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向量的概念1


高中数学专题点解练

刘梦宁专用

专题一 向量的概念和基本运算 一、知识回顾 1.向量的概念 (1)向量的基本要素:大小和方向. (2)向量的表示:几何表示法 AB ;字母表示:a;

坐标表示法 a=xi+yj=(x,y). (3)向量的长度:即向量的大小,记作|a|. (4)特殊的向量:零向量 a=O ? |a|=O. 单位向量:aO 为单位向量 ? |aO|=1. (5)相等的向量:大小相等,方向相同 (x1,y1)=(x2,y2) ? ?

? x1 ? x2 ? y1 ? y 2

(6) 相反向量:a=-b ? b=-a ? a+b=0 (7)平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量,称为平行向量.记作 a∥b.平行向量也称 为共线向量. 2.向量的运算 运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质

a?b ? b?a
向量的 加法 1.平行四边形法则 2.三角形法则

a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c)
AB ? BC ? AC

向量的 减法

a ? b ? a ? (?b)
三角形法则

a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )
AB ? ? BA , OB ? OA ? AB

1. ? a 是 一 个 向 量 , 满 数 乘 向 量 足: | ? a |?| ? || a | 2. ? >0 时,

?(? a) ? (??)a
? a ? (? x, ? y)
(? ? ? )a ? ? a ? ? a

? a与a 同向;

?(a ? b) ? ? a ? ?b
a // b ? a ? ?b

? <0 时, ? a与a 异向;

? =0 时, ? a ? 0 .
3.重要定理、公式 (1)平面向量基本定理 e1,e2 是同一平面内两个不共线的向量,那么,对于这个平面内任一向量,有且仅有一对 实数λ 1,λ 2,使 a=λ 1e1+λ 2e2. (2)两个向量平行的充要条件 a∥b ? a=λ b(b≠0) ? x1y2-x2y1=O. 二、 基本训练 1,已知 AD, BE 分别是 ?ABC 的边 BC , AC 上的中线,且 AD ? a, BE ? b ,则 BC 为

1

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A.

4 2 a? b 3 3

B.

2 4 a? b 3 3

C.

2 2 a? b 3 3

D. ? a ? b ( )

2 3

2 3

2.已知 AB ? a, BC ? b, CA ? c ,则 a ? b ? c ? 0 是 A, B, C 三点构成三角形的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件

D.既不充分也不必要条件 ( )

3.若 a ? (1,1), b ? (1, ?1), c ? (?1,2), 则c ?

1 3 3 1 3 1 C. a ? b D. ? a ? b a? b 2 2 2 2 2 2 1 4.设 A(2,3), B(?1,5), 且AC ? AB, AD ? 3AB ,则 C、D 的坐标分别是 3 11 5 1 7 8 A. (1, ),(?7,9) B. (1, ),(?5, ?8) C. ( , ),(?5,7) D. (1, ),(?7,9) 3 3 2 3 3
A. ? a ? b B. 6.对平面内任意的四点 A,B,C,D,则 AB ? BC ? CD ? DA ? 7.若 a ? 3, b与a 的方向相反,且 b ? 5, 则a ? ______ b 8.化简: .

1 2

3 2





(1) AB ? BC ? CD ? ___。 (2) AB ? AD ? DC ? ____。 (3) ( AB ? CD) ? ( AC ? BD) ? ____。 9.(04 年上海)已知点 A(1, ?2) ,若向量 AB 与 a ? (2,3) 同向, | AB | = 2 13 ,则点 B 的坐标为 三、例题分析 题型一:考其本概念: 例 1.判断下列命题是否正确 (1)若 a ? b ,则 a ? b 。 (2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同。 (3)若 AB ? DC ,则 ABCD 是平行四边形。 (4)若 ABCD 是平行四边形,则 AB ? DC 。 (5)若 a ? b, b ? c ,则 a ? c 。 (6)若 a // b, b // c ,则 a // c 。 变式引申:1 下面给出四个命题:①对于实数 m 和向量 a, b ,恒有 m a ? b ? ma ? mb ②对于实数 m、n 和向量 a ,恒有 ? m ? n ? a ? ma ? na ③若 ma ? mb(m ? R, m ? 0), 则a ? b ④若 ma ? na(a ? 0) ,则 m=n A、1 B 、2 ) C. 若 a ? b ,则 a ? b D. 若 a ? 1 ,则 a ? 1 其中正确的命题个数是 C 、3 ( D、4 ) .

?

?

