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椭圆标准方程及其性质习题[1]


椭圆及其标准方程
【题型Ⅰ】椭圆及其标准方程 1、若点 M 到两定点 F1(0,-1) F2(0,1)的距离之和为 2,则点 M 的轨迹是( ) ,

A .椭圆

B .直线 F1 F2

C .线段 F1 F2

D .线段 F1 F2 的中垂线.

变式: 方程 ( x ? 2)2 ? y2 ? ( x ? 2)2 ? y2 ? 6表示的曲线为________.

2、两焦点为 F1 (?3,0) , F2 (3,0) ,且过点 A(0,4) 的椭圆方程是( ) A.

x2 y2 ? ?1 16 9

B.

x2 y2 ? ?1 25 16

C.

x2 y2 ? ?1 25 9

D.以上都不对

练习:椭圆的对称轴是坐标轴,离心率为

2 ,长轴长为 6,则椭圆方程为( ) 3
B.

A.

x2 y2 ? ?1 36 20

x2 y2 ? ?1 9 5

C.

x2 y2 x2 y2 ?1 ? ? 1或 ? 9 5 5 9

D.

x2 y2 x2 y2 ? ?1或 ? ?1 36 20 20 36

3、与圆 ( x ? 1) ? y ? 1 外切,且与圆 ( x ? 1) ? y ? 9 内切的动圆圆心的轨迹方程是
2 2 2 2

__________。 练习:已知圆 A : ?x ? 3?2 ? y 2 ? 100,圆 A 内一定点 B (3,0) ,圆 P 过点 B 且与圆 A 内 切,求圆心 P 的轨迹方程.

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点为 F1 、 F2 , ?ABF 的顶点 A、B 在椭圆上,且边 AB 经过 4、椭圆 1 25 9
右焦点 F2 ,则 ?ABF 的周长是__________。 1

练习:已知三角形 PAB 的周长为 12,其中 A(-3,0),B(3,0),求动点 P 的轨迹方程

5、已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 F,F2分别为椭圆的左右焦点,点A(1,1)为椭圆内一点, ,1 9 5

点P位椭圆上一点,求 PA + PF 的最大值 1

6、求与椭圆

x2 y2 ? ? 1 有相同焦点,且过点 P(? 5,? 6 ) 的椭圆方程。 16 4

5 3 练习:若椭圆的两焦点为(-2,0)和(2,0) ,且椭圆过点 ( ,? ) ,则椭圆方程是 2 2 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 A. y ? x ? 1 B. y ? x ? 1 C. y ? x ? 1 D. x ? y ? 1 10 6 4 8 8 4 10 6

7、经过点 M( 3 , -2), N(-2 3 , 1)的椭圆的标准方程是

.

变式:方程 Ax2+By2=C 表示椭圆的条件是 (A)A, B 同号且 A≠B (B)A, B 同号且 C 与异号 (C)A, B, C 同号且 A≠B (D)不可能表示椭圆

【题型Ⅱ】椭圆的几何性质 8、曲线

x2 y2 x2 y2 ? ? 1(k ? 9) 之间有( ) ? ? 1与 25 9 25 ? k 9 ? k
B.相同的焦距 D.相同的短轴长

A.相同的长短轴 C.相同的离心率

练习:椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点坐标是( ) m?2 m?5

(A)(±7, 0) (B)(0, ±7) (C)(± 7 ,0) (D)(0, ± 7 )

9、设椭圆的标准方程为 (A)k>3

x2 y2 ? ? 1 ,若其焦点在 x 轴上,则 k 的取值范围是 k ?3 5?k
(C)4<k<5
2

(B)3<k<5

(D)3<k<4

练习: a ? ? 0, ? ,方程 x sin ? ? y cos? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 ? 的取值范
2

? ?

?? 2?

围是 (A) ? 0, ?

? ?

?? 4?

(B) ? 0, ? 4

? ?

?? ?

(C) ? , ? ?4 2?

?? ??

(D) ?

?? ?? , ? ?4 2?





