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【金版学案】2015-2016学年高中数学 2.3.2 方差与标准差检测试题 苏教版必修3


2.3

总体特征数的估计 方差与标准差

2.3.2

基 础 巩 固 1.一组数据的方差为 s ,将这组数据扩大 2 倍,则新数据的方差为( A.s
2 2

)

1 2 B. s 2

C.2s

2

D.4s

2

1 - 2 - 2 - 2 - x1+x2+…+xn 2 解 析:∵s = [(x1- x ) +(x2- x ) +…+(xn- x ) ], x = ,

n

n

2x1+2x2+…+2xn - - ∴ x '= =2 x .

n

1 - 2 - 2 - 2 4 - 2 - 2 2 ∴s′ = [(2x1-2 x ) +(2x2-2 x ) +…+(2xn-2 x ) ]= [(x1- x ) +(x2- x ) +…

n

n

- 2 2 +(xn- x ) ]=4s . 答案:D

2.设 x1=4,x2=5,x3=6,则该样本的标准差为( A. 3 3 B. 6 3 C. 5 3 D. 7 3

)

- x1+x2+x3 4+5+6 解析:∵x1=4,x2=5,x3=6,∴ x = = =5, 3 3 1 2 2 2 2 2 ∴s = [(4-5) +(5-5) +(6-5) ]= , 3 3 6 ,选 B. 3 答案:B ∴s=

3.一组数据中的每一个 数都加上 10 后,得到一组新的数据,这组数据的平均数是 20, 方差是 12,则原来这组数据的平均数和方差分别是多少?
1

解析:设原来这组数据为 x1,x2,…,xn,每个数据加上 10 后所得新数据为 x1+10,x2 +10,…,xn+10.则 1

n

[(x1+10)+(x2+10)+…+(xn+10)]=20.

1 即 [(x1 +x2+…+xn)+10n]=20.

n

1

n
1

(x1+x2+…+xn)+10=20. (x1+x2+…xn)=20-10=10.

n

即 x=10,原来这组数据的平均数为 10. 因为新数据方差为 12,即 1

n
2

1 2 2 2 2 {[(x1 + 10) - 20 ] + [(x2 + 10) - 20] +…+ [(xn + 10) - 20] } = [(x1 - 10) + (x2 -

n

10) +…+(xn-10) ]=12. 故原来数据的方差是 12.

2

4.对划艇运动员甲、乙二人在相同的条件下进行了 6 次测试,测得他们最大速度(m/s) 的数据如下: 甲:27,38,30,37,35,31; 乙:33,29,38,34,28,36. 根据以上数据,试判断他们谁更优秀.

1 1 解析: x 甲= ×(27+38+30+37+35+31)=33(m/s), s 甲 2= ×[(27-33)2+(38-33)2 6 6 1 2 +…+(31-33) ]≈15.7,x 乙= ×(33+29+38+34+28+36)=33(m/s),s 6 -33) +(29-33) +…+(36-33) ]≈12.7.所以 x 甲=x 乙,
2 2 2 2 乙

1 = ×[(33 6

s 甲 2>s 乙 2,说明甲、乙两人的最大速度的平均值相同,但乙比甲更稳定,故乙比甲更优
秀.

2

能 力 升 级 5.已知甲、乙两个样本(样本容量一样大),若甲样本的方差是 0.4,乙样本的方差是 0.2,那么比较甲、乙两个样本的波动大小的结果是______________.

解析:一组数据其方差越大,波动就越大,方差越小,波动也就越小. 答案 :甲样本的波动比乙大

6. 已知 x1, x2, …, xn 的方差为 2, 则 2x1+3, 2x2+3, …, 2xn+3 的标准差为________.

解析:由方差的性质得新数据的方差为 2 ×2=8,故其标准差为 2 2. 答案:2 2

2

7.两名跳远运动员在 10 次测试中的成绩分别如下(单位:m): 甲:5.85 5.93 6.07 5.91 5.99 6.13 乙:6.11 6.08 5.83 5.92 5.84 5.81 5.89 6.05 6.00 6.19 6.18 6.17 5.85 6.21

分别计算两个样本的标准差,并根据计算结果估计哪位运动员的成绩比较稳定.

解析:甲、乙两名运动员成绩的样本标准差分别为 0.104,0.156;甲运动员的成绩比 较稳定.

8.(2014·武汉调研)某校拟派一名跳高运动员去参加一项校级比赛,对甲、乙两名跳 高运动员去参加一项校级比赛,对甲、乙两名跳高运动员分别进行了 8 次选拔比赛,他们的 成绩(单位:m)如下: 甲:1.70,1.65,1.68,1.69,1.72,1.73,1.6 8,1.67 乙:1.60,1.73,1.72,1.61,1.62,1.71,1.70,1.75 经预测,跳高高度达到 1.65 m 就很可能获得冠军, 该校为了获得冠军,可能选哪位选 手参赛?若预测跳高高度达到 1.70 m 方可获得冠军呢?

解析 :甲的平均成绩和方差如下:

3



x 甲= (1.70+1.65+1 .68+1.69+1.72+1.73+ 1.68+1.67 )=1.69(m).
1 8

1 8

s 甲 2= [(1.70-1.69)2+(1.65-1.69)2+…+(1.67 -1.69)2]=0.000 6.
乙的平均成绩和方差如下: -

x 乙 = (1.60 + 1.73 + 1.72 + 1.61 + 1.62 + 1.71 + 1.70 + 1.75) = 1.68(m) , s
2 2 2

1 8

2 乙



1 8

[(1.60-1.68) +(1.73 -1.68) +…+(1.75-1.68) ]=0.003 15,显然,甲的平均成绩好 于乙的平均成绩,而且甲的方差小于乙的方差,说明甲的成绩比乙稳定,由于甲的平均成绩 高于乙,且成绩稳定,所以若跳高高度达到 1.65 m 就很可能获得冠军,应派甲参赛,在这 8 次选拔赛中乙有 5 次成绩在 1.70 m 及以上,虽然乙的平均成绩不如甲,成绩稳定性也不 如甲,但是若跳高高度达到 1.70 m 方可获得冠军时,应派乙参加比赛.

4


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