2.下列命题中,正确的是( A. 若 a ? b ,则 a ? b

B. 若 a ? b ,则 a // b

题型二:向量加减及数乘应用 1,已知 O 是 △ ABC 所在平面内一点, D 为 BC 边中点,且 2OA ? OB ? OC ? 0 ,那么( A. AO ? OD B. AO ? 2OD C. AO ? 3OD D. 2 AO ? OD
2



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2.(05 湖北卷)已知向量 a ? (?2,2),b ? (5, k ).若 | a ? b | 不超过 5,则 k 的取值范围是 3. (浙江) (7)若非零向量 a, b 满足 a ? b ? b ,则( ) A. 2a ? ?a ? b B. 2a ? 2a ? b C. 2b ? a ? ?b D. 2b ? a ? 2b

题型三:平面向量基本定理 例 4. ABCD 是梯形, AB // CD 且 AB ? 2CD , M , N 分别是 DC 和 AB 的中点,设 AB ? a, AD ? b , 试用 a, b 表示 BC 和 MN 1,在四面体 O ? ABC 中, OA ? a, OB ? b, OC ? c,D 为 BC 的中点, E 为 AD 的中点,

则 OE ?

(用 a,b,c 表示) .

2. D, E , F 分别是 ?ABC 的边 BC , CA, AB 的中点,且 BC ? a, CA ? b, 给出下列命题 ① AD ? ? a ? b ② BE ? a ? b ③ CF ? ? a ? b ④ AD ? BE ? CF ? 0 其中正确的序号是 题型四:平行共线问题 1.若三点 P(1,1), A(2, ?4), B( x, ?9) 共线,则 x ? A. ?1 B. 3 C.

1 2

1 2

1 2

1 2

( D. 51



9 2

2,己知向量 a, b 且 AB ? a ? 2b, BC ? ?5a ? 6b, CD ? 7a ? 2b 则一定共线的三点是( ) A A、B、D B A、B、C C B、C、D D A、C、D ( D. ABCD 是正方形 )

3.在平行四边形 ABCD 中,若 AB ? AD ? AB ? AD ,则必有 A.

AD ? 0

B.

AB ? 0或 AD ? 0

C. ABCD 是矩形

4、已知 a ? (1,1), b ? (4, x) , u ? a ? 2b , v ? 2a ? b ,且 u // v ,求 x. 四、作业 1.已知 AB ? 8, AC ? 5 ,则 BC 的取值范围是 A. [3,8] B. (3,8) C. [3,13] D. (3,13) ). ( )

2.(04 年浙江)已知向量 a ? (3,4), b ? (sin ? ,cos ? ), 且 a // b ,则 tan? =( A.

3 4

B. ?

3 4

C.

4 3

D. ?

4 3

3.下列说法中错误的是( ) A.向量 AB 的长度与向量 BA 的长度相等 B.任一非零向量都可以平行移动

C.长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 D.两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同. 4.已知正方形 ABCD 的边长为 1, AB ? a, BC ? b, AC ? c ,则 a ? b ? c 的模等于 ( )
3

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A.0

B.3

C. 2

D. 2 2 ) D.平行且反向

5.已知向量 a ? (?5, 6) , b ? (6, 5) ,则 a 与 b ( A.垂直 B.不垂直也不平行

C.平行且同向

6.对于向量 a,b,c 和实数 ? ,下列命题中真命题是( ) A.若 a b ? 0 ,则 a = 0 或 b = 0 B.若 ? a = 0 ,则 ? ? 0 或 a ? 0 C.若 a 2 ? b 2 ,则 a ? b 或 a = ?b D.若 a b = a c ,则 b = c )

7. (湖南文)2.若 O,E,F 是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( A. EF ? OF ? OE B. EF ? OF ? OE C. EF ? ?OF ? OE )

D. EF ? ?OF ? OE

8. (浙江文)(9)若非零向量 a 、 b 满足| a 一 b |=| b |,则( (A) |2 b |>| a 一 2 b | (C) |2 a |>|2 a 一 b | (B) |2 b |<| a 一 2 b | (D) |2 a |<|2 a 一 b |

9.对于向量 a,b,c 和实数 ? ,下列命题中真命题是( ) A.若 a b ? 0 ,则 a = 0 或 b = 0 B.若 ? a = 0 ,则 ? ? 0 或 a ? 0

,,b ? (1 , ? 1) ,则向量 10.已知平面向量 a ? (11) ? 1) A. (?2,
1) B. (?2,

1 3 a? b ?( 2 2



, 0) C. (?1

, 2) D. (1


11. (湖南文)2.若 O,E,F 是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( A. EF ? OF ? OE B. EF ? OF ? OE C. EF ? ?OF ? OE

D. EF ? ?OF ? OE

12.(湖北卷)已知向量 a ? (?2,2),b ? (5, k ).若 | a ? b | 不超过 5,则 k 的取值范围是 13.如图,在 △ ABC 中,点 O 是 BC 的中点,过点 O 的直线分别交直线 AB , AC 于不同的两点 M ,N ,若 AB ? mAM , AC ? nAN ,则 m ? n 的值为 14. 已知向量 OA ? (k ,12), OB ? (4,5), OC ? (?k ,10) ,且 A、B、C 三点共线,则 k= 15.若 2( x ? a) ? (b ? c ? 3x) ? b ? 0 ,则 x ? __________。 16.已知 e1 , e2 不共线, a ? ke1 ? e2 , b ? e1 ? ke2 ,当 k ? ______时, a, b 共线。 .

1 3

1 2

4


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