据此散点图,可以判断日期与发烧人数具有一次函数关系. 其中正确的是( A.② C.①② [答案] B
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) B.① D.都不正确

[解析] 由散点图可以判断日期与发烧人数具有正相关关系,但 不是函数关系,更不是一次函数关系,因为所有点不在一条直线上, 而是在一条直线附近. 10.过(3,10),(7,20),(11,24)三点的回归直线方程是( A.^ y=1.75+5.75x C.^ y=5.75+1.75x [答案] C [解析] 求过三点的回归直线方程,目的在于训练求解回归系数 的方法,这样既可以训练计算,又可以体会解题思路,关键是能套用 ^=1.75,a ^=5.75.代入直线方程,求得^ 公式.代入系数公式得b y=5.75 +1.75x.故选 C. 二、填空题 11.下列关系: (1)炼钢时钢水的含碳量与冶炼时间的关系; (2)曲线上的点与该点的坐标之间的关系; (3)柑橘的产量与气温之间的关系; (4)森林的同一种树木,其横断面直径与高度之间的关系. 其中具有相关关系的是________. [答案] (1)(3)(4) [解析 ] (1)炼钢的过程就是一个降低含碳量进行氧化还原的过 B.^ y=-1.75+5.75x D.^ y=5.75-1.75x )

程,除了与冶炼时间有关外,还要受冶炼温度等其他因素的影响,故 具有相关关系. (2)曲线上的点与该点的坐标之间的关系是一一对应的,即是一 种确定性关系. (3)柑橘的产量除了受气温影响以外,还要受肥量以及水分等因
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素的影响,故具有相关关系. (4)森林的同一种树木,其横断面直径随高度的增加而增加,但 是还受树木的疏松及光照等因素的影响,故具有相关关系. 12.(2011· 辽宁高考)调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位:万 元)和年饮食支出 y(单位:万元),调查显示年收入 x 与年饮食支出 y 具有线性相关关系,并由调查数据得到 y 对 x 的回归直线方程:^ y= 0.254x+0.321.由回归直线方程可知,家庭年收入每增加 1 万元,年 饮食支出平均增加________万元. [答案] 0.254 [解析] 由于^ y=0.254x+0.321 知,当 x 增加 1 万元时,年饮食 支出 y 增加 0.254 万元. 14.改革开放 30 年以来,我国高等教育事业迅速发展,对某省 1990~2000 年考大学升学百分比按城市、县镇、农村进行统计,将 1990~2000 年依次编号为 0~10, 回归分析之后得到每年考入大学的 百分比 y 与年份 x 的关系为: 城市:^ y=2.84x+9.50; 县镇:^ y=2.32x+6.67; 农村:^ y=0.42x+1.80. 根据以上回归直线方程,城市、县镇、农村三个组中,________ 的大学入学率增长最快.按同样的增长速度,可预测 2010 年,农村 考入大学的百分比为________%. [答案] 城市 10.2 [分析] 增长速度可根据回归直线的斜率来判断,斜率大的增长 速度快,斜率小的增长速度慢. [解析] 通过题目中所提供的回归方程可判断,城市的大学入学
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率增长最快; 2010 年农村考入大学的百分比为 0.42×20+1.80=10.2. 三、解答题 15. 某种产品的广告费支出 x 与销售额 y 之间有如下对应数据(单 位:百万元) x y 2 30 4 40 5 60 6 50 8 70

(1)画出散点图; (2)从散点图中判断销售金额与广告费支出成什么样的关系? [解析] (1)以 x 对应的数据为横坐标, 以 y 对应的数据为纵坐标, 所作的散点图如下图所示:

(2)从图中可以发现广告费支出与销售金额之间具有相关关系, 并且当广告费支出由小变大时,销售金额也大多由小变大,图中的数 据大致分布在某条直线的附近,即 x 与 y 成正相关关系. 16.某个服装店经营某种服装,在某周内获纯利 y(元),与该周 每天销售这种服装件数 x 之间的一组数据关系见表 x y 3 66 4 69 5 73
[来源:gkstk.Com]

6 81

7 89

8 90

9

[来源:学优 GKSTK]

91

7 7 2 2 已知 xi =280, yi =45209, xiyi=3487. i=1 i=1 i =1

?

7

?

?

(1)求- x ,- y;
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(2)求回归方程. 1 [解析] (1)- x =7×(3+4+5+6+7+8+9)=6, 1 559 - y =7×(66+69+73+81+89+90+91)= 7 . 559 3487-7×6× 7 19 ^= (2)b =4, 280-7×36 ^=559-19×6=719, ∴a 7 4 14 19 719 ∴所求回归方程为^ y= 4 x+ 14 . 17.某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据: 产量 x(千件) 成本 y(万元) (1)画出散点图; (2)求成本 y 与产量 x 之间的线性回归方程. [解析] (1)散点图如下: 2 7 3 8 5 9 6 12
[来源:学优 GKSTK]

^x+a ^, (2)设成本 y 与产量 x 的线性回归方程为^ y=b 2+3+5+6 7+8+9+12 - - x= = 4 , y = =9. 4 4

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x- y ?xiyi-n- ^= b
i=1

n

-2 ?x2 i -n x
i=1

n

11 =10=1.1,

^=- ^- a y -b x =9-1.1×4=4.6. 所以,回归方程为^ y=1.1x+4.6. 18.下面是世界上 10 名男网球选手的身高(x)与体重(y)的情况. 姓名 Carlos Moya Richard Fromberg Marcelo Rios Pat Rafter Jason Stoltenberg Andre Agassi Todd Martin Karol Kucera Mark Philippoussis Greg Rusedski (1)将上表中的数据制成散点图; (2)你能从散点图中发现身高与体重近似成什么关系吗? (3)若近似成线性关系,请画出一条直线来近似地表示这种线性 关系; (4)若某名男网球运动员的身高是 172 cm,请预测他的体重. [解析] (1)散点图如图: 身高(x)/cm 190 196 175 185 186 180 198 188 194 193 体重(y)/kg 82 88 63 79 80 75 96 75 92 86

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(2)由图可见,图中的数据点大致分布在一条直线附近,当身高 数据由小到大变化时,体重数据也由小变大,因此身高与体重近似成 线性相关关系. (3)直线如图所示. (4)根据所画直线可预测当身高是 172 cm 时,其体重约为 61 kg. [点评] 第(3)问中的直线不是唯一的,当然不同的近似直线将直 线影响第(4)问的预测结果.

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