10、椭圆的两个焦点和短轴的两个顶点,是一个含 60 ? 角的菱形的四个顶点,则椭圆的离心 率为( ) A.

1 2

B.

3 2

C.

3 3

D.

1 3 或 2 2

练习:如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列,则其离心率为 (A)

3 5

(B)

1 3

2

(C)

3 4

(D)

9 10

11、设 P 为椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点, F1 、 F2 为焦点,若 ?PF1 F2 ? 75? , a2 b2

?PF2 F1 ? 15? ,则椭圆的离心率为( )
A.

2 2

B.

3 2

C.

2 3

D.

6 3

练习: F1 、 F2 为椭圆的两个焦点,过 F2 的直线交椭圆于 P、Q 两点, PF ? PQ ,且 1

| PF1 |?| PQ | ,则椭圆的离心率_________.
12、椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)长轴的右端点为 A,若椭圆上存在一点 P,使∠APO=90° ,求 a2 b2

此椭圆的离心率的取值范围。

练习:椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的半焦距为 c,若直线 y=2x 与椭圆的一个交点的坐标为 c, a2 b2
.

则椭圆的离心率为

13、 椭圆的两焦点为 F1(-4, 0), F2(4, 0), P 在椭圆上, 点 已知△PF1F2 的面积的最大值为 12, 求此椭圆的方程。

练习:点 P 为椭圆 则点 P 的坐标是 (A)(±

x2 y 2 ? ? 1 上一点,以点 P 以及焦点 F1, F2 为顶点的三角形的面积为 1, 5 4

15 15 15 15 , 1) (B)( , ±1) (C)( , 1) (D)(± , ±1) 2 2 2 2

x2 y 2 ? ? 1 上的一点,F1 和 F2 是其焦点,若∠F1PF2=60° 14、P 为椭圆 ,则△F1PF2 的面 100 64
积为 .

练习: 已知 F1 ?? 3,0? 、 2 ?3,0? 是椭圆 F 且当 ? ?

x2 y2 P ? ? 1 的两个焦点, 在椭圆上, F1 PF2 ? ? , ? m n

2? 时, ?F1 PF2 面积最大,求椭圆的方程. 3

x2 y2 ? ? 1有两个交点,求 m 的取值范围。 15、直线 y ? x ? m 与椭圆 144 25

2 2 16、 椭圆 x ? y ? 1 ?a > b > 0? 与直线 x ? y ? 1 交于 P 、Q 两点, OP ? OQ , 且 其中 O 2 2 a b 为坐标原点.

(1)求 围

1 1 ? 2 的值; (2)若椭圆的离心率 e 满足 3 ≤ e ≤ 2 ,求椭圆长轴的取值范 2 a b 3 2

17、已知:椭圆

x2 y2 ? ?1 ,求: 16 4 (1)以 P(2,-1)为中点的弦所在直线的方程; (2)斜率为 2 的平行弦中点的轨迹方程; (3)过 Q(8,2)的直线被椭圆截得的弦中点的轨迹方程。

18、已知椭圆中心在原点,焦点在 x 轴上,对称轴为坐标轴,椭圆短轴的一个顶点 B 与两个 焦点 F1 、 F2 组成的三角形周长为 4 ? 2 2 ,且 ?BF F2 ? 45? ,求椭圆的标准方程。 1

19、已知椭圆

x2 ? y 2 ? 1 和点 A(0,?1) ,一条斜率为 k 的直线 l 与椭圆交于不同两点 M、N, 3

且满足 | AM |?| AN | ,求 k 的取值范围。

20、一条变动的直线 L 与椭圆

x2 y2 + =1 交于 P、Q 两点,M 是 L 上的动点,满足关系 4 2

|MP|·|MQ|=2.若直线 L 在变动过程中始终保持其斜率等于 1.求动点 M 的轨迹方程,并说 明曲线的形状.

练习: 在面积为 1 的△PMN 中, tan∠PMN= 为焦点,且过点 P 的椭圆方程。

1 , tan∠MNP=-2, 适当建立坐标系, 求以 M, N 2


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